Derivada Teste Primeira Segunda Derivada

Prévia do material em texto

Ca´lculo Diferencial e Integral I
Teste da Primeira e da Segunda Derivada
Luiz C. M. de Aquino
aquino.luizclaudio@gmail.com
http://sites.google.com/site/lcmaquino
http://www.youtube.com/LCMAquino
Teste da Primeira e da Segunda Derivada
Introduc¸a˜o
Utilizando os conhecimentos sobre os intervalos de crescimento ou
decrescimento e sobre a concavidade do gra´fico de uma func¸a˜o,
podemos criar dois testes que nos permitem determinar os pontos
de m´ınimo ou de ma´ximo dessa func¸a˜o.
Teste da Primeira e da Segunda Derivada
Teste da Primeira Derivada
Seja uma func¸a˜o cont´ınua f e um ponto c em seu dom´ınio tal que
f ′(c) = 0 (ou seja, c e´ um ponto cr´ıtico de f ).
(i) Se f ′ altera o seu sinal de negativo para positivo em c , enta˜o
f (c) e´ m´ınimo local.
(ii) Se f ′ altera o seu sinal de positivo para negativo em c , enta˜o
f (c) e´ ma´ximo local.
Teste da Primeira e da Segunda Derivada
Teste da Primeira Derivada
Seja uma func¸a˜o cont´ınua f e um ponto c em seu dom´ınio tal que
f ′(c) = 0 (ou seja, c e´ um ponto cr´ıtico de f ).
(i) Se f ′ altera o seu sinal de negativo para positivo em c , enta˜o
f (c) e´ m´ınimo local.
(ii) Se f ′ altera o seu sinal de positivo para negativo em c , enta˜o
f (c) e´ ma´ximo local.
Teste da Primeira e da Segunda Derivada
Teste da Segunda Derivada
Seja uma func¸a˜o cont´ınua f e um ponto c em seu dom´ınio tal que
f ′(c) = 0 (ou seja, c e´ um ponto cr´ıtico de f ).
(i) Se f ′′(c) > 0, enta˜o f (c) e´ m´ınimo local.
(ii) Se f ′′(c) < 0, enta˜o f (c) e´ ma´ximo local.
Teste da Primeira e da Segunda Derivada
Teste da Segunda Derivada
Seja uma func¸a˜o cont´ınua f e um ponto c em seu dom´ınio tal que
f ′(c) = 0 (ou seja, c e´ um ponto cr´ıtico de f ).
(i) Se f ′′(c) > 0, enta˜o f (c) e´ m´ınimo local.
(ii) Se f ′′(c) < 0, enta˜o f (c) e´ ma´ximo local.
Teste da Primeira e da Segunda Derivada
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Determine o ponto de ma´ximo ou de m´ınimo da
func¸a˜o f (x) = − x
x2 + 4
usando tanto o teste da primeira derivada
quanto o da segunda.
Derivando f obtemos
f ′(x) =
x2 − 4
(x2 + 4)2
.
Para determinar os pontos cr´ıticos de f devemos resolver a
equac¸a˜o f ′(x) = 0, isto e´,
x2 − 4
(x2 + 4)2
= 0.
E´ fa´cil obter que as soluc¸o˜es sa˜o x = 2 e x = −2.
Teste da Primeira e da Segunda Derivada
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Determine o ponto de ma´ximo ou de m´ınimo da
func¸a˜o f (x) = − x
x2 + 4
usando tanto o teste da primeira derivada
quanto o da segunda.
Derivando f obtemos
f ′(x) =
x2 − 4
(x2 + 4)2
.
Para determinar os pontos cr´ıticos de f devemos resolver a
equac¸a˜o f ′(x) = 0, isto e´,
x2 − 4
(x2 + 4)2
= 0.
E´ fa´cil obter que as soluc¸o˜es sa˜o x = 2 e x = −2.
Teste da Primeira e da Segunda Derivada
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Determine o ponto de ma´ximo ou de m´ınimo da
func¸a˜o f (x) = − x
x2 + 4
usando tanto o teste da primeira derivada
quanto o da segunda.
Derivando f obtemos
f ′(x) =
x2 − 4
(x2 + 4)2
.
Para determinar os pontos cr´ıticos de f devemos resolver a
equac¸a˜o f ′(x) = 0, isto e´,
x2 − 4
(x2 + 4)2
= 0.
E´ fa´cil obter que as soluc¸o˜es sa˜o x = 2 e x = −2.
