Calculo1

Prévia do material em texto

D
R.
JO
RG
E
D
O
M
ÍN
G
U
EZ
D
R.
JO
RG
E
D
O
M
ÍN
G
U
EZ
© 2015 Dr. Jorge Luis Domínguez Rodríguez & Publicações Acadêmicas Ltda.
2015
Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio sem a prévia
autorização, por escrito, do autor.
Editor, Coordenador de Revisão, Supervisor de Produção, Capa e Ilustrações:
Jorge Luis Domínguez Rodríguez, SP, Brasil
Rodríguez, Jorge L D.
Cálculo Diferencial e Integral . / Dr. Jorge Luis Domínguez Rodríguez. – Campinas: Publica-
ções Acadêmicas Ltda.
2015Ltda., 2015.
Bibliografia.
ISBN XXXX-XXXX-XX.
1. Funções. 2. Limites. 3. Continuidade. 4. Derivadas. 5. Integrais.
D
R.
JO
RG
E
D
O
M
ÍN
G
U
EZ
Agradecimentos
Este trabalho é fruto das aulas de cálculo na UNICAMP. Porém, ele não seria real
se não fosse o trabalho e a dedicação incondicional do professor e os alunos das turmas
desde 2013.
D
R.
JO
RG
E
D
O
M
ÍN
G
U
EZ
D
R.
JO
RG
E
D
O
M
ÍN
G
U
EZ
Lista de ilustrações
Figura 1 – Função Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Figura 2 – Função Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Figura 3 – Função Quadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Figura 4 – Função Raiz Quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Figura 5 – Função Potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Figura 6 – Função Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Figura 7 – Logaritmos Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Figura 8 – Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Figura 9 – Circulo Trigonométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Figura 10 – Funções seno e arco seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Figura 11 – Funções cosseno e arco cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Figura 12 – Funções tangente e arco tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Figura 13 – O Problema da Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Figura 14 – Intercepção com o Círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Figura 15 – Reta Secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Figura 16 – Tangente e Velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Figura 17 – Função f (x)= sen x
x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Figura 18 – Função f (x)= sen
(pi
x
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Figura 19 – Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Figura 20 – Função Sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Figura 21 – Função Composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Figura 22 – Função f (x)= 3
(x−2)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Figura 23 – Assíntotas da Função Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Figura 24 – Gráfico de f (x)= 2x
2
x2+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Figura 25 – Gráfico f (x)= 2x−x
2
3x+5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Figura 26 – Assíntota Horizontal f (x)= lim
x→−∞
xp
x2+1
. . . . . . . . . . . . . . . . 59
Figura 27 – Taxa de Variação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Figura 28 – Interpretação Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Figura 29 – Função não diferenciável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Figura 30 – y = cos(x), de x = 0 até x =pi/4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
D
R.
JO
RG
E
D
O
M
ÍN
G
U
EZ
D
R.
JO
RG
E
D
O
M
ÍN
G
U
EZ
Lista de tabelas
Tabela 1 – Tabulação para f (x)= sen x
x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Tabela 2 – Limites infinitos f (x)= 3
(x−2)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Tabela 3 – Limites no Infinito de f (x)= 2x
2
x2+1, x →+∞ . . . . . . . . . . . . . . 55
Tabela 4 – Limites no Infinito de f (x)= 2x
2
x2+1, x →−∞ . . . . . . . . . . . . . . 55
D
R.
JO
RG
E
D
O
M
ÍN
G
U
EZ
D
R.
JO
RG
E
D
O
M
ÍN
G
U
EZSumário1 Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1 Definição Formal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Funções Reais de Variável Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.1 Funções Conhecidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Simetrias, Crescimento e Decrescimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 Novas Funções A Partir de Antigas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.1 Deslocamentos Verticais e Horizontais . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.2 Reflexões, Expansões Horizontais e Verticais . . . . . . . . . . . . 19
1.4.3 Combinações de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5 Composição de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.6 Funções Exponenciais, Inversas e Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6.1 Propriedades dos Expoentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6.2 Função Injetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6.2.1 Como achar a inversa de uma função injetora? . . . . 22
1.6.3 Funções Logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.6.3.1 Logaritmos Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.7 Funções Trigonométricas e Suas Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.7.1 Funções seno e arco seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.7.2 Funções cosseno e arco cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.7.3 Funções tangente e arco tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.8 Lista de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 Limites e Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1 Os Problemas da Tangente e da Velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.1 O Problema da Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.2 O Problema da Velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 O Limite de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.1 Definição Intuitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.1.1 Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.2 Definição Precisa de Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.3 Propriedades do Limite de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2.4 Limites Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2.4.1 Assíntotas Verticais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2.5 Limites no Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.2.5.1 Assíntotas Horizontais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.3 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.3.1 Tipos de Descontinuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.3.2 Continuidade em um Intervalo Real . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.3.3 Continuidade da Composição de Funções . . . . . . . . . . . . . 68
2.3.4 Teorema do Valor Intermediário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.4 Lista de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713 Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.1 Taxas de Variação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 74
3.1.1 Taxa de Variação Média . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.1.1.1 Interpretação Geométrica da Taxa de Variação . . . . 75
3.1.2 Taxa de Variação Instantânea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.2 Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.2.1 Interpretação Física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
D
R.
JO
RG
E
D
O
M
ÍN
G
U
EZ
3.2.2 Interpretação Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.2.3 Regras de Derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.2.4 Lista de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.3 Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.3.1 Derivada da Função Composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.3.2 Método Direto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.3.3 Lista de exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.4 Derivação Implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.4.1 Lista de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.5 Derivadas de Funções Logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.5.1 Derivação Logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.5.2 O Numero e como um Limíte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.5.3 Lista de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.6 Funções Hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.6.1 Identidades Hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.6.2 Derivadas de Funções Hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.7 Funções Hiperbólicas Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.7.1 Derivadas de Funções Hiperbólicas Inversas . . . . . . . . . . . . 94
3.8 Taxas Relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.8.1 Lista de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984 Aplicações da Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.1 Aproximações Lineares e Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.1.1 Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.1.2 Interpretação Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.1.3 Polinômios de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.1.4 Lista de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.2 Aplicações da Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.2.1 Valores Máximo e Mínimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.2.1.1 O Método do Intervalo Fechado . . . . . . . . . . . . . 109
4.2.2 Teorema do Valor Médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.2.3 Formas Indeterminadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.2.3.1 Produtos Indeterminados . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.2.3.2 Diferencias Indeterminadas . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.2.3.3 Potencias Indeterminadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.2.4 Critérios da Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.2.4.1 Critério da Primeira Derivada . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.2.4.2 Critério da Segunda Derivada . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.2.5 Esboço de Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.2.5.1 Problemas de Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.2.6 Lista de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275 Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.1 A Primitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.2 Movimento Retilíneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.3 Areas e Distâncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.3.1 Problema da Distância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.4 A Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.5 Cálculo de Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.5.1 Propriedades dos Somatórios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.5.2 Regra do Ponto Médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.6 Propriedades da Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.6.1 Propriedades da Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.6.2 Propriedades Comparativas da Integral . . . . . . . . . . . . . . 137
D
R.
JO
RG
E
D
O
M
ÍN
G
U
EZ
5.6.3 O Teorema Fundamental do Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.7 Integrais Indefinidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.7.1 Tabela de Integrais Indefinidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.8 Regra de Substituição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.8.1 Regra da Substituição para Integrais Definidas . . . . . . . . . . . 141
5.8.2 Integrais de Funções Simétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.9 O Logaritmo Definido Como Uma Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.9.1 O Logaritmo Natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.9.1.1 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1426 Aplicações de Integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.1 Áreas Entre Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.2 Volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6.2.1 Sólidos de Revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.2.2 Cascas Cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1497 Técnicas de Integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
7.1 Integração por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
7.1.1 Integrais Definidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
7.2 Integrais Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7.2.1 Identidades Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7.2.2 Fórmulas de Redução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
7.2.3 Estratégia para calcular
∫
sen m x cosn xd x . . . . . . . . . . . . . 163
7.2.4 Estratégia para calcular
∫
tanm x secn xd x . . . . . . . . . . . . . 165
7.3 Substituição Trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
7.4 Integração por Frações Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
7.4.1 Caso I: Q(x) é um produto de fatores lineares distintos . . . . . . 168
7.4.2 Caso II: Q(x) é um produto de fatores lineares repetidos . . . . . 169
7.4.3 Caso III: Q(x) contém fatores quadráticos irredutíveis distintos. 170
7.4.4 Caso IV: Q(x) contém fatores quadráticos irredutíveis repetidos. 171
7.5 Integrais Improprias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
7.5.1 Tipo I: Intervalos Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
7.5.2 Tipo II: Integrandos Descontínuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
7.5.3 Um Teste de Comparação para Integrais Impróprias . . . . . . . 174A Revisão de Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
A.1 Leis Exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
A.2 Teorema Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179B Revisão de Trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
B.1 Trigonometria do triângulo retângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181C Revisão de Geometria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
D
R.
JO
RG
E
D
O
M
ÍN
G
U
EZ
D
R.
JO
RG
E
D
O
M
ÍN
G
U
EZ
CAPÍTULO 1
Funções
Função é um dos conceitos mais importantes da matemática. Existem várias
definições, dependendo da forma como são escolhidos os axiomas. Uma relação entre
dois conjuntos, onde há uma relação entre cada um de seus elementos. Também pode
ser uma lei que para cada valor x é correspondido por um elemento y , também de-
notado por f (x). Existem inúmeros tipos de funções matemáticas, entre as principais
temos: função sobrejetora, função injetora, função bijetora, função trigonométrica,
função linear, função modular, função quadrática, função exponencial, função loga-
rítmica, função polinomial, dentre inúmeras outras. Cada função é definida por leis
generalizadas e propriedades específicas.
O uso de “função” como um termo matemático foi iniciado por Leibniz, em
uma carta de 1673, para designar uma quantidade relacionada a uma curva, tal como a
sua inclinação em um ponto específico. As funções que Leibniz considerou são atual-
mente chamadas de funções diferenciáveis. Em relação a este tipo de função, pode-se
falar em limites e derivadas. Estes conceitos são medidas dos valores de saída ou de
sua variação em relação aos valores de entrada, e formam a base do cálculo. A palavra
função foi, posteriormente, usada por Euler em meados do século XVIII para descre-
ver uma expressão envolvendo vários argumentos. Com o tempo foi-se ampliando a
definição de funções. Os matemáticos foram capazes de estudar “estranhos” objetos
matemáticos tais como funções que não são diferenciáveis em qualquer de seus pontos.
Tais funções, inicialmente tidas como puramente imaginárias e chamadas generica-
mente de "monstros", foram já no final do século X X , identificadas como importantes
para a construção de modelos físicos de fenômenos tais como o movimento Browniano.
Durante o Século XIX, os matemáticos começaram a formalizar todos os diferentes
ramos da matemática. Weierstrass defendia que se construisse o cálculo infinitesimal
sobre a Aritmética ao invés de sobre a Geometria, o que favorecia a definição de Euler
em relação à de Leibniz. Mais para o final do século, os matemáticos começaram a
tentar formalizar toda a Matemática usando Teoria dos conjuntos, e eles conseguiram
obter definições de todos os objetos matemáticos em termos do conceito de conjunto.
