Limite Infinito

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Ca´lculo Diferencial e Integral I
Limites Infinitos
Luiz C. M. de Aquino
aquino.luizclaudio@gmail.com
http://sites.google.com/site/lcmaquino
http://www.youtube.com/LCMAquino
Limites Infinitos
Noc¸a˜o intuitiva
Considere a func¸a˜o f : R∗ → R definida por f (x) = 1
x2
. Para que
valor a func¸a˜o se aproxima quando x aproxima-se de 0?
x f(x)
-0,1 100
-0,01 10.000
-0,001 1.000.000
-0,0001 100.000.000
-0,00001 10.000.000.000
↓
x f(x)
0,00001 10.000.000.000
0,0001 100.000.000
0,001 1.000.000
0,01 10.000
0,1 100
↑
Quando x aproxima-se de 0, a func¸a˜o assume valores positivos
cada vez maiores.
lim
x→0
f (x) = +∞
Limites Infinitos
Noc¸a˜o intuitiva
Considere a func¸a˜o f : R∗ → R definida por f (x) = 1
x2
. Para que
valor a func¸a˜o se aproxima quando x aproxima-se de 0?
x f(x)
-0,1 100
-0,01 10.000
-0,001 1.000.000
-0,0001 100.000.000
-0,00001 10.000.000.000
↓
x f(x)
0,00001 10.000.000.000
0,0001 100.000.000
0,001 1.000.000
0,01 10.000
0,1 100
↑
Quando x aproxima-se de 0, a func¸a˜o assume valores positivos
cada vez maiores.
lim
x→0
f (x) = +∞
Limites Infinitos
Noc¸a˜o intuitiva
Considere a func¸a˜o f : R∗ → R definida por f (x) = 1
x2
. Para que
valor a func¸a˜o se aproxima quando x aproxima-se de 0?
x f(x)
-0,1 100
-0,01 10.000
-0,001 1.000.000
-0,0001 100.000.000
-0,00001 10.000.000.000
↓
x f(x)
0,00001 10.000.000.000
0,0001 100.000.000
0,001 1.000.000
0,01 10.000
0,1 100
↑
Quando x aproxima-se de 0, a func¸a˜o assume valores positivos
cada vez maiores.
lim
x→0
f (x) = +∞
Limites Infinitos
Interpretac¸a˜o Geome´trica
Figura: A func¸a˜o f e´ tal que lim
x→0
f (x) = +∞.
Limites Infinitos
Noc¸a˜o intuitiva
Considere a func¸a˜o g : R∗ → R definida por g(x) = − 1
x2
. Para
que valor a func¸a˜o se aproxima quando x aproxima-se de 0?
x g(x)
-0,1 -100
-0,01 -10.000
-0,001 -1.000.000
-0,0001 -100.000.000
-0,00001 -10.000.000.000
↓
x g(x)
0,00001 -10.000.000.000
0,0001 -100.000.000
0,001 -1.000.000
0,01 -10.000
0,1 -100
↑
Quando x aproxima-se de 0, a func¸a˜o assume valores negativos
cada vez menores.
lim
x→0
g(x) = −∞
Limites Infinitos
Noc¸a˜o intuitiva
Considere a func¸a˜o g : R∗ → R definida por g(x) = − 1
x2
. Para
que valor a func¸a˜o se aproxima quando x aproxima-se de 0?
x g(x)
-0,1 -100
-0,01 -10.000
-0,001 -1.000.000
-0,0001 -100.000.000
-0,00001 -10.000.000.000
↓
x g(x)
0,00001 -10.000.000.000
0,0001 -100.000.000
0,001 -1.000.000
0,01 -10.000
0,1 -100
↑
Quando x aproxima-se de 0, a func¸a˜o assume valores negativos
cada vez menores.
lim
x→0
g(x) = −∞
Limites Infinitos
Noc¸a˜o intuitiva
Considere a func¸a˜o g : R∗ → R definida por g(x) = − 1
x2
. Para
que valor a func¸a˜o se aproxima quando x aproxima-se de 0?
