Conceitos Básicos de Funções Matemáticas

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4 – Funções 
 
4.1 – Conceito de Função 
 
 Dados dois conjuntos A e B, dizemos que a relação ƒ de A em B é uma 
função se, e somente se, para qualquer x pertencente ao conjunto A existe, em 
correspondência, um único γ pertencente ao conjunto B. 
Exemplos: 
 
1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pelo diagrama pode-se observar o elemento 3 ∈ A não possui 
correspondente em B, logo não é função. 
 
 
2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste caso, temos uma função, pois todo elemento de A tem um único 
correspondente em B. 
 
 
3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que o elemento 0 ∈ A possui mais de um correspondente em B, logo 
não é função. 
- 1 
 
0 
 
1 
 
2 
 
3 
0 
 
1 
 
2 
 
3 
 
4 
- 1 
 
0 
 
1 
 
2 
 
3 
0 
 
1 
 
2 
 
3 
 
4 
A B 
A B 
A B 
- 1 
 
0 
 
1 
 
2 
 
3 
0 
 
1 
 
2 
 
3 
 
4 
 
 
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4.2 – Notação de Função 
 
 Para indicarmos que ƒ é uma função de A em B escrevemos: f: A → B, e 
lemos, f é uma função de A em B. 
 Podemos escrever uma função f: A → B através de suas variáveis x 
(independente) e y (dependente). 
 
Exemplos: 
 y = 2x ou f(x) = 2x 
 y = 2x + 1 ou f(x) = 2x +1 
 
 
4.3 – Valor Numérico de uma Função 
 
Chamamos de valor numérico de uma função ao valor que a variável y = f(x) 
assume quando é atribuído um determinado valor a variável x. 
 
Exemplo: 
Sejam os conjuntos A = {-1, 0, 1, 2} e B = {-1, 1, 3, 5} e a função f: A → B definida 
por f(x) = 2x + 1. Então os valores da função são: 
 
• x = -1 ⇒ f(-1) = 2(-1) + 1 = -1 
• x = 0 ⇒ f(0) = 2(0) + 1 = 1 
• x = 1 ⇒ f(1) = 2(1) + 1 = 3 
• x = 2 ⇒ f(2) = 2(2) + 1 = 5 
 
 
4.4 – Domínio, Contradomínio e Imagem 
 
 Seja f uma função de A em B onde A e B são conjuntos. Chamamos de 
domínio ao conjunto A e contradomínio o conjunto B. 
 
Seja f: A→ B uma função arbitrária A imagem de f é o conjunto de todos os 
elementos do contradomínio que são imagens de algum elemento do domínio. 
 Im (f) = {f (x)  x ∈ X} 
 
Exemplos: 
1) Dados os conjuntos A = {-2; -1, 0, 1} e B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3} e a função f: A → B 
definida por f(x) = x + 1, temos: 
D(f) = A = {-2, -1, 0, 1} 
Im(f) = {-1, 0, 1, 2} 
Cd(f) = B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3} 
 
2) Seja o conjunto A = {-2, -1, 0, 1, 2} e a função f: A → Z definida por f(x) = 2x3 − , 
então: 
D(f) = A = {-2, -1, 0, 1, 2} 
Cd(f) = Z 
Im(f) = {-10, -3, -2, -1, 6} 
 
 
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4.5 – Determinação do Domínio de uma Função 
 
Definir uma função significa: 
• Especificar o domínio e o contradomínio. 
• Dar um processo que permita determinar, para todo elemento x do domínio a 
imagem f (x) de x dada por f. 
 
OBS: para uma função real de variável real isto significa dar uma “expressão 
algébrica em x” para f. 
 
Exemplos: 
1) Determinar o domínio X ⊂ R da função f: X → R definida por f (x) = x5 − 
Solução: A expressão só é definida quando 5 – x ≥ 0 , isto é, 5x5x ≤⇒−≥− 
Portanto D(f) = {x  5x ≤ } = ( ]5,∞− 
 
2) Determinar o domínio X ⊂ R da função f: X → R definida por f (x) = 
2x
1
+
 
Solução: A expressão só é definida quando x + 2 ≠ 0, isto é x ≠ -2 
Portanto D(f) = {x  x ≠ -2 } = R – { -2 } 
 
3) Determinar o domínio X ⊂ R da função f: X → R definida por f (x) = 
3x
1
−
 
Solução: A expressão só é definida quando x – 3 ≥ 0 e 3x − ≠ 0, isto é x ≥ 3 e x ≠3 
⇒ x > 3. 
Portanto D(f) = {x  x > 3} = (3, + ∝). 
 
4) Determinar o domínio X ⊂ R da função h: X → R definida por h(x) = 
2x
1x
+
+−
 
Solução: A expressão h( x ) só é definida quando: 
• -x ≥ 0 ⇒ x ≤ 0 
• x + 2 > 0 ⇒ x > -2 
• Combinando as duas restrições temos que –2 < x ≤ 0 
Portanto D(f) = {x  -2 < x ≤ 0} = (-2, 0]. 
 
4.6 – Igualdade de Funções 
 
 Duas funções f e g, de mesmo domínio X e mesmo contradomínio Y são 
iguais quando para cada elemento x do domínio, associam o mesmo elemento de Y, 
ou seja: 
 f(x) = g(x) para todo x ∈ X. 
 
