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Ca´lculo Diferencial e Integral I Integral de Produto entre Poteˆncias de Seno e Cosseno Luiz C. M. de Aquino aquino.luizclaudio@gmail.com http://sites.google.com/site/lcmaquino http://www.youtube.com/LCMAquino Integral de Produto entre Poteˆncias de Seno e Cosseno Introduc¸a˜o Na aula anterior no´s estudamos te´cnicas para calcular integrais envolvendo apenas uma poteˆncia de seno ou de cosseno. Nesta aula estudaremos como calcular integrais envolvendo o produto entre poteˆncias de seno e cosseno. Integral de Produto entre Poteˆncias de Seno e Cosseno Exerc´ıcio Exemplo 1: Calcule ∫ sen 3x cos2 x dx . Vamos comec¸ar reescrevendo o integrando como∫ sen 3x cos2 x dx = ∫ sen x sen 2x cos2 x dx . Podemos ainda escrever que∫ sen 3x cos2 x dx = ∫ sen x ( 1− cos2 x) cos2 x dx . Fac¸amos a substituic¸a˜o u = cos x e du = − sen x dx .∫ sen 3x cos2 x dx = ∫ − (1− u2) u2 du = −u 3 3 + u5 5 + c = −cos 3 x 3 + cos5 x 5 + c Integral de Produto entre Poteˆncias de Seno e Cosseno Exerc´ıcio Exemplo 1: Calcule ∫ sen 3x cos2 x dx . Vamos comec¸ar reescrevendo o integrando como∫ sen 3x cos2 x dx = ∫ sen x sen 2x cos2 x dx . Podemos ainda escrever que∫ sen 3x cos2 x dx = ∫ sen x ( 1− cos2 x) cos2 x dx . Fac¸amos a substituic¸a˜o u = cos x e du = − sen x dx .∫ sen 3x cos2 x dx = ∫ − (1− u2) u2 du = −u 3 3 + u5 5 + c = −cos 3 x 3 + cos5 x 5 + c Integral de Produto entre Poteˆncias de Seno e Cosseno Exerc´ıcio Exemplo 1: Calcule ∫ sen 3x cos2 x dx . Vamos comec¸ar reescrevendo o integrando como∫ sen 3x cos2 x dx = ∫ sen x sen 2x cos2 x dx . Podemos ainda escrever que∫ sen 3x cos2 x dx = ∫ sen x ( 1− cos2 x) cos2 x dx . Fac¸amos a substituic¸a˜o u = cos x e du = − sen x dx .∫ sen 3x cos2 x dx = ∫ − (1− u2) u2 du = −u 3 3 + u5 5 + c = −cos 3 x 3 + cos5 x 5 + c Integral de Produto entre Poteˆncias de Seno e Cosseno Exerc´ıcio Exemplo 1: Calcule ∫ sen 3x cos2 x dx . Vamos comec¸ar reescrevendo o integrando como∫ sen 3x cos2 x dx = ∫ sen x sen 2x cos2 x dx . Podemos ainda escrever que∫ sen 3x cos2 x dx = ∫ sen x ( 1− cos2 x) cos2 x dx . Fac¸amos a substituic¸a˜o u = cos x e du = − sen x dx .∫ sen 3x cos2 x dx = ∫ − (1− u2) u2 du = −u 3 3 + u5 5 + c = −cos 3 x 3 + cos5 x 5 + c Integral de Produto entre Poteˆncias de Seno e Cosseno Exerc´ıcio Exemplo 1: Calcule ∫ sen 3x cos2 x dx . Vamos comec¸ar reescrevendo o integrando como∫ sen 3x cos2 x dx = ∫ sen x sen 2x cos2 x dx . Podemos ainda escrever que∫ sen 3x cos2 x dx = ∫ sen x ( 1− cos2 x) cos2 x dx . Fac¸amos a substituic¸a˜o u = cos x e du = − sen x dx .