x g(x)
-0,1 -100
-0,01 -10.000
-0,001 -1.000.000
-0,0001 -100.000.000
-0,00001 -10.000.000.000
↓
x g(x)
0,00001 -10.000.000.000
0,0001 -100.000.000
0,001 -1.000.000
0,01 -10.000
0,1 -100
↑
Quando x aproxima-se de 0, a func¸a˜o assume valores negativos
cada vez menores.
lim
x→0
g(x) = −∞
Limites Infinitos
Interpretac¸a˜o Geome´trica
Figura: A func¸a˜o g e´ tal que lim
x→0
g(x) = −∞.
Limites Infinitos
Definic¸a˜o formal
Seja uma func¸a˜o f e um nu´mero qualquer c no intervalo (a, b).
Suponha que f esteja definida em (a, b), mas na˜o necessariamente
em c .
Dizemos que
lim
x→c f (x) = +∞,
se para qualquer nu´mero ε > 0 existe um nu´mero δ > 0
correspondente de tal modo que:
f (x) > ε, sempre que 0 < |x − c| < δ.
Limites Infinitos
Interpretac¸a˜o Geome´trica
Figura: A func¸a˜o f e´ tal que lim
x→c f (x) = +∞.
Limites Infinitos
Definic¸a˜o formal
Seja uma func¸a˜o f e um nu´mero qualquer c no intervalo (a, b).
Suponha que f esteja definida em (a, b), mas na˜o necessariamente
em c .
Dizemos que
lim
x→c f (x) = −∞,
se para qualquer nu´mero ε > 0 existe um nu´mero δ > 0
correspondente de tal modo que:
f (x) < −ε, sempre que 0 < |x − c | < δ.
Limites Infinitos
Interpretac¸a˜o Geome´trica
Figura: A func¸a˜o f e´ tal que lim
x→c f (x) = −∞.
Limites Infinitos
Exerc´ıcios
Exemplo 1 - Calcule lim
x→1
x + 2
(x − 1)2 .
lim
x→1
x + 2
(x − 1)2 =
(
lim
x→1
x + 2
)
·
(
lim
x→1
1
(x − 1)2
)
= 3 · (+∞) = +∞
Exemplo 2 - Calcule lim
x→ 2
5
2x − 3
(5x − 2)4 .
lim
x→ 2
5
2x − 3
(5x − 2)4 =
(
lim
x→ 2
5
2x − 3
)
·
(
lim
x→ 2
5
1
(5x − 2)4
)
= −11
5
· (+∞)
= −∞
Limites Infinitos
Exerc´ıcios
Exemplo 1 - Calcule lim
x→1
x + 2
(x − 1)2 .
lim
x→1
x + 2
(x − 1)2 =
(
lim
x→1
x + 2
)
·
(
lim
x→1
1
(x − 1)2
)
= 3 · (+∞) = +∞
Exemplo 2 - Calcule lim
x→ 2
5
2x − 3
(5x − 2)4 .
lim
x→ 2
5
2x − 3
(5x − 2)4 =
(
lim
x→ 2
5
2x − 3
)
·
(
lim
x→ 2
5
1
(5x − 2)4
)
= −11
5
· (+∞)
= −∞
Limites Infinitos
Exerc´ıcios
Exemplo 1 - Calcule lim
x→1
x + 2
(x − 1)2 .
lim
x→1
x + 2
(x − 1)2 =
(
lim
x→1
x + 2
)
·
(
lim
x→1
1
(x − 1)2
)
= 3 · (+∞) = +∞
Exemplo 2 - Calcule lim
x→ 2
5
2x − 3
(5x − 2)4 .
lim
x→ 2
5
2x − 3
(5x − 2)4 =
(
lim
x→ 2
5
2x − 3
)
·
(
lim
x→ 2
5
1
(5x − 2)4
)
= −11
5
· (+∞)
= −∞
Limites Infinitos
Exerc´ıcios
Exemplo 1 - Calcule lim
x→1
x + 2
(x − 1)2 .