Exemplos: 
1) Sejam f: R → R e g: R → R tais que f(x) = 2x e g(x) = 2x . As funções f e g são 
iguais, pois possuem o mesmo contradomínio e f(x) = g(x) para todo x ∈ R. 
 
 
 
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2) Sejam f: N → N e g: N → N tais que f(x) = 2x e g (x) = x . As funções f e g são 
iguais pelas mesmas razões do exemplo 1. 
 
3) Sejam f: N→ N e g: Z → N tais que f(x) = 2x e g(x) = 2x. As funções são 
diferentes, pois os seus domínios são diferentes. 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 
 
1) Seja ℜ→− ]2;2[:f definida por 3xx)x(f 2 ++= . Determine )2(f − , )0(f e )5(f : 
5
324
3)2()2()2(f 2
====
====++++−−−−====
====++++−−−−++++−−−−====−−−−
 
3
300
3)0()0()0(f 2
====
====++++++++====
====++++++++====
 
]2;2[5queJá
)5(f
−−−−∉∉∉∉
∃∃∃∃////====
 
 
2) Calcule g(-2), g(0) e g(9), sabendo que ℜ→ℜ:g é uma função definida por: 
 
1x
1x1
1x
x31
5
1x3
)x(g
≥
<<−
−≤





−
−
= 
 
O cálculo de g(-2) é dado por 3x-1 pois -2 ≤ -1. Assim: 
 
 
7
16
1)2(3)2(g
−−−−====
====−−−−−−−−====
====−−−−−−−−====−−−−
 
Como 1x10 <<<<<<<<−−−−∈∈∈∈ , então g(0) é determinado pela segunda lei da função: 
 5)0(g ==== 
Como 19 ≥≥≥≥ , então g(9) é determinado pela segunda lei da função: 
 
26
271
)9(31)9(g
−−−−====
====−−−−====
====−−−−====
 
 
3) Dados os conjuntos A = {-2, -1, 0, 1, 2} e B = {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} e a função f: A → B 
definida por 2x (x)f −−= determine a imagem, o domínio e o contradomínio. 
A 2x (x)f −−−−−−−−==== B ( x, y ) 
-2 f(-2) = -(-2) - 2 = 2 -2 = 0 0 (-2 ; 0) 
-1 f(-1) = -(-1) - 2 = 1 -2 = -1 -1 (-1 ; -1) 
0 f( 0) = -( 0) - 2 = 0 -2 = -2 -2 ( 0 ; -2) 
1 f( 1) = -( 1) - 2 = -1 -2 = -3 -3 ( 1 ; -3) 
2 f( 2) = -( 2) - 2 = -2 -2 = -4 -4 ( 2 ; -4) 
 
D(f) = A; Cd(f) = B; Im(f) = {0, -1 , -2, -3, -4} 
 
4) Determine o domínio das funções abaixo: 
 
a) 8x)x(f −= , como não existe raiz quadrada negativa, o radicando tem que ser maior ou igual a 
zero: 
 
8x
08x
≥≥≥≥
≥≥≥≥−−−−
 
 {{{{ }}}}8x/x)f(D ≥≥≥≥ℜℜℜℜ∈∈∈∈==== 
 
 
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b) 
5x
1)x(f
+
−
= , o denominador não pode ser igual a zero: 
5x
05x
−−−−≠≠≠≠
≠≠≠≠++++
 
 {{{{ }}}} {{{{ }}}}55x/x)f(D −−−−−−−−ℜℜℜℜ====−−−−≠≠≠≠ℜℜℜℜ∈∈∈∈==== 
 
c) 
3x
1)x(f
+
−
= , o denominador não pode ser igual a zero e a uma raiz quadrada não pode ter o 
radicando negativo 
3x
03x
−−−−>>>>
>>>>++++
 
 {{{{ }}}}3x/x)f(D −−−−>>>>ℜℜℜℜ∈∈∈∈==== 
 
 
5) Sabendo que 5x6x)x(h 2 +−= determine os valores de para que a função produza as seguintes 
imagens: 
 
}5;1{S
1
2
2
2
46
x
5
2
10
2
46
x
2
46
1.2
16)6(
x
16
2036
5.1.4)6(
05x6x
0 h(x) a)
2
1
2
2
====
========
−−−−
====
========
++++
====
±±±±
====
±±±±−−−−−−−−
====
====
====−−−−====
====−−−−−−−−====∆∆∆∆
====++++−−−−
====
 
 
 
}3{S
3
2
6
xx
2
06
1.2
0)6(
x
0
3636
)9.(1.4)6(
09x6x
045x6x
45x6x
4- h(x) b)
21
2
2
2
2
====
============
±±±±
====
±±±±−−−−−−−−
====
====
====−−−−====
====−−−−−−−−====∆∆∆∆
====++++−−−−
====++++++++−−−−
−−−−====++++−−−−
====
 
∅∅∅∅========
∃∃∃∃////
−−−−====
====−−−−====
====−−−−−−−−====∆∆∆∆====++++−−−−
====++++++++−−−−
−−−−====++++−−−−
====
}{S
realraiz
16
5236
)13.(1.4)6(
013x6x
085x6x
85x6x
8- h(x) b)
2
2
2
2
 
 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
Exercícios: 
 
1) Dar a expressão algébrica que define cada uma das seguintes funções reais de 
variável real: 
 
a) f associa a todo número real o seu quadrado mais 5. 
 
b) g associa a todo número real o seu valor absoluto menos 2. 
 
c) h associa a todo número real maior ou igual a 5 o seu cubo e aos demais 
números reais associa o quadrado de cada um deles. 
 