Foi Dirichlet quem criou a definição “formal” de função moderna. Na definição de
Dirichlet, uma função é um caso especial de uma relação. Relação é um conjunto de
pares ordenados, onde cada elemento do par pertence a um dos conjuntos relacionados.
Nas relações não existem restrições quanto à lei de correspondência entre os elementos
dos conjuntos, já para as funções é costume introduzir restrições. Na maioria dos casos
de interesse prático, entretanto, as diferenças entre as definições moderna e de Euler
são desprezáveis.
D
R.
JO
RG
E
D
O
M
ÍN
G
U
EZ
Pág. 12 Capítulo 1. Funções
1.1 Definição Formal
As funções são definidas abstractamente por certas relações. Por causa de
sua generalidade, as funções aparecem em muitos contextos matemáticos e muitas
áreas da matemática baseiam-se no estudo de funções. Deve-se notar que as palavras
“função”, “mapeamento”, “mapa” e “transformação” são geralmente usadas como
termos equivalentes. Além disso pode-se ocasionalmente se referir a funções como
“funções bem definidas” ou “funções totais”.
O conceito de uma função é uma generalização da noção comum de fórmula
matemática. As funções descrevem relações matemáticas especiais entre dois elemen-
tos. Intuitivamente, uma função é uma maneira de associar a cada valor do argumento
x (às vezes denominado variável independente) um único valor da função f (x) (tam-
bém conhecido como variável dependente). Isto pode ser feito através de uma equação,
um relacionamento gráfico, diagramas representando os dois conjuntos, uma regra de
associação, uma tabela de correspondência. Cada par de elementos relacionados pela
função determina um ponto nesta representação, a restrição de unicidade da imagem
implica um único ponto da função em cada linha de chamada do valor independente x.
Assim como a noção intuitiva de funções não se limita a cálculos usando núme-
ros individuais, a noção matemática de funções não se limita a cálculos e nem mesmo a
situações que envolvam números. Assim, uma função liga um domínio (conjunto de va-
lores de entrada) com um segundo conjunto o contradomínio ou codomínio (conjunto
de valores de saída) de tal forma que a cada elemento do domínio está associado exata-
mente um elemento do contradomínio. O conjunto dos elementos do contradomínio
que são relacionados pela f a algum x do domínio, é o conjunto imagem ou chamado
simplesmente imagem.
O gráfico de uma função permite ver, muito facilmente, toda a sua evolução.
Porém, por vezes, pode ser mais cómodo trabalhar com a equação ou fórmula da função,
já que com ela temos à nossa disposição o conjunto de operações que devemos aplicar
à variável independente, para obter a variável dependente. Podemos imaginar que uma
função é uma máquina em que introduzimos um numero x do conjunto de partida,
dela saindo o numero f (x).
Definition 1.1.1
Uma função f é uma lei que associa a cada elemento x em um conjunto D exata-
mente um único elemento f (x), em um conjunto E .
Observação 1.1.1.
1. O conjunto A é chamado domínio da função.
2. O numero f (x) é o valor de f em x e deve ser lido como “ f de x”.
3. A imagem de f é o conjunto de todos os valores possíveis de f (x), quando x varia
em todo o domínio.
4. A variável x é chamada independente e o valor y = f (x) é chamada variável
dependente.
Exemplo 1.1.1. Considere a função f (x)=pix2, x > 0. Esta função representa a área de
um circulo de raio x, é possível observar que o domínio de f serão todos os reais maiores
que zero, da mesma maneira pela área ser um valor positivo a imagem ou os valores de
Cálculo Diferencial e Integral Dr. Jorge L D Rodríguez
D
R.
JO
RG
E
D
O
M
ÍN
G
U
EZ
1.2. Funções Reais de Variável Real Pág. 13
f (x) serão os reais positivos. Também observamos que x é a variável independente, pois
podemos considerar um raio arbitrário mas o valor de f (x) dependerá sempre da escolha
do raio, por tanto f (x) é a variável dependente.
É possível representar uma função de quatro maneiras
• Verbalmente (descrevendo-a com palavras)
• Numericamente (por meio de uma tabela de valores)
• Visualmente (através de um gráfico)
• Algebricamente (utilizando-se uma forma explicita)
Exemplo 1.1.2. Dada a função f (x)= 4+3x−x2, calcule f (3+h)− f (3)
h
.
Solução. Observe que o x representa uma variável, isto é para cada valor diferente de
x tem-se um valor de f (x), então sempre que o nosso x muda devemos colocar essa
mudança em f (x). Por tanto
f (3+h) = 4+3(3+h)− (3+h)2
= 4+9+3h− (9+6h+h2)
= 4+9+3h−9−6h−h2
= 4−3h−h2
e
f (3)= 4+3(3)−32 = 4
Logo,
f (3+h)− f (3)
h
= 4−3h−h
2−4
h
= −3h−h
2
h
= −3−h
1.2 Funções Reais de Variável Real
Neste módulo é dada ênfase às funções reais de variável real, isto é, às funções
cujo domínio é um subconjunto R e o conjunto de chegada é R .
Definition 1.2.1
Uma função real de variável real é uma função em que tanto os elementos do
conjunto de partida como os do conjunto de chegada são números reais, isto é,
pertencem ao conjunto R
f : R → R
x → y = f (x)
Dr. Jorge L D Rodríguez Cálculo Diferencial e Integral
D
R.
JO
RG
E
D
O
M
ÍN
G
U
EZ
Pág. 14 Capítulo 1. Funções
1. O domínio da função é definido por
Dom( f )= {x ∈ R / y = f (x) ∈ R}
2. A imagem de f é dada por
Im( f )= {y ∈ R / ∃ x ∈Dom( f ), y = f (x)}
3. O Gráfico de f é o conjunto
Gr a f ( f )= {(x, f (x)) / x ∈Dom( f)}
Exemplo 1.2.1. Considere a função
f (x)=
√
x2+x−12
De fato: Para f existir
x2+x−12≥ 0=⇒ (x+4)(x−3)≥ 0
Logo,
Dom( f )= (−∞,−4]∪ [3,+∞)
Por outro lado raiz quadrada é sempre positiva, porem Im( f )= [0,+∞).
1.2.1 Funções Conhecidas
Algumas funções reais conhecidas são:
1.
Função Constante
f (x)= b
O gráfico de f (x) é a reta horizontal y = b
Figura 1: Função Constante
Cálculo Diferencial e Integral Dr. Jorge L D Rodríguez
D
R.
JO
RG
E
D
O
M
ÍN
G
U
EZ
1.2. Funções Reais de Variável Real Pág. 15
2.
Função Linear
f (x)=mx+b, m 6= 0
O gráfico de f (x) é a reta com declive m que intersectar o eixo das ordenadas no
ponto (0,b). 1
Figura 2: Função Linear
3.
Função Quadrática
f (x)= ax2+bx+ c, a,b 6= 0
As raízes são dadas pela fórmula resolvente
x = −b±
p
∆
2a
onde ∆= b2−4ac é o discriminante.
Figura 3: Função Quadrática
1 Se (x0, y0) e (x1, y1) são dois pontos da reta, então m = y1−y0x1−x0 .
Dr. Jorge L D Rodríguez Cálculo Diferencial e Integral
D
R.
JO
RG
E
D
O
M
ÍN
G
U
EZ
Pág. 16 Capítulo 1. Funções
4.
Função Raiz Quadrada
f (x)=px, x ≥ 0
Figura 4: Função Raiz Quadrada
5.
Função Polinomial
f (x)= an xn +an−1xn−1+ . . .+a1x+a0
6.
Função Racional
f (x)= P (x)
Q(x)
, P (x), Q(x) Pol i nomi ai s, Q(x) 6= 0
7.
Função Potência
f (x)= xa , a = const ante
Exemplo 1.2.2. Considere a função f (x)= 1x cujo domínio é R\{0}
Figura 5: Função Potência
Cálculo Diferencial e Integral Dr. Jorge L D Rodríguez
D
R.
JO
RG
E
D
O
M
ÍN
G
U
EZ
1.2. Funções Reais de Variável Real Pág. 17
8.
Função Valor Absoluto
f (x)= |x| =
 x , x ≥ 0−x , x < 0
Figura 6: Função Valor Absoluto
9.
Funções Trigonométricas
f (x)= sen x,cos x, tan x,cot x, sec x,csc x
Veja Apêndice B: Revisão de Trigonometria.
10.
Função Exponencial
f (x)= ax , a > 0
11.
Função Logarítmica
f (x)= loga x, a > 0
12.
Funções Algébricas
Uma função é algébrica se puder ser constituída por meio
de funções algébricas a partir de polinômios. Toda função racional é automatica-
mente uma função algébrica. Por exemplo
f (x)= 1
2+px+1 + (x
2+1) 3
√
x2+1
13.
Funções Transcendentais
São as funções não algébricas, inclui as funções tri-
gonométricas, trigonométricas inversas, exponenciais e logarítmicas. Por Exem-
plo
f (x)= e
x
p
x+ sen x +arctan(x+ ln x)
Dr. Jorge L D Rodríguez Cálculo Diferencial e Integral
D
R.
JO
RG
E
D
O
M
ÍN
G
U
EZ
Pág. 18 Capítulo 1. Funções
1.3 Simetrias, Crescimento e Decrescimento
Definition 1.3.1
Uma função f é chamada de função par, se satisfaz
f (−x)= f (x)
E é chamada de função impar, se satisfaz
f (−x)=− f (x)
Exemplo 1.3.1. 1. A função f (x)= x2+1 é par, pois
f (−x)= (−x)2+1= x2+1= f (x)
2. A função f (x)= x5+x é impar, pois
f (−x)= (−x)5+ (−x)=−(x5+x)=− f (x)
Definition 1.3.2
Uma função f é chamada crescente em um intervalo I se
f (x1)< f (x2) sempr e que x1 < x2 em I
E é chamada decrescente em I se
f (x1)> f (x2) sempr e que x1 < x2 em I
Exemplo 1.3.2. Analise o crescimento ou decrescimento das seguintes funções
a) f (x)= x
x2+1, x ∈ (−∞,0), b) f (x)= x
2(x5+2), x ∈ [1,+∞)
Solução.
a) Sejam x1, x2 ambos em (−∞,0), tais que
x1 ≤ x2 =⇒ x21+1≥ x22+1=⇒
x1
x21+1︸ ︷︷ ︸
f (x1)
≥ x2
x22+1︸ ︷︷ ︸
f (x2)
Então, f (x) é decrescente em [1,+∞).
b) Sejam x1, x2, tais que
x1 ≤ x2 =⇒ x21 ≤ x22 e x51 ≤ x52 =⇒ x21(x51+2)︸ ︷︷ ︸
f (x1)
≤ x21(x52+2)︸ ︷︷ ︸
f (x1)
Então, f (x) é crescente em (−∞,0).
