Elétrica aplicada

Prévia do material em texto

Bertolo  Eletromagnetismo  1 
Do ponto de vista de aplicações a eletricidade, que pode ser encarada como a 
oitava maravilha do mundo, dispensa  longos  comentários  sobre  a  sua  importância. 
Para  se  ter  uma  idéia,  imaginem  o  desconforto  que  acontece  quando  falta  a 
famigerada  energia  elétrica  numa  cidade,  por  exemplo.  Quanto  ao  magnetismo 
afirmamos, como veremos no decorrer do curso, que assume igual importância. 
As  ciências  da  eletricidade  e  do  magnetismo,  que  tentaremos  desenvolver 
aqui,  tiveram  as  suas  origens  na  observação.  Tales  de Mileto,  filósofo  grego  que 
viveu por volta de 600 a.C., sabia que um pedaço de âmbar, quando atritado com lã, 
era  capaz  de  atrair  pequenos  fragmentos  de  palha  e  fios  de  cabelo.  O  estudo  do 
Magnetismo,  por sua vez,  remonta à observação de que certas “pedras”,  chamadas 
magnetitas  (óxido de ferro Fe2O3), encontradas na Natureza, eram capazes de atrair 
limalha  de  ferro,  também  encontradas  na  Natureza.  Mas,  somente  durante  a 
Renascença  é  que  estas  duas  ciências  se  desenvolveram,  embora  de  forma 
independente uma da outra. 
Por  volta  de  1820, Oersted mostrou  uma  conexão  entre  elas,  observando o 
fato que uma corrente elétrica pode afetar a agulha imantada de uma bússola. 
A  nova  Ciência  do  Eletromagnetismo  foi  desenvolvida  por  muitos 
pesquisadores, dentre os quais um dos mais  importantes  foi Faraday. Mas, coube  a 
Maxwell formular as leis do eletromagnetismo, conhecidas hoje como “Equações de 
Maxwell” que desempenham o mesmo papel das leis de movimento e da gravitação 
de Newton, na Mecânica. 
Com  a  síntese  do  eletromagnetismo  feita  por Maxwell,  a  antiga  ciência  da 
Óptica passou  a ser  intimamente  relacionada com a eletricidade e magnetismo. Do 
ponto de vista científico, estes fatos sintetizados tiveram, ainda, conseqüências mais 
profundas e de maior alcance. Sabemos, hoje, que a estrutura dos átomos e moléculas 
é controlada por fenômenos eletromagnéticos. Ainda, no aspecto biológico, as ações 
dos  nossos  nervos  e  do nosso  cérebro,  também  são  controladas por  estes  mesmos 
fenômenos. 
Já no aspecto tecnológico a extensão das aplicações das equações de Maxwell 
é  notável,  abrangendo  os  princípios  fundamentais  de  funcionamento  de  todos  os 
aparelhos  ópticos  e  eletromagnéticos,  como  motores  elétricos,  cíclotrons,  com­ 
putadores  eletrônicos,  rádio,  televisão,  radar,  microscópios  eletrônicos  e  tantos 
outros. 
I 
CARGA ELÉTRICA 
exceção  do  relâmpago,  as  manifestações  ordinárias  da  Natureza,  desde  o 
congelamento  da  água  até  o  crescimento  de  uma  planta,  não  parecem  ter 
relações com a eletricidade. No entanto, dentro da visão atual, sabemos que as 
foras elétricas são importantíssimas na determinação das propriedades físicas 
e químicas da matéria, desde um átomo até uma célula viva. 
À 
1.1 – Introdução ao Eletromagnetismo
Bertolo  Eletromagnetismo  2 
O  interesse  atual  no  eletromagnetismo  se  concentra  em  dois  aspectos.  No 
campo  das  aplicações  à  engenharia,  as  equações  de  Maxwell  são  constantes  e 
universalmente  utilizadas,  nas  soluções  de  uma  grande  variedade  de  problemas 
práticos.  No  que  concerne  aos  fundamentos  da  teoria,  tem  havido  um  esforço 
contínuo  no  sentido  de  generalizá­la  de  modo que  o  eletromagnetismo  seja  obtido 
como  um  caso  particular  de  uma  teoria  geral.  Esta  incluiria  também,  digamos,  as 
teorias  da  gravitação  e  a  da  Física  Quântica.  Esta  síntese  grandiosa,  no  entanto, 
ainda, não foi conseguida. Resta dizer que nem a revolução da Física Quântica, nem 
o  desenvolvimento  da  Relatividade  Especial  deslustraram  as  equações  do  campo 
eletromagnético que Maxwell estabeleceu há, aproximadamente, cem anos atrás. 