 
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2) Seja a função f: [-2, 8] → R definida por f(x) = 1x2 − . Calcular f(5), f(-3). 
 
 
3) Seja a função g: R → R assim definida: 
 
 



<+
≥−
=
2x2x
2x3x)x(g
2
 Calcular g(6), g (0) e g(-3). 
 
4) Determinar o domínio de cada uma das seguintes funções reais de variável real: 
 
a) f: x → f(x) = x3 − 
 
b) g: x → g(x) = 
5 - x
x
 
 
c) h: x → h(x) = x1+ + x3 − 
 
5) Seja f: R → R definida por f(x) = 1 3x - 2x2 + . Calcular: 
a) f( 21 ) 
 
b) f(h) 
 
6) Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e B = {-1, 0, 1, 2} e a função f: A → B definida 
por f (x) = 1 3x - x2 + determine: 
 
a) Im(f) 
 
b) D(f) 
 
c) Cd (f) 
 
7) Qual é o elemento do domínio da função f(x) = 3x + 2 cuja imagem é 8? 
 
 
8) Para que valores de x ∈ R a função f(x) = 3x – 1 produz imagem igual a 2? 
 
 
9) Dada a função real f(x) = 2x + 4, calcule x para que: 
 
a) f(x) = -1 
 
b) f(x) = 0 
 
10) Sendo f: R → R tal que f(x) = 1 3x - x2 + , existe x ∈ R tal que f(x) = 0? 
 
 
 
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4.7 – Gráfico de uma Função do 1º Grau 
 
 Seja f: A → B uma função real. O gráfico cartesiano de f é o conjunto de todos 
os pontos P(x, y) do plano tais que x ∈ A e y = f(x). Assim representando por Gf o 
gráfico que f vem: 
Gf = {P(x, y) | y = f(x) e x ∈ A}. 
 
Para esboçar o gráfico de uma função no plano cartesiano, devemos atribuir 
valores a x, determinando os respectivos valores numéricos de y. 
 
Exemplos: 
1) f: E → F, definida por y = x (ou f(x) = x), sendo E = {-2, -1, 0, 1, 2} e 
F = {-2, -1, 0, 1, 2} 
 
 
2) f: A → B tal que f(x) = 2x, A = [-2, 2 ] e B = [-4, 4] 
 
 
 
 
4.8 – Função Composta 
 
 Sejam A, B, C três conjuntos, distintos ou não. Consideremos as duas 
funções f: A → B e g: B → C tais que o contradomínio da primeira e o domínio da 
segunda coincidem. 
 
 
 
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Genericamente, escrevemos h(x) = g(f(x)) = g o f(x) , para todo x ∈ A, sendo 
que h(x) representa a função g composta com f. 
 
 
1) Dadas as funções reais f(x) = 2x – 3 e g(x) = x – 1, calcule (f o g )(x) e g(f(x)). 
Solução: 
(f og) (x) = f(g(x)) = f(x – 1) = 2 (x – 1) – 3 = 2x – 5 
g(f(x)) = g(2x – 3) = 2x –3 – 1 = 2x – 4 
Observe que (f o g) (x) ≠≠≠≠ (g o f) (x). 
 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 
 
1) Dadas as funções reais f(x) = 1x2 − e g(x) = x + 1, calcule (f o g)(1). 
 
x2x
11x2x
1)1x(
))x(g(f)x)(gf(
2
2
2
++++====
====−−−−++++++++====
====−−−−++++====
========o
 
⇒⇒⇒⇒ 
3
21
1.21)1)(gf( 2
====
====++++====
++++====o
 
 
 
 
2) Dadas as funções reais f(x) = 3x + a e g(x) = 2x - 5, calcule a de modo que f(g(x)) = g(f(x)). 
 
a15x6
a)5x2(3
a))x(g(3
))x(g(f)x)(gf(
++++−−−−====
====++++−−−−====
====++++====
========o
 
====−−−−++++====
====−−−−++++====
====−−−−====
========
5a2x6
5)ax3(2
5))x(f(2
))x(f(g)x)(fg( o
 
10a
)1(10a
155a2a
5a2x6a15x6
)x)(fg()x)(gf(
−−−−====
−−−−====−−−−
++++−−−−====−−−−
−−−−++++====++++−−−−
==== oo
 
 
 
3) Sendo f(x) = 3x + 1 e f(g(x)) = 6x – 2, determine g(x). 
 
