Limite Continuidade

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Ca´lculo Diferencial e Integral I
Limites e Continuidade
Luiz C. M. de Aquino
aquino.luizclaudio@gmail.com
http://sites.google.com/site/lcmaquino
http://www.youtube.com/LCMAquino
Limites e Continuidade
Noc¸a˜o intuitiva
No´s dizemos que alguma coisa e´ cont´ınua se ele na˜o possui
interrupc¸o˜es.
Como aplicar essa ide´ia a`s func¸o˜es?
Figura: As func¸o˜es g e f sa˜o descont´ınuas em x = p. A func¸a˜o h e´
cont´ınua em qualquer ponto do seu dom´ınio.
Limites e Continuidade
Noc¸a˜o intuitiva
No´s dizemos que alguma coisa e´ cont´ınua se ele na˜o possui
interrupc¸o˜es.
Como aplicar essa ide´ia a`s func¸o˜es?
Figura: As func¸o˜es g e f sa˜o descont´ınuas em x = p. A func¸a˜o h e´
cont´ınua em qualquer ponto do seu dom´ınio.
Limites e Continuidade
Conexa˜o dos conceitos
Podemos conectar o conceito de Continuidade de uma func¸a˜o em
x = p com o Limite da func¸a˜o quando x tende a p.
Definic¸a˜o
Seja uma func¸a˜o f e um ponto p em seu dom´ınio. Dizemos que f
e´ cont´ınua em p se:
lim
x→p f (x) = f (p)
Pela definic¸a˜o, treˆs coisas devem o ocorrer:
(i) A func¸a˜o esta´ definida em x = p, isto e´, existe f (p)
(ii) Existe o limite da func¸a˜o quando x tende a p.
(iii) Os valores de f (p) e lim
x→p f (x) devem ser iguais.
Limites e Continuidade
Conexa˜o dos conceitos
Podemos conectar o conceito de Continuidade de uma func¸a˜o em
x = p com o Limite da func¸a˜o quando x tende a p.
Definic¸a˜o
Seja uma func¸a˜o f e um ponto p em seu dom´ınio. Dizemos que f
e´ cont´ınua em p se:
lim
x→p f (x) = f (p)
Pela definic¸a˜o, treˆs coisas devem o ocorrer:
(i) A func¸a˜o esta´ definida em x = p, isto e´, existe f (p)
(ii) Existe o limite da func¸a˜o quando x tende a p.
(iii) Os valores de f (p) e lim
x→p f (x) devem ser iguais.
Limites e Continuidade
Exemplo 1
Considere a func¸a˜o f (x) =

x2 + x − 6
x − 2 ; x < 2
5; x = 2
x3 − 2x2 + x − 2
x − 2 ; x > 2
.
A func¸a˜o e´ cont´ınua em x = 2?
Responder a essa pergunta significa verificar se ocorre
lim
x→2
f (x) = f (2).
Limites e Continuidade
Exemplo 1
Considere a func¸a˜o f (x) =

x2 + x − 6
x − 2 ; x < 2
5; x = 2
x3 − 2x2 + x − 2
x − 2 ; x > 2
.
A func¸a˜o e´ cont´ınua em x = 2?
Responder a essa pergunta significa verificar se ocorre
lim
x→2
f (x) = f (2).
Limites e Continuidade
Exemplo 1
f (x) =

x2 + x − 6
x − 2 ; x < 2
5; x = 2
x3 − 2x2 + x − 2
x − 2 ; x > 2
.
Facilmente percebemos que f (2) = 5.
Falta avaliar lim
x→2
f (x). Para isso, precisamos calcular os limites
laterais.
lim
x→2−
x2 + x − 6
x − 2 = limx→2−
���
�(x − 2)(x + 3)
���
�(x − 2) = limx→2− x + 3 = 5
lim
x→2+
x3 − 2x2 + x − 2
x − 2 = limx→2+
���
�(x − 2)(x2 + 1)
���
�(x − 2) = limx→2+ x
2 + 1 = 5
Portanto, f e´ cont´ınua em x = 2.
Limites e Continuidade
Exemplo 1
f (x) =