O  eletromagnetismo  trata  das  cargas  elétricas,  correntes  elétricas  e  suas 
interações.  Nosso  curso  vai  tratar,  portanto,  destes  assuntos.  Entretanto, 
começaremos  estudando  separadamente,  os  assuntos  da  eletricidade  e  do 
magnetismo.  Estes,  por  sua  vez,  como  todo  sistema  de  conhecimento,  tem  certos 
conceitos primitivos, impossíveis de serem explicados usando noções mais simples, e 
então  toma emprestado da mecânica o  conceito de  força, de  trabalho e  de  energia. 
Um conceito “novo” que aparece em eletricidade é o de carga elétrica. 
Os  fatos  elementares  da  eletricidade  serão  supostos  do  conhecimento  do 
aluno. 
Acredita­se,  atualmente,  que  os  corpos  materiais  sejam  constituídos  de 
agregados de  átomos e moléculas,  sendo estes,  por  sua vez,  formados de  elétrons, 
prótons e nêutrons. 
As  duas  primeiras  entidades  possuem  carga  elétrica  e  a  última,  como  o 
próprio nome indica, é neutra. 
Ainda  que  seja  impossível  definir  carga  elétrica,  podemos  citar  suas 
propriedades. 
1ª PROPRIEDADE:­ 
A escolha + e – é um acidente histórico; não há nada intrinsecamente negativo com a 
carga do elétron. Esta denominação se deve a B. Franklin no século XVIII. 
Do fato de haver repulsão entre cargas, concluímos que o mundo parece ser 
uma mistura de cargas + e – muito bem balanceada. 
A  tendência dos Físicos de hoje é considerar as cargas positivas e negativas 
fundamentalmente,  como  manifestações  opostas  “de  uma  qualidade”,  da  mesma 
forma que “direito” e “esquerdo”são manifestações opostas de “lado”. 
2ª PROPRIEDADE:­ 
Sabemos que uma certa quantidade de água num copo é constituída de um punhado 
de moléculas de H2O. Entretanto, olhando para o copo não conseguimos  identificar 
uma determinada molécula. Dizemos, então que as moléculas de água formam uma 
1.2 – A Carga Elétrica 
“Há duas variedades de cargas”, chamadas positivas (+) e negativas (­): cargas de 
mesmo sinal se repelem e de sinais contrários se atraem. 
“A carga é Quantizada”.
Bertolo  Eletromagnetismo  3 
distribuição  contínua.  Já  uma  certa  quantidade  de  areia  num  monte  é  constituída 
também  de  um  punhado  de  “grãozinhos”.  Entretanto,  olhando  para  o  monte, 
conseguimos  identificar  cada  um  dos  grãos  componentes  do monte.  Chamemos  a 
este  grão de  quantum  e  dizemos,  então,  neste  caso,  que  os  “grãozinhos”  formam 
uma distribuição discreta. 
A experiência de Millikan da gota de óleo, e diversas outras, demonstram que a carga 
elétrica  aparece  na  Natureza  em  múltiplos  inteiros  de  um  único  valor  unitário, 
chamado carga elementar 1 , cujo valor é: 
e = 1,6 . 10 ­19 Coulombs 
Para nós, um corpo carregado significa ter ele um excesso (ou falta) de carga 
elementar. 
Um corpo carregado com carga Q terá, portanto, 
Q = N . e 
Onde N é um número inteiro. 
Todas  as  partículas  elementares  eletrizadas  têm  cargas  de  magnitudes 
rigorosamente “iguais”. Não existem cargas menores que a do próton ou do elétron, 
embora haja especulações teóricas sobre a existência de partículas com carga (1/3) e, 
(2/3) e, mas não foram detectadas experimentalmente. 
3ª PROPRIEDADE:­ 
Fóton de  termina a sua 
Raio g  existência 
Estas  duas  últimas  propriedades  se  referem  à  quantidade  de  cargas,  e,  assim, 
implicam numa medição da carga. 
Outro fato relativo às cargas é que ela é relativisticamente invariante, ou seja, 
é um escalar. A massa depende do sistema de referência, através da equação: 
2 
2 
0 
1 
c 
v 
m 
m 
- 
= 
onde m0 é a massa de repouso. 
1. 
