Integral de Potencias de Tangente

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Ca´lculo Diferencial e Integral I
Integral de Poteˆncias de Tangente
Luiz C. M. de Aquino
aquino.luizclaudio@gmail.com
http://sites.google.com/site/lcmaquino
http://www.youtube.com/LCMAquino
Integral de Poteˆncias de Tangente
Introduc¸a˜o
Nesta aula estudaremos como calcular integrais envolvendo
poteˆncias de tangente.
Integral de Poteˆncias de Tangente
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Calcule
∫
tg x dx .
Aplicando a definic¸a˜o de tangente, podemos reescrever a integral
como ∫
tg x dx =
∫
sen x
cos x
dx .
Fazendo a substituic¸a˜o u = cos x e du = − sen x dx , obtemos que∫
tg x dx =
∫
−1
u
du
= − ln |u|+ c
= − ln | cos x |+ c
Utilizando propriedades dos logaritmos, poder´ıamos ainda escrever
que ∫
tg x dx = ln | cos x |−1 + c = ln | sec x |+ c .
Integral de Poteˆncias de Tangente
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Calcule
∫
tg x dx .
Aplicando a definic¸a˜o de tangente, podemos reescrever a integral
como ∫
tg x dx =
∫
sen x
cos x
dx .
Fazendo a substituic¸a˜o u = cos x e du = − sen x dx , obtemos que∫
tg x dx =
∫
−1
u
du
= − ln |u|+ c
= − ln | cos x |+ c
Utilizando propriedades dos logaritmos, poder´ıamos ainda escrever
que ∫
tg x dx = ln | cos x |−1 + c = ln | sec x |+ c .
Integral de Poteˆncias de Tangente
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Calcule
∫
tg x dx .
Aplicando a definic¸a˜o de tangente, podemos reescrever a integral
como ∫
tg x dx =
∫
sen x
cos x
dx .
Fazendo a substituic¸a˜o u = cos x e du = − sen x dx , obtemos que∫
tg x dx =
∫
−1
u
du
= − ln |u|+ c
= − ln | cos x |+ c
Utilizando propriedades dos logaritmos, poder´ıamos ainda escrever
que ∫
tg x dx = ln | cos x |−1 + c = ln | sec x |+ c .
Integral de Poteˆncias de Tangente
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Calcule
∫
tg x dx .
Aplicando a definic¸a˜o de tangente, podemos reescrever a integral
como ∫
tg x dx =
∫
sen x
cos x
dx .
Fazendo a substituic¸a˜o u = cos x e du = − sen x dx , obtemos que∫
tg x dx =
∫
−1
u
du
= − ln |u|+ c
= − ln | cos x |+ c
Utilizando propriedades dos logaritmos, poder´ıamos ainda escrever
que ∫
tg x dx = ln | cos x |−1 + c = ln | sec x |+ c .
Integral de Poteˆncias de Tangente
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Calcule
∫
tg x dx .
Aplicando a definic¸a˜o de tangente, podemos reescrever a integral
como ∫
tg x dx =
∫
sen x
cos x
dx .
Fazendo a substituic¸a˜o u = cos x e du = − sen x dx , obtemos que∫
tg x dx =
∫
−1
u
du
= − ln |u|+ c
= − ln | cos x |+ c
Utilizando propriedades dos logaritmos, poder´ıamos ainda escrever
que ∫
tg x dx = ln | cos x |−1 + c = ln | sec x |+ c .
Integral de Poteˆncias de Tangente
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Calcule
∫
tg x dx .
Aplicando a definic¸a˜o de tangente, podemos reescrever a integral
como ∫
tg x dx =
∫
sen x
cos x
dx .
Fazendo a substituic¸a˜o u = cos x e du = − sen x dx , obtemos que∫
tg x dx =
∫
−1
u
du
= − ln |u|+ c
= − ln | cos x |+ c
Utilizando propriedades dos logaritmos, poder´ıamos ainda escrever
que ∫
tg x dx = ln | cos x |−1 + c = ln | sec x |+ c .
Integral de Poteˆncias de Tangente
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Calcule
∫
tg 3x dx .