Cálculo Diferencial e Integral Dr. Jorge L D Rodríguez
D
R.
JO
RG
E
D
O
M
ÍN
G
U
EZ
1.4. Novas Funções A Partir de Antigas Pág. 19
1.4 Novas Funções A Partir de Antigas
1.4.1 Deslocamentos Verticais e Horizontais
Suponha que c > 0. Para obter o gráfico de
• y = f (x)+ c, desloque o gráfico de y = f (x) em c unidades para cima.
• y = f (x)− c, desloque o gráfico de y = f (x) em c unidades para baixo.
• y = f (x+ c), desloque o gráfico de y = f (x) em c unidades para esquerda.
• y = f (x− c), desloque o gráfico de y = f (x) em c unidades para direita.
1.4.2 Reflexões, Expansões Horizontais e Verticais
Suponha que c > 1. Para obter o gráfico de
• y = c f (x), expanda o gráfico de y = f (x) verticalmente por um fator de c.
• y = (1c ) f (x), comprima o gráfico de y = f (x) verticalmente por um fator de c.
• y = f (cx), comprima o gráfico de y = f (x) horizontalmente por um fator de c.
• y = f ( xc ), expanda o gráfico de y = f (x) horizontalmente por um fator de c.
• y =− f (x), reflita o gráfico de y = f (x) em torno do eixo x.
• y = f (−x), reflita o gráfico de y = f (x) em torno do eixo y .
1.4.3 Combinações de Funções
Duas funções f (x) e g (x) podem ser combinadas para formar novas funções a
partir de propriedades básicas
1. Soma de Funções. Definida por
( f + g )(x)= f (x)+ g (x),
onde
Dom( f + g )= {x ∈ R | x ∈Dom( f ) e x ∈Dom(g )}
Exemplo 1.4.1. Dadas as funções f (x)=px−1 e g (x)= ln x, temos
( f + g )(x)=px−1+ ln x
cujo domínio é dado por,
Dom( f + g )= {x ∈ R | x−1≥ 0 e x > 0}= [1,+∞)
Analogamente, define-se a diferença de funções
( f − g )(x)= f (x)− g (x)
Dr. Jorge L D Rodríguez Cálculo Diferencial e Integral
D
R.
JO
RG
E
D
O
M
ÍN
G
U
EZ
Pág. 20 Capítulo 1. Funções
2. Produto de Funções Define-se por
( f · g )(x)= f (x) · g (x)
com domínio,
Dom( f · g )= {x ∈ R | x ∈Dom( f ) e x ∈Dom(g )}
Exemplo 1.4.2. Dadas as funções f (x)= 1p
x
e g (x)= xpx, temos
( f · g )(x)= 1p
x
· xpx = x
observe que pelo resultado final, o produto estaria definido para todo x ∈ R , mas
pela definição de domínio, temos
Dom( f · g )= {x ∈ R | x > 0 e x ≥ 0}= (0,+∞)
3. Quociente de Funções Define-se por(
f
g
)
(x)= f (x)
g (x)
, g (x) 6= 0
e,
Dom
(
f
g
)
= {x ∈ R | x ∈Dom( f ) , x ∈Dom(g ) e g (x) 6= 0}
Exemplo 1.4.3. Dadas as funções f (x)= (x2+1)px+1 e g (x)=px+1, temos(
f
g
)
(x)= (x
2+1)px+1p
x+1 = x
2+1
observe mais uma vez que aparentemente o quociente estaria definido para todo
x ∈ R , mas pela definição de domínio, temos
Dom( f · g )= {x ∈ R | x+1≥ 0 , x+≥ 0 e x+1 6= 0}= (−1,+∞)
1.5 Composição de Funções
Uma função composta é criada aplicando uma função à saída, ou resultado,
de uma outra função, sucessivamente. Como uma função deve possuir um domínio e
imagem bem definidos e estamos falando de aplicar funções mais de um vez, devemos
ser precisos com relação a como estamos aplicando estas funções.
Definition 1.5.1: Composição de Funções
Dadas duas funções f e g , a função composta f ◦ g é definida por(
f ◦ g )= f (g (x))
O domínio de f ◦ g é o conjunto de todos os x no domínio de g tais que
g (x) esta no domínio de f . i.e,
Dom( f ◦ g )= {x ∈Dom(g ) / g (x) ∈Dom( f )}
Cálculo Diferencial e Integral Dr. Jorge L D Rodríguez
D
R.
JO
RG
E
D
O
M
ÍN
G
U
EZ
1.6. Funções Exponenciais, Inversas e Logaritmos Pág. 21
1.6 Funções Exponenciais, Inversas e Logaritmos
Uma função exponencial é da forma
f (x)= ax , a = const ante
1.6.1 Propriedades dos Expoentes
Se a e b forem números positivos e x e y números reais quaisquer, então
1. ax+y = ax ay
2. ax−y = a
x
ay
3.
(
ax
)y = ax y
4. (ab)x = axbx
1.6.2 Função Injetora
Definition 1.6.1
uma função f é chamada função injetora se ela nunca assume o mesmo valor
duas vezes. i,e.
f (x1) 6= f (x2) sempr e que x1 6= x2
Exemplo 1.6.1.
1. A função f (x)= x3 é injetora.
De fato: Se x1 6= x2, então x31 6= x32 , i.e. f (x1) 6= f (x2)
2. A função f (x)= x2 não é injetora.
De fato: Considere dois valores distintos −2 e 2, note que f (−2)= f (2)= 4.
Teorema 1.6.1
Uma função é injetora se nenhuma reta horizontal intercepta seu gráfico em mais
de umponto.
Definition 1.6.2
Seja f uma função injetora com domínio A e imagem B . Então a sua função
inversa f −1 tem domínio B e imagem A, sendo definida por
f −1(y)= x ⇐⇒ f (x)= y
Dr. Jorge L D Rodríguez Cálculo Diferencial e Integral
D
R.
JO
RG
E
D
O
M
ÍN
G
U
EZ
Pág. 22 Capítulo 1. Funções
para todo y em B .
Observação 1.6.1.
1. Não confunda −1 de f −1 com um expoente, por tanto
f −1(x) 6= 1
f (x)
2. Seja x ∈ A, então
f −1
(
f (x)
)= f −1(y)= x
3. Seja y ∈B, então
f
(
f −1(y)
)= f (x)= y
1.6.2.1 Como achar a inversa de uma função injetora?
Passo 1.
Escreva y = f (x)
Passo 2.
Isole x nessa equação, escrevendo-a em termos de y (sempre que
possível)
Passo 3.
Para achar f −1 como uma função de x, troque x por y .
A equação resultante é y = f −1(x).
Exemplo 1.6.2. Encontre a função inversa de f (x)= 2x+1.
Solução. Escrevemos
y = 2x+1
isolamos x nesta equação,
x = y −1
2
Finalmente, trocando x por y ;
y = x−1
2
Por tanto a função inversa é f −1(x)= x−12 .
1.6.3 Funções Logarítmicas
Considere a função potencial f (x)= ax , se a > 0 e a 6= 1, a função f é crescente
ou decrescente, e portanto injetora pelo teste da reta horizontal. Assim existe uma
função inversa f −1 chamada função logarítmica com base a denotada por loga . i.e,
loga x = y ⇐⇒ ay = x
Cálculo Diferencial e Integral Dr. Jorge L D Rodríguez
D
R.
JO
RG
E
D
O
M
ÍN
G
U
EZ
1.6. Funções Exponenciais, Inversas e Logaritmos Pág. 23
Teorema 1.6.2: Propriedades dos Logaritmos
Se x e y forem números positivos então,
1. loga(x y)= loga x+ loga y
2. loga
(
x
y
)
= loga x− loga y
3. loga(x
r )= r loga x
1.6.3.1 Logaritmos Naturais
O logaritmo na base e é chamado logaritmo natural. Se fazemos a = e as
propriedades ficam
ln x = y ⇐⇒ e y = x
A correspondência f (x)= ln(x), com x ∈R, x > 0 tem domínio os reais positivos R+ e o
gráfico de f é
G f = (x, y) : x > 0 e y = ln x,
que corresponde à curva de R2 representada abaixo.
Figura 7: Logaritmos Naturais
Por outro lado,
ln(ex)= x x ∈ R
e ln x = x x > 0
Em particular, se fizermos x = 1 obteremos
lne = 1
Dr. Jorge L D Rodríguez Cálculo Diferencial e Integral
D
R.
JO
RG
E
D
O
M
ÍN
G
U
EZ
Pág. 24 Capítulo 1. Funções
Teorema 1.6.3: Fórmula de mudança de base
Para todo numero positivo a (a 6= 1), temos
loga x =
ln x
ln a
Demonstração. Seja y = loga x, então ay = x, tomando o logaritmo natural de ambos
lados temos
y ln a = ln x =⇒ y = ln x
ln a
1.7 Funções Trigonométricas e Suas Inversas
Figura 8: Funções Trigonométricas
Considere o triangulo retângulo
com lados a, b, c , temos as relações trigo-
nométricas
senα= c
a
, cosα= b
a
, tanα= c
b
Definem-se ainda,
secα= 1
cosα
, cscα= 1
senα
, cotα= 1
tanα
Têm-se as seguintes relações trigonomé-
tricas fundamentais
sen 2α+cos2α= 1, tan2α+1= sec2α, cot2α+1= csc2α
Representação no círculo trigonométrico:
Figura 9: Circulo Trigonométrico
Cálculo Diferencial e Integral Dr. Jorge L D Rodríguez
D
R.
JO
RG
E
D
O
M
ÍN
G
U
EZ
1.7. Funções Trigonométricas e Suas Inversas Pág. 25
1.7.1 Funções seno e arco seno
A função seno é uma função periódica em R (de período 2pi) e toma valores
em [−1,1], sendo injetiva nos intervalos
[
−pi
2
+kpi, pi
2
+kpi
]
com k ∈ Z . O intervalo
standard de invertibilidade é
[
−pi
2
,
pi
2
]
. Neste intervalo,
sen :
[
−pi
2
,
pi
2
]
→ [−1,1]
é estritamente crescente e tem inversa estritamente crescente,
arcsin : [−1,1]→
[
−pi
2
,
pi
2
]
que se designa por arco seno, tendo-se
sen(arcsin x)= x, para todo x ∈ [−1,1],
arcsin(sen x)= x, para todo x ∈
[
−pi
2
,
pi
2
]
Figura 10: Funções seno e arco seno
1.7.2 Funções cosseno e arco cosseno
A função cosseno é uma função periódica em R (de período 2pi) e toma valores
em [−1,1], sendo injetiva nos intervalos [kpi, (k+1)pi] com k ∈ Z . O intervalo standard
de invertibilidade é [0,pi]. Neste intervalo,
cos : [0,pi]→ [−1,1]
é estritamente decrescente e tem inversa estritamente decrescente,
arccos : [−1,1]→ [0,pi]
que se designa por arco cosseno, tendo-se
cos(arccos x)= x, para todo x ∈ [−1,1],
arccos(cos x)= x, para todo x ∈ [0,pi]
Dr. Jorge L D Rodríguez Cálculo Diferencial e Integral
D
R.