∫ sen 3x cos2 x dx = ∫ − (1− u2) u2 du = −u 3 3 + u5 5 + c = −cos 3 x 3 + cos5 x 5 + c Integral de Produto entre Poteˆncias de Seno e Cosseno Exerc´ıcio Exemplo 1: Calcule ∫ sen 3x cos2 x dx . Vamos comec¸ar reescrevendo o integrando como∫ sen 3x cos2 x dx = ∫ sen x sen 2x cos2 x dx . Podemos ainda escrever que∫ sen 3x cos2 x dx = ∫ sen x ( 1− cos2 x) cos2 x dx . Fac¸amos a substituic¸a˜o u = cos x e du = − sen x dx .∫ sen 3x cos2 x dx = ∫ − (1− u2) u2 du = −u 3 3 + u5 5 + c = −cos 3 x 3 + cos5 x 5 + c Integral de Produto entre Poteˆncias de Seno e Cosseno Exerc´ıcio Exemplo 2: Calcule ∫ sen 2x cos3 x dx . Vamos comec¸ar reescrevendo o integrando como∫ sen 2x cos3 x dx = ∫ sen 2x cos2 x cos x dx . Podemos ainda escrever que∫ sen 2x cos3 x dx = ∫ sen 2x ( 1− sen 2x) cos x dx . Fac¸amos a substituic¸a˜o u = sen x e du = cos x dx .∫ sen 2x cos3 x dx = ∫ u2 ( 1− u2) du = u3 3 − u 5 5 + c = sen 3x 3 − sen 5x 5 + c Integral de Produto entre Poteˆncias de Seno e Cosseno Exerc´ıcio Exemplo 2: Calcule ∫ sen 2x cos3 x dx . Vamos comec¸ar reescrevendo o integrando como∫ sen 2x cos3 x dx = ∫ sen 2x cos2 x cos x dx . Podemos ainda escrever que∫ sen 2x cos3 x dx = ∫ sen 2x ( 1− sen 2x) cos x dx . Fac¸amos a substituic¸a˜o u = sen x e du = cos x dx .∫ sen 2x cos3 x dx = ∫ u2 ( 1− u2) du = u3 3 − u 5 5 + c = sen 3x 3 − sen 5x 5 + c Integral de Produto entre Poteˆncias de Seno e Cosseno Exerc´ıcio Exemplo 2: Calcule ∫ sen 2x cos3 x dx . Vamos comec¸ar reescrevendo o integrando como∫ sen 2x cos3 x dx = ∫ sen 2x cos2 x cos x dx . Podemos ainda escrever que∫ sen 2x cos3 x dx = ∫ sen 2x ( 1− sen 2x) cos x dx . Fac¸amos a substituic¸a˜o u = sen x e du = cos x dx .∫ sen 2x cos3 x dx = ∫ u2 ( 1− u2) du = u3 3 − u 5 5 + c = sen 3x 3 − sen 5x 5 + c Integral de Produto entre Poteˆncias de Seno e Cosseno Exerc´ıcio Exemplo 2: Calcule ∫ sen 2x cos3 x dx . Vamos comec¸ar reescrevendo o integrando como∫ sen 2x cos3 x dx = ∫ sen 2x cos2 x cos x dx . Podemos ainda escrever que∫ sen 2x cos3 x dx = ∫ sen 2x ( 1− sen 2x) cos x dx . Fac¸amos a substituic¸a˜o u = sen x e du = cos x dx .∫ sen 2x cos3 x dx = ∫ u2 ( 1− u2) du = u3 3 − u 5 5 + c = sen 3x 3 − sen 5x 5 + c Integral de Produto entre Poteˆncias de Seno e Cosseno Exerc´ıcio Exemplo 2: Calcule ∫ sen 2x cos3 x dx . Vamos comec¸ar reescrevendo o integrando como∫ sen 2x cos3 x dx = ∫ sen 2x cos2 x cos x dx . Podemos ainda escrever que∫ sen 2x cos3 x dx = ∫ sen 2x ( 1− sen 2x) cos x dx . Fac¸amos a substituic¸a˜o u = sen x e du = cos x dx .∫ sen 2x cos3 x dx = ∫ u2 ( 1− u2) du = u3 3 − u 5 5 + c = sen 3x 3 − sen 5x 5 + c Integral de Produto entre Poteˆncias de Seno e Cosseno Exerc´ıcio Exemplo 2: Calcule ∫ sen 2x cos3 x dx . Vamos comec¸ar reescrevendo o integrando como∫ sen 2x cos3 x dx = ∫ sen 2x cos2 x cos x dx . Podemos ainda escrever que∫ sen 2x cos3 x dx = ∫ sen 2x ( 1− sen 2x) cos x dx . Fac¸amos a substituic¸a˜o u = sen x e du = cos x dx .