2x6)x)(gf(
e
1)x(g3)x)(gf(
−−−−====
++++====
o
o
 ⇒⇒⇒⇒ 
1x2)x(g
3
3x6)x(g
3x6)x(g3
12x6)x(g3
2x61)x(g3
−−−−====
−−−−
====
−−−−====
−−−−−−−−====
−−−−====++++
 
 
 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
 
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Exercícios: 
 
1) Sendo f(x) = 3x + 1 e g(x) = -3x + 4 determine: 
a) f(f(0)) 
b) g(g(2)) 
c) f(f(1)) + g(f(3)) 
 
2) Considere f(x) = 3x e g(x) = x – 1. Determine: 
a) f (f(x)) b) g (f(x)) c) f(g(-1)) 
 
3) Para f(x) = 3x – 1, g(x) = 2x1 − e h(x) = 2x− , obtenha: 
a) (f og) (x) b) (g oh) (x) c) (f o f) (x) d) g(h(1)) 
 
 4) Sendo 
1x3
1x)x(f
−
+
= e 





≠≠
+
= 0xe
3
1
x
x
5x)x(g 
a) (f og) (x) b) (g o f) (x) c) 





°
2
1g) (f d) (g o f) (1) 
 
5) Dadas as funções f(x) = 1x3x2 +− e g(x) = x – 1, resolva as inequações: 
a) f(g(x)) < 0 
b) (g o f) (x) ≥ 0 
 
6) Sendo f(x) = x + a e g(x) = 3x – 1, determine a, de modo que 
(f o g) (x) = (g o f) (x). 
 
7) Sendo f(x) = 2x e g(x) = 3x3 , obtenha: 
a) (f og) (x) 
b) f(f(x)) 
c) g(g(x)) 
d) g(f(x)) 
e) (f og) (1) 
f) 





°
2
1f) (g 
 
8) Dadas as funções f(x) = 1xx2 +− e g(x) = x + 1, calcule: 
a) (f og) (x) 
b) (g o f) (x) 
c) ))2((
))1((
−fg
gf
 
 
9) Sejam as funções f: R → R e g: R → R definidas por: 




≤−
>−
=
2xx2x
2x5x2)x(f 2 g(x) = 3x – 1 
 
Calcular: go f(1), fog(2), f o f(3) e gog(4) 
 
 
 
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4.9 – Função Injetora 
 
 Uma função f: A→ B diz-se injetora se e somente se dois elementos distintos 
quaisquer 1x e 2x de A têm sempre imagens distintas, em B, pela f. 
f: A→ B é injetora quando 1x ≠ 2x ⇒ f ( 1x )≠ f ( 2x ) , ∀ 1x , 2x ∈ A. 
 
Exemplos: 
1) A função f: R→ R, definida por f(x) = 3x , é injetora, pois ∀ 1x , 2x ∈ R, se 1x ≠ 2x , 
então 31x ≠ 32x ⇒ f ( 1x ) ≠ f ( 2x ) 
 
2) A função f: R → R dada por f(x) = 2x não é injetora, pois f(x) = f(-x) = 2x e x ≠ -x. 
 
 
4.10 – Função Sobrejetora 
 
 Uma função f: A→ B diz-se sobrejetora se e somente se, o seu conjunto 
imagem for igual ao contradomínio, isto é, Im(f) = B. 
Exemplos: 
1) A função f de A = {a, b, c, d, e} em B = {1, 2, 3} dada por f(a) = 1, f(b) = 2, f(c) = 3, 
f(e) = 2, é sobrejetora, pois Im (f) = B. 
 
2) A função f: R→ R, definida por f(x) = 3x – 1, é sobrejetora, pois seu contradomínio 
é R e o conjunto imagem também é R. 
 
3) A função f: R→ R definida por f(x) = x² não é sobrejetora porque Im(f) = R + ≠ R. 
 
 
4.11 – Função Bijetora 
 
 Uma função f: A → B diz-se bijetora se e somente se f é ao mesmo tempo 
sobrejetora e injetora. 
 Uma função f: A→ B é bijetora se e somente se todo y ∈ B existe um único x 
∈ A tal que f(x) = y. 
Exemplo: 
1) A função f de A = { a, b, c }em B = { 1, 2, 3 } dada por : f(a) = 3, f(b) = 1, f(c) = 2 é 
bijetora, pois cada um dos elementos de B ´e a imagem pela f de um único elemento 
de A. 
 
2) A função f: R→ R, definida por f(x) = 3x + 2 é bijetora, pois ∀ 1x , 2x ∈ R, se 1x ≠ 
2x , então 3 1x ≠ 3 2x ⇒ 3 1x + 2 ≠ 3 2x + 2 ⇒ f ( 1x ) ≠ f ( 2x ) ⇒ f é injetora. 
Cd(f) = R = Im(f) ⇒ f é sobrejetora 
Portanto a função é bijetora. 
 
 
 
 
 
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4.12 – Função Inversa 
 
 Seja f: A → B uma função. A relação recíproca f 1− : B → A é uma função se e 
somente se f é bijetora. 
 Sendo f: A→ B uma função bijetora, dizemos que f 1− : B→ A é função inversade f se, e somente se, para todo (x, y) ∈ f(y, x) ∈ f 1− . 
 Considere f uma função de A = {-1, 3, 7, 11, 15} em B = {0, 4, 8, 12, 16} 
representada pelos diagramas. A função g de B em A é a função inversa f 1− (x) de f. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D(f) = A Im (f) = B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
g(x) = f 1− (x) D (g) = B Im (g) = A 
 
Observe que D(f) = Im (f 1− ) e Im (f) = D(f 1− ). 
 
 
4.12.1 – Regra Prática para Determinação da Função Inversa 
 
 Para obter a função inversa de uma função f(x), basta reescrever f trocando 
de lugar as variáveis x e y e expressar y em função de x. 
 
