Integral Area de Superficies Planas
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Integral Area de Superficies Planas


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Ca´lculo Diferencial e Integral I
A´rea de Superf´\u131cies Planas
Luiz C. M. de Aquino
aquino.luizclaudio@gmail.com
http://sites.google.com/site/lcmaquino
http://www.youtube.com/LCMAquino
A´rea de Superf´\u131cies Planas
Introduc¸a\u2dco
No ensino fundamental e me´dio, no´s estudamos como calcular a
a´rea de superf´\u131cies planas elementares, como por exemplo, o
tria\u2c6ngulo, o reta\u2c6ngulo, o quadrado, o c´\u131rculo, etc.
Nesta aula, veremos a introduc¸a\u2dco de conceitos que nos permitem
calcular a a´rea de superf´\u131cies planas mais gene´ricas.
A´rea de Superf´\u131cies Planas
Me´todo de resoluc¸a\u2dco
Considere o problema de calcular a a´rea da regia\u2dco delimitada pelo
gra´fico da func¸a\u2dco f (x) = x2 e pelo eixo x no intervalo [0, 1]. Ou
seja, calcular a a´rea hachurada na figura abaixo.
A´rea de Superf´\u131cies Planas
Me´todo de resoluc¸a\u2dco
Observe que podemos aproximar essa a´rea utilizando reta\u2c6ngulos,
como ilustra a figura abaixo.
Considerando que Ai e´ a soma das a´reas dos reta\u2c6ngulos
\u201cinferiores\u201d, As e´ a soma das a´reas dos reta\u2c6ngulos \u201csuperiores\u201d e A
a a´rea original, temos que
Ai < A < As .
A´rea de Superf´\u131cies Planas
Me´todo de resoluc¸a\u2dco
Observe que podemos aproximar essa a´rea utilizando reta\u2c6ngulos,
como ilustra a figura abaixo.
Considerando que Ai e´ a soma das a´reas dos reta\u2c6ngulos
\u201cinferiores\u201d, As e´ a soma das a´reas dos reta\u2c6ngulos \u201csuperiores\u201d e A
a a´rea original, temos que
Ai < A < As .
A´rea de Superf´\u131cies Planas
Me´todo de resoluc¸a\u2dco
Vamos dividir o intervalo [0, 1] em 10 subintervalos de tamanho
0,1 e calcular a soma das a´reas dos reta\u2c6ngulos.
Ai = 0, 1[f (0, 1) + f (0, 2) + f (0, 3) + f (0, 4) + f (0, 5)
+f (0, 6) + f (0, 7) + f (0, 8) + f (0, 9)]
= 0, 285
A´rea de Superf´\u131cies Planas
Me´todo de resoluc¸a\u2dco
Vamos dividir o intervalo [0, 1] em 10 subintervalos de tamanho
0,1 e calcular a soma das a´reas dos reta\u2c6ngulos.
Ai = 0, 1[f (0, 1) + f (0, 2) + f (0, 3) + f (0, 4) + f (0, 5)
+f (0, 6) + f (0, 7) + f (0, 8) + f (0, 9)]
= 0, 285
A´rea de Superf´\u131cies Planas
Me´todo de resoluc¸a\u2dco
Vamos dividir o intervalo [0, 1] em 10 subintervalos de tamanho
0,1 e calcular a soma das a´reas dos reta\u2c6ngulos.
Ai = 0, 1[f (0, 1) + f (0, 2) + f (0, 3) + f (0, 4) + f (0, 5)
+f (0, 6) + f (0, 7) + f (0, 8) + f (0, 9)]
= 0, 285
A´rea de Superf´\u131cies Planas
Me´todo de resoluc¸a\u2dco
As = 0, 1[f (0, 1) + f (0, 2) + f (0, 3) + f (0, 4) + f (0, 5)
+f (0, 6) + f (0, 7) + f (0, 8) + f (0, 9) + f (1)]
= 0, 385
A´rea de Superf´\u131cies Planas
Me´todo de resoluc¸a\u2dco
Dessa maneira, vamos concluir que dividindo o intervalo em 10
subintervalos de mesmo tamanho, a a´rea original e´ tal que
0, 285 < A < 0, 385.