1.  Um corpo neutro não manifesta propriedades elétricas como a atração ou 
repulsão com outros corpos neutros. Isto significa que: 
a.  o corpo neutro é constituído somente de nêutrons. 
b.  O corpo neutro possui mais nêutrons do que prótons. 
c.  O corpo neutro possui mais elétrons que prótons. 
d.  O corpo neutro possui mais prótons queelétrons. 
e.  O corpo neutro possui quantidades iguais de prótons e elétrons. 
O quantum de  eletricidade 
que  é  exatamente  a  carga, 
em  valor  absoluto,  do 
elétron. 
“A carga é conservada”. Num sistema isolado (isto é, num sistema que não entra e 
nem sai matéria de suas fronteiras) a carga total do sistema é invariável. 
vácuo  e ­
e + 
EXERCÍCIOS
Bertolo  Eletromagnetismo  4 
2.  Um corpo está eletrizado positivamente com carga Q = 4,8 . 10 ­6 C. Qual o 
número de elétrons em falta nesse corpo? 
3.  Um corpo eletrizado com carga Q = ­1C. Pode­se afirmar que: 
a.  ele tem 6,25.10 18 elétrons em excesso. 
b.  Ele tem 6,25.10 18 elétrons em falta. 
c.  Ele tem 1,6.10 ­19 elétrons em excesso. 
d.  Ele tem 1,6.10 ­19 elétrons em falta. 
e.  Ele tem 1 elétron em excesso. 
4.  Um estudante de física mediu, em laboratório, a quantidade de carga elétrica de 
quatro objetos, tendo encontrado os valores: 
+1,6 . 10 ­20 Coulomb  ­4,0 . 10 ­16 Coulomb 
­8,0 . 10 ­16 Coulomb  +2,4 . 10 ­19 Coulomb 
Sabendo­se que a menor quantidade de carga elétrica na natureza é a quantidade 
de carga do elétron, que vale ­1,6 . 10 ­19 coulomb, pode­se dizer que: 
a.  somente uma medida está correta. 
b.  há apenas duas medidas corretas. 
c.  há apenas três medidas corretas. 
d.  todas as medidas estão corretas. 
e.  todas as medidas são incorretas. 
1.  Um corpo eletrizado tem 2 . 10 12 elétrons a mais que um corpo neutro. A carga 
elemen­tar é 1,6 . 10 ­19 C. Qual a carga elétrica desse corpo? 
2.  É possível um corpo apresentar uma carga elétrica igual a 7,2 . 10 ­19 C? Por que? 
3.  Um íon apresenta 57 elétrons, 55 prótons e 59 nêutrons. 
a.  Esse íon está eletrizado positivamente ou negativamente? 
b.  Qual a quantidade de carga elétrica desse íon? 
4.  Dado um pacote que contém 2 . 10 23 íons SO4 
­2 , qual é a carga total do pacote? 
5.  Dois corpos, A e B, repelem­se eletricamente. Podemos afirmar que: 
a.  apenas o corpo A está carregado. 
b.  a carga elétrica de B é positiva. 
c.  o corpo A tem carga negativa e B tem carga positiva. 
d.  o corpo B tem carga negativa e A é neutro. 
e.  A e B têm cargas de mesmo sinal. 
6.  Realizando um processo de eletrização entre dois corpos neutros A e B, sabe­se 
que no final B ficou eletrizado positivamente. Então podemos afirmar que houve 
passagem de: 
a.  prótons de A para B;  d. prótons de B para A; 
b.  elétrons de A para B;  e. nêutrons de B para A. 
c.  elétrons de B para A; 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Bertolo  Eletromagnetismo  5 
V 
imos no capítulo anterior que a 1ª propriedades das cargas elétricas estabe­ 
lecia que: corpos carregados com cargas de mesmo sinais (mesmo tipos) se 
repelem e corpos carregados com cargas de sinais contrários (tipos diferen­ 
tes) se atraem. 
Agora, atrair ou repelir significa uma carga exercer sobre a outra uma força. 
Assim, 
Tanto na atração, quanto na repulsão, aparece um par de forças que estão na 
reta que liga as cargas e sempre de sentidos opostos. Tratam­se de forças de ação e 
reação, e, pela 3ª lei de Newton, devem ter sempre a mesma intensidade. 
São estas forças que iremos estudar neste capítulo. 