Teste da Primeira e da Segunda Derivada
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Determine o ponto de ma´ximo ou de m´ınimo da
func¸a˜o f (x) = − x
x2 + 4
usando tanto o teste da primeira derivada
quanto o da segunda.
Derivando f obtemos
f ′(x) =
x2 − 4
(x2 + 4)2
.
Para determinar os pontos cr´ıticos de f devemos resolver a
equac¸a˜o f ′(x) = 0, isto e´,
x2 − 4
(x2 + 4)2
= 0.
E´ fa´cil obter que as soluc¸o˜es sa˜o x = 2 e x = −2.
Teste da Primeira e da Segunda Derivada
Exerc´ıcio
Para o usar o teste da primeira derivada, precisamos analisar o
sinal de f ′.
Portanto, teremos que f (−2) e´ um ma´ximo local e f (2) e´ um
m´ınimo local.
Teste da Primeira e da Segunda Derivada
Exerc´ıcio
Para o usar o teste da primeira derivada, precisamos analisar o
sinal de f ′.
Portanto, teremos que f (−2) e´ um ma´ximo local e f (2) e´ um
m´ınimo local.
Teste da Primeira e da Segunda Derivada
Exerc´ıcio
Para o usar o teste da segunda derivada, precisamos analisar o
sinal de f ′′(−2) e f ′′(2).
Calculando a segunda derivada de f , obtemos
f ′′(x) =
−2x3 + 24x
(x2 + 4)3
.
Avaliando a segunda derivada em x = −2 e em x = 2, obtemos
f ′′(−2) = −2 · (−2)
3 + 24 · (−2)
[(−2)2 + 4]3 < 0,
f ′′(2) =
−2 · 23 + 24 · 2
(22 + 4)3
> 0.
Portanto, teremos que f (−2) e´ um ma´ximo local e f (2) e´ um
m´ınimo local.
Teste da Primeira e da Segunda Derivada
Exerc´ıcio
Para o usar o teste da segunda derivada, precisamos analisar o
sinal de f ′′(−2) e f ′′(2).
Calculando a segunda derivada de f , obtemos
f ′′(x) =
−2x3 + 24x
(x2 + 4)3
.
Avaliando a segunda derivada em x = −2 e em x = 2, obtemos
f ′′(−2) = −2 · (−2)
3 + 24 · (−2)
[(−2)2 + 4]3 < 0,
f ′′(2) =
−2 · 23 + 24 · 2
(22 + 4)3
> 0.
Portanto, teremos que f (−2) e´ um ma´ximo local e f (2) e´ um
m´ınimo local.
Teste da Primeira e da Segunda Derivada
Exerc´ıcio
Para o usar o teste da segunda derivada, precisamos analisar o
sinal de f ′′(−2) e f ′′(2).
Calculando a segunda derivada de f , obtemos
f ′′(x) =
−2x3 + 24x
(x2 + 4)3
.
Avaliando a segunda derivada em x = −2 e em x = 2, obtemos
f ′′(−2) = −2 · (−2)
3 + 24 · (−2)
[(−2)2 + 4]3 < 0,
f ′′(2) =
−2 · 23 + 24 · 2
(22 + 4)3
> 0.
Portanto, teremos que f (−2) e´ um ma´ximo local e f (2) e´ um
m´ınimo local.
Teste da Primeira e da Segunda Derivada
Exerc´ıcio
Para o usar o teste da segunda derivada, precisamos analisar o
sinal de f ′′(−2) e f ′′(2).
Calculando a segunda derivada de f , obtemos
f ′′(x) =
−2x3 + 24x
(x2 + 4)3
.
Avaliando a segunda derivada em x = −2 e em x = 2, obtemos
f ′′(−2) = −2 · (−2)
3 + 24 · (−2)
[(−2)2 + 4]3 < 0,
f ′′(2) =
−2 · 23 + 24 · 2
(22 + 4)3
> 0.
Portanto, teremos que f (−2) e´ um ma´ximo local e f (2) e´ um
m´ınimo local.
Teste da Primeira e da Segunda Derivada
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Deseja-se construir um reservato´rio com capacidade de
686 m3. O seu formato e´ de um prisma reto com base quadrada.
Sabe-se que o custo, por metro quadrado, para construir o seu
fundo e´ o triplo do custo, tambe´m por metro quadrado, para
construir as suas laterais. Determine as dimenso˜es desse
reservato´rio de modo a minimizar o custo de sua construc¸a˜o.
V = b2h
AL = 4bh
AB = b
2
C = 3AB + AL
Teste da Primeira e da Segunda Derivada
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Deseja-se construir um reservato´rio com capacidade de
686 m3. O seu formato e´ de um prisma reto com base quadrada.