Aumentando a subdivisa\u2dco, obtemos aproximac¸o\u2dces cada vez
melhores. A tabela a seguir ilustra o resultado para algumas
subdiviso\u2dces.
Subdiviso\u2dces Ai As
20 0,30875 0,35875
40 0,32094 0,34594
60 0,32505 0,34171
80 0,32711 0,33961
100 0,32835 0,33835
A´rea de Superf´\u131cies Planas
Me´todo de resoluc¸a\u2dco
Dessa maneira, vamos concluir que dividindo o intervalo em 10
subintervalos de mesmo tamanho, a a´rea original e´ tal que
0, 285 < A < 0, 385.
Aumentando a subdivisa\u2dco, obtemos aproximac¸o\u2dces cada vez
melhores. A tabela a seguir ilustra o resultado para algumas
subdiviso\u2dces.
Subdiviso\u2dces Ai As
20 0,30875 0,35875
40 0,32094 0,34594
60 0,32505 0,34171
80 0,32711 0,33961
100 0,32835 0,33835
A´rea de Superf´\u131cies Planas
Me´todo de resoluc¸a\u2dco
Vamos dividir o intervalo [0, 1] em n subintervalos de tamanho 1n e
calcular a soma das a´reas dos reta\u2c6ngulos.
Lembrando-se do Teorema do Confronto (ou Teorema do
Sandu´\u131che), se tivermos que
lim
n\u2192+\u221eAi = limn\u2192+\u221eAs = L,
como sabemos que Ai < A < As e que lim
n\u2192+\u221eA = A, vamos obter
A = L.
A´rea de Superf´\u131cies Planas
Me´todo de resoluc¸a\u2dco
Vamos dividir o intervalo [0, 1] em n subintervalos de tamanho 1n e
calcular a soma das a´reas dos reta\u2c6ngulos.
Lembrando-se do Teorema do Confronto (ou Teorema do
Sandu´\u131che), se tivermos que
lim
n\u2192+\u221eAi = limn\u2192+\u221eAs = L,
como sabemos que Ai < A < As e que lim
n\u2192+\u221eA = A, vamos obter
A = L.
A´rea de Superf´\u131cies Planas
Me´todo de resoluc¸a\u2dco
Ai =
1
n
[
f
(
1
n
)
+ f
(
2
n
)
+ f
(
3
n
)
+ f
(
4
n
)
+ · · ·
+ f
(
n \u2212 3
n
)
+ f
(
n \u2212 2
n
)
+ f
(
n \u2212 1
n
)]
=
1
n3
[
12 + 22 + 32 + 42 + · · · + (n \u2212 3)2 + (n \u2212 2)2 + (n \u2212 1)2]
A´rea de Superf´\u131cies Planas
Me´todo de resoluc¸a\u2dco
Ai =
1
n
[
f
(
1
n
)
+ f
(
2
n
)
+ f
(
3
n
)
+ f
(
4
n
)
+ · · ·
+ f
(
n \u2212 3
n
)
+ f
(
n \u2212 2
n
)
+ f
(
n \u2212 1
n
)]
=
1
n3
[
12 + 22 + 32 + 42 + · · · + (n \u2212 3)2 + (n \u2212 2)2 + (n \u2212 1)2]
A´rea de Superf´\u131cies Planas
Me´todo de resoluc¸a\u2dco
Ai =
1
n
[
f
(
1
n
)
+ f
(
2
n
)
+ f
(
3
n
)
+ f
(
4
n
)
+ · · ·
+ f
(
n \u2212 3
n
)
+ f
(
n \u2212 2
n
)
+ f
(
n \u2212 1
n
)]
=
1
n3
[
12 + 22 + 32 + 42 + · · · + (n \u2212 3)2 + (n \u2212 2)2 + (n \u2212 1)2]
A´rea de Superf´\u131cies Planas
Me´todo de resoluc¸a\u2dco
Existe uma fo´rmula que serve para determinar a soma dos
quadrados dos naturais de 1 ate´ k , dada por:
12 + 22 + 32 + 42 + · · · + k2 = k(k + 1)(2k + 1)
6
.
