Equações de Movimento Exercícios Resolvidos

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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO 
FUNDAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DA GRANDE DOURADOS 
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA 
 
1 
 
FÍSICA – EQUAÇÕES DE MOVIMENTO 
 
MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL 
- Ausência de movimento: 
Atx )(
 (1) 
Ex.: 𝑥(𝑡) = 3 
 
 
 
- Movimento com velocidade constante; 
BtAtx )(
 (2) 
Ex.: 𝑥(𝑡) = 0,5 + 2𝑡 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2 
 
- Movimento com aceleração constante: 
2)( CtBtAtx 
 (3) 
Ex.: 𝑥(𝑡) = 3 − 2𝑡 + 0,5𝑡2 
 
 
A: posição inicial (m) 
B: velocidade inicial (m/s) 
C: aceleração (m/s
2
) 
 
A, B e C são valores constantes. 
 
- O gráfico da posição em função do tempo para (1) é uma reta paralela ao eixo do 
tempo (eixo x); 
- O gráfico da posição em função do tempo para (2) é uma reta que pode ter inclinações 
diferentes em relação ao eixo do tempo; 
- O gráfico da posição em função do tempo para (3) é uma parábola. 
 
Velocidade Média: 
t
x
tt
xx
v






12
12
 (4) 
Velocidade Instantânea: 
dt
dx
t
x
v
t




 0
lim
 (5) 
Aceleração média: 
t
v
tt
vv
a
o
o






 (6) 
Aceleração instantânea: 
dt
dv
t
v
a
t




 0
lim
 (7) 
Considere 
0





t
vv
t
v
a o
→ 
atvv o 
 (8) 
Se o gráfico de v(t) for uma reta, podemos escrever: 
1
( )
2
ov v v 
 (9) 
 
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3 
 
Usando o resultado de (8) para simplificar (9): 
atvv o
2
1

(10) 
Combinando as equações (4), com t1 = 0, e (10), com t2 = t: 
2
2
1
attvxx oo 
 (11) 
E por último, mas sem demonstração: 
)(222 oo xxavv 
 (12) 
 
MOVIMENTO EM DUAS DIMENSÕES 
Posição, velocidade e aceleração 
Os vetores posição, velocidade e aceleração de um objeto que se movimenta no plano xy 
são dados por: 
 
   
2 2
2 2
x y x y
yx
x y
yx
x y
r t xi yj
d d dx dy
v r t xi yj i j
dt dt dt dt
v i v j v v
dvdv
a i j a i a j
dt dt
dvdv d x d y
a a
dt dt dt dt
 
    
   
   
    
 
 
A magnitude destes vetores é dada por: 
2 2
2 2
2 2
x y
x y
r r x y
v v v v
a a a a
  
  
  
 
 
Quadro geral para x e y: 
2 21 1
2 2
2 2 2 2
 y
 
2 2
o ox x o oy y
x ox x y oy y
x ox x y oy y
x x v t a t y v t a t
v v a t v v a t
v v a x v v a y
     
   
   
 
 
O que pode ser escrito de maneira mais simples na forma vetorial: 
2
constante
o
o
r r v t at
v v at
a
  
 

 
 
Movimento (lançamento) de projéteis 
Considere a figura abaixo 
 
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4 
 
 
Fig. 1 – Lançamento de projétil 
Desprezando a resistência do ar e assumindo que 
210 /g m s
, temos que o movimento 
de um projétil pode ser analisado como formado por dois movimentos distintos: em x 
sem aceleração e em y com aceleração igual a –g. Ou seja: 
 
 
cos e sin
0 
cos constante sin
cos 
ox o o oy o o
x y
x o o y o o
o o
v v v v
a a g
v v v v gt
x v t
 
 

 
  
   
   212 y sino ov t gt 
 
 
Fig. 2 – Queda livre e lançamento horizontal 
 
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5 
 
 
Fig. 3 - movimentos distintos: em x sem aceleração e em y com aceleração igual a –g 
 
Isolando t da expressão para a posição em x, chega-se a
coso ot x v 
. Considerando 
isto, e que 
sinoy o ov v 
, substituímos na expressão da posição em y para obter: 
 
  22 2tan 2 coso o o
g
y x x
v
 
 
  
 
 
 
Que é a equação de uma parábola. 
 