Lembrando da identidade trigonome´trica tg 2x + 1 = sec2 x ,
podemos reescrever o integrando como∫
tg 3x dx =
∫
tg x tg 2x dx =
∫
tg x
(
sec2 x − 1) dx .
Desse modo, temos que∫
tg 3x dx =
∫
tg x sec2 x dx −
∫
tg x dx
Usando a substituic¸a˜o u = tg x e du = sec2 x dx , temos que∫
tg x sec2 x dx =
∫
u du =
u2
2
+ c1 =
tg 2x
2
+ c1.
Portanto, no final temos que∫
tg 3x dx =
tg 2x
2
+ ln | cos x |+ c.
Integral de Poteˆncias de Tangente
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Calcule
∫
tg 3x dx .
Lembrando da identidade trigonome´trica tg 2x + 1 = sec2 x ,
podemos reescrever o integrando como∫
tg 3x dx =
∫
tg x tg 2x dx
=
∫
tg x
(
sec2 x − 1) dx .
Desse modo, temos que∫
tg 3x dx =
∫
tg x sec2 x dx −
∫
tg x dx
Usando a substituic¸a˜o u = tg x e du = sec2 x dx , temos que∫
tg x sec2 x dx =
∫
u du =
u2
2
+ c1 =
tg 2x
2
+ c1.
Portanto, no final temos que∫
tg 3x dx =
tg 2x
2
+ ln | cos x |+ c.
Integral de Poteˆncias de Tangente
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Calcule
∫
tg 3x dx .
Lembrando da identidade trigonome´trica tg 2x + 1 = sec2 x ,
podemos reescrever o integrando como∫
tg 3x dx =
∫
tg x tg 2x dx =
∫
tg x
(
sec2 x − 1) dx .
Desse modo, temos que∫
tg 3x dx =
∫
tg x sec2 x dx −
∫
tg x dx
Usando a substituic¸a˜o u = tg x e du = sec2 x dx , temos que∫
tg x sec2 x dx =
∫
u du =
u2
2
+ c1 =
tg 2x
2
+ c1.
Portanto, no final temos que∫
tg 3x dx =
tg 2x
2
+ ln | cos x |+ c.
Integral de Poteˆncias de Tangente
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Calcule
∫
tg 3x dx .
Lembrando da identidade trigonome´trica tg 2x + 1 = sec2 x ,
podemos reescrever o integrando como∫
tg 3x dx =
∫
tg x tg 2x dx =
∫
tg x
(
sec2 x − 1) dx .
Desse modo, temos que∫
tg 3x dx =
∫
tg x sec2 x dx −
∫
tg x dx
Usando a substituic¸a˜o u = tg x e du = sec2 x dx , temos que∫
tg x sec2 x dx =
∫
u du =
u2
2
+ c1 =
tg 2x
2
+ c1.
Portanto, no final temos que∫
tg 3x dx =
tg 2x
2
+ ln | cos x |+ c.
Integral de Poteˆncias de Tangente
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Calcule
∫
tg 3x dx .
Lembrando da identidade trigonome´trica tg 2x + 1 = sec2 x ,
podemos reescrever o integrando como∫
tg 3x dx =
∫
tg x tg 2x dx =
∫
tg x
(
sec2 x − 1) dx .
Desse modo, temos que∫
tg 3x dx =
∫
tg x sec2 x dx −
∫
tg x dx
Usando a substituic¸a˜o u = tg x e du = sec2 x dx , temos que∫
tg x sec2 x dx =
∫
u du
=
u2
2
+ c1 =
tg 2x
2
+ c1.
Portanto, no final temos que∫
tg 3x dx =
tg 2x
2
+ ln | cos x |+ c.
Integral de Poteˆncias de Tangente
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Calcule
∫
tg 3x dx .
Lembrando da identidade trigonome´trica tg 2x + 1 = sec2 x ,
podemos reescrever o integrando como∫
tg 3x dx =
∫
tg x tg 2x dx =
∫
tg x
(
sec2 x − 1) dx .
Desse modo, temos que∫
tg 3x dx =
∫
tg x sec2 x dx −
∫
tg x dx
Usando a substituic¸a˜o u = tg x e du = sec2 x dx , temos que∫
tg x sec2 x dx =
∫
u du =
u2
2
+ c1
=
tg 2x
2
+ c1.