JO
RG
E
D
O
M
ÍN
G
U
EZ
Pág. 26 Capítulo 1. Funções
Figura 11: Funções cosseno e arco cosseno
1.7.3 Funções tangente e arco tangente
A função tangente encontra-se definida em R\
{
pi
2 +kpi,k ∈ Z
}
e toma valores
em R . Tem período pi sendo injetiva (estritamente crescente) nos intervalos da forma(
−pi
2
+kpi, pi
2
+kpi
)
com k ∈ Z . O intervalo standard de invertibilidade é
[
−pi
2
,
pi
2
]
. Neste
intervalo,
tan :
[
−pi
2
,
pi
2
]
→ R
é estritamente crescente e tem inversa estritamente crescente,
arctan : R→
[
−pi
2
,
pi
2
]
que se designa por arco tangente, tendo-se
tan(arctan x)= x, para todo x ∈ R ,
arctan(tan x)= x, para todo x ∈
[
−pi
2
,
pi
2
]
Cálculo Diferencial e Integral Dr. Jorge L D Rodríguez
D
R.
JO
RG
E
D
O
M
ÍN
G
U
EZ
1.8. Lista de Exercícios Pág. 27
Figura 12: Funções tangente e arco tangente
1.8 Lista de Exercícios
1. Calcule
a) g (0), g (2) e g (
p
2) sendo g (x)= x
x2−1
b)
f (a+b)− f (a−b)
ab
sendo f (x)= x2 e ab 6= 0.
c)
f (x)− f (1)
x−1 sendo f (x)=
1
x
2. Esboce o gráfico das seguintes funções
a) f (x)=
{
2x se x ≤−1
−1+1 se x >−1
b) g (x)= |sen x|
c) h(x)= x
2−9
x−3
d) k(x)= |3x+2|
3x+2
e) f (x)= |x−1|+ |x+1|
f) g (x)= x+ sen x
g) h(x)= x2 sen 1x
3. Determine o domínio
a) f (x)=
√
1− (x+2)2
Dr. Jorge L D Rodríguez Cálculo Diferencial e Integral
D
R.
JO
RG
E
D
O
M
ÍN
G
U
EZ
Pág. 28 Capítulo 1. Funções
b) f (x)=
√
x−2
x+2
c) f (x)= |x|+ 1
x
d) f (x)=
√
x−px
e) f (x)=px−1+p3−x
4. Verifique que
√
1+x2−|x| = 1
|x|+
p
1+x2
. Conclua que a medida que |x| cresce
a diferença
p
1+x2−|x| se aproxima de zero.
5. Sejam a e b reais quaisquer. Verifique que
a) sen a cosb = 1
2
[sen(a+b)+ sen(a−b)]
b) cos a cosb = 1
2
[cos(a+b)+cos(a−b)]
c) sen a senb = 1
2
[cos(a−b)−cos(a+b)]
Cálculo Diferencial e Integral Dr. Jorge L D Rodríguez
D
R.
JO
RG
E
D
O
M
ÍN
G
U
EZ
CAPÍTULO 2
Limites e Continuidade
O conceito de Limite de uma função realiza um papel muito importante em toda
teoria matemática envolvida com o Cálculo Diferencial e Integral. Há uma cadeia orde-
nada muito bem estabelecida no Cálculo: Conjuntos, Funções, Limites, Continuidade,
Derivadas e Integrais.
Para entender os conceitos mais importantes da lista acima, que são os últimos,
a Teoria de Limites é fundamental.
O motivo para isto é que nem tudo o que queremos realizar, ocorre no meio
físico e quase sempre é necessário introduzir um modelo que procura algo que está
fora das coisas comuns e esta procura ocorre com os limites nos estudos de sequências,
séries, cálculos de raízes de funções, ...
Por exemplo, obter uma raiz de uma função polinomial de grau maior do que 4
somente é possível através de métodos numéricos que utilizam fortemente as ideias de
limites e continuidade. Na verdade, este cálculo depende do Teorema do Valor Interme-
diário (apresentado no final) que é uma consequência do estudo de continuidade de
funções.
Embora implícito no desenvolvimento do cálculo nos séculos XVII e XVIII, a
moderna noção de limite de uma função remonta a Bolzano quem, em 1817, intro-
duziu o básico da técnica epsilon-delta para definir funções contínuas. Entretanto,
este trabalho não foi conhecido durante sua vida. Cauchydiscutiu limites em sua obra
Cours d’analyse (1821) e forneceu essencialmente a moderna definição, mas isto não
é frequentemente reconhecido porque ele somente apresenta uma definição verbal.
Weierstrass introduziu a definição delta-epsilon de limite na forma que ela é usual-
mente escrita hoje. Também introduziu as notações lim e lim
x→x0
. A moderna notação da
localização da seta abaixo do símbolo de limite é devido a Godfrey Harold Hardy em
seu livro A Course of Pure Mathematics em 1908.
D
R.
JO
RG
E
D
O
M
ÍN
G
U
EZ
Pág. 30 Capítulo 2. Limites e Continuidade
2.1 Os Problemas da Tangente e da Velocidade
Nesta seção vamos ver como surgem os limites quando tentamos encontrar a
tangente a uma curva ou a uma velocidade de um objeto.
2.1.1 O Problema da Tangente
Figura 13: O Problema da Tangente
A palavra tangente vem do latim
tangens, que significa “tocando”. Assim,
uma tangente a uma curva se uma reta
que toca a curva. Ou seja, uma reta tan-
gente deve ter a mesma direção e sentido
que a curva no ponto de contato.
Para um círculo poderíamos sim-
plesmente seguir Euclides e dizer que a
tangente é uma reta que intercepta o cír-
culo uma única vez.
Para as curvas mais complicadas
essa definição é inadequada. Posto que,
dadas duas retas (l e t ) passando por um
ponto P sobre uma curva C . A reta l in-
tercepta C somente uma vez, mas certa-
mente não aparenta o que pensamos ser
uma reta tangente. A reta t , por outro lado, aparenta ser uma tangente, mas intercepta
C duas vezes.
Figura 14: Intercepção com o Círculo
Exemplo 2.1.1. Encontre uma equação da reta tangente á parábola y = x2 no ponto
P (1,1).
Solução. Se soubermos como encontrar a inclinação m seremos capazes de achar
uma equação da reta tangente t . A dificuldade está em termos somente um ponto P ,
sobre t , ao passo que para calcular a inclinação são necessários dois pontos. Observe,
porém, que podemos calcular uma aproximação de m escolhendo um ponto próximo
Q(x, x2) sobre a parábola
e calculando a inclinação mPQ da reta secante PQ, temos
mPQ = x
2−1
x−1
Vamos examinar alguns valores da inclinação para x proximo de 1
Cálculo Diferencial e Integral Dr. Jorge L D Rodríguez
D
R.
JO
RG
E
D
O
M
ÍN
G
U
EZ
2.1. Os Problemas da Tangente e da Velocidade Pág. 31
Figura 15: Reta Secante
x mPQ
0 1
0,5 1,5
0,9 1,9
0,99 1,99
0,999 1,999
1,001 2,001
1,01 2,01
1,1 2,1
1,5 2,5
2 3
Dizemos que a inclinação da reta tangente é o limite das inclinações das retas secantes,
e expressamos isso simbolicamente escrevendo que
lim
Q→P
mPQ =m e lim
x→1
x2−1
x−1 = 2
Assim a equação da reta tangente no ponto (1,1) é dada por
y = 2x−1
2.1.2 O Problema da Velocidade
Se você observar o velocímetro de um carro no tráfego urbano, verá que o
ponteiro não fica parado por muito tempo; isto é, a velocidade do carro não é cons-
tante. Podemos supor da observação do velocímetro que o carro tenha uma velocidade
definida em cada momento. Mas como está definida essa velocidade instantânea?
Exemplo 2.1.2. Suponha que uma bola é solta a partir do ponto de observação no alto
de uma torre, 490 metros acima do solo. Encontre a velocidade da bola após 5 segundos.
Solução. Por meio de experimentos feitos séculos atrás, Galileu descobriu que a dis-
tância percorrida por qualquer objeto em queda livre é proporcional ao quadrado do
tempo em que ele esteve caindo (esse modelo para a queda livre despreza a resistência
do ar). Se a distância percorrida após t segundos for chamada s(t ) e medida em metros,
então a Lei de Galileu pode ser expressa pela equação
s(t )= 4,9t 2
Dr. Jorge L D Rodríguez Cálculo Diferencial e Integral
D
R.
JO
RG
E
D
O
M
ÍN
G
U
EZ
Pág. 32 Capítulo 2. Limites e Continuidade
A dificuldade em encontrar a velocidade após 5 segundos está em tratarmos de um
único instante de tempo (t = 5), ou seja, não temos um intervalo de tempo. Porém,
podemos aproximar a quantidade desejada calculando a velocidade média sobre o
breve intervalo de tempo de um decimo de segundo, de t = 5 até t = 5,1:
Velocidade Média = Distância Percorrida
Tempo Percorrido
= s(5,1)− s(5)
0,1
= 4,9(5,1)
2−4,9(5)2
0,1
= 49,49 m/s
Vejamos alguns resultados de cálculos similares da velocidade média em períodos de
tempo cada vez menores.
intervalo Velocidade média (m/s)
5≤ t ≤ 6 53,9
5≤ t ≤ 5,1 49,49
5≤ t ≤ 5,05 49,245
5≤ t ≤ 5,01 49,049
5≤ t ≤ 5,001 49,0049
Fica evidente que, à medida que encurtamos o período de tempo, a velocidade média
fica cada vez mais próxima de 49 m/s. A velocidade instantânea quando t = 5 é definida
como o valor limite dessas velocidades médias em períodos de tempo cada vez menores,
começando em t = 5. Assim, a velocidade instantânea após 5 segundos é
v = 498 m/s
Na realidade, há uma estreita relação entre os problemas da tangente e do
cálculo de velocidades. Se traçarmos o gráfico da função distância percorrida pela bola
e considerarmos os pontos P (a;4;9a2) e Q(a+h;4;9(a+h)2) sobre o gráfico,
Figura 16: Tangente e Velocidade
então a inclinação da reta secante PQ é
mPQ = 4,9(a+h)
2−4,9a2
(a+h)−a
que é igual à velocidade média no intervalo de tempo [a, a+h]. Logo, a velocidade no
instante t = a (o limite dessas velocidades médias quando h tende a 0) deve ser igual à
inclinação da reta tangente em P (o limite das inclinações das retas secantes).
Cálculo Diferencial e Integral Dr. Jorge L D Rodríguez
D
R.