x2 + x − 6
x − 2 ; x < 2
5; x = 2
x3 − 2x2 + x − 2
x − 2 ; x > 2
.
Facilmente percebemos que f (2) = 5.
Falta avaliar lim
x→2
f (x). Para isso, precisamos calcular os limites
laterais.
lim
x→2−
x2 + x − 6
x − 2 = limx→2−
���
�(x − 2)(x + 3)
���
�(x − 2) = limx→2− x + 3 = 5
lim
x→2+
x3 − 2x2 + x − 2
x − 2 = limx→2+
���
�(x − 2)(x2 + 1)
���
�(x − 2) = limx→2+ x
2 + 1 = 5
Portanto, f e´ cont´ınua em x = 2.
Limites e Continuidade
Exemplo 1
f (x) =

x2 + x − 6
x − 2 ; x < 2
5; x = 2
x3 − 2x2 + x − 2
x − 2 ; x > 2
.
Facilmente percebemos que f (2) = 5.
Falta avaliar lim
x→2
f (x). Para isso, precisamos calcular os limites
laterais.
lim
x→2−
x2 + x − 6
x − 2 = limx→2−
���
�(x − 2)(x + 3)
���
�(x − 2) = limx→2− x + 3 = 5
lim
x→2+
x3 − 2x2 + x − 2
x − 2 = limx→2+
���
�(x − 2)(x2 + 1)
���
�(x − 2) = limx→2+ x
2 + 1 = 5
Portanto, f e´ cont´ınua em x = 2.
Limites e Continuidade
Exemplo 1
f (x) =

x2 + x − 6
x − 2 ; x < 2
5; x = 2
x3 − 2x2 + x − 2
x − 2 ; x > 2
.
Facilmente percebemos que f (2) = 5.
Falta avaliar lim
x→2
f (x). Para isso, precisamos calcular os limites
laterais.
lim
x→2−
x2 + x − 6
x − 2 = limx→2−
���
�(x − 2)(x + 3)
���
�(x − 2) = limx→2− x + 3 = 5
lim
x→2+
x3 − 2x2 + x − 2
x − 2 = limx→2+
���
�(x − 2)(x2 + 1)
���
�(x − 2) = limx→2+ x
2 + 1 = 5
Portanto, f e´ cont´ınua em x = 2.
Limites e Continuidade
Exemplo 1
f (x) =

x2 + x − 6
x − 2 ; x < 2
5; x = 2
x3 − 2x2 + x − 2
x − 2 ; x > 2
.
Facilmente percebemos que f (2) = 5.
Falta avaliar lim
x→2
f (x). Para isso, precisamos calcular os limites
laterais.
lim
x→2−
x2 + x − 6
x − 2 = limx→2−
���
�(x − 2)(x + 3)
���
�(x − 2) = limx→2− x + 3 = 5
lim
x→2+
x3 − 2x2 + x − 2
x − 2 = limx→2+
���
�(x − 2)(x2 + 1)
���
�(x − 2) = limx→2+ x
2 + 1 = 5
Portanto, f e´ cont´ınua em x = 2.
Limites e Continuidade
Exemplo 2
Considere a func¸a˜o f (x) =

x2 + x − 2; x < 2
2x + 3; x ≥ 2
.
A func¸a˜o e´ cont´ınua em x = 2?
Temos que f (2) = 7. Quanto ao limite quando x tende a 2, no´s
temos:
lim
x→2−
x2 + x − 2 = 4 lim
x→2+
2x + 3 = 7
Na˜o existe lim
x→2
f (x), pois os limites laterais possuem valores
diferentes.
Portanto, a func¸a˜o e´ descont´ınua em x = 2.
Limites e Continuidade
Exemplo 2
Considere a func¸a˜o f (x) =