Altura máxima e alcance máximo 
Considere a figura 4: 
 
Fig. 4 - Altura máxima e alcance máximo 
 
No ponto (A) a velocidade vertical é igual a zero, logo: 
 
0 sin
sin
 
yf yi y
i i A
i i
A
v v a t
v gt
v
t tempo para alcançar a altura máxima
g


 
 

 
 
 
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6 
 
Usando este resultado para substituir tA em
21
2
 y o oy yy v t a t  
, obtemos: 
 
 
2
2 2
sin sin1
sin
2
sin
2
i i i i
i i
i i
v v
h v g
g g
v
h
g
 


 
   
 

 
 
Sabendo que:
 2 
cos
B A
B
xi xB i i
t t tempo do alcance máximo é o dobro do tempo para chegar a altura máxima
x R
v v v 


 
 
Logo 
 
 
2
cos 2
2 sin 2 sin cos
 cos
xi B i i A
i i i i i
i i
R v t v t
v v
v
g g

  
 
 
 
Da identidade: 
sin 2 2sin cos   
2
2
max
sin 2
sin 2 1 2 90 45
i
o o
i i
i
v i
R
g
R máximo
v
R
g

  

      

 
 
 
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Exemplo 1 
Uma bola rola para fora de uma mesa com uma velocidade inicial de 3 m/s. A altura da 
mesa é de 1,25 m acima do piso: 
a) Quanto tempo leva para a bola atingir o chão? 
b) Até onde a bola vai horizontalmente? 
 
  
2
2 2 2
21
2
1, 25
10 /
?
1 1, 25
0,25 0,5
2 5 /
3 /
0,5
?
3,0 / 0,5
1,5
vertical
vertical
vertical
ox
horizontal
horizontal ox
horizontal
d m
a g m s
t
d m
d at t s t s
a m s
v m s
t s
d
d v t m s s
d m

 

      



 

 
 
Exemplo 2 
Uma bola é lançada do chão para o ar. À altura de 9,1 m observa-se que a velocidade é 
jiv

1,66,7 
, em m/s. (a) Que altura máxima a bola atinge? (b) Qual será a distância 
horizontal total percorrida pela bola. (c) Qual a velocidade da bola (módulo e sentido) 
quando atingir o solo? 
 
a) Altura máxima 
 
  212
6,1
9,1
y oy
oy
v t v gt
y t v t gt
  
  
 
Eliminando voy: 
2
1 24,9 6,1 9,1 0 0,87 2,12t t t t      
 
Usando t1 
 6,1 6,1 9,8 0,87 14,7 /oyv gt m s    
 
   
 
22 2
2
2 0 14,7 2 9,8
14,7
11
19,6
y oyv v a y y
y m
       

  

 
 
b) Distância horizontal 
 
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8 
 
   
2 2
1 1
7,6 14,7 16,5 /
14,7
tan tan 62,7
7,6
o
oy o
ox
v m s
v
v
  
  
   
     
  
 
   22 16,5 sin 2 63,7sin 2
22,1
9,8
o
ov iR m
g

  
 
 
c) Velocidade da bola 
   
 
2 2
1 1
7,6 14,7 16,5 /
14,7
tan tan 62,7 apontado para baixo
7,6
oy o
ox
v m s
v
v
  
   
   
     
  
 
 
Movimento circular uniformeObserve a figura abaixo 
 
O comprimento do trajeto percorrido durante o intervalo de tempo Δt é o comprimento 
do arco OP, que é igual a rθ (quando θ é medido em radianos) e também igual a vΔt. 
Logo 
r v t  
 
 
Em uma situação de um carro em uma rotatória, fazemos a subtração dos vetores 
velocidades em A e B e desenhando a bissetriz entre eles, temos: 
 
 
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9 
 
 
1
2
sin
2
v v

 
 
 
Utilizando este resultado, é possível expressar a aceleração média no intervalo Δt e Δv 
   22 sin 2 sin 2
2
vv v
a
t r v r
 
 

  

 
 
Com isto, resta expressar a aceleração instantânea: 
   2 2
0 0 0
sin 2 sin 2
lim lim lim
2 2t t t
v v v
a
t r r
 
      

  

 
 
Para ângulos pequenos substituímos o último limite por 1, o que resulta em: 
2v
a
r

 
 
O sentido do vetor aceleração é o mesmo do vetor velocidade média e aponta sempre 
para o centro. Por isso é chamada de aceleração radial ou centrípeta. 
 
 
Referências 
ALONSO, M.; FINN, E. J. Física: um curso universitário. São Paulo: Edgard 
Blucher, 2002. 
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física 1: Mecânica. 
[S.l.] Livros Técnicos e Científicos, 1996. 
HEWITT, P. G. Física Conceitual. Porto Alegre: Bookman, 2002. 
SEARS, F. et al. Física, V.1 - Mecânica. São Paulo: Addison Wesley Brasil, 2008.