Derivada-Tabela-Basica

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Ca´lculo Diferencial e Integral I
Tabela Ba´sica de Derivadas
Luiz C. M. de Aquino
aquino.luizclaudio@gmail.com
http://sites.google.com/site/lcmaquino
http://www.youtube.com/LCMAquino
Tabela Ba´sica de Derivadas
Introduc¸a˜o
Na u´ltima aula no´s definimos a func¸a˜o derivada de f (ou
simplesmente derivada de f ), como sendo
f ′(x) = lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
,
ou ainda
f ′(x) = lim
u→x
f (u)− f (x)
u − x ,
quando esses limites existem e sa˜o finitos.
Nesta aula vamos determinar a derivada de algumas func¸o˜es
elementares.
Durante esta aula vamos precisar aplicar conhecimentos sobre
produtos nota´veis, propriedades de potenciac¸a˜o, propriedades de
logaritmos e identidades trigonome´tricas. Eu recomendo que voceˆ
revise esses conteu´dos.
Tabela Ba´sica de Derivadas
Derivada de Func¸o˜es Constantes
Seja f (x) = c , com c uma constante real qualquer.
f ′(x) = lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
= lim
h→0
c − c
h
= 0
Portanto, f ′(x) = 0.
Tabela Ba´sica de Derivadas
Derivada de Monoˆmios do Tipo xn
Seja f (x) = xn, sendo n natural na˜o nulo.
f ′(x) = lim
h→0
(x + h)n − xn
h
Primeiro, vamos lembrar do produto nota´vel
an−bn = (a−b)(an−1+an−2b+· · ·+abn−2+bn−1), com n ∈ N e n > 1.
Desse modo, temos que
f ′(x) = lim
h→0
�h[(x + h)n−1 + (x + h)n−2x + · · ·+ (x + h)xn−2 + xn−1]
�h
= lim
h→0
(x + h)n−1 + (x + h)n−2x + · · ·+ (x + h)xn−2 + xn−1
= nxn−1
Portanto, f ′(x) = nxn−1.
Tabela Ba´sica de Derivadas
Derivada de Monoˆmios do Tipo xn
Seja f (x) = xn, sendo n natural na˜o nulo.
f ′(x) = lim
h→0
(x + h)n − xn
h
Primeiro, vamos lembrar do produto nota´vel
an−bn = (a−b)(an−1+an−2b+· · ·+abn−2+bn−1), com n ∈ N e n > 1.
Desse modo, temos que
f ′(x) = lim
h→0
�h[(x + h)n−1 + (x + h)n−2x + · · ·+ (x + h)xn−2 + xn−1]
�h
= lim
h→0
(x + h)n−1 + (x + h)n−2x + · · ·+ (x + h)xn−2 + xn−1
= nxn−1
Portanto, f ′(x) = nxn−1.
Tabela Ba´sica de Derivadas
Derivada de Monoˆmios do Tipo xn
Seja f (x) = xn, sendo n natural na˜o nulo.
f ′(x) = lim
h→0
(x + h)n − xn
h
Primeiro, vamos lembrar do produto nota´vel
an−bn = (a−b)(an−1+an−2b+· · ·+abn−2+bn−1), com n ∈ N e n > 1.
Desse modo, temos que
f ′(x) = lim
h→0
�h[(x + h)n−1 + (x + h)n−2x + · · ·+ (x + h)xn−2 + xn−1]
�h
= lim
h→0
(x + h)n−1 + (x + h)n−2x + · · ·+ (x + h)xn−2 + xn−1
= nxn−1
Portanto, f ′(x) = nxn−1.
Tabela Ba´sica de Derivadas
Derivada de Monoˆmios do Tipo xn
Seja f (x) = xn, sendo n natural na˜o nulo.
f ′(x) = lim
h→0
(x + h)n − xn
h
Primeiro, vamos lembrar do produto nota´vel
an−bn = (a−b)(an−1+an−2b+· · ·+abn−2+bn−1), com n ∈ N e n > 1.