∫ sen 2x cos3 x dx = ∫ u2 ( 1− u2) du = u3 3 − u 5 5 + c = sen 3x 3 − sen 5x 5 + c Integral de Produto entre Poteˆncias de Seno e Cosseno Exerc´ıcio Exemplo 3: Calcule ∫ sen 4x cos2 x dx . Vamos reescrever o integrando usando as identidades trigonome´tricas sen 2x = 1 2 (1− cos 2x) e cos2 x = 1 2 (1 + cos 2x). Ficamos enta˜o com∫ sen 4x cos2 x dx = ∫ [ 1 2 (1− cos 2x) ]2 [1 2 (1 + cos 2x) ] dx = 1 8 ∫ 1− cos 2x − cos2 2x + cos3 2x dx Fazendo cos2 2x = 12(1 + cos 4x) e cos 3 2x = 12(1 + cos 4x) cos 2x , temos que∫ sen 4x cos2 x dx = 1 8 ∫ 1 2 −1 2 cos 2x−1 2 cos 4x+ 1 2 cos 4x cos 2x dx . Integral de Produto entre Poteˆncias de Seno e Cosseno Exerc´ıcio Exemplo 3: Calcule ∫ sen 4x cos2 x dx . Vamos reescrever o integrando usando as identidades trigonome´tricas sen 2x = 1 2 (1− cos 2x) e cos2 x = 1 2 (1 + cos 2x). Ficamos enta˜o com∫ sen 4x cos2 x dx = ∫ [ 1 2 (1− cos 2x) ]2 [1 2 (1 + cos 2x) ] dx = 1 8 ∫ 1− cos 2x − cos2 2x + cos3 2x dx Fazendo cos2 2x = 12(1 + cos 4x) e cos 3 2x = 12(1 + cos 4x) cos 2x , temos que∫ sen 4x cos2 x dx = 1 8 ∫ 1 2 −1 2 cos 2x−1 2 cos 4x+ 1 2 cos 4x cos 2x dx . Integral de Produto entre Poteˆncias de Seno e Cosseno Exerc´ıcio Exemplo 3: Calcule ∫ sen 4x cos2 x dx . Vamos reescrever o integrando usando as identidades trigonome´tricas sen 2x = 1 2 (1− cos 2x) e cos2 x = 1 2 (1 + cos 2x). Ficamos enta˜o com∫ sen 4x cos2 x dx = ∫ [ 1 2 (1− cos 2x) ]2 [1 2 (1 + cos 2x) ] dx = 1 8 ∫1− cos 2x − cos2 2x + cos3 2x dx Fazendo cos2 2x = 12(1 + cos 4x) e cos 3 2x = 12(1 + cos 4x) cos 2x , temos que∫ sen 4x cos2 x dx = 1 8 ∫ 1 2 −1 2 cos 2x−1 2 cos 4x+ 1 2 cos 4x cos 2x dx . Integral de Produto entre Poteˆncias de Seno e Cosseno Exerc´ıcio Exemplo 3: Calcule ∫ sen 4x cos2 x dx . Vamos reescrever o integrando usando as identidades trigonome´tricas sen 2x = 1 2 (1− cos 2x) e cos2 x = 1 2 (1 + cos 2x). Ficamos enta˜o com∫ sen 4x cos2 x dx = ∫ [ 1 2 (1− cos 2x) ]2 [1 2 (1 + cos 2x) ] dx = 1 8 ∫ 1− cos 2x − cos2 2x + cos3 2x dx Fazendo cos2 2x = 12(1 + cos 4x) e cos 3 2x = 12(1 + cos 4x) cos 2x , temos que∫ sen 4x cos2 x dx = 1 8 ∫ 1 2 −1 2 cos 2x−1 2 cos 4x+ 1 2 cos 4x cos 2x dx . Integral de Produto entre Poteˆncias de Seno e Cosseno Exerc´ıcio Exemplo 3: Calcule ∫ sen 4x cos2 x dx . Vamos reescrever o integrando usando as identidades trigonome´tricas sen 2x = 1 2 (1− cos 2x) e cos2 x = 1 2 (1 + cos 2x). Ficamos enta˜o com∫ sen 4x cos2 x dx = ∫ [ 1 2 (1− cos 2x) ]2 [1 2 (1 + cos 2x) ] dx = 1 8 ∫ 1− cos 2x − cos2 2x + cos3 2x dx Fazendo cos2 2x = 12(1 + cos 4x) e cos 3 2x = 12(1 + cos 4x) cos 2x , temos que∫ sen 4x cos2 x dx = 1 8 ∫ 1 2 −1 2 cos 2x−1 2 cos 4x+ 1 2 cos 4x