Portanto, no final temos que∫
tg 3x dx =
tg 2x
2
+ ln | cos x |+ c.
Integral de Poteˆncias de Tangente
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Calcule
∫
tg 3x dx .
Lembrando da identidade trigonome´trica tg 2x + 1 = sec2 x ,
podemos reescrever o integrando como∫
tg 3x dx =
∫
tg x tg 2x dx =
∫
tg x
(
sec2 x − 1) dx .
Desse modo, temos que∫
tg 3x dx =
∫
tg x sec2 x dx −
∫
tg x dx
Usando a substituic¸a˜o u = tg x e du = sec2 x dx , temos que∫
tg x sec2 x dx =
∫
u du =
u2
2
+ c1 =
tg 2x
2
+ c1.
Portanto, no final temos que∫
tg 3x dx =
tg 2x
2
+ ln | cos x |+ c.
Integral de Poteˆncias de Tangente
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Calcule
∫
tg 3x dx .
Lembrando da identidade trigonome´trica tg 2x + 1 = sec2 x ,
podemos reescrever o integrando como∫
tg 3x dx =
∫
tg x tg 2x dx =
∫
tg x
(
sec2 x − 1) dx .
Desse modo, temos que∫
tg 3x dx =
∫
tg x sec2 x dx −
∫
tg x dx
Usando a substituic¸a˜o u = tg x e du = sec2 x dx , temos que∫
tg x sec2 x dx =
∫
u du =
u2
2
+ c1 =
tg 2x
2
+ c1.
Portanto, no final temos que∫
tg 3x dx =
tg 2x
2
+ ln | cos x |+ c.
Integral de Poteˆncias de Tangente
Exerc´ıcio
No´s podemos obter uma soluc¸a˜o distinta para o exerc´ıcio anterior.
Durante o desenvolvimento no´s obtemos∫
tg 3x dx =
∫
tg x sec2 x dx −
∫
tg x dx
Note que podemos ainda escrever∫
tg 3x dx =
∫
tg x sec x sec x dx −
∫
tg x dx
Fazendo agora a substituic¸a˜o u = sec x e du = sec x tg x dx , no´s
temos que∫tg x sec x sec x dx =
∫
u du =
u2
2
+ c1 =
sec2x
2
+ c1
Portanto, no final temos que∫
tg 3x dx =
sec2 x
2
+ ln | cos x |+ c .
Integral de Poteˆncias de Tangente
Exerc´ıcio
No´s podemos obter uma soluc¸a˜o distinta para o exerc´ıcio anterior.
Durante o desenvolvimento no´s obtemos∫
tg 3x dx =
∫
tg x sec2 x dx −
∫
tg x dx
Note que podemos ainda escrever∫
tg 3x dx =
∫
tg x sec x sec x dx −
∫
tg x dx
Fazendo agora a substituic¸a˜o u = sec x e du = sec x tg x dx , no´s
temos que∫
tg x sec x sec x dx =
∫
u du =
u2
2
+ c1 =
sec2x
2
+ c1
Portanto, no final temos que∫
tg 3x dx =
sec2 x
2
+ ln | cos x |+ c .
Integral de Poteˆncias de Tangente
Exerc´ıcio
No´s podemos obter uma soluc¸a˜o distinta para o exerc´ıcio anterior.
Durante o desenvolvimento no´s obtemos∫
tg 3x dx =
∫
tg x sec2 x dx −
∫
tg x dx
Note que podemos ainda escrever∫
tg 3x dx =
∫
tg x sec x sec x dx −
∫
tg x dx
Fazendo agora a substituic¸a˜o u = sec x e du = sec x tg x dx , no´s
temos que∫
tg x sec x sec x dx =
∫
u du
=
u2
2
+ c1 =
sec2x
2
+ c1
Portanto, no final temos que∫
tg 3x dx =
sec2 x
2
+ ln | cos x |+ c .
Integral de Poteˆncias de Tangente
Exerc´ıcio
No´s podemos obter uma soluc¸a˜o distinta para o exerc´ıcio anterior.