Desse modo, temos que
f ′(x) = lim
h→0
�h[(x + h)n−1 + (x + h)n−2x + · · ·+ (x + h)xn−2 + xn−1]
�h
= lim
h→0
(x + h)n−1 + (x + h)n−2x + · · ·+ (x + h)xn−2 + xn−1
= nxn−1
Portanto, f ′(x) = nxn−1.
Tabela Ba´sica de Derivadas
Derivada de Monoˆmios do Tipo xn
Exemplo 1: Se f (x) = x5, enta˜o f ′(x) = 5x4.
Tabela Ba´sica de Derivadas
Derivada de Ra´ızes
Seja f (x) = n
√
x , sendo n natural na˜o nulo, x > 0 caso n seja par e
x 6= 0 caso n seja ı´mpar e diferente de 1.
f ′(x) = lim
h→0
n
√
x + h − n√x
h
Fazendo as substituic¸o˜es u = n
√
x + h e v = n
√
x , o limite acima e´
equivalente a
f ′(x) = lim
u→v
u − v
un − vn .
Aplicando o mesmo produto nota´vel descrito anteriormente,
obtemos
f ′(x) =
1
nvn−1
Portanto,
f ′(x) =
1
n
n
√
xn−1
.
Tabela Ba´sica de Derivadas
Derivada de Ra´ızes
Seja f (x) = n
√
x , sendo n natural na˜o nulo, x > 0 caso n seja par e
x 6= 0 caso n seja ı´mpar e diferente de 1.
f ′(x) = lim
h→0
n
√
x + h − n√x
h
Fazendo as substituic¸o˜es u = n
√
x + h e v = n
√
x , o limite acima e´
equivalente a
f ′(x) = lim
u→v
u − v
un − vn .
Aplicando o mesmo produto nota´vel descrito anteriormente,
obtemos
f ′(x) =
1
nvn−1
Portanto,
f ′(x) =
1
n
n
√
xn−1
.
Tabela Ba´sica de Derivadas
Derivada de Ra´ızes
Seja f (x) = n
√
x , sendo n natural na˜o nulo, x > 0 caso n seja par e
x 6= 0 caso n seja ı´mpar e diferente de 1.
f ′(x) = lim
h→0
n
√
x + h − n√x
h
Fazendo as substituic¸o˜es u = n
√
x + h e v = n
√
x , o limite acima e´
equivalente a
f ′(x) = lim
u→v
u − v
un − vn .
Aplicando o mesmo produto nota´vel descrito anteriormente,
obtemos
f ′(x) =
1
nvn−1
Portanto,
f ′(x) =
1
n
n
√
xn−1
.
Tabela Ba´sica de Derivadas
Derivada de Ra´ızes
Exemplo 2: Se f (x) = 3
√
x , enta˜o f ′(x) = 1
3
3√
x2
.
Tabela Ba´sica de Derivadas
Derivada de Ra´ızes
Note que escrevendo f (x) = n
√
x como sendo f (x) = x
1
n , temos
que
f ′(x) =
1
n
x
1
n
−1
=
1
nx
n−1
n
=
1
n
n
√
xn−1
Tabela Ba´sica de Derivadas
Derivada de Ra´ızes
Note que escrevendo f (x) = n
√
x como sendo f (x) = x
1
n , temos
que
f ′(x) =
1
n
x
1
n
−1
=
1
nx
n−1
n
=
1
n
n
√
xn−1
Tabela Ba´sica de Derivadas
Derivada de Ra´ızes
Note que escrevendo f (x) = n
√
x como sendo f (x) = x
1
n , temos
que
f ′(x) =
1
n
x
1
n
−1
=
1
nx
n−1
n
=
1
n
n
√
xn−1
Tabela Ba´sica de Derivadas
Derivada de Exponenciais
Seja a func¸a˜o f (x) = ax , com a ∈ R∗+ \ {1}.
f ′(x) = lim
h→0
a(x+h) − ax
h
= lim
h→0
ax(ah − 1)
h
= ax lim
h→0
ah − 1
h
Fica como exerc´ıcio verificar que lim
h→0
ah − 1
h
= ln a. Portanto,
f ′(x) = ax ln a.