x2 + x − 2; x < 2
2x + 3; x ≥ 2
.
A func¸a˜o e´ cont´ınua em x = 2?
Temos que f (2) = 7.
Quanto ao limite quando x tende a 2, no´s
temos:
lim
x→2−
x2 + x − 2 = 4 lim
x→2+
2x + 3 = 7
Na˜o existe lim
x→2
f (x), pois os limites laterais possuem valores
diferentes.
Portanto, a func¸a˜o e´ descont´ınua em x = 2.
Limites e Continuidade
Exemplo 2
Considere a func¸a˜o f (x) =

x2 + x − 2; x < 2
2x + 3; x ≥ 2
.
A func¸a˜o e´ cont´ınua em x = 2?
Temos que f (2) = 7. Quanto ao limite quando x tende a 2, no´s
temos:
lim
x→2−
x2 + x − 2 = 4 lim
x→2+
2x + 3 = 7
Na˜o existe lim
x→2
f (x), pois os limites laterais possuem valores
diferentes.
Portanto, a func¸a˜o e´ descont´ınua em x = 2.
Limites e Continuidade
Exemplo 2
Considere a func¸a˜o f (x) =

x2 + x − 2; x < 2
2x + 3; x ≥ 2
.
A func¸a˜o e´ cont´ınua em x = 2?
Temos que f (2) = 7. Quanto ao limite quando x tende a 2, no´s
temos:
lim
x→2−
x2 + x − 2 = 4 lim
x→2+
2x + 3 = 7
Na˜o existe lim
x→2
f (x), pois os limites laterais possuem valores
diferentes.
Portanto, a func¸a˜o e´ descont´ınua em x = 2.
Limites e Continuidade
Exemplo 2
Considere a func¸a˜o f (x) =

x2 + x − 2; x < 2
2x + 3; x ≥ 2
.
A func¸a˜o e´ cont´ınua em x = 2?
Temos que f (2) = 7. Quanto ao limite quando x tende a 2, no´s
temos:
lim
x→2−
x2 + x − 2 = 4 lim
x→2+
2x + 3 = 7
Na˜o existe lim
x→2
f (x), pois os limites laterais possuem valores
diferentes.
Portanto, a func¸a˜o e´ descont´ınua em x = 2.
Limites e Continuidade
Exemplo 3
Considere a func¸a˜o f (x) =

x2 + kx − 2; x < 2
2x + 3; x ≥ 2
.
Para que valor de k a func¸a˜o e´ cont´ınua em x = 2?
Deve ocorrer lim
x→2
f (x) = f (2). Facilmente calculamos que
f (2) = 7. Ale´m disso, notamos que lim
x→2+
f (x) = 7. Falta
acontecer lim
x→2−
f (x) = 7.
lim
x→2−
x2 + kx − 2 = 7
22 + 2k − 2 = 7
k = 52
Limites e Continuidade
Exemplo 3
Considere a func¸a˜o f (x) =

x2 + kx − 2; x < 2
2x + 3; x ≥ 2
.
Para que valor de k a func¸a˜o e´ cont´ınua em x = 2?
Deve ocorrer lim
x→2
f (x) = f (2). Facilmente calculamos que
f (2) = 7.
Ale´m disso, notamos que lim
x→2+
f (x) = 7. Falta
acontecer lim
x→2−
f (x) = 7.
lim
x→2−
x2 + kx − 2 = 7
22 + 2k − 2 = 7
k = 52
Limites e ContinuidadeExemplo 3
Considere a func¸a˜o f (x) =

x2 + kx − 2; x < 2
2x + 3; x ≥ 2
.
Para que valor de k a func¸a˜o e´ cont´ınua em x = 2?
Deve ocorrer lim
x→2
f (x) = f (2). Facilmente calculamos que
f (2) = 7. Ale´m disso, notamos que lim
x→2+
f (x) = 7.
Falta
acontecer lim
x→2−
f (x) = 7.
lim
x→2−
x2 + kx − 2 = 7
22 + 2k − 2 = 7
k = 52
Limites e Continuidade
Exemplo 3
Considere a func¸a˜o f (x) =