O físico francês Coulomb estudou, por volta de 1785, esta interação entre as 
cargas elétricas e estabeleceu uma lei para ela, enunciada da seguinte maneira: 
Coulomb também percebeu que a força dependia do meio onde estavam as 
cargas elétricas. 
Matematicamente, podemos escrever: 
Ao lado temos um gráfico mostrando como a intensidade da força de interação 
entre duas cargas elétricas depende da separação d entre elas. 
2.1 – Lei de Coulomb 
“Duas partículas carregadas trocam, entre si, forças que são diretamente 
proporcionais ao produto de suas cargas e inversamente proporcionais ao 
quadrado da distância que as separa”. 
2 m 
. 
K F 
d 
q Q 
= 
Km = constante eletrostática do meio ou constante 
de Coulomb. 
Se o meio é o vácuo, temos: 
K0 =  2 
2 
9  . 10 . 9 
C 
m N 
Força Elétrica 
II 
Temos razões experimentais 
para confiar na Lei de Coulomb 
no enorme intervalo de 10 ­13 
cm a vários quilômetros, senão 
mais, e tomamo­la como base 
da nossa descrição 
eletromagnética.
Bertolo  Eletromagnetismo  6 
1.  Duas cargas elétricas Q1 e Q2 estão no vácuo, separadas por uma distância x. 
Os sentidos das forças F1 e F2 que atuam em Q1 e Q2 são, respectivamente: 
a.  opostos, somente quando as cargas tiverem sinais opostos. 
b.  o mesmo, quando as cargas tiverem mesmo sentido. 
c.  sempre opostos, independentemente dos sinais das cargas. 
d.  opostos, se Q1 é positiva e Q2 é negativa, e os mesmos, se Q2 é 
positiva e Q1 é negativa. 
e.  sempre os mesmos, independentemente dos sinais das cargas. 
2.  Duas cargas, q e 2q, de mesmo sinal são colocadas a uma distância d. Sobre a 
força elétrica entre elas, a melhor representação é: 
3.  Duas cargas puntiformes, Q = 5mC e q = ­1mC, estão separadas por 1 m no 
vácuo. Determine a força elétrica de interação entre essas cargas. 
4.  Duas cargas elétricas, Q e q, situam­se em pontos separados por uma 
distância d. A força com que uma atua sobre a outra é F. Substituindo a carga 
q por outra igual a 3q, e aumentando a distância para 2d, o que ocorre com a 
intensidade da nova força elétrica (dar a resposta em função de F)? 
5.  Duas cargas elétricas puntiformes estão separadas por 12 cm. Esta distância é 
alterada até que a força entre as cargas fique quatro vezes maior. A nova 
separação entre as cargas é: 
a.  3 cm  b.  4 cm  c.  6 cm 
d.  24 cm  e.  48 cm. 
1.  Duas cargas, q1 e q2, repelem­se com uma força de módulo igual a f quando 
situadas nos vértices adjacentes de um quadrado (Figura 1). Deslocando­se a 
carga q2 para o vértice do quadrado diagonalmente oposto ao vértice em que 
se encontra a carga q1 (Figura 2), a intensidade da força de repulsão entre 
elas será igual a: 
a. 2f  b.  2 f  c.  f  d. 
2 
2  f  e. 
2 
1  f 
EXERCÍCIOS 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Bertolo  Eletromagnetismo  7 
Vamos imaginar uma região em um meio qualquer que contém n cargas elétricas 
de dimensões desprezíveis (puntiformes): 
Imaginando todas as cargas do exemplo anterior positivas, podemos ilustrar a 
situação particular da carga Q1. 
Esta resultante de forças F1 é dada pela adição vetorial das forças que atuam na 
carga elétrica. Assim, 
F1 = F2 + F3 + F4 + ......... + Fn. 
1. Três objetos puntiformes com cargas elétricas iguais estão localizados como 
mostra a figura abaixo. 
Qual a intensidade da resultante das forças elétricas sobre Q? Dados: q = 2 mC. 
2. Um objeto A, com carga elétrica +q e dimensões desprezíveis, fica sujeito a 
uma força de 2 . 10 ­5 N, quando colocado em presença de um objeto idêntico, à 
distância de 1 m. Se o objeto for colocado na presença de dois objetos idênticos, 
como indica a figura ao lado, qual a força elétrica a que ficará sujeito? 
3. No sistema ao lado, determine a força resultante das forças elétricas sobre a 
carga q1. 