Tabela Ba´sica de Derivadas
Derivada de Exponenciais
Seja a func¸a˜o f (x) = ax , com a ∈ R∗+ \ {1}.
f ′(x) = lim
h→0
a(x+h) − ax
h
= lim
h→0
ax(ah − 1)
h
= ax lim
h→0
ah − 1
h
Fica como exerc´ıcio verificar que lim
h→0
ah − 1
h
= ln a. Portanto,
f ′(x) = ax ln a.
Tabela Ba´sica de Derivadas
Derivada de Exponenciais
Seja a func¸a˜o f (x) = ax , com a ∈ R∗+ \ {1}.
f ′(x) = lim
h→0
a(x+h) − ax
h
= lim
h→0
ax(ah − 1)
h
= ax lim
h→0
ah − 1
h
Fica como exerc´ıcio verificar que lim
h→0
ah − 1
h
= ln a. Portanto,
f ′(x) = ax ln a.
Tabela Ba´sica de Derivadas
Derivada de Exponenciais
Seja a func¸a˜o f (x) = ax , com a ∈ R∗+ \ {1}.
f ′(x) = lim
h→0
a(x+h) − ax
h
= lim
h→0
ax(ah − 1)
h
= ax lim
h→0
ah − 1
h
Fica como exerc´ıcio verificar que lim
h→0
ah − 1
h
= ln a. Portanto,
f ′(x) = ax ln a.
Tabela Ba´sica de Derivadas
Derivada de Exponenciais
Exemplo 3:
(i) Se f (x) = 2x , enta˜o f ′(x) = 2x ln 2.
(ii) Se f (x) = ex , enta˜o f ′(x) = ex .
Tabela Ba´sica de Derivadas
Derivada de Logaritmos
Seja a func¸a˜o f (x) = loga x , com a ∈ R∗+ \ {1}.
f ′(x) = lim
h→0
loga(x + h)− loga x
h
= lim
h→0
loga
(
1 + hx
)
h
= loga
[
lim
h→0
(
1 +
h
x
) 1
h
]
Fica como exerc´ıcio verificar que lim
h→0
(
1 +
h
x
) 1
h
= e
1
x .
f ′(x) = loga e
1
x =
1
x
loga e =
1
x
ln e
ln a
=
1
x ln a
Portanto,
f ′(x) =
1
x ln a
.
Tabela Ba´sica de Derivadas
Derivada de Logaritmos
Seja a func¸a˜o f (x) = loga x , com a ∈ R∗+ \ {1}.
f ′(x) = lim
h→0
loga(x + h)− loga x
h
= lim
h→0
loga
(
1 + hx
)
h
= loga
[
lim
h→0
(
1 +
h
x
) 1
h
]
Fica como exerc´ıcio verificar que lim
h→0
(
1 +
h
x
) 1
h
= e
1
x .
f ′(x) = loga e
1
x =
1
x
loga e =
1
x
ln e
ln a
=
1
x ln a
Portanto,
f ′(x) =
1
x ln a
.
Tabela Ba´sica de Derivadas
Derivada de Logaritmos
Seja a func¸a˜o f (x) = loga x , com a ∈ R∗+ \ {1}.
f ′(x) = lim
h→0
loga(x + h)− loga x
h
= lim
h→0
loga
(
1 + hx
)
h
= loga
[
lim
h→0
(
1 +
h
x
) 1
h
]
Fica como exerc´ıcio verificar que lim
h→0
(
1 +
h
x
) 1
h
= e
1
x .
f ′(x) = loga e
1
x =
1
x
loga e =
1
x
ln e
ln a
=
1
x ln a
Portanto,
f ′(x) =
1
x ln a
.
Tabela Ba´sica de Derivadas
Derivada de Logaritmos
Seja a func¸a˜o f (x) = loga x , com a ∈ R∗+ \ {1}.
f ′(x) = lim
h→0
loga(x + h)− loga x
h
= lim
h→0
loga
(
1 + hx
)
h
= loga
[
lim
h→0
(
1 +
h
x
) 1
h
]
Fica como exerc´ıcio verificar que lim
h→0
(
1 +
h
x
) 1
h
= e
1
x .
f ′(x) = loga e
1
x =
1
x
loga e =
1
x
ln e
ln a
=
1
x ln a
Portanto,
f ′(x) =
1
x ln a
.