Exemplo: Encontrar a inversa da função f(x) = 2x – 1. 
Solução: a função pode ser escrita como y = 2x – 1, trocando x por y e y por x vem: 
2
1xy1xy212y x +=⇒+=⇒−= 
2
1x
= (x) f 1- +∴ 
 
 
0 
 
4 
 
8 
 
12 
 
16 
- 1 
 
3 
 
7 
 
11 
 
15 
0 
 
4 
 
8 
 
12 
 
16 
A B f(x) 
- 1 
 
3 
 
7 
 
11 
 
15 
A B g(x) 
 
 
UniCarioca – EXA 1101 – Matemática I 30 
 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 
 
1) Dada a função reais f(x) = 1x − determine )x(f 1− 
1º) Reescreva a função definindo y 
1xy −−−−==== 
 
2º) Substitua x por y e y por x 
1yx −−−−==== 
 
3º) Isole y 
1xy
)1(1xy
++++====
−−−−−−−−−−−−====−−−−
 
 
4°) Reescreva a função Inversa 
1x)x(f 1 ++++====−−−− 
 
 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
 
Exercícios: 
1) Dadas as funções f(x) = 3x + 2 e 
3
1x2)x(g −= , determine: 
a) f 1− (x) 
b) g 1− (x) 
c) f 1− (g 1− (2)) 
d) g 1− (f 1− (2)) 
e) f 1− (g 1− (x)) 
 
2) Dada a função real f(x) = 3 + 2x, determine: 
a) f 1− (x) b) D(f 1− ) c) D(f) d) Im (f 1− ) e) Im (f) 
 
 
3) Dada a função real definida por f(x) = x 5 + 4, calcule f 1− (x). 
 
 
4) Sabendo que f(x) = 3x + 2 e g(x) = 2x , determine: 
a) f 1− (g(x)) b) g(f 1− (x)) 
 
 
 
5) Se f(x) = 3x e g(x) = 3x , determine: 
a) g (f(x)) b) g 1− (x) c) f 1− (x) d) f 1− (g 1− (x)) 
 
 
 
 
 
UniCarioca – EXA 1101 – Matemática I 31 
 
5 – Tipos de Função 
 
5.1 – Função Constante 
 
Sejam A e B dois conjuntos e b é um elemento qualquer de B ( )Bb ∈ . 
Chama-se função constante de A em B a função BA:f → definida por 
b)x(f = para todo Ax ∈ 
 
 
Observações: 
1) Se f é uma função constante então Im(f) é um conjunto unitário. 
 
2) O Gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo dos x que 
passa pelo ponto (0 , b) 
 
 
 
5.2 – Função Afim 
 
 Uma função BA:f → é uma função afim (polinomial do 1º grau) se, a cada 
Ax ∈ , associa o elemento B)bax( ∈+ com *a ℜ∈ e ℜ∈b . 
 
BA:f → definida por bax)x(f += 
 
Exemplos: 
a) 1x2)x(f −= 
b) 1
3
x2)x(f += 
c) x4)x(f −= 
d) 
5
2x)x(f −= 
e) x)x(f = 
 
Observações: 
1) Quando a função afim é do tipo ax)x(f = , isto é, 0b = , ela é chamada de função 
linear. 
 
2) Quando na função definida no item anterior a =1, tem-se a chamada função 
identidade. ( x)x(f = ) 
 
 
UniCarioca – EXA 1101 – Matemática I 32 
 
5.2.1 – Coeficientes da função afim 
 
 Em uma função real bax)x(f += , a é denominado coeficiente angular e b 
coeficiente linear. 
 
Pelo coeficiente angular podemos identificar se a função é crescente (a>0) ou 
decrescente (a<0). O coeficiente linear indica a ordenada do ponto em que a reta 
intercepta o eixo x. 
 
Exemplo: 
Gráfico da função ℜ→ℜ:f definida por 6x
7
6)x(f += 
 
 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 
 
1) Determine o valor de a para que a função real 7x)1a()x(f +−= seja decrescente 
1a
01a
<<<<
<<<<−−−−
 {{{{ }}}}1a/aS <<<<ℜℜℜℜ∈∈∈∈==== 
 
2) O custo da fabricação de um produto é de R$ 10,00 por unidade. Determine a função que 
representa o custo de fabricação levando em consideração que os demais custos fixos são de R$ 
400,00. 
Se o custo da fabricação de um produto é de R$ 10,00 por unidade, então o custo de produção 
de x produtos é de 10 . x, no entanto a empresa possui outros custos fixos que são de R$ 
400,00. 
Assim a função que representa o custo de fabricação é f(x) = 10x+400 
 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
 
Exercícios: 
 
1) Para cada uma das funções dadas, construa o gráfico e indique o coeficiente 
angular, o coeficiente linear, se a função é crescente ou decrescente, o ponto de 
interseção da reta com o eixo Ox e Oy. 
a) y = 4x - 8 
b) y = -2x – 4 
c) y = 2x 
d) y = -2x 
 
 
 
UniCarioca – EXA 1101 – Matemática I 33 
2) Determine o valor de m para que a função real f(x) = (2 – m)x + 7 seja crescente. 
 
3) Determine a equação da reta que passa pelo ponto (3,8) e cujo coeficiente 
angular é 3. 
 
4) O gráfico de Y = -2x + b corta o eixo x no ponto (
2
3
,0). Qual o valor de b? 
 