JO
RG
E
D
O
M
ÍN
G
U
EZ
2.2. O Limite de uma Função Pág. 33
2.2 O Limite de uma Função
Imagine uma pessoa caminhando sobre um terreno representado pelo gráfico
de y = f (x). Sua posição horizontal é medida pelo valor de x, bem como a posição
dada por um mapa do território ou sistema de posicionamento global. Sua altitude é
dada pela coordenada y . Está deslocando-se na direção na posição horizontal dada por
x = p. Como ela faz isso, percebe que se aproxima da altitude L. Se mais tarde, pedir-se
para adivinhar-se a altitude sobre x = p, se responderia L, mesmo se jamais tenha se
chegado a essa posição.
Qual é, então, o significado de dizer-se que sua altitude se aproxima de L? Isto
significa que sua altitude aproxima-se mais e mais de L exceto para um possível erro em
precisão. Por exemplo, suponha que definir uma meta de precisão para o nosso viajante:
ela deve começar dentro de dez metros de L. Ela relata que na verdade pode começar
dentro de dez metros de L, desde que observa que, quando está dentro de cinquenta
metros horizontais de L. Em seguida, mudamos nossa meta de precisão: ela pode
começar dentro de um metro? Sim. Se ela está dentro de sete metros horizontais de x0,
então sua altitude permanece dentro de um metro da meta L. Em suma, diz-se que a
altitude do viajante aproxima-se de L como sua posição horizontal aproxima-se de x0
significa que para cada meta de precisão em relação ao alvo, há algum proximidade x0
cuja altitude permanece dentro desse objetivo precisão.
2.2.1 Definição Intuitiva
A declaração inicial informal pode agora ser explicada: O limite de uma fun-
ção f (x) com x aproximando-se de x0 é um numero L com a seguinte propriedade:
“ Dada qualquer distância de meta de L, existe uma distância de x0 dentro
dos valores de f (x) permanecendo dentro da distância alvo. ”
Esta declaração explícita é bastante próxima da definição formal de limite de
uma função com valores em um espaço topológico.
Definition 2.2.1
Dizemos que o limite de f (x) quando x tende a x0 é igual a L, e escrevemos
lim
x→x0
f (x)= L (2.1)
se pudermos tomar os valores de f (x) arbitrariamente próximos de L (tão próximos
de L quanto quisermos), tomando x suficientemente proximo de x0 (por ambos
dos lados de x0), mas não igual a x0.
Observação 2.2.1. Isso significa que os valores de f (x) ficam cada vez mais próximosdo
numero L a medida que x tende a x0 (por qualquer lado de x0), mas x 6= x0.
Preste atenção na frase “ x 6= x0” na definição de limite. Isso significa que ao
procurar o limite de f (x) quando x tende a x0 nunca consideramos x = x0. Na realidade,
f (x) não precisa sequer estar definida quando x = x0. A única coisa que importa é como
f está definida próximo de x0.
A definição de limite apresentada anteriormente é “intuitiva” porque as expressões
arbitrariamente próximos e suficientemente próximos são imprecisas; seu significado
depende do contexto. Para um metalúrgico que fabrica um pistão, próximo pode
significar alguns milésimos de centímetro. Para um astrônomo que estuda galáxias
Dr. Jorge L D Rodríguez Cálculo Diferencial e Integral
D
R.
JO
RG
E
D
O
M
ÍN
G
U
EZ
Pág. 34 Capítulo 2. Limites e Continuidade
distantes, próximo pode significar alguns milhares de anos-luz. Entretanto, a definição
apresentada é suficientemente clara para permitir o reconhecimento e a avaliação dos
limites de várias funções especificas.
Exemplo 2.2.1. Encontre o valor de
lim
t→0
p
t 2+9−3
t 2
Solução. Note que
p
t 2+9−3
t 2
=
p
t 2+9−3
t 2
·
p
t 2+9+3p
t 2+9+3
=
(p
t 2+9
)2−32
t 2(
p
t 2+9+3)
= t
2
t 2(
p
t 2+9+3)
= 1p
t 2+9+3
uma vez que t → 0 mas t 6= 0, temos
lim
t→0
p
t 2+9−3
t 2
= lim
t→0
1p
t 2+9+3
= 1
6
Exemplo 2.2.2. Encontre
lim
x→0
sen x
x
Solução. A função f (x)= sen xx não está definida quando x = 0. Temos a tabela
x f (x)
±1,0 0,84147098
±0,5 0,95885108
±0,4 0,97354586
±0,3 0,98506736
±0,2 0,99334665
±0,1 0,99833417
±0,05 0,99958339
±0,01 0,99998333
±0,005 0,99999583
±0,001 0,99999983
Tabela 1: Tabulação para f (x)= sen x
x
Da tabela temos que,
lim
x→0
sen x
x
= 1
Cálculo Diferencial e Integral Dr. Jorge L D Rodríguez
D
R.
JO
RG
E
D
O
M
ÍN
G
U
EZ
2.2. O Limite de uma Função Pág. 35
Figura 17: Função f (x)= sen x
x
Exemplo 2.2.3. Encontre
lim
x→0 sen
(pi
x
)
Solução. A função f (x) = sen (pix ) não esta definida em 0. Vejamos as imagens dela
para pequenos valores de x,
f (1)= senpi= 0, f
(
1
4
)
= sen4pi= 0, f
(
1
2
)
= sen2pi= 0
f
(
1
3
)
= sen3pi= 0, f
(
1
10
)
= sen10pi= 0, f
(
1
100
)
= sen100pi= 0
Com base nessa informação poderíamos ser tentados a supor que
lim
x→0 sen
(pi
x
)
= 0
Dessa vez, no entanto, nossa suposição está errada. Observe que também é verdadeiro
que f (x)= 1 para infinitos valores de x que tendem a 0
sen
(pi
x
)
= 1 quando pi
x
= pi
2
+2npi,
As curvas tracejadas indicam que os valores de sen
(
pi
x
)
oscilam entre 1 e −1 infinitas
Figura 18: Função f (x)= sen
(pi
x
)
vezes quando x tende a zero. Uma vez que os valores de f (x) não tendem a um numero
fixo quando x tende a 0,
lim
x→0 sen
(pi
x
)
= 0 @
Dr. Jorge L D Rodríguez Cálculo Diferencial e Integral
D
R.
JO
RG
E
D
O
M
ÍN
G
U
EZ
Pág. 36 Capítulo 2. Limites e Continuidade
2.2.1.1 Limites Laterais
Para ter um limite L quando x se aproxima de x0, uma função f deve ser definida
em ambos os lados de x0 e seus valores de f (x) devem se aproximar de L quando x
se aproxima de x0 de cada lado. Por isso, limites comuns são bilaterais. Se f não tem
um limite bilateral em x0, ainda pode ter um limite lateral, ou seja, um limite cuja
aproximação ocorre apenas de um lado. Se a aproximação for feita pelo lado direito,
o limite será um limite à direita. Se for pelo lado esquerdo, será um limite à esquerda.
Definition 2.2.2
1. Dizemos que o limite à esquerda de f (x) quando x tende a x0 é igual a L, e
escrevemos
lim
x→x−0
f (x)= L
se pudermos tomar os valores de f (x) arbitrariamente próximos de L , para
x suficientemente proximo de x0 e x menor que x0.
2. Dizemos que o limite à direita de f (x) quando x tende a x0 é igual a L, e
escrevemos
lim
x→x+0
f (x)= L
se pudermos tomar os valores de f (x) arbitrariamente próximos de L , para
x suficientemente proximo de x0 e x maior que x0.
Exemplo 2.2.4. Calcular lim
x→a
|x−a|
x2−a2 , a > 0.
Solução. Observe que
|x−a|
x2−a2 =

x−a
x2−a2 , x−a ≥ 0 , x 6= a
−(x−a)
x2−a2 , x−a ≤ 0 , x 6= −a
=

x−a
(x−a)(x+a) , x > a
−(x−a)
(x−a)(x+a) , x ≤ a , x 6= −a
ou,
|x−a|
x2−a2 =

1
x+a , x ∈ (a,+∞)
−1
x+a , x ∈ (−∞,−a)∪ (−a, a)
A seguir calculamos os limites laterais
lim
x→a+
|x−a|
x2−a2 = limx→a
1
x+a =
1
2a
Cálculo Diferencial e Integral Dr. Jorge L D Rodríguez
D
R.
JO
RG
E
D
O
M
ÍN
G
U
EZ
2.2. O Limite de uma Função Pág. 37
e,
lim
x→a−
|x−a|
x2−a2 = limx→a
−1
x+a =−
1
2a
Uma vez que os limites laterais existem mas são distintos concluímos que não existe o
limite.
Teorema 2.2.1
O limite de uma função existe, sempre que os limites laterais existam e sejam
iguais.
Exemplo 2.2.5. Considere a função no gráfico a seguir:
Figura 19: Limites Laterais
Podemos dizer
1. Existe lim
x→a1
f (x)= f (a1)
2. Vemos que lim
x→a+2
f (x)= lim
x→a−2
f (x)
3. Não existe lim
x→a+3
f (x) pois lim
x→a+3
f (x) 6= lim
x→a−3
f (x)
Exemplo 2.2.6. A função sinal é definida por
sg n x =
 −1 se x < 00 se x = 01 se x > 0
Gráficamente, Podemos afirmar,
lim
x→0− sg n x =−1 e limx→0+ sg n x = 1
Como os limites à esquerda e à direita não são iguais, o limite bilateral não existe. A
desigualdade dos limites laterais implica a inexistência do limite bilateral.
Dr. Jorge L D Rodríguez Cálculo Diferencial e Integral
D
R.
JO
RG
E
D
O
M
ÍN
G
U
EZ
Pág. 38 Capítulo 2. Limites e Continuidade
Figura 20: Função Sinal
Exemplo 2.2.7. Seja
f (x)=

x+5 se x <−3p
9−x2 se −3≤ x ≤ 3
3−x se x > 3
1. Faça um esboço do gráfico de f
2. Ache os limites laterais nos pontos x =−0 e x = 3.
Solução. Dado que as funções são conhecidas (retas e circunferências), podemos
construir o gráfico
Figura 21: Função Composta
lim
x→−3− f (x)= limx→−3−(x+5)= 2 e limx→−3+ f (x)= limx→−3+
√
9−x2 = 0
Como lim
x→−3− f (x) 6= limx→−3+ f (x), então limx→−3 f (x) não existe.
lim
x→3− f (x)= limx→3−
√
9−x2 = 0 e lim
x→3+
f (x)= lim
x→3+
(3−x)= 0
Como lim
x→3− f (x)= limx→3+ f (x), então limx→−3 f (x) existe e é igual a zero.
Cálculo Diferencial e Integral Dr. Jorge L D Rodríguez
D
R.
JO
RG
E
D
O
M
ÍN
G
U
EZ
2.2. O Limite de uma Função Pág. 39
2.2.2 Definição Precisa de Limite
Consideremos a função
f (x)=
{
2x−1 se x 6= 3
6 se x = 3
Isso é intuitivamente claro quando x está próximo de 3, mas x 6= 3, então f (x) está
próximo de 5, e sendo assim, lim
x→3 f (x)= 5.