Durante o desenvolvimento no´s obtemos∫
tg 3x dx =
∫
tg x sec2 x dx −
∫
tg x dx
Note que podemos ainda escrever∫
tg 3x dx =
∫
tg x sec x sec x dx −
∫
tg x dx
Fazendo agora a substituic¸a˜o u = sec x e du = sec x tg x dx , no´s
temos que∫
tg x sec x sec x dx =
∫
u du =
u2
2
+ c1 =
sec2x
2
+ c1
Portanto, no final temos que∫
tg 3x dx =
sec2 x
2
+ ln | cos x |+ c .
Integral de Poteˆncias de Tangente
Exerc´ıcio
No´s podemos obter uma soluc¸a˜o distinta para o exerc´ıcio anterior.
Durante o desenvolvimento no´s obtemos∫
tg 3x dx =
∫
tg x sec2 x dx −
∫
tg x dx
Note que podemos ainda escrever∫
tg 3x dx =
∫
tg x sec x sec x dx −
∫
tg x dx
Fazendo agora a substituic¸a˜o u = sec x e du = sec x tg x dx , no´s
temos que∫
tg x sec x sec x dx =
∫
u du =
u2
2
+ c1 =
sec2x
2
+ c1
Portanto, no final temos que∫
tg 3x dx =
sec2 x
2
+ ln | cos x |+ c .
Integral de Poteˆncias de Tangente
Exerc´ıcio
Exemplo 3: Calcule
∫
tg 4x dx .
Faremos um procedimento ana´logo ao do exerc´ıcio anterior:∫
tg 4x dx =
∫
tg 2x tg 2x dx =
∫
tg 2x
(
sec2 x − 1) dx .
Desse modo, temos que∫
tg 4x dx =
∫
tg 2x sec2 x dx −
∫
tg 2x dx
Usando a substituic¸a˜o u = tg x e du = sec2 x dx , temos que∫
tg 2x sec2 x dx =
∫
u2 du =
u3
3
+ c1 =
tg 3x
3
+ c1.
Por outro lado, temos que∫
tg 2x dx =
∫
sec2 x − 1 dx = tg x − x + c2.
Integral de Poteˆncias de Tangente
Exerc´ıcio
Exemplo 3: Calcule
∫
tg 4x dx .
Faremos um procedimento ana´logo ao do exerc´ıcio anterior:∫
tg 4x dx =
∫
tg 2x tg 2x dx
=
∫
tg 2x
(
sec2 x − 1) dx .
Desse modo, temos que∫
tg 4x dx =
∫
tg 2x sec2 x dx −
∫
tg 2x dx
Usando a substituic¸a˜o u = tg x e du = sec2 x dx , temos que∫
tg 2x sec2 x dx =
∫
u2 du =
u3
3
+ c1 =
tg 3x
3
+ c1.
Por outro lado, temos que∫
tg 2x dx =
∫
sec2 x − 1 dx = tg x − x + c2.
Integral de Poteˆncias de Tangente
Exerc´ıcio
Exemplo 3: Calcule
∫
tg 4x dx .
Faremos um procedimento ana´logo ao do exerc´ıcio anterior:∫
tg 4x dx =
∫
tg 2x tg 2x dx =
∫
tg 2x
(
sec2 x − 1) dx .
Desse modo, temos que∫
tg 4x dx =
∫
tg 2x sec2 x dx −
∫
tg 2x dx
Usando a substituic¸a˜o u = tg x e du = sec2 x dx , temos que∫
tg 2x sec2 x dx =
∫
u2 du =
u3
3
+ c1 =
tg 3x
3
+ c1.
Por outro lado, temos que∫
tg 2x dx =
∫
sec2 x − 1 dx = tg x − x + c2.
Integral de Poteˆncias de Tangente
Exerc´ıcio
Exemplo 3: Calcule
∫
tg 4x dx .
Faremos um procedimento ana´logo ao do exerc´ıcio anterior:∫
tg 4x dx =
∫
tg 2x tg 2x dx =
∫
tg 2x
(
sec2 x − 1) dx .