Sabe-se que o custo, por metro quadrado, para construir o seu
fundo e´ o triplo do custo, tambe´m por metro quadrado, para
construir as suas laterais. Determine as dimenso˜es desse
reservato´rio de modo a minimizar o custo de sua construc¸a˜o.
V = b2h
AL = 4bh
AB = b
2
C = 3AB + AL
Teste da Primeira e da Segunda Derivada
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Deseja-se construir um reservato´rio com capacidade de
686 m3. O seu formato e´ de um prisma reto com base quadrada.
Sabe-se que o custo, por metro quadrado, para construir o seu
fundo e´ o triplo do custo, tambe´m por metro quadrado, para
construir as suas laterais. Determine as dimenso˜es desse
reservato´rio de modo a minimizar o custo de sua construc¸a˜o.
V = b2h
AL = 4bh
AB = b
2
C = 3AB + AL
Teste da Primeira e da Segunda Derivada
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Deseja-se construir um reservato´rio com capacidade de
686 m3. O seu formato e´ de um prisma reto com base quadrada.
Sabe-se que o custo, por metro quadrado, para construir o seu
fundo e´ o triplo do custo, tambe´m por metro quadrado, para
construir as suas laterais. Determine as dimenso˜es desse
reservato´rio de modo a minimizaro custo de sua construc¸a˜o.
V = b2h
AL = 4bh
AB = b
2
C = 3AB + AL
Teste da Primeira e da Segunda Derivada
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Deseja-se construir um reservato´rio com capacidade de
686 m3. O seu formato e´ de um prisma reto com base quadrada.
Sabe-se que o custo, por metro quadrado, para construir o seu
fundo e´ o triplo do custo, tambe´m por metro quadrado, para
construir as suas laterais. Determine as dimenso˜es desse
reservato´rio de modo a minimizar o custo de sua construc¸a˜o.
V = b2h
AL = 4bh
AB = b
2
C = 3AB + AL
Teste da Primeira e da Segunda Derivada
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Deseja-se construir um reservato´rio com capacidade de
686 m3. O seu formato e´ de um prisma reto com base quadrada.
Sabe-se que o custo, por metro quadrado, para construir o seu
fundo e´ o triplo do custo, tambe´m por metro quadrado, para
construir as suas laterais. Determine as dimenso˜es desse
reservato´rio de modo a minimizar o custo de sua construc¸a˜o.
V = b2h
AL = 4bh
AB = b
2
C = 3AB + AL
Teste da Primeira e da Segunda Derivada
Exerc´ıcio
Como o volume deve ser 686 m3, podemos escrever que h =
686
b2
.
Colocando o custo em func¸a˜o da medida b temos que
C (b) = 3b2 +
2744
b
.
Calculando a primeira derivada de C , obtemos
C ′(b) = 6b − 2744
b2
.
Para determinar os pontos cr´ıticos de C , no´s resolvemos a equac¸a˜o
C ′(b) = 0. Isto e´,
6b − 2744
b2
= 0⇒ 6b
3 − 2744
b2
= 0.
Na˜o e´ dif´ıcil obter que a soluc¸a˜o dessa equac¸a˜o e´ b = 7
3
√
4
3
.
Teste da Primeira e da Segunda Derivada
Exerc´ıcio
Como o volume deve ser 686 m3, podemos escrever que h =
686
b2
.
Colocando o custo em func¸a˜o da medida b temos que
C (b) = 3b2 +
2744
b
.
Calculando a primeira derivada de C , obtemos
C ′(b) = 6b − 2744
b2
.
Para determinar os pontos cr´ıticos de C , no´s resolvemos a equac¸a˜o
C ′(b) = 0. Isto e´,
6b − 2744
b2
= 0⇒ 6b
3 − 2744
b2
= 0.
Na˜o e´ dif´ıcil obter que a soluc¸a˜o dessa equac¸a˜o e´ b = 7
3
√
4
3
.
Teste da Primeira e da Segunda Derivada
Exerc´ıcio
Como o volume deve ser 686 m3, podemos escrever que h =
686
b2
.
Colocando o custo em func¸a˜o da medida b temos que
C (b) = 3b2 +
2744
b
.
Calculando a primeira derivada de C , obtemos
C ′(b) = 6b − 2744
b2
.
Para determinar os pontos cr´ıticos de C , no´s resolvemos a equac¸a˜o
C ′(b) = 0. Isto e´,
6b − 2744
b2
= 0⇒ 6b
3 − 2744
b2
= 0.