5) Calcule o valor de a, sabendo que o gráfico de y = ax + 3 passa pelo ponto (1, 1) 
 
 
6) Suponha que a função C(x) = 20x + 40 represente o custo total da produção de 
um determinado artigo, em que C é o custo (em reais) e x é o número de unidades 
produzidas. Determine: 
a) O custo de fabricação de 5 unidades desse produto; 
b) Quantas unidades devem ser produzidas para que o custo total seja de R$ 
12.000,00; 
 
 
7) Na fabricação de um determinado artigo, verificou-se que o custo total foi obtido 
através de uma taxa fixa de R$ 4.000,00; adicionada ao custo de produção, que é de 
R$ 50,00 por unidade. Determine: 
a) A função que representa o custo total em relação à quantidade produzida; 
b) O custo de fabricação de 15 unidades. 
 
 
8) Um móvel se desloca sobre uma trajetória retilínea de acordo com a função 
horária e = 4t + 8 (e é o espaço percorrido pelo móvel, em metros, e t é o tempo 
gasto em percorrê-lo, em segundos). Determine: 
a) As posições do móvel nos instantes t = 0s, t = 2s e t = 4s; 
b) O instante em que o móvel se encontra a 32 m da origem. 
 
 
9) Uma escola de natação cobra de seus alunos uma matrícula de R$ 80,00 mais 
uma mensalidade de R$ 50,00. Determine: 
a) A função que representa o gasto de um aluno em relação aos meses de aula 
b) Quanto gastou um aluno nos primeiros seis meses de aula. 
 
 
10) Uma máquina, ao sair da fábrica, sofre uma desvalorização constante pelo seu 
uso, representada pela função P(t) = 50 – 5t, em que P é o preço da máquina (em 
reais) e t é o tempo de uso (em anos). Determine: 
a) O custo da máquina ao sair da fábrica 
b) O custo da máquina após 5 anos de uso 
c) O tempo para que a máquina se desvalorize totalmente. 
 
 
 
UniCarioca – EXA 1101 – Matemática I 34 
5.3 – Função Quadrática 
 
 Uma função de R em R é chamada quadrática se, a cada x ∈ R, associa o 
elemento ( cbxax 2 ++ ) ∈ R, com a ∈ R ∗ , b ∈ R e c ∈ R: 
 f(x) = cbxax 2 ++ 
 
Exemplo: Dada a função f(x) = 22 x)3x(2 −− , determine: 
a) os valores dos coeficientes a, b, e c; 
b) os valores de f(-1), f( 2 ) e 





2
1f 
Solução: 
 
f(x) = 18x12xx18x12x2x)3x(2 22222 +−=−+−=−− , logo a = 1, b = -12 e c = 18 
 
a) f(-1) = (-1)² - 12(-1) + 18 = 31 
b) f( )2 = ( )2 )² - 12( )2 +18 = 20 - 12 2 
c) f( 21 )² = ( 21 )² - 12( 21 ) + 18 = 4
49
 
 
 
5.3.1 – Gráfico da função Quadrática 
 O gráfico de uma funçãoquadrática y = cbxax2 ++ é uma curva denominada 
parábola. 
 
 
 
 
5.3.2 – Análise do coeficiente a 
 
 Se a > 0, o gráfico da função quadrática é uma parábola com a concavidade 
voltada para cima. 
 Se a < 0, o gráfico da função quadrática é uma parábola com a concavidade 
voltada para baixo. 
 
5.3.3 – Zeros ou raízes de função 
 
Para determinar os zeros de f(x) = cbxax2 ++ , basta igualar f(x) = 0: 
 
 
UniCarioca – EXA 1101 – Matemática I 35 
cbxax2 ++ = 0 ⇒ 
a2
ac4bb
x
2
−±−
= ⇒ 
a2
ac4bb
x
2
1
−+−
= ou 
a2
ac4bb
x
2
2
−−−
= 
 (∆ = b² - 4ac) 
Assim, 1x e 2x são as abscissas nas quais a parábola corta o eixo x, ou seja, ( 1x ,0) e 
( 2x ,0) são os pontos de interseção da parábola com o eixo x. 
Exemplos: 
1) Dada a função f(x) = 1xx)1k( 2 −−− , estude a concavidade da parábola em 
função de k. 
Solução: 
O coeficiente de 2x é k – 1. Então: 
Se k – 1 > 0 ⇒ k > 1, a parábola tem concavidade para cima. 
Se k – 1 < 0 ⇒ k < 1, a parábola tem concavidade para baixo. 
 
2) Determine m para que a função f(x) = (2m – 3) x² + 4x + 7 seja do 2º grau. 
Solução: Para que a função seja do 2º grau, devemos ter 2m – 3 ≠ 0 ⇒ m ≠ 
2
3
 
3) Determine m de modo que a função f(x) = m 2x + x - 
2
m
 possua uma das raízes 
igual a –1. 
Solução: Sendo uma das raízes igual a –1, basta fazer f(-1) = 0, isto é, 
m(-1)² + (-1) - 
2
m
 = 0 ⇒ m – 1 - 
2
m
 = 0 ⇒ m = 2. 
 