Dados: |q1| = |q2| = |q3| = 1 C      e     d = 1m 
2.2 – Força Elétrica Devida a Várias Cargas 
A interação entre as cargas sempre ocorre duas a 
duas  (por ação e  reação)  independentemente da 
presença  de  outras  cargas  (Princípio  da  Inde­ 
pendência)  e,  além  disso,  cada  uma  delas  irá 
trocar força com todas as demais. 
O mesmo poderia  ter  sido  feito 
em  qualquer  outra  carga  da 
figura. 
Podemos  substituir  essas  forças 
por uma resultante de forças que 
apresenta  o mesmo efeito  físico 
destas. 
EXERCÍCIOS 
O  princípio  da  superposição 
não deve  ser  tomado como um 
dogma.  Poderá  existir  muito 
bem  um  domínio  de  fenô­ 
menos,  abrangendo  distâncias 
muito  pequenas  ou  forças 
muito  intensas,  onde  a  super­ 
posição  não  vale  mais.  Real­ 
mente,  conhecemos  fenômenos 
quânticos do campo eletromag­nético  que  representam  uma 
falha  no  princípio  da  super­ 
posição,  do  ponto  de  vista  da 
teoria clássica.
Bertolo  Eletromagnetismo  8 
1.  Duas cargas Q1 = 10 
­6 C e Q2 = 4 . 10 
­6 C estão fixas nos pontos A e B e 
separadas pela distância de 20 cm, no vácuo. Determine a intensidade da 
resultante das forças elétricas sobre uma terceira carga Q3 = 2 . 10 
­6 C, 
colocada no ponto médio do segmento que une Q1 e Q2. 
2.  Três cargas positivas iguais de 2,0 . 10 ­6 C estão fixas nos vértices de um 
triângulo eqüilátero de lado igual a 0,30 m. Qual a intensidade da força 
elétrica resultante numa delas. 
3.  Três cargas elétricas positivas de 10 mC ocupam os vértices de um triângulo 
retângulo isósceles cujos catetos medem 5,0 cm. Determine o módulo da 
resultante das forças que atuam sobre a carga do ângulo reto. 
4.  Duas cargas positivas, separadas por uma certa distância, sofrem uma força 
de repulsão. Se o valor de uma das cargas for dobrado e a distância duplicada, 
então, em relação ao valor antigo de repulsão, a nova força será: 
a.  o dobro  b.  o quádruplo 
c.  a quarta parte  d.  a metade 
5.  Duas cargas elétricas A e B, estão fixas nas posições indicadas na figura. 
Determine a posição onde deve ser colocada uma carga C para que ela 
permaneça em equilíbrio. 
A                  9 cm                          B 
Dados: QA = +4,0 10 
­6 C 
QB = +1,0 10 
­6 C 
6.  Um pêndulo elétrico de comprimento L e massa m = 0,12 kg, eletrizado com 
carga Q é repelido por outra carga igual e fixa no ponto A, conforme a figura 
abaixo: 
Supondo que o pêndulo esteja em equilíbrio, determine o valor da carga Q, 
supondo g = 10 m/s 2 . 
7.  Duas partículas eletricamente carregadas estão separadas por uma distância r. 
O gráfico abaixo que melhor expressa a variação do módulo da força 
eletrostática F entre elas, em função de r, é: 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Bertolo  Eletromagnetismo  9 
P  Massa 
g 
Terra 
Sabemos que a Terra atrai para ela todo corpo colocado em suas proximidades em 
razão do campo gravitacional terrestre. 
O  campo  gravitacional  g  é  então  um  vetor  que  caracteriza  a  modificação  do 
espaço que  a Terra  cria  ao  seu  redor  e  age  em  todas  as massas m  que  forem  nele 
inseridas com uma força de atração P. Esta força está sempre apontando para a Terra. 
Por analogia, vamos conceituar o campo elétrico E criado por uma carga Q. 
Mantendo a analogia, vamos estabelecer que: 
F = q0 E 
A carga q0, apesar de ser um escalar, ela pode ser positiva ou negativa, e o campo 
elétrico E poderá agora ter, ou não, o mesmo sentido de F. 
Vamos resumir as possibilidades: 
Em palavras poderíamos dizer que o vetor E tem as seguintes características: 
¨ Intensidade: dada por F = q0 . E 
¨Direção: a da reta que une Q e q0. 
¨Sentido: saindo de Q se ela for (+) e entrando em Q se ela for (­). 