Na˜o e´ dif´ıcil obter que a soluc¸a˜o dessa equac¸a˜o e´ b = 7
3
√
4
3
.
Teste da Primeira e da Segunda Derivada
Exerc´ıcio
Como o volume deve ser 686 m3, podemos escrever que h =
686
b2
.
Colocando o custo em func¸a˜o da medida b temos que
C (b) = 3b2 +
2744
b
.
Calculando a primeira derivada de C , obtemos
C ′(b) = 6b − 2744
b2
.
Para determinar os pontos cr´ıticos de C , no´s resolvemos a equac¸a˜o
C ′(b) = 0. Isto e´,
6b − 2744
b2
= 0⇒ 6b
3 − 2744
b2
= 0.
Na˜o e´ dif´ıcil obter que a soluc¸a˜o dessa equac¸a˜o e´ b = 7
3
√
4
3
.
Teste da Primeira e da Segunda Derivada
Exerc´ıcio
Como o volume deve ser 686 m3, podemos escrever que h =
686
b2
.
Colocando o custo em func¸a˜o da medida b temos que
C (b) = 3b2 +
2744
b
.
Calculando a primeira derivada de C , obtemos
C ′(b) = 6b − 2744
b2
.
Para determinar os pontos cr´ıticos de C , no´s resolvemos a equac¸a˜o
C ′(b) = 0. Isto e´,
6b − 2744
b2
= 0⇒ 6b
3 − 2744
b2
= 0.
Na˜o e´ dif´ıcil obter que a soluc¸a˜o dessa equac¸a˜o e´ b = 7
3
√
4
3
.
Teste da Primeira e da Segunda Derivada
Exerc´ıcio
Precisamos avaliar o sinal de C ′′
(
7 3
√
4
3
)
.
Calculando a segunda derivada de C , obtemos
C ′′(b) = 6 +
5488
b3
.
Avaliando a segunda derivada no ponto desejado, obtemos
C ′′
(
7
3
√
4
3
)
= 6 +
5488(
7 3
√
4
3
)3 > 0.
Portanto, teremos que C
(
7 3
√
4
3
)
e´ um m´ınimo local.
Teste da Primeira e da Segunda Derivada
Exerc´ıcio
Precisamos avaliar o sinal de C ′′
(
7 3
√
4
3
)
.
Calculando a segunda derivada de C , obtemos
C ′′(b) = 6 +
5488
b3
.
Avaliando a segunda derivada no ponto desejado, obtemos
C ′′
(
7
3
√
4
3
)
= 6 +
5488(
7 3
√
4
3
)3 > 0.
Portanto, teremos que C
(
7 3
√
4
3
)
e´ um m´ınimo local.
Teste da Primeira e da Segunda Derivada
Exerc´ıcio
Precisamos avaliar o sinal de C ′′
(
7 3
√
4
3
)
.
Calculando a segunda derivada de C , obtemos
C ′′(b) = 6 +
5488
b3
.
Avaliando a segunda derivada no ponto desejado, obtemos
C ′′
(
7
3
√
4
3
)
= 6 +
5488(
7 3
√
4
3
)3 > 0.
Portanto, teremos que C
(
7 3
√
4
3
)
e´ um m´ınimo local.
Teste da Primeira e da Segunda Derivada
Exerc´ıcio
Precisamos avaliar o sinal de C ′′
(
7 3
√
4
3
)
.
Calculando a segunda derivada de C , obtemos
C ′′(b) = 6 +
5488
b3
.
Avaliando a segunda derivada no ponto desejado, obtemos
C ′′
(
7
3
√
4
3
)
= 6 +
5488(
7 3
√
4
3
)3 > 0.
Portanto, teremos que C
(
7 3
√
4
3
)
e´ um m´ınimo local.
Teste da Primeira e da Segunda Derivada
Exerc´ıcio
Por fim, temos que as medidas
b = 7
3
√
4
3
≈ 7, 704,
h =
686(
7 3
√
4
3
)2 ≈ 11, 557,
geram um custo m´ınimo global.
Note que C ′′(b) > 0 para todo b no dom´ınio de C ′′, portanto a
concavidade do gra´fico da func¸a˜o C e´ sempre para cima.
Teste da Primeira e da Segunda Derivada
Exerc´ıcio
Por fim, temos que as medidas
b = 7
3
√
4
3
≈ 7, 704,
h =
686(
7 3
√
4
3
)2 ≈ 11, 557,
geram um custo m´ınimo global.
Note que C ′′(b) > 0 para todo b no dom´ınio de C ′′, portanto a
concavidade do gra´fico da func¸a˜o C e´ sempre para cima.