1. Noção intuitiva de Limite

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Ca´lculo Diferencial e Integral I
Limite - Introduc¸a˜o
Luiz C. M. de Aquino
aquino.luizclaudio@gmail.com
http://sites.google.com/site/lcmaquino
http://www.youtube.com/LCMAquino
Limite
Noc¸a˜o intuitiva
Considere que a bola ilustrada abaixo pode deslocar-se para a
direita ou para a esquerda.
Podemos fazer a bola aproximar-se o quanto queremos da parede,
pore´m dessa parede ela na˜o ultrapassa. Podemos dizer que a
parede e´ um limite para a trajeto´ria da bola.
Limite
Noc¸a˜o intuitiva
Considere que a bola ilustrada abaixo pode deslocar-se para a
direita ou para a esquerda.
Podemos fazer a bola aproximar-se o quanto queremos da parede,
pore´m dessa parede ela na˜o ultrapassa. Podemos dizer que a
parede e´ um limite para a trajeto´ria da bola.
Limite
Noc¸a˜o intuitiva
Considere a func¸a˜o f : R→ R definida por f (x) = 2x + 3. Imagine
que voceˆ tivesse que responder a seguinte pergunta:
Para que valor a func¸a˜o f se aproxima quando x se aproxima de 1?
x f(x)
0,95 4,9
0,96 4,92
0,97 4,94
0,98 4,96
0,99 4,98
↓
x f(x)
1,006 5,012
1,007 5,014
1,008 5,016
1,009 5,018
1,01 5,02
↑
Parece razoa´vel afirmar que o valor de f aproxima-se cada vez mais
de 5, quando x aproxima-se de 1. Isto e´, parece razoa´vel dizer que
5 e´ o limite da func¸a˜o f quando x aproxima-se de 1.
Limite
Noc¸a˜o intuitiva
Considere a func¸a˜o f : R→ R definida por f (x) = 2x + 3. Imagine
que voceˆ tivesse que responder a seguinte pergunta:
Para que valor a func¸a˜o f se aproxima quando x se aproxima de 1?
x f(x)
0,95 4,9
0,96 4,92
0,97 4,94
0,98 4,96
0,99 4,98
↓
x f(x)
1,006 5,012
1,007 5,014
1,008 5,016
1,009 5,018
1,01 5,02
↑
Parece razoa´vel afirmar que o valor de f aproxima-se cada vez mais
de 5, quando x aproxima-se de 1. Isto e´, parece razoa´vel dizer que
5 e´ o limite da func¸a˜o f quando x aproxima-se de 1.
Limite
Noc¸a˜o intuitiva
Considere a func¸a˜o f : R→ R definida por f (x) = 2x + 3. Imagine
que voceˆ tivesse que responder a seguinte pergunta:
Para que valor a func¸a˜o f se aproxima quando x se aproxima de 1?
x f(x)
0,95 4,9
0,96 4,92
0,97 4,94
0,98 4,96
0,99 4,98
↓
x f(x)
1,006 5,012
1,007 5,014
1,008 5,016
1,009 5,018
1,01 5,02
↑
Parece razoa´vel afirmar que o valor de f aproxima-se cada vez mais
de 5, quando x aproxima-se de 1. Isto e´, parece razoa´vel dizer que
5 e´ o limite da func¸a˜o f quando x aproxima-se de 1.
Limite
Notac¸a˜o
No exemplo anterior, para simbolizar que a func¸a˜o tem limite igual
a 5 quando x aproxima-se de 1, no´s usamos a seguinte notac¸a˜o:
lim
x→1
f (x) = 5
No´s lemos essa notac¸a˜o da seguinte maneira: “Limite de f(x)
quando x tende a 1 e´ igual a 5”.
De forma geral, a notac¸a˜o sera´ algo como:
lim
x→a f (x) = L
Limite
Notac¸a˜o
No exemplo anterior, para simbolizar que a func¸a˜o tem limite igual
a 5 quando x aproxima-se de 1, no´s usamos a seguinte notac¸a˜o:
lim
x→1
f (x) = 5
No´s lemos essa notac¸a˜o da seguinte maneira: “Limite de f(x)
quando x tende a 1 e´ igual a 5”.
De forma geral, a notac¸a˜o sera´ algo como:
lim
x→a f (x) = L
Limite
Ca´lculo de Limite
Lembrando do exemplo anterior, no´s t´ınhamos a func¸a˜o
f (x) = 2x + 3.