Desse modo, temos que∫
tg 4x dx =
∫
tg 2x sec2 x dx −
∫
tg 2x dx
Usando a substituic¸a˜o u = tg x e du = sec2 x dx , temos que∫
tg 2x sec2 x dx =
∫
u2 du =
u3
3
+ c1 =
tg 3x
3
+ c1.
Por outro lado, temos que∫
tg 2x dx =
∫
sec2 x − 1 dx = tg x − x + c2.
Integral de Poteˆncias de Tangente
Exerc´ıcio
Exemplo 3: Calcule
∫
tg 4x dx .
Faremos um procedimento ana´logo ao do exerc´ıcio anterior:∫
tg 4x dx =
∫
tg 2x tg 2x dx =
∫
tg 2x
(
sec2 x − 1) dx .
Desse modo, temos que∫
tg 4x dx =
∫
tg 2x sec2 x dx −
∫
tg 2x dx
Usando a substituic¸a˜o u = tg x e du = sec2 x dx , temos que∫
tg 2x sec2 x dx =
∫
u2 du
=
u3
3
+ c1 =
tg 3x
3
+ c1.
Por outro lado, temos que∫
tg 2x dx =
∫
sec2 x − 1 dx = tg x − x + c2.
Integral de Poteˆncias de Tangente
Exerc´ıcio
Exemplo 3: Calcule
∫
tg 4x dx .
Faremos um procedimento ana´logo ao do exerc´ıcio anterior:∫
tg 4x dx =
∫
tg 2x tg 2x dx =
∫
tg 2x
(
sec2 x − 1) dx .
Desse modo, temos que∫
tg 4x dx =
∫
tg 2x sec2 x dx −
∫
tg 2x dx
Usando a substituic¸a˜o u = tg x e du = sec2 x dx , temos que∫
tg 2x sec2 x dx =
∫
u2 du =
u3
3
+ c1
=
tg 3x
3
+ c1.
Por outro lado, temos que∫
tg 2x dx =
∫
sec2 x − 1 dx = tg x − x + c2.
Integral de Poteˆncias de Tangente
Exerc´ıcio
Exemplo 3: Calcule
∫
tg 4x dx .
Faremos um procedimento ana´logo ao do exerc´ıcio anterior:∫
tg 4x dx =
∫
tg 2x tg 2x dx =
∫
tg 2x
(
sec2 x − 1) dx .
Desse modo, temos que∫
tg 4x dx =
∫
tg 2x sec2 x dx −
∫
tg 2x dx
Usando a substituic¸a˜o u = tg x e du = sec2 x dx , temos que∫
tg 2x sec2 x dx =
∫
u2 du =
u3
3
+ c1 =
tg 3x
3
+ c1.
Por outro lado, temos que∫
tg 2x dx =
∫
sec2 x − 1 dx = tg x − x + c2.
Integral de Poteˆncias de Tangente
Exerc´ıcio
Exemplo 3: Calcule
∫
tg 4x dx .
Faremos um procedimento ana´logo ao do exerc´ıcio anterior:∫
tg 4x dx =
∫
tg 2x tg 2x dx =
∫
tg 2x
(
sec2 x − 1) dx .
Desse modo, temos que∫
tg 4x dx =
∫
tg 2x sec2 x dx −
∫
tg 2x dx
Usando a substituic¸a˜o u = tg x e du = sec2 x dx , temos que∫
tg 2x sec2 x dx =
∫
u2 du =
u3
3
+ c1 =
tg 3x
3
+ c1.
Por outro lado, temos que∫
tg 2x dx =
∫
sec2 x − 1 dx
= tg x − x + c2.
Integral de Poteˆncias de Tangente
Exerc´ıcio
Exemplo 3: Calcule
∫
tg 4x dx .
Faremos um procedimento ana´logo ao do exerc´ıcio anterior:∫
tg 4x dx =
∫
tg 2x tg 2x dx =
∫
tg 2x
(
sec2 x − 1) dx .
Desse modo, temos que∫
tg 4x dx =
∫
tg 2x sec2 x dx −
∫
tg 2x dx
Usando a substituic¸a˜o u = tg x e du = sec2 x dx , temos que∫
tg 2x sec2 x dx =
∫
u2 du =
u3
3
+ c1 =
tg 3x
3
+ c1.