Para obter informações mais detalhadas sobre como f (x) varia quando x está
próximo de 3, fazemos a seguinte pergunta:
Quão próximo de 3 deverá estar x para que f (x) defira de 5 por menos que 0,1?
A distância de x a 3 é |x −3|, e a distância de f (x) a 5 é | f (x)−5|, logo, nosso
problema é encontrar um numero δ tal que
| f (x)−5| < 0,1 se |x−3| < δ mas x 6= 3.
Equivalentemente,
| f (x)−5| < 0,1 se 0< |x−3| < δ.
Note que 0< |x−3| < 0,1
2
= 0,5, então
| f (x)−5| = |(2x−1)−5| = |2x−6| = 2|x−3| < 0,1
isto é,
| f (x)−5| < 0,1 se |x−3| < 0,05
Assim, uma resposta para o problema é dada por δ= 0,05; isto é, se x estiver
a uma distância de no máximo 0,05 de 3, então f (x) estaria a uma distância de no
máximo 0,1 de 5.
Se mudarmos o numero 0,1 em nosso problema para um numero menor 0,01,
então usando o mesmo método achamos que f (x) diferirá de 5 por menos que 0,01,
desde que x difira de 3 por menos que (0,01)/2= 0,005:
| f (x)−5| < 0,01 se |x−3| < 0,005
Analogamente,
| f (x)−5| < 0,001se |x−3| < 0,0005
Os números 0,1, 0,01 e 0,001, anteriormente considerados, são chamados erros
de tolerância (ou simplesmente tolerância) que podemos admitir. Para que o numero
5 seja precisamente o limite de f (x), quando x tende a 3, devemos não apenas ser
capazes de tornar a diferença entre f (x) e o 5 menor que cada um desses três números;
devemos ser capazes de tornar a diferença menor que qualquer numero positivo. E,
por analogia ao procedimento adotado, nós podemos. Se chamarmos ε (a letra grega
épsilon) a um numero positivo arbitrário, então encontramos, como anteriormente,
que
| f (x)−5| < ε se |x−3| < δ= ε
2
.
Esta é uma maneira precisa de dizer que f (x) está próximo de 5 quando x está
próximo de 3, pois podemos fazer os valores de f (x) dentro de uma distância arbitrária
ε de 5 tomando os valores de x dentro de uma distância ε2 de 3, mas x 6= 3.
Dr. Jorge L D Rodríguez Cálculo Diferencial e Integral
D
R.
JO
RG
E
D
O
M
ÍN
G
U
EZ
Pág. 40 Capítulo 2. Limites e Continuidade
Definition 2.2.3
Seja f uma função definida sobre algum intervalo aberto que contém o numero x0,
exceto possivelmente no próprio x0. Então dizemos que o limite de f (x) quando x
tende a x0 é L, e escrevemos
lim
x→x0
f (x)= L
se para todo numero ε> 0 há um numero correspondente δ> 0 tal que
| f (x)−L| < ε sempr e que 0< |x−x0| < δ.
Uma vez que |x−x0| é a distância de x a x0 e | f (x)−L| é a distância de f (x) a L,
e como ε pode ser arbitrariamente pequeno, a definição de um limite pode ser expressa
em palavras da seguinte forma:
lim
x→x0
f (x)= L significa que a distância entre f (x) e L pode ser arbitrariamente
pequena tomando-se a distância de x a x0 suficientemente pequena (mas não 0).
Exemplo 2.2.8. Prove que
lim
x→3(4x−5)= 7.
Prova.
1. Conjecturando um valor para δ.
Seja ε um numero positivo dado. Devemos encontrar um numero δ tal que
|(4x−5)−7| < ε sempr e que 0< |x−3| < δ.
Mas |(4x−5)−7| = |4x−12| = 4|x−3|. Portanto, queremos
4|x−3| < ε sempr e que 0< |x−3| < δ
isto é,
|x−3| < ε
4
sempr e que 0< |x−3| < δ
Isso sugere que poderíamos escolher
δ= ε
4
2. Mostrando que esse δ funciona.
Dado ε> 0, escolha δ= ε4 . Se 0< |x−3| < δ, então
|(4x−5)−7| = |4x−12| = 4|x−3| < 4δ= 4
(ε
4
)
= ε.
Assim,
|(4x−5)−7| < ε sempr e que 0< |x−3| < δ.
Portanto, pela definição de limite
lim
x→3(4x−5)= 7.
As definições intuitivas de limites laterais, vistas anteriormente, podem ser
reformuladas precisamente da seguinte maneira:
Cálculo Diferencial e Integral Dr. Jorge L D Rodríguez
D
R.
JO
RG
E
D
O
M
ÍN
G
U
EZ
2.2. O Limite de uma Função Pág. 41
Definition 2.2.4: Limite Esquerdo
lim
x→x+0
f (x)= L
se para todo ε> 0 houver um numero correspondente δ> 0 tal que
| f (x)−L| < ε sempr e que x0−δ< x < x0
Definition 2.2.5: Limite Direito
lim
x→x+0
f (x)= L
se para todo ε> 0 houver um numero correspondente δ> 0 tal que
| f (x)−L| < ε sempr e que x0 < x < x0+δ
Exemplo 2.2.9. Prove que
lim
x→0+
p
x = 0
Prova.
1. Conjecturando um valor para δ.
Seja ε um numero positivo dado. Aqui a = 0 e L = 0; logo, queremos encontrar
um numero δ tal que
|px−0| < ε sempr e que 0< x < δ,
isto é, p
x < ε sempr e que 0< x < δ,
ou, elevando ao quadrado ambos os lados da desigualdade
p
x < ε, obtemos
x < ε2 sempr e que 0< x < δ.
Isso sugere que devemos escolher δ= ε2.
2. Mostrando que esse δ funciona.
Dado ε> 0, ou seja δ= ε2. Se 0< x < δ, então
p
x <
p
δ=
√
ε2 = ε.
Dr. Jorge L D Rodríguez Cálculo Diferencial e Integral
D
R.
JO
RG
E
D
O
M
ÍN
G
U
EZ
Pág. 42 Capítulo 2. Limites e Continuidade
2.2.3 Propriedades do Limite de Funções
Para calcular limites de funções por métodos mais simples, usaremos as “ Pro-
priedades de Limites”.
Seja c uma constante e suponha que existam os limites
lim
x→x0
f (x) e lim
x→x0
g (x)
Então,
1. lim
x→x0
[
f (x)± g (x)]= lim
x→x0
f (x)± lim
x→x0
g (x)
2. lim
x→x0
[
c f˙ (x)
]= c · lim
x→x0
f (x)
3. lim
x→x0
[
f (x) · g (x)]= lim
x→x0
f (x) · lim
x→x0
g (x)
4. lim
x→x0
[
f (x)
g (x)
]
=
lim
x→x0
f (x)
lim
x→x0
g (x)
se lim
x→x0
g (x) 6= 0
5. lim
x→x0
(mx+b)=mx0+b, se m e b forem constantes quaisquer.
6. Se c for uma constante, então para qualquer numero x0: lim
x→x0
c = c.
7. lim
x→x0
x = x0
8. Se lim
x→x0
f1(x)= L1, lim
x→x0
f2(x)= L2, . . . , e lim
x→x0
fn(x)= Ln , então
lim
x→x0
[
f1(x)± f2(x)± . . .± fn(x)
]= L1±L2± . . .±Ln
9. Se lim
x→x0
f1(x)= L1, lim
x→x0
f2(x)= L2, . . . , e lim
x→x0
fn(x)= Ln , então
lim
x→x0
[
f1(x) · f2(x) · . . . · fn(x)
]= L1 ·L2 · . . . ·Ln
10. lim
x→x0
[
f (x)
]n = [ lim
x→x0
f (x)
]n
, onde n é um inteiro positivo.
11. lim
x→x0
n
√
f (x)= n
√
lim
x→x0
f (x), onde n é um inteiro positivo.1
Exemplo 2.2.10. Ache o lim
x→3(x
2+7x−5).
1 Com a restrição de que se n for par, lim
x→x0
f (x)> 0.
Cálculo Diferencial e Integral Dr. Jorge L D Rodríguez
D
R.
JO
RG
E
D
O
M
ÍN
G
U
EZ
2.2. O Limite de uma Função Pág. 43
Solução.
lim
x→3(x
2+7x−5) = lim
x→3 x
2+ lim
x→3 7x− limx→3 5
= lim
x→3 x · limx→3 x+ limx→3 7 · limx→3 x− limx→3 5
= 3 ·3+7 ·3−5
= 25
Exemplo 2.2.11. Ache o seguinte limite lim
x→2
x3−6x+7
x2+1
Solução. Utilizando as propriedades básicas de limites
lim
x→2
x3−6x+7
x2+1 =
lim
x→2(x
3−6x+7)
lim
x→2(x
2+1)
=
lim
x→2 x
3−6 lim
x→2 x+ limx→2 7
lim
x→2 x
2+ lim
x→2 1
= 2
3−6 ·2+7
22+1 =
3
5
Teorema 2.2.2: Propriedade da Substituição Direta.
Se f for uma função polinomial ou racional e x0 estiver no domínio de f , então
lim
x→x0
f (x)= f (x0)
Exemplo 2.2.12. Calcule lim
x→2 x
3−x2+1
Solução. Observe que f (x)= x3−x2+1 é um polinómio e f (2)= (2)3−22+1= 5, então
lim
x→2 x
3−x2+1= 5
Dr. Jorge L D Rodríguez Cálculo Diferencial e Integral
D
R.
JO
RG
E
D
O
M
ÍN
G
U
EZ
Pág. 44 Capítulo 2. Limites e Continuidade
Exemplo 2.2.13. Ache o seguinte limite lim
x→1
p
2x+7−3
(x2−1)
Solução. Racionalizando as raízes e aplicando diferença de quadrados temos,
lim
x→1
p
2x+7−3
(x2−1) = limx→1
p
2x+7−3
(x2−1) ×
p
2x+7+3p
2x+7+3
= lim
x→1
(p
2x+7)2−32
(x2−1)(p2x+7+3)
= lim
x→1
2x+7−9
(x−1)(x+1)(p2x+7+3)
= lim
x→1
2(x−1)
(x−1)(x+1)(p2x+7+3)
= lim
x→1
2
(x+1)(p2x+7+3)
= 2
(1+1)(p2+7+3) =
1
6
Exemplo 2.2.14. Ache o seguinte limite lim
x→2
x−p3x−2
x2−4
Solução. Racionalizando as raízes e aplicando diferença de quadrados temos,
lim
x→2
x−p3x−2
x2−4 = limx→2
x−p3x−2
x2−4 ×
x+p3x−2
x+p3x−2
= lim
x→2
x2− (p3x−2)2
(x2−4)(x+p3x−2)
= lim
x→2
x2−3x+2
(x−2)(x+2)(x+p3x−2)
= lim
x→2
(x−2)(x−1)
(x−2)(x+2)(x+p3x−2)
= lim
x→2
x−1
(x+2)(x+p3x−2)
= 2−1
(2+2)(2+p3(2)−2) =
1
16
Cálculo Diferencial e Integral Dr. Jorge L D Rodríguez
D
R.