No´s vimos que o limite dessa func¸a˜o quando x aproxima-se de 1 foi
igual a 5.
Olhando com mais atenc¸a˜o para a func¸a˜o, percebemos que
f (1) = 2 · 1 + 3 = 5. Isto e´, nesse exemplo temos que
lim
x→1
f (x) = f (1)
Surge uma pergunta: Sera´ que isso vale para todas as func¸o˜es?
Limite
Ca´lculo de Limite
Lembrando do exemplo anterior, no´s t´ınhamos a func¸a˜o
f (x) = 2x + 3.
No´s vimos que o limite dessa func¸a˜o quando x aproxima-se de 1 foi
igual a 5.
Olhando com mais atenc¸a˜o para a func¸a˜o, percebemos que
f (1) = 2 · 1 + 3 = 5. Isto e´, nesse exemplo temos que
lim
x→1
f (x) = f (1)
Surge uma pergunta: Sera´ que isso vale para todas as func¸o˜es?
Limite
Ca´lculo de Limite
Lembrando do exemplo anterior, no´s t´ınhamos a func¸a˜o
f (x) = 2x + 3.
No´s vimos que o limite dessa func¸a˜o quando x aproxima-se de 1 foi
igual a 5.
Olhando com mais atenc¸a˜o para a func¸a˜o, percebemos que
f (1) = 2 · 1 + 3 = 5. Isto e´, nesse exemplo temos que
lim
x→1
f (x) = f (1)
Surge uma pergunta: Sera´ que isso vale para todas as func¸o˜es?
Limite
Ca´lculo de Limite
Lembrando do exemplo anterior, no´s t´ınhamos a func¸a˜o
f (x) = 2x + 3.
No´s vimos que o limite dessa func¸a˜o quando x aproxima-se de 1 foi
igual a 5.
Olhando com mais atenc¸a˜o para a func¸a˜o, percebemos que
f (1) = 2 · 1 + 3 = 5. Isto e´, nesse exemplo temos que
lim
x→1
f (x) = f (1)
Surge uma pergunta: Sera´ que isso vale para todas as func¸o˜es?
Limite
Ca´lculo de Limite
Considere agora a func¸a˜o f : R− {−2, 2} → R definida por:
f (x) =
x − 2
x2 − 4
Para que valor a func¸a˜o f se aproxima quando x se aproxima de 2?
x f(x)
1,95 0,25316
1,96 0,25253
1,97 0,25189
1,98 0,25126
1,99 0,25063
↓
x f(x)
2,006 0,24963
2,007 0,24956
2,008 0,24950
2,009 0,24944
2,01 0,24938
↑
Parece razoa´vel afirmar que:
lim
x→2
f (x) = 0, 25
Mas, como ter certeza?
Limite
Ca´lculo de Limite
Considere agora a func¸a˜o f : R− {−2, 2} → R definida por:
f (x) =
x − 2
x2 − 4
Para que valor a func¸a˜o f se aproxima quando x se aproxima de 2?
x f(x)
1,95 0,25316
1,96 0,25253
1,97 0,25189
1,98 0,25126
1,99 0,25063
↓
x f(x)
2,006 0,24963
2,007 0,24956
2,008 0,24950
2,009 0,24944
2,01 0,24938
↑
Parece razoa´vel afirmar que:
lim
x→2
f (x) = 0, 25
Mas, como ter certeza?
Limite
Ca´lculo de Limite
Considere agora a func¸a˜o f : R− {−2, 2} → R definida por:
f (x) =
x − 2
x2 − 4
Para que valor a func¸a˜o f se aproxima quando x se aproxima de 2?
x f(x)
1,95 0,25316
1,96 0,25253
1,97 0,25189
1,98 0,25126
1,99 0,25063
↓
x f(x)
2,006 0,24963
2,007 0,24956
2,008 0,24950
2,009 0,24944
2,01 0,24938
↑
Parece razoa´vel afirmar que:
lim
x→2
f (x) = 0, 25
Mas, como ter certeza?