Tabela Ba´sica de Derivadas
Derivada de Logaritmos
Exemplo 4:
(i) Se f (x) = log2 x , enta˜o f
′(x) = 1x ln 2 .
(ii) Se f (x) = ln x , enta˜o f ′(x) = 1x .
Tabela Ba´sica de Derivadas
Derivada do Seno
Seja a func¸a˜o f (x) = sen x .
f ′(x) = limh→0
sen (x + h)− sen x
h
= lim
h→0
sen x cos h + sen h cos x − sen x
h
= lim
h→0
sen x(cos h − 1) + sen h cos x
h
= sen x lim
h→0
cos h − 1
h
+ cos x lim
h→0
sen h
h
= 0 · sen x + 1 · cos x
= cos x
Portanto, f ′(x) = cos x .
Tabela Ba´sica de Derivadas
Derivada do Seno
Seja a func¸a˜o f (x) = sen x .
f ′(x) = lim
h→0
sen (x + h)− sen x
h
= lim
h→0
sen x cos h + sen h cos x − sen x
h
= lim
h→0
sen x(cos h − 1) + sen h cos x
h
= sen x lim
h→0
cos h − 1
h
+ cos x lim
h→0
sen h
h
= 0 · sen x + 1 · cos x
= cos x
Portanto, f ′(x) = cos x .
Tabela Ba´sica de Derivadas
Derivada do Seno
Seja a func¸a˜o f (x) = sen x .
f ′(x) = lim
h→0
sen (x + h)− sen x
h
= lim
h→0
sen x cos h + sen h cos x − sen x
h
= lim
h→0
sen x(cos h − 1) + sen h cos x
h
= sen x lim
h→0
cos h − 1
h
+ cos x lim
h→0
sen h
h
= 0 · sen x + 1 · cos x
= cos x
Portanto, f ′(x) = cos x .
Tabela Ba´sica de Derivadas
Derivada do Seno
Seja a func¸a˜o f (x) = sen x .
f ′(x) = lim
h→0
sen (x + h)− sen x
h
= lim
h→0
sen x cos h + sen h cos x − sen x
h
= lim
h→0
sen x(cos h − 1) + sen h cos x
h
= sen x lim
h→0
cos h − 1
h
+ cos x lim
h→0
sen h
h
= 0 · sen x + 1 · cos x
= cos x
Portanto, f ′(x) = cos x .
Tabela Ba´sica de Derivadas
Derivada do Seno
Seja a func¸a˜o f (x) = sen x .
f ′(x) = lim
h→0
sen (x + h)− sen x
h
= lim
h→0
sen x cos h + sen h cos x − sen x
h
= lim
h→0
sen x(cos h − 1) + sen h cos x
h
= sen x lim
h→0
cos h − 1
h
+ cos x lim
h→0
sen h
h
= 0 · sen x + 1 · cos x
= cos x
Portanto, f ′(x) = cos x .
Tabela Ba´sica de Derivadas
Derivada do Cosseno
Seja a func¸a˜o f (x) = cos x .
f ′(x) = lim
h→0
cos(x + h)− cos x
h
Lembrando-se da identidade trigonome´trica
cos(x + h) = cos x cos h − sen x sen h,
obtemos no final que f ′(x) = − sen x .
Tabela Ba´sica de Derivadas
Derivada do Cosseno
Seja a func¸a˜o f (x) = cos x .
f ′(x) = lim
h→0
cos(x + h)− cos x
h
Lembrando-se da identidade trigonome´trica
cos(x + h) = cos x cos h − sen x sen h,
obtemos no final que f ′(x) = − sen x .
Tabela Ba´sica de Derivadas
Resumo
f (x) f ′(x)
c 0
xn nxn−1
n
√
x
1
n
n
√
xn−1
ax ax ln a
loga x
1
x ln a
sen x cos x
cos x − sen x