x2 + kx − 2; x < 2
2x + 3; x ≥ 2
.
Para que valor de k a func¸a˜o e´ cont´ınua em x = 2?
Deve ocorrer lim
x→2
f (x) = f (2). Facilmente calculamos que
f (2) = 7. Ale´m disso, notamos que lim
x→2+
f (x) = 7. Falta
acontecer lim
x→2−
f (x) = 7.
lim
x→2−
x2 + kx − 2 = 7
22 + 2k − 2 = 7
k = 52
Limites e Continuidade
Func¸o˜es cont´ınuas
Se f e g sa˜o func¸o˜es cont´ınuas em x = p, enta˜o as func¸o˜es abaixo
tambe´m sa˜o cont´ınuas em x = p.
(i) kf , com k uma constante qualquer.
(ii) f + g
(iii) fg
(iv) fg , com g(p) 6= 0
Limites e Continuidade
Func¸o˜es cont´ınuas
As seguintes func¸o˜es sa˜o cont´ınuas em seus dom´ınios:
(i) Polinoˆmio: f (x) = anx
n + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0
(ii) Raiz: f (x) = n
√
x , n ∈ N∗
(iii) Exponencial: f (x) = ax , a ∈ R∗+ − {1}
(iv) Logaritmo: f (x) = loga x , a ∈ R∗+ − {1}
(v) Trigonome´trica: f (x) = sen x , g(x) = cos x .
Limites e Continuidade
Composic¸a˜o de func¸o˜es e a Continuidade
Se f e´ cont´ınua em L e lim
x→p g(x) = L, enta˜o
lim
x→p f (g(x)) = f
(
lim
x→p g(x)
)
= f (L)
Exemplo
lim
x→2
3
√
x2 + 1 = 3
√
lim
x→2
(x2 + 1) =
3
√
5
Limites e Continuidade
Composic¸a˜o de func¸o˜es e a Continuidade
Se f e´ cont´ınua em L e lim
x→p g(x) = L, enta˜o
lim
x→p f (g(x)) = f
(
lim
x→p g(x)
)
= f (L)
Exemplo
lim
x→2
3
√
x2 + 1 = 3
√
lim
x→2
(x2 + 1) =
3
√
5
Limites e Continuidade
Teorema do Valor Intermedia´rio
Se f e´ uma func¸a˜o cont´ınua no intervalo [a, b], enta˜o para todo d
compreendido entre f (a) e f (b) existe um c em (a, b) tal que
f (c) = d .
Figura: Interpretac¸a˜o geome´trica do Teorema do Valor Intermedia´rio.
Limites e Continuidade
Teorema do Valor Intermedia´rio
Se f e´ uma func¸a˜o cont´ınua no intervalo [a, b], enta˜o para todo d
compreendido entre f (a) e f (b) existe um c em (a, b) tal que
f (c) = d .
Figura: Interpretac¸a˜o geome´trica do Teorema do Valor Intermedia´rio.
Limites e Continuidade
Teorema do Valor Intermedia´rio
Exemplo
Prove que existe uma raiz para a func¸a˜o f (x) = 3x3 + 4x2 − 5 no
intervalo [−1, 1].
Temos que f (−1) = −4 e f (1) = 2. Como 0 ∈ (f (−1), f (1)),
enta˜o existe c ∈ [−1, 1] tal que f (c) = 0.
Limites e Continuidade
Teorema do Valor Intermedia´rio
Exemplo
Prove que existe uma raiz para a func¸a˜o f (x) = 3x3 + 4x2 − 5 no
intervalo [−1, 1].
Temos que f (−1) = −4 e f (1) = 2.
Como 0 ∈ (f (−1), f (1)),
enta˜o existe c ∈ [−1, 1] tal que f (c) = 0.
Limites e Continuidade
Teorema do Valor Intermedia´rio
Exemplo
Prove que existe uma raiz para a func¸a˜o f (x) = 3x3 + 4x2 − 5 no
intervalo [−1, 1].
Temos que f (−1) = −4 e f (1) = 2. Como 0 ∈ (f (−1), f (1)),
enta˜o existe c ∈ [−1, 1] tal que f (c) = 0.