 
5.3.4 – Sinal da função quadrática 
 
 Para estudar o sinal da função f(x) = cbxax2 ++ , a ≠ 0, temos que considerar 
o valor de ∆ e o sinal do coeficiente a. Assim: 
 
a) ∆ > 0, f(x) possui duas raízes reais e diferentes: 
 
• a > 0 
x = x 1 ou x = x 2 ⇒ f(x) = 0 
x < x 1 ou x > x 2 ⇒ f(x) > 0 
x 1 < x < x 2 ⇒ f(x) < 0 
 
• a < 0 
x = x 1 ou x = x 2 ⇒ f(x) = 0 
x < x 1 ou x > x 2 ⇒ f(x) < 0 
x 1 < x < x 2 ⇒ f(x) > 0 
 
 
 
UniCarioca – EXA 1101 – Matemática I 36 
 
b) ∆ = 0, f(x) possui duas raízes reais e iguais: 
 
• a > 0 
x = x 1 = x 2 ⇒ f(x) = 0 
x ≠ x 1 = x 2 ⇒ f(x) > 0 
 
• a < 0 
x = x 1 = x 2 ⇒ f(x) = 0 
x ≠ x 1 = x 2 ⇒ f(x) < 0 
 
c) ∆ < 0, f(x) não possui raízes reais: 
 
• a > 0 ∀x ∈ R ⇒ f(x) > 0 
 
• a < 0 ∀x ∈ R ⇒ f(x) < 0 
 
Exercícios: 
1) Para que os valores de p na função f(x) = (4 – 8p)x² + x – 7 é quadrática? 
 
2) Determine m para que uma função quadrática f(x) = (2m – 5)x² + 6x + 3 tenha a 
concavidade voltada para cima. 
 
3) Resolva as inequações em R: 
a) x² - x – 20 > 0 
b) – 6x² + 5x + 1 ≥ 0 
 
4) Sendo f(x) = -x² + 2x – 1, determine x tal que f(x)< 0. 
 
5) Sendo f(x) = -x² + 2x – 1, determine em R a solução das inequações: 
a) f(x) ≥ 0 
b) f(x) > 0 
c) f(x) ≤ 0 
d) f(x)< 0 
 
5.4 – Exponencial 
 
5.4.1 – Potenciação 
 Para a ∈ R, x ∈ R existe um único número real representado por xa e 
chamado de potência de base a e expoente x . 
 Assim definimos: 
 
 1, se x = 0 
 
xa = a, se x = 1 
 a.a....a.a, se x ≥ 2 
 
 
UniCarioca – EXA 1101 – Matemática I 37 
 
xa− = 
xa
1
, a ≠ 0 
5.4.1.1 – Propriedades 
a) a m . a n = a nm+ 
b) a m /a n = a nm− ,a ≠ 0 
c) (a m ) n = a nm. 
d) (a b) m = a m b m 
e) (a / b) m = a m / b m ,b ≠ 0 
f) a nm / = ( an ) m = n ma 
g) se a ≠ 1 então a m = a n se, e somente se m = n 
h) se a ≠ 1 e a > 1 então a m < a n se, e somente se m < n 
i) se a ≠ 1 e 0 < a < 1 então a m < a n se, e somente se m > n 
 
Exemplos: 
a) 
52
3
2
12














= [2³. (2 1− )²] 5 = [2³. 2 2− ] 5 = (2 23− ) 5 = (2¹) 5 = 2 5 = 32 
 
b) 
1
52
43
2.2
2.2
−
− 





 
2
8
1 −






 = ( ) ( ) 422.2222
2
2
2
1
2
2 264613723
1
3
72
352
43
====





=











−
−
−
−
−
−
−
+−
+
 
 
 
Exercícios: 
 
1) Aplicando as propriedades da potenciação, calcule: 
 
a) 
8
1
.2.
2
12 2
52
3 −














 = 
b)
9
16
.
4
3 2






 = 
c) ( ) ( )332 33 − = 
d) 3 ( ) 220 33 −−+ = 
e) ( ) ( )23 22 −−− = 
 
2) Calcule o valor da expressão ( ) ( )





−+
−−+−
3 89
4510
. 
 
3) Efetuar as operações indicadas fornecendo o resultado na forma 2 x : 
 
 
UniCarioca – EXA 1101 – Matemática I 38 
a) 2
1
3 2.2 
b) 53 16.4 
 
 
5.4.2 – Equação Exponencial 
 
 Uma equação é exponencial quando a incógnita está no expoente. 
 Assim, 322 =x ou 273 2 =−x são exemplos de equação exponencial. 
 Para resolver equações desse tipo, devemos transformá-las numa igualdade. 
A partir de bases iguais, igualar os expoentes e, então, determinar o valor da 
variável. 
 
Exemplo: 
Resolver as seguintes equações exponenciais 
a) 1282x = 
b) 8 2x1x 4 ++ = 
 
Solução: 
a) 2 7x2128 7x =⇒== 
b) ( ) ( ) ⇒=⇒=⇒= ++++++ 4x23x32x21x32x1x 222248 3x + 3 = 2x + 4 ⇒ x = 1 
 
 
Exercício: 
 
1) Resolva as seguintes equações exponenciais: 
a) 5 125x = 
b) 
2
14 1x =− 
c) 
1x1x2
3
4
16
9 +−−






=





 
d) 1
3
2 1x3
=





+
 
e) x3
x5
2
4
1
=





−
 
f) 8 3 1x1x2 4 −+ = 
 
g) 5. 3 x2
125
15 = 
h) 3
2x
3
5
5
3
=





+−
 
i) 3
1x
25
9
3
5
=





+−
 
 
 
UniCarioca – EXA 1101 – Matemática I 39 
j) 81
2x
1x
3
1






=
+
 
 
 