cos 2x dx . Integral de Produto entre Poteˆncias de Seno e Cosseno Exerc´ıcio Repetindo a equac¸a˜o anterior,∫ sen 4x cos2 x dx = 1 8 ∫ 1 2 −1 2 cos 2x−1 2 cos 4x+ 1 2 cos 4x cos 2x dx . Na u´ltima parcela do integrando vamos aplicar a identidade trigonome´trica cos a cos b = 1 2 [cos(a + b) + cos(a− b)]. Ficamos enta˜o com∫ sen 4x cos2 x dx = 1 8 ∫ 1 2 −1 2 cos 2x−1 2 cos 4x+ 1 4 [cos 6x+cos 2x ] dx , ∫ sen 4x cos2 x dx = 1 16 x− 1 64 sen 2x− 1 64 sen 4x + 1 192 sen 6x +c . Integral de Produto entre Poteˆncias de Seno e Cosseno Exerc´ıcio Repetindo a equac¸a˜o anterior,∫ sen 4x cos2 x dx = 1 8 ∫ 1 2 −1 2 cos 2x−1 2 cos 4x+ 1 2 cos 4x cos 2x dx . Na u´ltima parcela do integrando vamos aplicar a identidade trigonome´trica cos a cos b = 1 2 [cos(a + b) + cos(a− b)]. Ficamos enta˜o com∫ sen 4x cos2 x dx = 1 8 ∫ 1 2 −1 2 cos 2x−1 2 cos 4x+ 1 4 [cos 6x+cos 2x ] dx , ∫ sen 4x cos2 x dx = 1 16 x− 1 64 sen 2x− 1 64 sen 4x + 1 192 sen 6x +c . Integral de Produto entre Poteˆncias de Seno e Cosseno Exerc´ıcio Repetindo a equac¸a˜o anterior,∫ sen 4x cos2 x dx = 1 8 ∫ 1 2 −1 2 cos 2x−1 2 cos 4x+ 1 2 cos 4x cos 2x dx . Na u´ltima parcela do integrando vamos aplicar a identidade trigonome´trica cos a cos b = 1 2 [cos(a + b) + cos(a− b)]. Ficamos enta˜o com∫ sen 4x cos2 x dx = 1 8 ∫ 1 2 −1 2 cos 2x−1 2 cos 4x+ 1 4 [cos 6x+cos 2x ] dx , ∫ sen 4x cos2 x dx = 1 16 x− 1 64 sen 2x− 1 64 sen 4x + 1 192 sen 6x +c . Integral de Produto entre Poteˆncias de Seno e Cosseno Exerc´ıcio Repetindo a equac¸a˜o anterior,∫ sen 4x cos2 x dx = 1 8 ∫ 1 2 −1 2 cos 2x−1 2 cos 4x+ 1 2 cos 4x cos 2x dx . Na u´ltima parcela do integrando vamos aplicar a identidade trigonome´trica cos a cos b = 1 2 [cos(a + b) + cos(a− b)]. Ficamos enta˜o com∫ sen 4x cos2 x dx = 1 8 ∫ 1 2 −1 2 cos 2x−1 2 cos 4x+ 1 4 [cos 6x+cos 2x ] dx , ∫ sen 4x cos2 x dx = 1 16 x− 1 64 sen 2x− 1 64 sen 4x + 1 192 sen 6x +c . Integral de Produto entre Poteˆncias de Seno e Cosseno Exerc´ıcio Temos ainda outra estrate´gia para fazer esse u´ltimo exerc´ıcio. Usando a identidade trigonome´trica fundamental, podemos escrever que∫ sen 4x cos2 x dx = ∫ sen 4x ( 1− sen 2x) dx = ∫ sen 4x dx − ∫ sen 6x dx Ou ainda, tambe´m podemos escrever que∫ sen 4x cos2 x dx = ∫ ( 1− cos2 x)2 cos2 x dx = ∫ cos2 x dx − 2 ∫ cos4 x dx + ∫ cos6 x dx Bastava agora aplicar as te´cnicas estudadas na aula anterior para calcular integrais desse tipo. Integral de Produto entre Poteˆncias de Seno e Cosseno Exerc´ıcio Temos ainda outra estrate´gia para fazer esse u´ltimo exerc´ıcio. Usando a identidade trigonome´trica fundamental, podemos escrever que∫ sen 4x cos2 x dx = ∫ sen 4x ( 1− sen 2x) dx = ∫ sen 4x dx − ∫ sen 6x dx Ou ainda, tambe´m podemos escrever que∫ sen 4x