lim
x→1
x + 2
(x − 1)2 =
(
lim
x→1
x + 2
)
·
(
lim
x→1
1
(x − 1)2
)
= 3 · (+∞) = +∞
Exemplo 2 - Calcule lim
x→ 2
5
2x − 3
(5x − 2)4 .
lim
x→ 2
5
2x − 3
(5x − 2)4 =
(
lim
x→ 2
5
2x − 3
)
·
(
lim
x→ 2
5
1
(5x − 2)4
)
= −11
5
· (+∞)
= −∞
Limites Infinitos
Exerc´ıcios
E´ preciso tomar cuidado ao trabalharmos com o conceito de
infinito!
Por exemplo, sabemos que lim
x→2+
x2 − 4
x − 2 = 4.
Mas, onde esta´ o erro na soluc¸a˜o a seguir?
lim
x→2+
x2 − 4
x − 2 =
(
lim
x→2+
x2 − 4
)
·
(
lim
x→2+
1
x − 2
)
= 0 · (+∞) = 0
O erro esta´ na u´ltima passagem. O produto 0 · (+∞) e´
indeterminado. Isto e´, na˜o necessariamente 0 · (+∞) = 0.
Limites Infinitos
Exerc´ıcios
E´ preciso tomar cuidado ao trabalharmos com o conceito de
infinito!
Por exemplo, sabemos que lim
x→2+
x2 − 4
x − 2 = 4.
Mas, onde esta´ o erro na soluc¸a˜o a seguir?
lim
x→2+
x2 − 4
x − 2 =
(
lim
x→2+
x2 − 4
)
·
(
lim
x→2+
1
x − 2
)
= 0 · (+∞) = 0
O erro esta´ na u´ltima passagem. O produto 0 · (+∞) e´
indeterminado. Isto e´, na˜o necessariamente 0 · (+∞) = 0.
Limites Infinitos
Exerc´ıcios
E´ preciso tomar cuidado ao trabalharmos com o conceito de
infinito!
Por exemplo, sabemos que lim
x→2+
x2 − 4
x − 2 = 4.
Mas, onde esta´ o erro na soluc¸a˜o a seguir?
lim
x→2+
x2 − 4
x − 2 =
(
lim
x→2+
x2 − 4
)
·
(
lim
x→2+
1
x − 2
)
= 0 · (+∞) = 0
O erro esta´ na u´ltima passagem. O produto 0 · (+∞) e´
indeterminado. Isto e´, na˜o necessariamente 0 · (+∞) = 0.
Limites Infinitos
Operac¸o˜es com Limites Infinitos
Sejam f , g e h func¸o˜es tais que lim
x→c f (x) = L, limx→c g(x) = +∞ e
lim
x→c h(x) = −∞. Sera´ va´lido que:
(i) lim
x→c f (x)g(x) =
{
+∞, se L > 0
−∞, se L < 0
(ii) lim
x→c f (x)h(x) =
{
−∞, se L > 0
+∞, se L < 0
(iii) lim
x→c f (x) + g(x) = +∞
(iv) lim
x→c f (x) + h(x) = −∞
Cuidado! Se lim
x→c f (x) = 0 e limx→c g(x) = +∞, enta˜o na˜o e´ va´lido
necessariamente que lim
x→c f (x)g(x) = 0. Dizemos que 0 · (+∞) e´
uma indeterminac¸a˜o.Limites Infinitos
Operac¸o˜es com Limites Infinitos
Sejam f , g e h func¸o˜es tais que lim
x→c f (x) = L, limx→c g(x) = +∞ e
lim
x→c h(x) = −∞. Sera´ va´lido que:
(i) lim
x→c f (x)g(x) =
{
+∞, se L > 0
−∞, se L < 0
(ii) lim
x→c f (x)h(x) =
{
−∞, se L > 0
+∞, se L < 0
(iii) lim
x→c f (x) + g(x) = +∞
(iv) lim
x→c f (x) + h(x) = −∞
Cuidado! Se lim
x→c f (x) = 0 e limx→c g(x) = +∞, enta˜o na˜o e´ va´lido
necessariamente que lim
x→c f (x)g(x) = 0. Dizemos que 0 · (+∞) e´
uma indeterminac¸a˜o.