Limite
Ca´lculo de Limite
Desejamos calcular
lim
x→2
x − 2
x2 − 4
Recordando-se de Produtos Nota´veis, sabemos que no
denominador temos x2 − 4 = x2 − 22 = (x − 2)(x + 2). Desse
modo, temos que:
lim
x→2
x − 2
x2 − 4 = limx→2
x − 2
(x − 2)(x + 2)
Como x aproxima-se de 2, pore´m nunca e´ exatamente 2, temos
que (x − 2) 6= 0. Sendo assim, podemos simplificar a frac¸a˜o:
lim
x→2
���
�(x − 2)
���
�(x − 2)(x + 2) = limx→2
1
x + 2
Por fim, note que quanto mais x se aproxima de 2 mais o valor
x + 2 aproxima-se de 4. Portanto, temos que:
lim
x→2
1
x + 2
=
1
2 + 2
=
1
4
= 0, 25
Limite
Ca´lculo de Limite
Desejamos calcular
lim
x→2
x − 2
x2 − 4
Recordando-se de Produtos Nota´veis, sabemos que no
denominador temos x2 − 4 = x2 − 22 = (x − 2)(x + 2). Desse
modo, temos que:
lim
x→2
x − 2
x2 − 4 = limx→2
x − 2
(x − 2)(x + 2)
Como x aproxima-se de 2, pore´m nunca e´ exatamente 2, temos
que (x − 2) 6= 0. Sendo assim, podemos simplificar a frac¸a˜o:
lim
x→2
���
�(x − 2)
���
�(x − 2)(x + 2) = limx→2
1
x + 2
Por fim, note que quanto mais x se aproxima de 2 mais o valor
x + 2 aproxima-se de 4. Portanto, temos que:
lim
x→2
1
x + 2
=
1
2 + 2
=
1
4
= 0, 25
Limite
Ca´lculo de Limite
Desejamos calcular
lim
x→2
x − 2
x2 − 4
Recordando-se de Produtos Nota´veis, sabemos que no
denominador temos x2 − 4 = x2 − 22 = (x − 2)(x + 2). Desse
modo, temos que:
lim
x→2
x − 2
x2 − 4 = limx→2
x − 2
(x − 2)(x + 2)
Como x aproxima-se de 2, pore´m nunca e´ exatamente 2, temos
que (x − 2) 6= 0. Sendo assim, podemossimplificar a frac¸a˜o:
lim
x→2
���
�(x − 2)
���
�(x − 2)(x + 2) = limx→2
1
x + 2
Por fim, note que quanto mais x se aproxima de 2 mais o valor
x + 2 aproxima-se de 4. Portanto, temos que:
lim
x→2
1
x + 2
=
1
2 + 2
=
1
4
= 0, 25
Limite
Ca´lculo de Limite
Desejamos calcular
lim
x→2
x − 2
x2 − 4
Recordando-se de Produtos Nota´veis, sabemos que no
denominador temos x2 − 4 = x2 − 22 = (x − 2)(x + 2). Desse
modo, temos que:
lim
x→2
x − 2
x2 − 4 = limx→2
x − 2
(x − 2)(x + 2)
Como x aproxima-se de 2, pore´m nunca e´ exatamente 2, temos
que (x − 2) 6= 0. Sendo assim, podemos simplificar a frac¸a˜o:
lim
x→2
���
�(x − 2)
���
�(x − 2)(x + 2) = limx→2
1
x + 2
Por fim, note que quanto mais x se aproxima de 2 mais o valor
x + 2 aproxima-se de 4. Portanto, temos que:
lim
x→2
1
x + 2
=
1
2 + 2
=
1
4
= 0, 25
Limite
Nota
No exemplo anterior, foi executado a simplificac¸a˜o:
���
�(x − 2)
���
�(x − 2)(x + 2) =
1
x + 2
Vale a pena destacar que isso so´ pode ser feito pois x − 2 6= 0.
Se x − 2 fosse igual a 0 (o que implica que x = 2), enta˜o voceˆ
estaria fazendo uma simplificac¸a˜o inva´lida:
�0
�0 · 4 =
1
4
Errado!
Limite
Nota
No exemplo anterior, foi executado a simplificac¸a˜o:
���
�(x − 2)
���
�(x − 2)(x + 2) =
1
x + 2
Vale a pena destacar que isso so´ pode ser feito pois x − 2 6= 0.
Se x − 2 fosse igual a 0 (o que implica que x = 2), enta˜o voceˆ
estaria fazendo uma simplificac¸a˜o inva´lida:
�0
�0 · 4 =
1
4
Errado!
Limite
Ca´lculo de Limite
No exemplo anterior, vimos que a func¸a˜o na˜o estava definida em
x = 2. Pore´m, obtivemos que lim
x→2
f (x) =
1
4
.