Utilizando essa informac¸a\u2dco, podemos simplificar a expressa\u2dco de Ai
para algo como
Ai =
(n \u2212 1)(2n \u2212 1)
6n2
.
Disso no´s obtemos que
lim
n\u2192+\u221eAi =
1
3
.
A´rea de Superf´\u131cies Planas
Me´todo de resoluc¸a\u2dco
Existe uma fo´rmula que serve para determinar a soma dos
quadrados dos naturais de 1 ate´ k , dada por:
12 + 22 + 32 + 42 + · · · + k2 = k(k + 1)(2k + 1)
6
.
Utilizando essa informac¸a\u2dco, podemos simplificar a expressa\u2dco de Ai
para algo como
Ai =
(n \u2212 1)(2n \u2212 1)
6n2
.
Disso no´s obtemos que
lim
n\u2192+\u221eAi =
1
3
.
A´rea de Superf´\u131cies Planas
Me´todo de resoluc¸a\u2dco
Existe uma fo´rmula que serve para determinar a soma dos
quadrados dos naturais de 1 ate´ k , dada por:
12 + 22 + 32 + 42 + · · · + k2 = k(k + 1)(2k + 1)
6
.
Utilizando essa informac¸a\u2dco, podemos simplificar a expressa\u2dco de Ai
para algo como
Ai =
(n \u2212 1)(2n \u2212 1)
6n2
.
Disso no´s obtemos que
lim
n\u2192+\u221eAi =
1
3
.
A´rea de Superf´\u131cies Planas
Me´todo de resoluc¸a\u2dco
Utilizando um procedimento ana´logo, podemos obter que
lim
n\u2192+\u221eAs =
1
3
.
Sendo assim, temos que a a´rea original e´
A =
1
3
.
A primeira vista, esse tipo de problema parece ter apenas uma
aplicac¸a\u2dco geome´trica. Ou seja, calcular a a´rea de uma regia\u2dco
gene´rica. Entretanto, dependendo do problema essa a´rea pode
representar outras informac¸o\u2dces.
A´rea de Superf´\u131cies Planas
Me´todo de resoluc¸a\u2dco
Utilizando um procedimento ana´logo, podemos obter que
lim
n\u2192+\u221eAs =
1
3
.
Sendo assim, temos que a a´rea original e´
A =
1
3
.
A primeira vista, esse tipo de problema parece ter apenas uma
aplicac¸a\u2dco geome´trica. Ou seja, calcular a a´rea de uma regia\u2dco
gene´rica. Entretanto, dependendo do problema essa a´rea pode
representar outras informac¸o\u2dces.
A´rea de Superf´\u131cies Planas
Me´todo de resoluc¸a\u2dco
Utilizando um procedimento ana´logo, podemos obter que
lim
n\u2192+\u221eAs =
1
3
.
Sendo assim, temos que a a´rea original e´
A =
1
3
.
A primeira vista, esse tipo de problema parece ter apenas uma
aplicac¸a\u2dco geome´trica. Ou seja, calcular a a´rea de uma regia\u2dco
gene´rica. Entretanto, dependendo do problema essa a´rea pode
representar outras informac¸o\u2dces.
A´rea de Superf´\u131cies Planas
Me´todo de resoluc¸a\u2dco
Imagine que a func¸a\u2dco v(t) = t2 fornece a velocidade (em m/s) de
um mo´vel em algum tempo t dado.
A a´rea delimitada pelo gra´fico
dessa func¸a\u2dco e pelo