Por outro lado, temos que∫
tg 2x dx =
∫
sec2 x − 1 dx = tg x − x + c2.
Integral de Poteˆncias de Tangente
Exerc´ıcio
Unindo as informac¸o˜es anteriores, temos que∫
tg 4x dx =
tg 3x
3
− tg x + x + c .
Integral de Poteˆncias de Tangente
Fo´rmula de Recorreˆncia
Podemos determinar uma fo´rmula que nos permite calcular a
integral com uma poteˆncia de tangente em func¸a˜o de outra
integral com uma poteˆncia menor de tangente.
Considere n ∈ N e n ≥ 2, temos a integral∫
tg nx dx =
∫
tg n−2x tg 2x dx =
∫
tg n−2x(sec2 x − 1) dx .
Ficamos enta˜o com∫
tg nx dx =
∫
tg n−2x sec2 x dx −
∫
tg n−2x dx .
Integral de Poteˆncias de Tangente
Fo´rmula de Recorreˆncia
Podemos determinar uma fo´rmula que nos permite calcular a
integral com uma poteˆncia de tangente em func¸a˜o de outra
integral com uma poteˆncia menor de tangente.
Considere n ∈ N e n ≥ 2, temos a integral∫
tg nx dx =
∫
tg n−2x tg 2x dx
=
∫
tg n−2x(sec2 x − 1) dx .
Ficamos enta˜o com∫
tg nx dx =
∫
tg n−2xsec2 x dx −
∫
tg n−2x dx .
Integral de Poteˆncias de Tangente
Fo´rmula de Recorreˆncia
Podemos determinar uma fo´rmula que nos permite calcular a
integral com uma poteˆncia de tangente em func¸a˜o de outra
integral com uma poteˆncia menor de tangente.
Considere n ∈ N e n ≥ 2, temos a integral∫
tg nx dx =
∫
tg n−2x tg 2x dx =
∫
tg n−2x(sec2 x − 1) dx .
Ficamos enta˜o com∫
tg nx dx =
∫
tg n−2x sec2 x dx −
∫
tg n−2x dx .
Integral de Poteˆncias de Tangente
Fo´rmula de Recorreˆncia
Podemos determinar uma fo´rmula que nos permite calcular a
integral com uma poteˆncia de tangente em func¸a˜o de outra
integral com uma poteˆncia menor de tangente.
Considere n ∈ N e n ≥ 2, temos a integral∫
tg nx dx =
∫
tg n−2x tg 2x dx =
∫
tg n−2x(sec2 x − 1) dx .
Ficamos enta˜o com∫
tg nx dx =
∫
tg n−2x sec2 x dx −
∫
tg n−2x dx .
Integral de Poteˆncias de Tangente
Fo´rmula de Recorreˆncia
Fazendo a substituic¸a˜o u = tg x e du = sec2 x dx , temos que∫
tg n−2x sec2 x dx =
∫
un−2 du =
un−1
n − 1 + c1 =
tg n−1x
n − 1 + c1.
Portanto, no final temos que∫
tg nx dx =
tg n−1x
n − 1 −
∫
tg n−2x dx .
Integral de Poteˆncias de Tangente
Fo´rmula de Recorreˆncia
Fazendo a substituic¸a˜o u = tg x e du = sec2 x dx , temos que∫
tg n−2x sec2 x dx =
∫
un−2 du =
un−1
n − 1 + c1 =
tg n−1x
n − 1 + c1.
Portanto, no final temos que∫
tg nx dx =
tg n−1x
n − 1 −
∫
tg n−2x dx .
Integral de Poteˆncias de Tangente
Procedimento
∫
tg nx dx (n ∈ N e n ≥ 2).
Lembrando da identidade trigonome´trica tg 2x + 1 = sec2 x ,
reescreva a integral como∫
tg nx dx =
∫
tg n−2x tg 2x dx
=
∫
tg n−2x sec2 x dx −
∫
tg n−2x dx
Em seguida, use a substituic¸a˜o u = tg x e du = sec2 x dx na
primeira integral. Ja´ na segunda, aplique novamente todo o
procedimento.