Cap. 2 - Estática dos Pontos Materiais
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Cap. 2 - Estática dos Pontos Materiais


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e 
escrevemos:
( )x y z x y zR i R j R k F i F j F k\uf02b \uf02b \uf03d \uf02b \uf02b\uf0e5
( ) ( ) ( )x y z x y zR i R j R k F i F j F k\uf02b \uf02b \uf03d \uf02b \uf02b\uf0e5 \uf0e5 \uf0e5
x x y y z zR F R F R F\uf03d \uf03d \uf03d\uf0e5 \uf0e5 \uf0e5
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Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática
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Componentes Retangulares no Espaço
2 - 58
\u2022 Adição de forças concorrentes no espaço: 
\u2022 O módulo da resultante R e os ângulos \u3b8x, \u3b8y e \u3b8z formados com os eixos 
coordenados são obtidos da seguinte forma:
2 2 2
x y zR R R R\uf03d \uf02b \uf02b
cos cos cos
yx z
x y z
RR R
R R R
\uf071 \uf071 \uf071\uf03d \uf03d \uf03d
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Problema Resolvido 2.7
2 - 59
O cabo de sutentação de uma torre está 
ancorado por meio de um parafuso e 
a tração no cabo de sustentação da 
torre é 2500 N. Determine:
a) os componentes Fx, Fy e Fz da força 
que atua no parafuso em A,
b) os ângulos \uf071x, \uf071y e \uf071z que definem a 
direção da força.
SOLUÇÃO:
\u2022 Considerando a posição relativa dos 
pontos A e B, determinamos o vetor 
unitário orientado de A para B.
\u2022 Utilizamos o vetor unitário para 
determinar os componentes da força 
atuando em A.
\u2022 Observando que os componentes do 
vetor unitário são os cossenos que 
orientam a direção do vetor, calculamos 
os ângulos correspondentes.
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Problema Resolvido 2.7
2 - 60
\u2022 Determinamos os componentes da força.
\uf028 \uf029\uf028 \uf029
\uf028 \uf029 \uf028 \uf029 \uf028 \uf029kji
kji
FF
\uf072\uf072\uf072
\uf072\uf072\uf072
\uf072\uf072
N 795N 2120N1060
318,0848,0424,0N 2500
\uf02b\uf02b\uf02d\uf03d
\uf02b\uf02b\uf02d\uf03d
\uf03d \uf06c
kji
kji
\uf072\uf072\uf072
\uf072\uf072\uf072\uf072
 318,0848,0424,0
3,94
30
3,94
80
3,94
40
\uf02b\uf02b\uf02d\uf03d
\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6
\uf02b\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6
\uf02b\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6 \uf02d
\uf03d\uf06c
.
F F
AB
AB
AB
F F
AB
\uf06c
\uf06c
\uf03d
\uf03d
\uf03d
40 80 30x y zd m d m d m\uf03d \uf02d \uf03d \uf02b \uf03d \uf02b
SOLUÇÃO:
\u2022 Determinamos o vetor unitário orientado de A
para B:
\uf028 \uf029 \uf028 \uf029 \uf028 \uf029
\uf028 \uf029 \uf028 \uf029 \uf028 \uf029
m 3,94
m30m80m40
m30m80m40
222
\uf03d
\uf02b\uf02b\uf02d\uf03d
\uf02b\uf02b\uf02d\uf03d
AB
kjiAB
\uf072\uf072\uf072
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Problema Resolvido 2.7
2 - 61
\u2022 Observando que os componentes do vetor 
unitário são os cossenos que orientam a direção 
da força, calculamos os ângulos correspondentes.
cos cos cos
0,424 0,848 0,318
x y z
yx z
i j k
FF F
i j k
F F F
i j k
\uf06c \uf071 \uf071 \uf071\uf03d \uf02b \uf02b
\uf03d \uf02b \uf02b
\uf03d \uf02d \uf02b \uf02b
115,1 32,0 71,5x y z\uf071 \uf071 \uf071\uf03d \uf03d \uf03d
cos 0,424 cos 0,848 cos 0,381x y z\uf071 \uf071 \uf071\uf03d \uf02d \uf03d \uf03d
\u2022 Utilizando as equações:
1060 2120 795
cos cos cos
2500 2500 2500
yx z
x y z
FF FN N N
F N F N F N
\uf071 \uf071 \uf071\uf02d \uf02b \uf02b\uf03d \uf03d \uf03d \uf03d \uf03d \uf03d
115,1 32,0 71,5x y z\uf071 \uf071 \uf071\uf03d \uf03d \uf03d
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Problema Resolvido 2.8
2 - 62
SOLUÇÃO:
\u2022 A força aplicada por cada cabo na estaca 
A será decomposta segundo as direções 
x, y e z.
\u2022 Começaremos determinando as 
componentes e o módulo dos vetores
com oigem em A.
,ABe AC
\u2022 Uma placa de concreto pré-moldado é temporariamente sustentada por cabos
como mostra a Figura. Conhecendo as trações de 4200N, no cabo AB, e 6000N,
no cabo AC, determine o módulo e a direção da resultante das forças aplicadas
pelos cabos AB e AC na estaca em A.