III 
Campo Elétrico 
Poderíamos pensar então que  a Terra cria  ao  seu  redor 
uma modificação no espaço tal que ao ser colocada uma 
massa  m  nessa  região  a  mesma  sofrerá  um  força  de 
atração (Peso) dada por: 
P = m g 
A massa m é sempre um escalar positivo e, portanto, 
o campo gravitacional g tem sempre o sentido de P . 
q0 
Q 
Poderíamos  pensar  então  que  a  carga  Q  cria  ao  seu 
redor  uma  modificação  no  espaço  tal  que  ao  ser 
colocada uma carga q0 nessa região a mesma sofrerá um 
força  F  de  atração  ou  de  repulsão  (força  elétrica), 
dependendo  dos  sinais  das  cargas  serem  iguais  ou 
diferentes, respectivamente. 
Pelo fato de existirem dois tipos de cargas implica numa 
complexidade maior para o campo elétrico E. 
+  +  F 
E 
­  E  ­  F 
+  F  ­  E 
Veja que sempre o campo sai de 
Q(+) e entra em Q(­). 
Quando q0 for (+) a força F e o 
campo E têm os mesmos sentidos. 
Porém, quando q0 for (­) a força F 
e o campo E têm sentidos opostos 
3.1 – Campo Elétrico  Cur iosidade 
Por  que  razão  instituir  o  campo 
elétrico se na verdade a interação 
entre as cargas é dada pela Lei de 
Coulomb? 
Acontece que antes de Faraday, o 
idealizador  da  idéia  de  campo, 
estudou­se a interção entre cargas 
como uma Ação à Distância, isto 
é,  uma  interação  direta  e 
instantânea, carga Û carga. 
Esta  concepção  é  atualmente 
substituída  por  outro  raciocínio, 
em termos de campos elétricos: 
1.  a  carga  Q  produz  um 
campo E no espaço. 
2.  O  campo  atua  sobre  q 
(ou outra qualquer) por 
meio de uma força F. 
O  campo  desempenha,  portanto, 
o  papel  de  transmissor  da 
interação  entre  cargas.  Essa 
maneira  de  olhar  a  interação  é 
muito  útil  não  só  como  um 
princípio  de  organização,  mas 
porque,  leva  à  predições  sur­ 
preendentes  e  em  completo 
acordo  com  a  experiência.  Por 
exemplo,  suponha que a carga Q 
se acele subtamente em direção a 
q. Após quanto tempo q sentirá a 
força  nela  aumentar  pela  apro­ 
ximação  de  Q.  A  experiência 
comprova  que  a  informação 
sobre  a  aceleração  de  Q  não  é 
transmitida instantaneamente a q, 
e sim depois de uma certo tempo 
t = distância  / velocidade  da  luz. 
Desta  forma,  o  campo  adquire 
vida própria    e  se  desloca com a 
velocidade  da  luz  em  regiões 
desprovidas  de  cargas  para 
transmitir a interação
Bertolo  Eletromagnetismo  10 
1.  Uma carga  elétrica de  +2C está  submetida  a uma  força elétrica  de 10N,  em 
razão  de  estar  imersa  em  uma  região  do  espaço  que  contém  um  campo 
elétrico. Determine a intensidade desse campo elétrico. 
2.  Uma carga de prova negativa q é colocada num ponto A, onde há um campo 
elétrico E gerado por uma carga Q positiva. Fica, então, sujeita a uma força F 
de intensidade 10 N. Sendo q = ­50 mC, indique a opção que fornece o valor 
correto  da  intensidade  do  vetor  campo  elétrico  em  A,  bem  como  as 
orientações corretas dos vetores E e F. 
3.  Em uma região do espaço onde existe um campo elétrico de 5 N/C, horizontal 
e para a direita, inserimos uma carga elétrica q = ­2 mC. Determine o vetor 
força elétrica sobre a carga. 
4.  Em um ponto P do espaço, existe um campo elétrico vertical para baixo, de 
intensidade 5 000 N/C. Coloca­se, nesse ponto, uma esfera de massa 2,0 g e 
eletrizada. Sabendo­se que a esfera fica em equilíbrio, determine o valor da 
quantidade de carga elétrica da esfera. Considere g = 10 m/s 2 . 
EXERCÍCIOS
Bertolo  Eletromagnetismo  11 
5.  Uma carga de prova de  ­5 mC, colocada numa região de campo elétrico, fica 
sujeita  a  uma  força  elétrica  de  0,2  N  na  vertical,  de  baixo  para  cima. 