Isso significa que nem sempre o valor de uma func¸a˜o em um
determinado ponto e´ igual ao seu limite nesse ponto. Isto e´, nem
sempre sera´ va´lido que lim
x→a f (x) = f (a).
Limite
Ca´lculo de Limite
Fac¸amos um u´ltimo exemplo. Considere a func¸a˜o f : R∗ → R
definida por:
f (x) =
√
x2 + 9− 3
x2
Vamos calcular lim
x→0
f (x).
x f(x)
-0,0001 0,16666668
-0,00001 0,16666668
-0,000001 0,16653345
-0,0000001 0,17763568
-0,00000001 0,00000000
↓
x f(x)
0,00000001 0,00000000
0,0000001 0,17763568
0,000001 0,16653345
0,00001 0,16666668
0,0001 0,16666668
↑
Parece que lim
x→0
f (x) = 0, mas essa na˜o e´ a reposta correta!
Limite
Ca´lculo de Limite
Fac¸amos um u´ltimo exemplo. Considere a func¸a˜o f : R∗ → R
definida por:
f (x) =
√
x2 + 9− 3
x2
Vamos calcular lim
x→0
f (x).
x f(x)
-0,0001 0,16666668
-0,00001 0,16666668
-0,000001 0,16653345
-0,0000001 0,17763568
-0,00000001 0,00000000
↓
x f(x)
0,00000001 0,00000000
0,0000001 0,17763568
0,000001 0,16653345
0,00001 0,16666668
0,0001 0,16666668
↑
Parece que lim
x→0
f (x) = 0, mas essa na˜o e´ a reposta correta!
Limite
Ca´lculo de Limite
Fac¸amos um u´ltimo exemplo. Considere a func¸a˜o f : R∗ → R
definida por:
f (x) =
√
x2 + 9− 3
x2
Vamos calcular lim
x→0
f (x).
x f(x)
-0,0001 0,16666668
-0,00001 0,16666668
-0,000001 0,16653345
-0,0000001 0,17763568
-0,00000001 0,00000000
↓
x f(x)
0,00000001 0,00000000
0,0000001 0,17763568
0,000001 0,16653345
0,00001 0,16666668
0,0001 0,16666668
↑
Parece que lim
x→0
f (x) = 0, mas essa na˜o e´ a reposta correta!
Limite
Ca´lculo de Limite
Desejamos calcular
lim
x→0
√
x2 + 9− 3
x2
Aqui precisamos realizar um artif´ıcio alge´brico! Note que se
fizermos a expressa˜o (
√
x2 + 9)2 − 32 aparecer no numerador,
teremos que o numerador ficara´ igual a x2. Isso sera´ u´til para
realizarmos uma simplificac¸a˜o. Mas, como fazer para essa
expressa˜o aparecer? O artif´ıcio e´ multiplicar o numerador e o
denominador por
√
x2 + 9 + 3.
lim
x→0
√
x2 + 9− 3
x2
= lim
x→0
(
√
x2 + 9− 3)(√x2 + 9 + 3)
x2(
√
x2 + 9 + 3)
Limite
Ca´lculo de Limite
Desejamos calcular
lim
x→0
√
x2 + 9− 3
x2
Aqui precisamos realizar um artif´ıcio alge´brico! Note que se
fizermos a expressa˜o (
√
x2 + 9)2 − 32 aparecer no numerador,
teremos que o numerador ficara´ igual a x2. Isso sera´ u´til para
realizarmos uma simplificac¸a˜o.
Mas, como fazer para essa
expressa˜o aparecer? O artif´ıcio e´ multiplicar o numerador e o
denominador por
√
x2 + 9 + 3.
lim
x→0
√
x2 + 9− 3
x2
= lim
x→0
(
√
x2 + 9− 3)(√x2 + 9 + 3)
x2(
√
x2 + 9 + 3)
Limite
Ca´lculo de Limite
Desejamos calcular
lim
x→0
√
x2 + 9− 3
x2
Aqui precisamos realizar um artif´ıcio alge´brico! Note que se
fizermos a expressa˜o (
√
x2 + 9)2 − 32 aparecer no numerador,
teremos que o numerador ficara´ igual a x2. Isso sera´ u´til para
realizarmos uma simplificac¸a˜o. Mas, como fazer para essa
expressa˜o aparecer?