Limites Infinitos
Operac¸o˜es com Limites Infinitos
Sejam f , g , h e j func¸o˜es tais que lim
x→c f (x) = +∞,
lim
x→c g(x) = +∞, limx→c h(x) = −∞ e limx→c j(x) = −∞. Sera´ va´lido
que:
(i) lim
x→c f (x) + g(x) = +∞
(ii) lim
x→c h(x) + j(x) = −∞
(iii) lim
x→c f (x)g(x) = +∞
(iv) lim
x→c f (x)h(x) = −∞
(v) lim
x→c h(x)j(x) = +∞
Cuidado! O seguintes limites sa˜o indeterminac¸o˜es:
lim
x→c f (x)− g(x) e limx→c h(x)− j(x). Simbolizamos essas
indeterminac¸o˜es por (+∞)− (+∞) e (−∞)− (−∞).
Limites Infinitos
Operac¸o˜es com Limites Infinitos
Sejam f , g , h e j func¸o˜es tais que lim
x→c f (x) = +∞,
lim
x→c g(x) = +∞, limx→c h(x) = −∞ e limx→c j(x) = −∞. Sera´ va´lido
que:
(i) lim
x→c f (x) + g(x) = +∞
(ii) lim
x→c h(x) + j(x) = −∞
(iii) lim
x→c f (x)g(x) = +∞
(iv) lim
x→c f (x)h(x) = −∞
(v) lim
x→c h(x)j(x) = +∞
Cuidado! O seguintes limites sa˜o indeterminac¸o˜es:
lim
x→c f (x)− g(x) e limx→c h(x)− j(x). Simbolizamos essas
indeterminac¸o˜es por (+∞)− (+∞) e (−∞)− (−∞).
Limites Infinitos
Exerc´ıcios
Exemplo 3 - Calcule lim
x→0
1
x4
− 1
x2
.
Temos uma indeterminac¸a˜o do tipo (+∞)− (+∞).
Podemos escrever esse limite como lim
x→0
1
x2
(
1
x2
− 1
)
. Note que
agora temos um limite do tipo (+∞) · (+∞).
Usando as propriedades vistas anteriormente, podemos dizer que
lim
x→0
1
x4
− 1
x2
= +∞.
Limites Infinitos
Exerc´ıcios
Exemplo 3 - Calcule lim
x→0
1
x4
− 1
x2
.
Temos uma indeterminac¸a˜o do tipo (+∞)− (+∞).
Podemos escrever esse limite como lim
x→0
1
x2
(
1
x2
− 1
)
. Note que
agora temos um limite do tipo (+∞) · (+∞).
Usando as propriedades vistas anteriormente, podemos dizer que
lim
x→0
1
x4
− 1
x2
= +∞.
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Exerc´ıcios
Exemplo 3 - Calcule lim
x→0
1
x4
− 1
x2
.
Temos uma indeterminac¸a˜o do tipo (+∞)− (+∞).
Podemos escrever esse limite como lim
x→0
1
x2
(
1
x2
− 1
)
. Note que
agora temos um limite do tipo (+∞) · (+∞).
Usando as propriedades vistas anteriormente, podemos dizer que
lim
x→0
1
x4
− 1
x2
= +∞.
Limites Infinitos
Exerc´ıcios
Exemplo 3 - Calcule lim
x→0
1
x4
− 1
x2
.
Temos uma indeterminac¸a˜o do tipo (+∞)− (+∞).
Podemos escrever esse limite como lim
x→0
1
x2
(
1
x2
− 1
)
. Note que
agora temos um limite do tipo (+∞) · (+∞).
Usando as propriedades vistas anteriormente, podemos dizer que
lim
x→0
1
x4
− 1
x2
= +∞.