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Problema Resolvido 2.8
2 - 63
SOLUÇÃO:
\u2022 Representando por i, j e k os vetores unitários ao longo dos eixos coordenados,
temos:
(4,80 ) (2,40 ) (3,30 ) 6,30AB m i m j m k AB m\uf03d\uf02d \uf02b \uf02b \uf03d
(4,80 ) (2,40 ) (4,80 ) 7,20AC m i m j m k AC m\uf03d\uf02d \uf02b \uf02d \uf03d
\u2022 Seja o vetor unitário de AB. 
AB\uf06c
.AB AB ABT \uf06c\uf03dT
.AB AB
AB
T
AB
\uf03dT
4200
.
6,30
AB
N
AB
m
\uf03dT
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Problema Resolvido 2.8
2 - 64
SOLUÇÃO:
\u2022 Substituindo pela expressão acima, obtemos:
\uf05b \uf05d
4200
(4,80 ) (2,40 ) (3,30 )
6,30
AB m m m
m
\uf03d \uf02d \uf02b \uf02bT i j k
AB
\u2022 Seja o vetor unitário de AC. 
AC\uf06c
.AC AC ACT \uf06c\uf03dT
.AC AC
AC
T
AC
\uf03dT
6000
.
7,20
AC
N
AC
m
\uf03dT
\uf05b \uf05d(3200 ) (1600 ) (2200 )AB N N N\uf03d \uf02d \uf02b \uf02bT i j k
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Problema Resolvido 2.8
2 - 65
SOLUÇÃO:
\u2022 Substituindo pela expressão encontrada anteriormente, obtemos:
\uf05b \uf05d
6000
(4,80 ) (2,40 ) (4,80 )
7,20
AC m m m
m
\uf03d \uf02d \uf02b \uf02dT i j k
AC
\u2022 A resultante R das forças 
aplicadas pelos dois cabos é:
AB ACT T\uf03d \uf02bR
\uf05b \uf05d(4000 ) (2000 ) (4000 )AC N N N\uf03d \uf02d \uf02b \uf02dT i j k
(7200 ) (3600 ) ...
... (1800 )
N N
N
\uf03d \uf02d \uf02b \uf02b
\uf02d
R i j
k
2 2 2
X Y ZR R R\uf03d \uf02b \uf02bR
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Problema Resolvido 2.8
2 - 66
SOLUÇÃO:
\u2022 Calculando o módulo da resultante: \u2022 Para a determinação da direção:
7200
cos
8250
X
X
R N
R N
\uf071 \uf02d\uf03d \uf03d
2 2 2( 7200) (3600) ( 1800)\uf03d \uf02d \uf02b \uf02b \uf02dR
8250N\uf03dR
150,8X\uf071 \uf03d \uf0b0
3600
cos
8250
Y
Y
R N
R N
\uf071 \uf02b\uf03d \uf03d
1800
cos
8250
Z
Z
R N
R N
\uf071 \uf02d\uf03d \uf03d
64,1Y\uf071 \uf03d \uf0b0
102,6Z\uf071 \uf03d \uf0b0
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Equilíbrio de um Ponto Material no Espaço
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\u2022 Um ponto material está em equilíbrio se a resultante de todas as forças
atuantes sobre A é zero.
\u2022 As equações acima representam as condições necessárias e suficientes
para o equilíbrio de um ponto material no espaço.
\u2022 Servem para resolver problemas referentes ao equilíbrio de um ponto
material que não envolva mais de três incógnitas.
0 0 0x x y y z zR F R F R F\uf03d \uf03d \uf03d \uf03d \uf03d \uf03d\uf0e5 \uf0e5 \uf0e5
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Problema Resolvido 2.9
2 - 68
\u2022 Um cilindro de 200kg é pendurado por meio de dois cabos, AB e AC,
amarrados ao topo de uma parede vertical. Uma força H, horizontal e
perpendicular à parede, mantém o peso na posição ilustrada. Determinar a
intensidade de H e a tração em cada cabo.
SOLUÇÃO:
\u2022 O ponto A é escolhido como corpo
livre;
\u2022 Esse ponto está submetido a 4 forças, 3
das quais tem módulo desconhecido;
\u2022 Introduzindo os vetores unitários i, j e
k, decompomos cada força em compo-
nentes cartezianas.
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Problema Resolvido 2.9
2 - 69
SOLUÇÃO:
\u2022 No caso de TAB e TAC é necessário, inicialmente determinar as componentes e
os módulos dos vetores . Denominando o vetor unitário segundo
AB, escrevemos:
H\uf03dH i
mg -(200kg).(9,81m / s²) -(1962N)\uf03d \uf02dP j = j = j
ABe AC
AB\uf06c
(1,2 ) (10,0 ) (8,0 )
12,86
AB m m m
AB m
\uf03d\uf02d \uf02b \uf02b
\uf03d
i j k
12,86
0,0933 0,778 0,622
AB
AB
AB AB
AB m
\uf06c
\uf06c
\uf03d \uf03d
\uf03d\uf02d \uf02b \uf02bi j k
.
0,0933 0,778 0,622
AB ABAB
AB AB AB AB
T
T T T
\uf06c\uf03d
\uf03d\uf02d \uf02b \uf02b
T
T i j k
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Equilíbrio de um ponto material
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