JO
RG
E
D
O
M
ÍN
G
U
EZ
2.2. O Limite de uma Função Pág. 45
Exemplo 2.2.15. Ache o seguinte limite lim
x→0
p
1−x−1
3
p
1−x−1
Solução. Racionalizando as raízes quadradas e cúbicas temos,
lim
x→0
p
1+x−1
3
p
1+x−1 = limx→0
p
1+x−1
3
p
1+x−1 ×
p
1+x+1
3
p
1+x+1 ×
( 3p1+x)2+ 3p1+x+1( 3p1+x)2+ 3p1+x+1
= lim
x→0
(p
1+x−1)(p1+x+1)( 3p1+x−1)[( 3p1+x)2+ 3p1+x+1] ×
( 3p1+x)2+ 3p1+x+1
3
p
1+x+1
= lim
x→0
(p
1+x)2−1( 3p1+x)3−1 ×
( 3p1+x)2+ 3p1+x+1
3
p
1+x+1
= lim
x→0
x
x
×
( 3p1+x)2+ 3p1+x+1
3
p
1+x+1
= lim
x→0
( 3p1+x)2+ 3p1+x+1
3
p
1+x+1
=
( 3p1)2+ 3p1+1
3
p
1+1 =
3
2
Os próximos dois Teoremas dão duas propriedades adicionais delimites. Suas
provas podem ser encontradas em livros de Cálculo.
Teorema 2.2.3
Se f (x)< g (x) quando x está próximo de x0 e os limites de f e g existem quando x
tende a x0, então
lim
x→x0
f (x)≤ lim
x→x0
g (x)
Teorema 2.2.4: Teorema do Confronto
Se f (x)≤ g (x)≤ h(x) quando x está proximo de x0 e
lim
x→x0
f (x)= lim
x→x0
h(x)= L
então,
lim
x→x0
g (x)= L
Dr. Jorge L D Rodríguez Cálculo Diferencial e Integral
D
R.
JO
RG
E
D
O
M
ÍN
G
U
EZ
Pág. 46 Capítulo 2. Limites e Continuidade
O Teorema do Confronto, algumas vezes chamado Teorema do Sanduíche ou
Teorema da Espremedura, diz que se g (x) ficar espremido entre f (x) e h(x) nas proxi-
midades de x0, e se f e h tiverem o mesmo limite L em x0, então g será forçado a ter o
mesmo limite L em x0.
Exemplo 2.2.16. Ache o seguinte limite lim
x→0 x
2 sen
(
1
x10
)
Solução. Note que, sempre temos
−1≤ sen
(
1
x10
)
≤ 1
Logo, multiplicando ambos lados das desigualdades pela quantidade positiva x2, tem-se
−x2 ≤ x2 sen
(
1
x10
)
≤ x2
Então, podemos aplicar o Teorema do Confronto, sendo que
lim
x→0(−x
2)= 0 e lim
x→0 x
2 = 0
Logo,
lim
x→0 x
2 sen
(
1
x10
)
= 0
Exemplo 2.2.17. Ache o seguinte limite lim
x→0 x
8 sen
(
x+1
x
)
.
Solução. Dado que
−1≤ sen
(
1
x
)
≤ 1,
multiplicando por x2, temos
−x2 ≤ x2 sen
(
1
x
)
≤ x2,
Sabemos que
lim
x→0
(−x2)= 0 e lim
x→0 x
2 = 0
Por tanto, aplicando o Teorema do Confronto podemos concluir com a demonstração.
Exemplo 2.2.18. Mostre que
lim
x→0 x
2 sen
(
1
x
)
= 0.
Solução. Note que, sempre temos
−1≤ sen
(
x+1
x
)
≤ 1
Cálculo Diferencial e Integral Dr. Jorge L D Rodríguez
D
R.
JO
RG
E
D
O
M
ÍN
G
U
EZ
2.2. O Limite de uma Função Pág. 47
Logo, multiplicando ambos lados das desigualdades pela quantidade positiva x8, tem-se
−x8 ≤ x8 sen
(
x+1
x
)
≤ x8
Então, podemos aplicar o Teorema do Confronto, sendo que
lim
x→0(−x
2)= 0 e lim
x→0 x
2 = 0
Logo,
lim
x→0 x
8 sen
(
x+1
x
)
= 0
2.2.4 Limites Infinitos
Discutiremos aqui funções cujos valores aumentam ou diminuem sem limita-
ção, quando a variável independente aproxima-se cada vez mais de um numero fixo.
Primeiro consideraremos a função definida por
f (x)= 3
(x−2)2
O domínio de f é o conjunto de todos os números reais exceto 2 e a imagem é o conjunto
de todos os números positivos. Vamos analisar os valores funcionais de f quando x está
próximo de 2. Façamos x aproximar-se de 2 pela direita e pela esquerda, percebe-se
x f (x)
3 3
2,5 12
2,25 48
2,1 300
2,01 30000
2,001 3000000
x f (x)
1 3
1,5 12
1,75 48
1,9 300
1,99 30000
1,999 3000000
Tabela 2: Limites infinitos f (x)= 3
(x−2)2
intuitivamente que à medida que x se aproxima de 2 por valores maiores do que 2,
f (x) cresce indefinidamente. Em outras palavras, podemos tornar f (x) maior do que
qualquer numero positivo prefixado (isto é, f (x) pode se tornar tão grande quanto
desejarmos) para todos os valores de x suficientemente próximos de 2 e x maior do que
2.
Para indicar que f (x) cresce indefinidamente quando x tende a 2 por valores
maiores do que 2, escrevemos
lim
x→2+
3
(x−2)2 =+∞
Analogamente, temos
lim
x→2−
3
(x−2)2 =+∞
Dr. Jorge L D Rodríguez Cálculo Diferencial e Integral
D
R.
JO
RG
E
D
O
M
ÍN
G
U
EZ
Pág. 48 Capítulo 2. Limites e Continuidade
Figura 22: Função f (x)= 3
(x−2)2
Observação 2.2.2. Isso não significa que consideramos∞ como um numero. Tampouco
significa que o limite exista. É simplesmente uma maneira de expressar uma forma
particular da não-existência do limite.
Em geral, simbolicamente, escrevemos
lim
x→x0
f (x)=∞
para indicar que os valores de f (x) tendem a se tornar cada vez maiores (ou “a crescer
ilimitadamente”), à medida que x se tornar cada vez mais próximo de x0.
Definition 2.2.6
Seja f uma função definida em ambos os lados de x0, exceto possivelmente em x0.
Então
lim
x→x0
f (x)=∞
significa que podemos fazer os valores de f (x) ficarem arbitrariamente grandes
(tão grandes quanto quisermos) tomando x suficientemente próximo de x0, mas
não igual a x0.
Definition 2.2.7
Seja f uma função definida em ambos os lados de x0, exceto possivelmente em x0.
Então
lim
x→x0
f (x)=−∞
significa que podemos fazer os valores de f (x) ficarem arbitrariamente grandes,
porém negativos,ao tomarmos valores de x suficientemente próximo de x0, mas
não igual a x0.
Cálculo Diferencial e Integral Dr. Jorge L D Rodríguez
D
R.
JO
RG
E
D
O
M
ÍN
G
U
EZ
2.2. O Limite de uma Função Pág. 49
Definições similares podem ser dadas no caso de limites laterais
lim
x→x−0
f (x)=∞ lim
x→x+0
f (x)=∞
lim
x→x−0
f (x)=−∞ lim
x→x+0
f (x)=−∞
Exemplo 2.2.19. Ache o limite lim
x→1+
(
x−2
cos(pi2 x)
)
Solução. Analisando por separado, note que o numerador x −2 aproximasse de −1,
quando x → 1+(x > 1).
Por outro lado, cos(pi2 x) fica perto do zero, mas
pi
2 x esta no segundo quadrante
quando x → 1+(x > 1), onde o cosseno é negativo.
Então,
lim
x→1+
(
x−2
cos(pi2 x)
)
=+∞
Exemplo 2.2.20. Ache o limite lim
x→5+
x+1
x−5
Solução. Analisando por separado, note que o numerador x + 1 aproximasse de 6,
quando x → 5+(x > 5).
Por outro lado, x −5 fica perto do zero, mas com valores pequenos positivos
quando x → 5+(x > 5).
Então,
lim
x→5+
x+1
x−5 =+∞
Teorema 2.2.5
Se r for um inteiro positivo qualquer, então
(i) lim
x→0+
1
xr
=+∞
(ii) lim
x→0−
1
xr
=
{ −∞ se r for i mpar
+∞ se r f or par
Exemplo 2.2.21. Calcule lim
x→2
4
(x−2)3
Dr. Jorge L D Rodríguez Cálculo Diferencial e Integral
D
R.
JO
RG
E
D
O
M
ÍN
G
U
EZ
Pág. 50 Capítulo 2. Limites e Continuidade
Solução. Devemos analisar os limites laterais,
lim
x→2+
4
(x−2)3 = limx>2
4
(x−2)3
Note que quando x > 2, os valores de x − 2 > 0, então (x − 2)3 aproximasse de zero
positivamente, então
lim
x→2+
4
(x−2)3 =+∞
Analogamente,
lim
x→2+
4
(x−2)3 = limx<2
4
(x−2)3
Observa-se que quando x < 2, os valores de x−2< 0, então (x−2)3 aproximasse de zero
negativamente, então
lim
x→2+
4
(x−2)3 =−∞
Exemplo 2.2.22. Calcule lim
x→3
1
(3x−9)4
Solução. Observe que o termo (3x−9)4 é sempre positivo pois tem expoente par, então
para valores x > 3 ou x < 3 ele sempre aproxima-se de zero positivamente, porem
lim
x→3
1
(3x−9)4 =+∞
Teorema 2.2.6
Se x0 for um numero real qualquer e se lim
x→x0
f (x)= 0 e lim
x→x0
g (x)= c, onde c é uma
constante não nula, então
(i) Se c > 0 e se f (x)→ 0 por valores positivos de f (x),
lim
x→x0
g (x)
f (x)
=+∞;
(ii) Se c > 0 e se f (x)→ 0 por valores negativos de f (x),
lim
x→x0
g (x)
f (x)
=−∞;
(i) Se c < 0 e se f (x)→ 0 por valores positivos de f (x),
lim
x→x0
g (x)
f (x)
=−∞;
Cálculo Diferencial e Integral Dr. Jorge L D Rodríguez
D
R.
JO
RG
E
D
O
M
ÍN
G
U
EZ
2.2. O Limite de uma Função Pág. 51
(iv) Se c < 0 e se f (x)→ 0 por valores negativos de f (x),
lim
x→x0
g (x)
f (x)
=+∞.