O artif´ıcio e´ multiplicar o numerador e o
denominador por
√
x2 + 9 + 3.
lim
x→0
√
x2 + 9− 3
x2
= lim
x→0
(
√
x2 + 9− 3)(√x2 + 9 + 3)
x2(
√
x2 + 9 + 3)
Limite
Ca´lculo de Limite
Desejamos calcular
lim
x→0
√
x2 + 9− 3
x2
Aqui precisamos realizar um artif´ıcio alge´brico! Note que se
fizermos a expressa˜o (
√
x2 + 9)2 − 32 aparecer no numerador,
teremos que o numerador ficara´ igual a x2. Isso sera´ u´til para
realizarmos uma simplificac¸a˜o. Mas, como fazer para essa
expressa˜o aparecer? O artif´ıcio e´ multiplicar o numerador e o
denominador por
√
x2 + 9 + 3.
lim
x→0
√
x2 + 9− 3
x2
= lim
x→0
(
√
x2 + 9− 3)(√x2 + 9 + 3)
x2(
√
x2 + 9 + 3)
Limite
Ca´lculo de Limite
Desejamos calcular
lim
x→0
√
x2 + 9− 3
x2
Aqui precisamos realizar um artif´ıcio alge´brico! Note que se
fizermos a expressa˜o (
√
x2 + 9)2 − 32 aparecer no numerador,
teremos que o numerador ficara´ igual a x2. Isso sera´ u´til para
realizarmos uma simplificac¸a˜o. Mas, como fazer para essa
expressa˜o aparecer? O artif´ıcio e´ multiplicar o numerador e o
denominador por
√
x2 + 9 + 3.
lim
x→0
√
x2 + 9− 3
x2
= lim
x→0
(
√
x2 + 9− 3)(√x2 + 9 + 3)
x2(
√
x2 + 9 + 3)
Limite
Ca´lculo de Limite
lim
x→0
√
x2 + 9− 3
x2
= lim
x→0
(
√
x2 + 9− 3)(√x2 + 9 + 3)
x2(
√
x2 + 9 + 3)
= lim
x→0
(√
x2 + 9
)2 − 32
x2(
√
x2 + 9 + 3)
= lim
x→0
x2
x2(
√
x2 + 9 + 3)
Como x aproxima-se de 0, mas nunca e´ exatamente 0, temos que
x2 6= 0 e portanto podemos efetuar a simplificac¸a˜o:
= lim
x→0
��x2
��x2(
√
x2 + 9 + 3)
= lim
x→0
1√
x2 + 9 + 3
Limite
Ca´lculo de Limite
lim
x→0
√
x2 + 9− 3
x2
= lim
x→0
(
√
x2 + 9− 3)(√x2 + 9 + 3)
x2(
√
x2 + 9 + 3)
= lim
x→0
(√
x2 + 9
)2 − 32
x2(
√
x2 + 9 + 3)
= lim
x→0
x2
x2(
√
x2 + 9 + 3)
Como x aproxima-se de 0, mas nunca e´ exatamente 0, temos que
x2 6= 0 e portanto podemos efetuar a simplificac¸a˜o:
= lim
x→0
��x2
��x2(
√
x2 + 9 + 3)
= lim
x→0
1√
x2 + 9 + 3
Limite
Ca´lculo de Limite
lim
x→0
√
x2 + 9− 3
x2
= lim
x→0
(
√
x2 + 9− 3)(√x2 + 9 + 3)
x2(
√
x2 + 9 + 3)
= lim
x→0
(√
x2 + 9
)2 − 32
x2(
√
x2 + 9 + 3)
= lim
x→0
x2
x2(
√
x2 + 9 + 3)
Como x aproxima-se de 0, mas nunca e´ exatamente 0, temos que
x2 6= 0 e portanto podemos efetuar a simplificac¸a˜o:
= lim
x→0
��x2
��x2(
√
x2 + 9 + 3)
= lim
x→0
1√
x2 + 9 + 3
Limite
Ca´lculo de Limite
lim
x→0
√
x2 + 9− 3
x2
= lim
x→0
(
√
x2 + 9− 3)(√x2 + 9 + 3)
x2(
√
x2 + 9 + 3)
= lim
x→0
(√
x2 + 9
)2 − 32
x2(
√
x2 + 9 + 3)
= lim
x→0
x2
x2(
√
x2 + 9 + 3)
Como x aproxima-se de 0, mas nunca e´ exatamente 0, temos que
x2 6= 0 e portanto podemos efetuar a simplificac¸a˜o:
= lim
x→0
��x2
��x2(
√x2 + 9 + 3)
= lim
x→0
1√
x2 + 9 + 3
Limite
Ca´lculo de Limite
lim
x→0
√
x2 + 9− 3
x2
= lim
x→0
(
√
x2 + 9− 3)(√x2 + 9 + 3)
x2(
√
x2 + 9 + 3)
= lim
x→0
(√
x2 + 9
)2 − 32
x2(
√
x2 + 9 + 3)
= lim
x→0
x2
x2(
√
x2 + 9 + 3)
Como x aproxima-se de 0, mas nunca e´ exatamente 0, temos que
x2 6= 0 e portanto podemos efetuar a simplificac¸a˜o:
= lim
x→0
��x2
��x2(
√
x2 + 9 + 3)
= lim
x→0
1√
x2 + 9 + 3
Limite
Ca´lculo de Limite
Sendo assim, no´s obtemos que:
lim
x→0
√
x2 + 9− 3
x2
= lim
x→0
1√
x2 + 9 + 3
Note que quando x aproxima-se de zero,
√
x2 + 9 + 3 aproxima-se
de 6. Ou seja, temos que:
lim
x→0
1√
x2 + 9 + 3
=
1
(
√
02 + 9 + 3)
=
1
6
Portanto,
lim
x→0
√
x2 + 9− 3
x2
=
1
6
= 0, 16666 . . .