Caracterize o vetor campo elétrico no ponto onde foi colocada a carga q. 
6.  Sobre uma carga de prova q = 4 . 10 ­7 C, colocada num ponto da região do 
campo elétrico, atua uma força de 2 N. Podemos afirmar que a intensidade do 
campo elétrico naquele ponto é, em N/C, igual a: 
a. 2 . 10 ­7  b. 0,5 . 10 ­6  c. 5 . 10 6 
d. 5 . 10 7  e. 8 . 10 ­7 
7.  Uma carga elétrica puntiforme com 4,0 mC, que é colocada em um ponto P do 
vácuo, fica sujeita a uma força elétrica de intensidade 1,2 N. O campo elétrico 
nesse ponto P tem intensidade de: 
a. 3,0 . 10 5  N/C  b. 2,4 . 10 5 N/C  c. 1,2 . 10 5 N/C 
d. 4,0 . 10 ­6 N/C  e. 4,8 . 10 ­6 N/C 
8.  Uma gota de óleo de massa m = 1 mg e carga q = 2 . 10 ­7 C é solta em uma 
região de campo elétrico uniforme E, como mostra a figura abaixo. Mesmo 
sob o efeito da gravidade, a gota move­se para cima, com uma aceleração de 1 
m/s 2 . Determine o módulo do campo elétrico. (g = 10 m/s 2 ). 
9.  Uma gotícula de água, com massa m = 0,80 . 10 ­9 kg eletrizada com carga q = 
16 . 10 ­19 C, está em equilíbrio no interior de um capacitor de placas paralelas e 
horizontais, como mostra o esquema abaixo: 
Nestas circunstâncias, o valor do campo elétrico entre as placas é: 
a. 5 .10 9 N/C  b. 2 . 10 ­10 N/C  c. 12,8 . 10 ­28 N/C 
d. 2 . 10 ­11 N/C  e. 5 . 10 8 N/C. 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Bertolo  Eletromagnetismo  12 
As linhas de força são linhas imaginárias que servem para representar o campo 
elétrico. 
Elas representam os vetores do campo elétrico em vários pontos, que, unidos, 
mostram­nos uma forma geométrica que é bastante útil para tentar visualizar o que 
ocorre entre as interações de cargas elétricas. 
As figuras a seguir nos mostram uma prefeita noção dessas linhas de força: 
Devido a uma carga puntiforme 
São retas concorrentes na carga. As linhas são orientadas no sentido do campo E, 
isto é, saindo das cargas (+) e entrando nas cargas (­). 
Devido a duas cargas puntiformes de mesma intensidade e sinais contrários 
As linhas saem da carga positiva e entram na carga negativa. 
Devido a duas cargas puntiformes de mesma intensidade e sinais iguais 
3.2 – Linhas de Força
Bertolo  Eletromagnetismo  13 
As linhas de força representam o campo elétrico E da seguinte forma: 
¨ Intensidade:  o  campo  elétrico  é  mais  intenso  quanto  maior  a  densidade  de 
linhas  de  força  na  região,  isto  é,  é  a  quantidade de  linhas que  perfuram um 
plano perpendicular a estas pelo tamanho dessa área. 
¨Direção: o campo elétrico é tangente às linhas de força. 
¨Sentido: o campo elétrico, em um ponto,  tem o mesmo sentido das linhas de 
força. 
1. A figura representa, na convenção usual, a configuração de linhas de força 
associadas a duas cargas puntiformes Q1 e Q2. Podemos afirmar que: 
a. Q1 e Q2 são cargas negativas  b. Q1 é positiva e Q2 é negativa 
c. Q1 e Q2 são cargas positivas  d. Q1 é negativa e Q2 é positiva 
e. Q1 e Q2 são neutras. 
2.  A figura representa duas cargas puntiformes +q e –q (de módulos iguais). 
Trace o vetor campo elétrico em P, ponto médio da distância AB. 
3.  A figura representa as linhas de força de um campo elétrico. 
a. Em que região, A ou B, o campo elétrico tem intensidade maior? 
b. Represente o vetor campo elétrico no ponto C. 
O  campo  elétrico  E  é  mais 
intenso  em A do que  em B, 
pois  a  mais  linhas  de  força 
atravessando  uma  determi­ 
nada  área  em  A  do  que  a 
mesma área em B. 
EXERCÍCIOS
Bertolo  Eletromagnetismo  14 
Quando uma carga elétrica Q, puntiforme, está fixa, sabemos que esta provoca 
um campo elétrico no espaço, o qual denominamos E. 
