revisao mat 1 lista de exercicios

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Alguns Exerc´ıcios de Revisa˜o
(1) Encontre a inversa das func¸o˜es abaixo:
a) f(x) = 5− 10x c) f(x) = 2 +√4− x2, 0 ≤ x ≤ 2
b) f(x) = x+53x−1 d) f(x) =
√
9− x2, 0 ≤ x ≤ 3
(2) Dadas f(x) =
√
x2 + 5 e g(x) =
√
4− x2, encontre f ◦ g e g ◦ f .
(3) A receita (em do´lares) oriunda da venda de x unidades de um certo
produto e´ dada pela func¸a˜o R(x) = 20x − x2200 . O custo (em do´lares)
para produzir x unidades e´ dado pela func¸a˜o C(x) = 4x+ 8000.
a)Descubra o lucro nas vendas de x unidades.
b) Se em um certo dia cada do´lar vale 2 reais e 10 centavos, determine
a func¸a˜o custo de produc¸a˜o de x produtos, agora com valores em reais.
(4) Um certo iso´topo radioativo decai de acordo com a fo´rmula
Q(t) = Q0 · e−0,034t,
sendo que t e´ o tempo em anos e Q0 e´ o nu´mero de gramas presen-
tes inicialmente. Se 20 gramas esta˜o inicialmente presentes, qual a
quantidade desse iso´topo presente apo´s 10 anos? (Use e−0,34 ∼ 0, 71)
(5) Considere a func¸a˜o de tipo exponencial Q(t) = Aeαt, onde A e α sa˜o
CONSTANTES reais, t e´ o tempo em anos e Q(t) e´ a quantidade de
uma determinada grandeza depois de t anos.
Suponha que num instante t0, tenhamos Q(t0) = Q0. Suponha que
depois de h anos, a quantidade de grandeza Q(t) seja dobrada, isto
e´, Q(t0 + h) = 2Q0. Fac¸a enta˜o o seguinte ca´lculo: se t1 e´ outro
instante e Q(t1) = Q1, calcule Q(t1 + h) e veja que essa quantidade
e´ igual a 2Q1. (Assim voceˆ tera´ mostrado que o tempo necessa´rio
para dobrar a quantidade da grandeza Q(t) independe do TEMPO
INICIAL escolhido).
(6) A meia-vida de um iso´topo radioativo e´ o tempo necessa´rio para que
a massa desse iso´topo se reduza a` metade. A func¸a˜o que descreve
o comportamento da massa Q(t) (em gramas) de um tal iso´topo em
func¸a˜o do tempo t (em anos) e´ a func¸a˜o de tipo exponencial:
Q(t) = Ae−kt,
1
onde A e t sa˜o constantes reais.
Um iso´topo radioativo tem meia-vida de 35,2 anos. Quantos anos
levaria para que uma quantidade inicial de 1 grama decaia para 0,01
grama? (Use ln(1/2) = −0, 69 e ln(0, 01) = −4, 60)
(7) Se uma amostra de carbono 14 decai de 400 gramas para 300 gramas
em 5,3 anos, encontre a meia-vida desse iso´topo. (use ln(3/4) = −0, 29
e ln(1/2) = −0, 69)
(8) Esboce o gra´fico das seguintes func¸o˜es:
a) f(x) = 3− 4x b) f(x) = 6x2 − 15x c)f(x) = x2 + 6x+ 9
d) f(x) = 12x
2 + 2x+ 3 e) f(x) =
∣∣x2 − 12x+ 32∣∣
f) f(x) =
{
2x2 − 5 se x ≤ 2
3 se x > 2
g) f(x) =
{ ∣∣− 2x2 + 8x− 6∣∣ se x ≤ 2
2x− 2 se x > 2
h) f(x) =

2x se x ≤ −1
1 + x2 se − 1 < x < 2
log2(x) se x ≥ 2
(9) Determine o domı´nio natural de definic¸a˜o das seguintes func¸o˜es:
a)f(x) =
√
(x2 − 4x+ 3)(x2 − x− 2)
b)f(x) =
√
x+1
x2−3x+2
c)f(x) =
√
x+1
x2−3x+2
Gabarito (Iupi!!!)
(1) a) f−1(y) = 5−y10 b) f
−1(y) = y+53y−1
c) f−1(y) =
√
4y − y2, 2 ≤ y ≤ 4, d) f−1(y) =
√
9− y2, 0 ≤ y ≤ 3
(2) (f ◦ g)(x) = √9− x2 e (g ◦ f)(x) = √−1− x2.
(3) a) L(x) = −x
2
200 + 16x− 8000 b)8, 40x+ 16800.
(5) 14,2g (6) ∼ 234 anos. (6) 12,8 anos
(9) a) ]−∞,−1] ∪ [1, 2] ∪ [3,+∞] b)[−1, 1[ ∪ ]2,+∞[
c)[−1,+∞[ − {1, 3}
2