Limite
Ca´lculo de Limite
Sendo assim, no´s obtemos que:
lim
x→0
√
x2 + 9− 3
x2
= lim
x→0
1√
x2 + 9 + 3
Note que quando x aproxima-se de zero,
√
x2 + 9 + 3 aproxima-se
de 6. Ou seja, temos que:
lim
x→0
1√
x2 + 9 + 3
=
1
(
√
02 + 9 + 3)
=
1
6
Portanto,
lim
x→0
√
x2 + 9− 3
x2
=
1
6
= 0, 16666 . . .
Limite
Nota
No exemplo anterior, foi executado a simplificac¸a˜o:(√
x2 + 9
)2
= x2 + 9
Vale a pena destacar que isso so´ pode ser feito pois x2 + 9 ≥ 0.
Quando temos uma raiz quadrada com radicando negativo, enta˜o
essa simplificac¸a˜o resultado no mo´dulo do radicando. Exemplo:(√−4)2 = | − 4| = 4
Portanto, de modo geral, se a ∈ R, enta˜o:(√
a
)2
= |a|
Limite
Nota
No exemplo anterior, foi executado a simplificac¸a˜o:(√
x2 + 9
)2
= x2 + 9
Vale a pena destacar que isso so´ pode ser feito pois x2 + 9 ≥ 0.
Quando temos uma raiz quadrada com radicando negativo, enta˜o
essa simplificac¸a˜o resultado no mo´dulo do radicando. Exemplo:(√−4)2 = | − 4| = 4
Portanto, de modo geral, se a ∈ R, enta˜o:(√
a
)2
= |a|
Limite
Nota
No exemplo anterior, foi executado a simplificac¸a˜o:(√
x2 + 9
)2
= x2 + 9
Vale a pena destacar que isso so´ pode ser feito pois x2 + 9 ≥ 0.
Quando temos uma raiz quadrada com radicando negativo, enta˜o
essa simplificac¸a˜o resultado no mo´dulo do radicando. Exemplo:(√−4)2 = | − 4| = 4
Portanto, de modo geral, se a ∈ R, enta˜o:(√
a
)2
= |a|
Limite
Resumo da aula
Exemplo 1:
lim
x→1
2x + 3 = 5
Exemplo 2:
lim
x→2
x − 2
x2 − 4 = limx→2
1
x + 2
=
1
4
Exemplo 3:
lim
x→0
√
x2 + 9− 3
x2
= lim
x→0
1√
x2 + 9 + 3
=
1
6
Limite
Resumo da aula
Exemplo 1:
lim
x→1
2x + 3 = 5
Exemplo 2:
lim
x→2
x − 2
x2 − 4 = limx→2
1
x + 2
=
1
4
Exemplo 3:
lim
x→0
√
x2 + 9− 3
x2
= lim
x→0
1√
x2 + 9 + 3
=
1
6
Limite
Resumo da aula
Exemplo 1:
lim
x→1
2x + 3 = 5
Exemplo 2:
lim
x→2
x − 2
x2 − 4 = limx→2
1
x + 2
=
1
4
Exemplo 3:
lim
x→0
√
x2 + 9− 3
x2
= lim
x→0
1√
x2 + 9 + 3
=
1
6