Vimos que a força elétrica podia ser escrita por: 
F = q E 
E, por outro lado, temos pela lei de Coulomb que 
2 m K F  d 
Qq 
= 
Igualando e depois simplificando, ficamos com: 
Esta fórmula fornece a intensidade do campo elétrico a partir da carga geradora 
Q puntiforme em um  ponto situado a uma distância d dessa carga. 
1. qual a intensidade do campo elétrico em um ponto P situado a 1 m de uma carga 
de 2 mC, no vácuo? 
2.  Considere uma carga puntiforme de 1,5 mC no vácuo. Determine a intensidade 
do campo elétrico a 6 m dessa carga. 
3.  O campo elétrico de uma carga puntiforme Q a uma distância d é E. Se 
dobrarmos a distância e multiplicarmos a carga elétrica por 4, o valor do novo 
campo elétrico será: 
a. E  b. 2E  c. 5E  d. 10E  e. 20E 
4.  Qual dos gráficos ao lado melhor representa o módulo do vetor campo elétrico E 
em um ponto P, nas proximidades de uma carga elétrica puntiforme, em função 
da distância d entre a carga e o ponto P? Considere a carga no vácuo. 
5. 
3.3 – Campo Elétrico de Carga Puntiforme 
2 m 
K E 
d 
Q 
= 
EXERCÍCIOS 
A Figura 1 representa uma carga 
elétrica  pontual  positiva  no 
ponto P e o vetor campo elétrico 
no ponto 1, devido a essa carga. 
No  ponto  2,  a  melhor 
representação par o vetor campo 
elétrico,  devido  à  mesma  carga 
em P, será:
Bertolo  Eletromagnetismo  15 
O campo elétrico de várias cargas puntiformes fixas é determinado pelo 
princípio da superposição, isto é, pela soma vetorial dos vetores campo elétrico de 
cada carga que compõe o sistema. 
Seja, por exemplo, o campo elétrico na posição P, devido às cargas Q1, Q2, 
Q3,..., Qn do sistema da figura abaixo: 
ER = E1 + E2 + E3 + ....+  En  ou å =  i R  E E 
1.  Na figura adiante, o ponto P está eqüidistante das cargas fixas +Q e –Q. Qual 
dos vetores indica a direção e o sentido do campo elétrico em P, devido a essas 
cargas? 
2.  As cargas puntiformes q1 = 20 mC e q2 = 64 mC estão fixas no vácuo, 
respectivamente nos pontos A e B. O campo elétrico resultante no ponto P tem 
intensidade de: 
a. 3,0 . 10 6 N/C  b. 3,6 . 10 6 N/C  c. 4,0 . 10 6 N/C 
d. 4,5 . 10 6 N/C  e. 5,4 . 10 6 N/C 
3.  Sabendo­se que o vetor campo elétrico no ponto A é nulo, a relação entre d1 e 
d2 é: 
a. d1/d2 = 4  b. d1/d2 = 2 
c.  d1/d2 = 1      d. d1/d2 = ½ 
e.  d1/d2 = ¼ 
3.4 – Campo Elétrico de Várias Cargas Puntiformes 
EXERCÍCIOS 
a.  A 
b.  B 
c.  C 
d.  D 
e.  E
Bertolo  Eletromagnetismo  16 
1.  Calcule  a  que distância  de uma  carga Q  de  4 mC,  o  campo  elétrico  apresenta 
intensidade de 4 . 10 5 N/C, no vácuo. 
2.  O gráfico representa a variação da intensidade do campo elétrico de uma carga Q 
puntiforme, em função da distância à carga. Determine: 
3.  Na figura abaixo, calcule a que distância da carga elétrica Q1 o campo elétrico 
resultante é nulo. 
4.  Na figura a seguir, determine o vetor campo elétrico no ponto P, sabendo­se 
que as cargas elétricas estão no vácuo. 
5.  A figura mostra três cargas, Q1, Q2, Q3, localizadas nos vértices de um 
quadrado. Sendo Q1 = Q3 = 4,0 mC, calcule Q2 para que o eletrostático no ponto P 
seja nulo. 
a.  o valor da carga Q 
b.  a intensidade do campo elétri­ 
co a 2 m da carga 
c.  a intensidade da força elétrica 
que atua numa carga de 1 mC 
colocada a 1 m da carga Q.
Bertolo  Eletromagnetismo  17