5.4.3 – Função Exponencial 
 Dado um número real a, tal que 1 ≠ a > 0, a função f: R→ R, definida por 
f(x)= xa , é chamada função exponencial de base a: 
 
 f(x) = xa ,a ∈ R *+ e a ≠ 1 
 
Exemplos: 
a) f(x) = 2 x 
b) f(x) = 
x






2
1
 
 
 
5.4.4 – Gráfico da Função Exponencial 
 
 
 
Exercícios: 
 
1) Classifique as funções em crescentes ou decrescentes: 
a) y = 
x
2
3






 
b) y = 4 x− 
c) y = a,
a
1 x






> 1 
 
2) Resolva as inequações exponenciais em R: 
a) 3
x
x
3
1






> 
b) 
x21x3
2
1
2
1 −+






>





 
 
 
UniCarioca – EXA 1101 – Matemática I 40 
c) 1024
2
1 1x5
>





−
 
d)
9x6x2
2
1 +−






< 1 
 
 
5.5 - Logaritmos 
 
5.5.1 – Definição 
 
 Sendo a e b números reais positivos, com b ≠ 1, chamamos de logaritmo de a 
na base b o expoente real x ao qual se eleva b para obter a: 
 log b a = x ⇒ b x = a, com a > 0, b > 0 e b ≠ 1 
 
Exemplos: 
 
a) log 2 8 = 3 823 =⇒ 
 
c) log 4414 14 =⇒= 
 
b) log 3/1 9 = -2 ⇒ 93
1 2
=





−
 
d) log 1701 07 =⇒= 
 
 
5.5.2 – Sistema de Logaritmos 
 
 Chamamos de sistema de logaritmos de base a o conjunto formado pelos 
logaritmos, nessa base, de todos os números reais positivos. Dois sistemas são 
mais usados: 
 
 
5.5.2.1 – Sistema de Logarítmos Decimais 
 
É o sistema de base 10. 
O logaritmo decimal de um número x ∈ R *+ é indicado por log x, ficando 
implícito que a base é 10. 
 
 
5.5.2.2 – Sistema de Logarítmos Neperianos ou naturais (ln) 
 
 É o sistema de base e (e = 2,718...). 
 O logaritmo natural é indicado por ln x. 
 
 
Exercícios: 
 
1) Calcular o logarítmo de 16 na base 2 . 
 
 
 
UniCarioca – EXA 1101 – Matemática I 41 
2) Calcular a base na qual o logarítmo de 6 6 vale 3/2. 
 
3) Calcular o logarítmode 27 na base 3 3 
 
4) O logarítmo de um número numa certa base vale p. Calcular o logaritmo do 
mesmo número numa base igual ao quadrado da base anterior. 
 
5) Determine x: 
a) log
2
1
4 =x 
b) log 2 x = 2
3
 
c) log 
8
1 x = 3
2−
 
 
6) Determine a base dos logaritmos: 
a) log x 16 = 2 
b) log x 5 = -1 
 
7) Aplicando a definição de logarítmo, determine a tal que log 2
2
a5a =





+ 
 
5.5.3 – Propriedades do Logarítmo 
 Sejam a > 0 e a ≠ 1. A > 0 e B > 0 e α um real arbitrário. Então valem as 
seguintes propriedades: 
 
a) O logarítmo do produto é igual a soma dos logaritmos 
log a (A.B) = log a A + log a B 
 
b) O logarítmo do quociente é igual a diferença dos logaritmos 
 log a (A .B) = log a A - log a B 
 
c) O logarítmo do inverso de um número é o simétrico do logarítmo desse 
número 
log a (1/B) = - log a B 
 
d) O logarítmo de um número elevado a um expoente é igual ao expoente 
vezes o logarítmo desse número 
log a A
α
 = α log a A 
 
 
5.5.4 – Mudança de Base 
 As propriedades vistas anteriormente somente são aplicadas a logarítmos da 
mesma base. 
 Sendo a > 0, b > 0, b ≠ 1, c >0, c ≠ 1, temos: 
 
 
UniCarioca – EXA 1101 – Matemática I 42 
blog
alog
alog
c
c
b = 
Exemplo: Dado log 2 = x, calcule log 202 . 
Solução: 
 Mudando a base para 10, temos: 
 
x
1x
log
10log2log
2log
)10.2log(
2log
20log20log2
+
=
+
=== 
 
 
 
 
5.5.5 – Função Logarítmica 
 
 Chamamos de função logarítmica de base a (1 ≠ a > 0) a função que associa 
a cada elemento x positivo o seu logarítmo nessa base: 
 f(x) = log a x definida de R *+ em R ( 1 ≠ a > 0 ) 
 
 
 
Exercícios: 
 
1) Calcule os logarítmos usando as propriedades operatórias: 
a) log 5 (125 x 625 ) 
b) log 2 16 8 
c) log
33 3
381
 
d) log
32
1
22 
 
2) Classifique as sentenças em verdadeiras ou falsas: 
a) log 12log9 33 < 
b) log 5log3
2
1
2
1 < 
c) log 3log5 22 < 
d) log
3
2log
2
1
2
1 < 
 
3) Determine x nas desigualdades: 
 
 
UniCarioca – EXA 1101 – Matemática I 43 
a) log 3logx 22 < 
b) log 16log9 xx < 
c) log 5log3 )1x()1x( ++ < 
d) log 3log)1x2(
2
1
2
1 <−