cos2 x dx = ∫ ( 1− cos2 x)2 cos2 x dx = ∫ cos2 x dx − 2 ∫ cos4 x dx + ∫ cos6 x dx Bastava agora aplicar as te´cnicas estudadas na aula anterior para calcular integrais desse tipo. Integral de Produto entre Poteˆncias de Seno e Cosseno Exerc´ıcio Temos ainda outra estrate´gia para fazer esse u´ltimo exerc´ıcio. Usando a identidade trigonome´trica fundamental, podemos escrever que∫ sen 4x cos2 x dx = ∫ sen 4x ( 1− sen 2x) dx = ∫ sen 4x dx − ∫ sen 6x dx Ou ainda, tambe´m podemos escrever que∫ sen 4x cos2 x dx = ∫ ( 1− cos2 x)2 cos2 x dx = ∫ cos2 x dx − 2 ∫ cos4 x dx + ∫ cos6 x dx Bastava agora aplicar as te´cnicas estudadas na aula anterior para calcular integrais desse tipo. Integral de Produto entre Poteˆncias de Seno e Cosseno Exerc´ıcio Temos ainda outra estrate´gia para fazer esse u´ltimo exerc´ıcio. Usando a identidade trigonome´trica fundamental, podemos escrever que∫ sen 4x cos2 x dx = ∫ sen 4x ( 1− sen 2x) dx = ∫ sen 4x dx − ∫ sen 6x dx Ou ainda, tambe´m podemos escrever que∫ sen 4x cos2 x dx = ∫ ( 1− cos2 x)2 cos2 x dx = ∫ cos2 x dx − 2 ∫ cos4 x dx + ∫ cos6 x dx Bastava agora aplicar as te´cnicas estudadas na aula anterior para calcular integrais desse tipo. Integral de Produto entre Poteˆncias de Seno e Cosseno Exerc´ıcio Temos ainda outra estrate´gia para fazer esse u´ltimo exerc´ıcio. Usando a identidade trigonome´trica fundamental, podemos escrever que∫ sen 4x cos2 x dx = ∫ sen 4x ( 1− sen 2x) dx = ∫ sen 4x dx − ∫ sen 6x dx Ou ainda, tambe´m podemos escrever que∫ sen 4x cos2 x dx = ∫ ( 1− cos2 x)2 cos2 x dx = ∫ cos2 x dx − 2 ∫ cos4 x dx + ∫ cos6 x dx Bastava agora aplicar as te´cnicas estudadas na aula anterior para calcular integrais desse tipo. Integral de Produto entre Poteˆncias de Seno e Cosseno Procedimento ∫ sen mx cosn x dx (m, n ∈ N). (i) Se m e´ ı´mpar, enta˜o ele tem o formato 2k + 1 (com k ∈ N). Desse modo, reescreva o integrando como segue abaixo e use a substituic¸a˜o u = cos x e du = − sen x dx : sen 2k+1x cosn x = sen x ( 1− cos2 x)k cosn x ; (ii) Se n e´ ı´mpar, enta˜o ele tem o formato 2k + 1 (com k ∈ N). Desse modo, reescreva o integrando como segue abaixo e use a substituic¸a˜o u = sen x e du = cos x dx : sen mx cos2k+1 x = sen mx ( 1− sen 2x)k cos x ; Integral de Produto entre Poteˆncias de Seno e Cosseno Procedimento ∫ sen mx cosn x dx (m, n ∈ N). (iii) Se m e n sa˜o pares, enta˜o eles tem o formato 2k1 e 2k2 (com k1, k2 ∈ N). Desse modo, reescreva o integrando como segue abaixo: sen 2k1x cos2k2 x = [ 1 2 (1− cos 2x) ]k1 [1 2 (1 + cos 2x) ]k2 ; Ou ainda, reescreva o integrando como sen 2k1x cos2k2 x = ( 1− cos2 x)k1 cos2k2 x ou, sen 2k1x cos2k2 x = sen 2k1x ( 1− sen 2x)k2 .
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