Exemplo 2.2.23. Ache lim
x→3+
x2+x+2
x2−2x−3
Solução.
lim
x→3+
x2+x+2
x2−2x−3 = limx→3+
x2+x+2
(x−3)(x+1)
O limite do numerador é 14 e o do denominador é 0 e esta tendendo a zero por valores
positivos. Então,
lim
x→3+
x2+x+2
x2−2x−3 =+∞
Exemplo 2.2.24. Ache lim
x→2+
p
x2−4
x−2
Solução. Como x → 2+, x−2> 0; então x−2=
√
(x−2)2. logo,
lim
x→2+
p
x2−4
x−2 = limx→2+
p
(x−2)(x+2)√
(x−2)2
= lim
x→2+
p
x−2px+2p
x−2px−2
= lim
x→2+
p
x+2p
x−2
O limite do numerador é 2 e o dodenominador é 0 e esta tendendo a zero por valores
positivos. Então,
lim
x→2+
p
x2−4
x−2 =+∞
Teorema 2.2.7
(i) Se lim
x→x0
f (x)=+∞ e lim
x→x0
g (x)= c, onde c é uma constante qualquer, então
lim
x→x0
[
f (x)+ g (x)]=+∞
Dr. Jorge L D Rodríguez Cálculo Diferencial e Integral
D
R.
JO
RG
E
D
O
M
ÍN
G
U
EZ
Pág. 52 Capítulo 2. Limites e Continuidade
(ii) Se lim
x→x0
f (x)=−∞ e lim
x→x0
g (x)= c, onde c é uma constante qualquer, então
lim
x→x0
[
f (x)+ g (x)]=−∞
Exemplo 2.2.25. Calcule lim
x→0+
(
1
x
+cos x
)
Solução. Pelo teorema anterior, temos duas funções a primeira
1
x
→+∞
quando x aproxima-se de zero positivamente e a segunda
cos x → 1
independente do lado de aproximação de x. Então
lim
x→0+
(
1
x
+cos x
)
=+∞
Teorema 2.2.8
Se lim
x→x0
f (x)=+∞ e lim
x→x0
g (x)= c, onde c é uma constante não-nula, então
(i) Se c > 0, lim
x→x0
f (x) · g (x)=+∞;
(ii) Se c < 0, lim
x→x0
f (x) · g (x)=−∞
Exemplo 2.2.26. Calcule lim
x→1
tan
(
pix
4
)
|x−1|
Solução. Observe que
lim
x→1
tan
(
pix
4
)
|x−1| = limx→1 tan
(pix
4
)
· 1|x−1|
onde, tan
(pix
4
)
→ tan
(pi
4
)
= 1p
2
, quando x → 1, e 1|x−1| →+∞, quando x → 1.
Então
lim
x→1
tan
(
pix
4
)
|x−1| = +∞
Cálculo Diferencial e Integral Dr. Jorge L D Rodríguez
D
R.
JO
RG
E
D
O
M
ÍN
G
U
EZ
2.2. O Limite de uma Função Pág. 53
Teorema 2.2.9
Se lim
x→x0
f (x)=−∞ e lim
x→x0
g (x)= c, onde c é uma constante não-nula, então
(i) Se c > 0, lim
x→x0
f (x) · g (x)=−∞;
(ii) Se c < 0, lim
x→x0
f (x) · g (x)=+∞
Exemplo 2.2.27. Calcule lim
x→1
(x−1)−2
sen
(
pix
3
)
Solução. Observe que
lim
x→1
(x−1)−2
sen
(
pi(x−2)
3
) = lim
x→1
1
(x−1)2 ·
1
sen
(
pi(x−2)
3
)
onde,
1
sen
(
pi(x−2)
3
) = − 2p
3
, quando x → 1, e 1
(x−1)2 → +∞, quando x → 1.
Então
lim
x→1
(x−1)−2
sen
(
pi(x−2)
3
) =−∞
2.2.4.1 Assíntotas Verticais
Definition 2.2.8
A reta x = a é chamada de assíntota vertical da curva y = f (x) se pelo menos uma
das seguintes condições estiver satisfeita:
lim
x→a f (x)=∞, limx→a− f (x)=∞, limx→a+ f (x)=∞,
lim
x→a f (x)=−∞, limx→a− f (x)=−∞, limx→a+ f (x)=−∞.
Exemplo 2.2.28. Encontre as assíntotas verticais de f (x)= tan x.
Solução. Como tan x = sen x
cos x
existem assíntotas verticais potenciais em que cos x = 0.
Vejamos como isto acontece ao nos aproximar de pi2 . Quando x →
(
pi
2
)− temos
cos x → 0+ e quando x → (pi2 )+ temos cos x → 0−, considerando que sen x é positivo
quando x está próximo de pi2 , temos
lim
x→(pi2 )− tan x =∞ e limx→(pi2 )+ tan x =−∞
Dr. Jorge L D Rodríguez Cálculo Diferencial e Integral
D
R.
JO
RG
E
D
O
M
ÍN
G
U
EZ
Pág. 54 Capítulo 2. Limites e Continuidade
Figura 23: Assíntotas da Função Tangente
Isso mostra que a reta x = pi2 é uma assíntota vertical. Um raciocínio análogo
mostra que as retas x = (2n+1)pi
2
, onde n é um inteiro, são todas assíntotas verticais de
f (x)= tan x.
2.2.5 Limites no Infinito
Nesta seção vamos considerar limites de funções, quando a variável indepen-
dente cresce ou diminui indefinidamente. Os símbolos +∞ e −∞, não representam
números reais, não podendo ser aplicadas a eles, portanto, as técnicas usuais de cálculo
algébrico.
A diferença entre limites infinitos e limites no infinito é bem clara, o primeiro
representa crescimento da função para determinados valores de x perto de um ponto
fixo x0 e o segundo representa um ponto do domínio crescendo de maneira rápida e
dando origem a um valor limite que poderia ser finito ou infinito.
Começaremos com a função definida por
f (x)= 2x
2
x2+1
Observe que quando x cresce, tomando valores positivos, os valores funcionais aproximam-
se de 2
Quando uma variável independente x for crescente indefinidamente, através de
valores positivos, escrevemos “ x →+∞”. Do exemplo acima, então, podemos dizer que
lim
x→+∞
2x2
x2+1 = 2.
Definition 2.2.9
Seja f uma função definida em um intervalo (a,+∞) o limite de f (x) quando x
Cálculo Diferencial e Integral Dr. Jorge L D Rodríguez
D
R.
JO
RG
E
D
O
M
ÍN
G
U
EZ
2.2. O Limite de uma Função Pág. 55
x f(x)
0 0
1 1
2 1,6
3 1,8
4 1,882353
5 1,923077
10 1,980198
100 1,999800
1000 1,999998
Tabela 3: Limites no Infinito de f (x)= 2x
2
x2+1, x →+∞
cresce indefinidamente, é L, escrito como
lim
x→+∞ f (x)= L.
Vamos considerar a mesma função, permitindo que x decresça através de valo-
res negativos indefinidamente.
x f(x)
0 0
-1 1
-2 1,6
-3 1,8
-4 1,882353
-5 1,923077
-10 1,980198
-100 1,999800
-1000 1,999998
Tabela 4: Limites no Infinito de f (x)= 2x
2
x2+1, x →−∞
Observe que os valores funcionais para os números negativos são os mesmos
que aqueles para os números positivos correspondentes. Assim, vemos intuitivamente
que quando x decresce indefinidamente, f (x) tende a 2. Usando o símbolo x →−∞
para mostrar que a variável x decresce indefinidamente, escrevemos
lim
x→−∞
2x2
x2+1 = 2.
No gráfico vemos que, A reta x = 2 aparece como uma linha pontilhada, cha-
mada assíntota horizontal.
Dr. Jorge L D Rodríguez Cálculo Diferencial e Integral
D
R.
JO
RG
E
D
O
M
ÍN
G
U
EZ
Pág. 56 Capítulo 2. Limites e Continuidade
Figura 24: Gráfico de f (x)= 2x
2
x2+1
Definition 2.2.10
Seja f uma função definida em um intervalo (−∞, a) o limite de f (x) quando x
decresce indefinidamente, é L, escrito como
lim
x→−∞ f (x)= L.
Teorema 2.2.10
Se r for um inteiro positivo qualquer, então
(i) lim
x→+∞
1
xr
= 0
(ii) lim
x→−∞
1
xr
= 0
Exemplo 2.2.29. Ache lim
x→−∞
2x2−x+5
4x3−1
Solução. Neste exemplo, dividimos o numerador e o denominador pela maior potên-
Cálculo Diferencial e Integral Dr. Jorge L D Rodríguez
D
R.
JO
RG
E
D
O
M
ÍN
G
U
EZ
2.2. O Limite de uma Função Pág. 57
cia de x que ocorre neles; neste caso, x3.
lim
x→−∞
2x2−x+5
4x3−1 = limx→−∞
2x2−x+5
x3
4x3−1
x3
= lim
x→−∞
2
x
− 1
x2
+ 5
x3
4− 1
x3
=
lim
x→−∞
2
x
− lim
x→−∞
1
x2
+ lim
x→−∞
5
x3
4− lim
x→−∞
1
x3
= 2 ·0−0+5 ·0
4−0 = 0
Definition 2.2.11
O limite “infinito” para valores da função quando a variável independente se apro-
xima do infinito também pode ser considerado por meio das seguintes definições
formais:
lim
x→+∞ f (x)=+∞, limx→−∞ f (x)=+∞
lim
x→+∞ f (x)=−∞, limx→−∞ f (x)=−∞
Exemplo 2.2.30. Ache lim
x→+∞
2x−x2
3x+5
Solução. Dividimos por x2
lim
x→+∞
2x−x2
3x+5 = limx→+∞
2
x
−1
3
x
+ 5
x2
=
lim
x→+∞
2
x
−1
lim
x→+∞
3
x
+ lim
x→+∞
5
x2
= 0−1
0+0 = −∞
2.2.5.1 Assíntotas Horizontais
As assíntotas horizontais de um gráfico fornecem uma aplicação de limites no
infinito. Uma assíntota horizontal é uma reta paralela ao eixo x.
Dr. Jorge L D Rodríguez Cálculo Diferencial e Integral
D
R.
JO
RG
E
D
O
M
ÍN
G
U
EZ
Pág. 58 Capítulo 2. Limites e Continuidade
Figura 25: Gráfico f (x)= 2x−x
2
3x+5
Definition 2.2.12
A reta y = b é denominada uma assíntota horizontal do gráfico da função f se
pelo menos uma das seguintes afirmações for válida:
(i) lim
x→+∞ f (x)= b;
(ii) lim
x→−∞ f (x)= b.
Exemplo 2.2.31. Ache as assíntotas horizontais e faça um esboço do gráfico da função
definida por
f (x)= xp
x2+1
Solução. Considere
lim
x→+∞ f (x)= limx→+∞
xp
x2+1
Dividimos por
p
x2 ou por |x| e obtemos
lim
x→+∞
xp
x2+1
= lim
x→+∞
xp
x2√
x2+1
x2
= lim
x→+∞
x
|x|√
1+ 1
x2
Cálculo Diferencial e Integral Dr. Jorge L D Rodríguez
D