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Ca´lculo Diferencial e Integral I Limite - Introduc¸a˜o Luiz C. M. de Aquino aquino.luizclaudio@gmail.com http://sites.google.com/site/lcmaquino http://www.youtube.com/LCMAquino Limite Noc¸a˜o intuitiva Considere que a bola ilustrada abaixo pode deslocar-se para a direita ou para a esquerda. Podemos fazer a bola aproximar-se o quanto queremos da parede, pore´m dessa parede ela na˜o ultrapassa. Podemos dizer que a parede e´ um limite para a trajeto´ria da bola. Limite Noc¸a˜o intuitiva Considere que a bola ilustrada abaixo pode deslocar-se para a direita ou para a esquerda. Podemos fazer a bola aproximar-se o quanto queremos da parede, pore´m dessa parede ela na˜o ultrapassa. Podemos dizer que a parede e´ um limite para a trajeto´ria da bola. Limite Noc¸a˜o intuitiva Considere a func¸a˜o f : R→ R definida por f (x) = 2x + 3. Imagine que voceˆ tivesse que responder a seguinte pergunta: Para que valor a func¸a˜o f se aproxima quando x se aproxima de 1? x f(x) 0,95 4,9 0,96 4,92 0,97 4,94 0,98 4,96 0,99 4,98 ↓ x f(x) 1,006 5,012 1,007 5,014 1,008 5,016 1,009 5,018 1,01 5,02 ↑ Parece razoa´vel afirmar que o valor de f aproxima-se cada vez mais de 5, quando x aproxima-se de 1. Isto e´, parece razoa´vel dizer que 5 e´ o limite da func¸a˜o f quando x aproxima-se de 1. Limite Noc¸a˜o intuitiva Considere a func¸a˜o f : R→ R definida por f (x) = 2x + 3. Imagine que voceˆ tivesse que responder a seguinte pergunta: Para que valor a func¸a˜o f se aproxima quando x se aproxima de 1? x f(x) 0,95 4,9 0,96 4,92 0,97 4,94 0,98 4,96 0,99 4,98 ↓ x f(x) 1,006 5,012 1,007 5,014 1,008 5,016 1,009 5,018 1,01 5,02 ↑ Parece razoa´vel afirmar que o valor de f aproxima-se cada vez mais de 5, quando x aproxima-se de 1. Isto e´, parece razoa´vel dizer que 5 e´ o limite da func¸a˜o f quando x aproxima-se de 1. Limite Noc¸a˜o intuitiva Considere a func¸a˜o f : R→ R definida por f (x) = 2x + 3. Imagine que voceˆ tivesse que responder a seguinte pergunta: Para que valor a func¸a˜o f se aproxima quando x se aproxima de 1? x f(x) 0,95 4,9 0,96 4,92 0,97 4,94 0,98 4,96 0,99 4,98 ↓ x f(x) 1,006 5,012 1,007 5,014 1,008 5,016 1,009 5,018 1,01 5,02 ↑ Parece razoa´vel afirmar que o valor de f aproxima-se cada vez mais de 5, quando x aproxima-se de 1. Isto e´, parece razoa´vel dizer que 5 e´ o limite da func¸a˜o f quando x aproxima-se de 1. Limite Notac¸a˜o No exemplo anterior, para simbolizar que a func¸a˜o tem limite igual a 5 quando x aproxima-se de 1, no´s usamos a seguinte notac¸a˜o: lim x→1 f (x) = 5 No´s lemos essa notac¸a˜o da seguinte maneira: “Limite de f(x) quando x tende a 1 e´ igual a 5”. De forma geral, a notac¸a˜o sera´ algo como: lim x→a f (x) = L Limite Notac¸a˜o No exemplo anterior, para simbolizar que a func¸a˜o tem limite igual a 5 quando x aproxima-se de 1, no´s usamos a seguinte notac¸a˜o: lim x→1 f (x) = 5 No´s lemos essa notac¸a˜o da seguinte maneira: “Limite de f(x) quando x tende a 1 e´ igual a 5”. De forma geral, a notac¸a˜o sera´ algo como: lim x→a f (x) = L Limite Ca´lculo de Limite Lembrando do exemplo anterior, no´s t´ınhamos a func¸a˜o f (x) = 2x + 3. No´s vimos que o limite dessa func¸a˜o quando x aproxima-se de 1 foi igual a 5. Olhando com mais atenc¸a˜o para a func¸a˜o, percebemos que f (1) = 2 · 1 + 3 = 5. Isto e´, nesse exemplo temos que lim x→1 f (x) = f (1) Surge uma pergunta: Sera´ que isso vale para todas as func¸o˜es? Limite Ca´lculo de Limite Lembrando do exemplo anterior, no´s t´ınhamos a func¸a˜o f (x) = 2x + 3. No´s vimos que o limite dessa func¸a˜o quando x aproxima-se de 1 foi igual a 5. Olhando com mais atenc¸a˜o para a func¸a˜o, percebemos que f (1) = 2 · 1 + 3 = 5. Isto e´, nesse exemplo temos que lim x→1 f (x) = f (1) Surge uma pergunta: Sera´ que isso vale para todas as func¸o˜es? Limite Ca´lculo de Limite Lembrando do exemplo anterior, no´s t´ınhamos a func¸a˜o f (x) = 2x + 3. No´s vimos que o limite dessa func¸a˜o quando x aproxima-se de 1 foi igual a 5. Olhando com mais atenc¸a˜o para a func¸a˜o, percebemos que f (1) = 2 · 1 + 3 = 5. Isto e´, nesse exemplo temos que lim x→1 f (x) = f (1) Surge uma pergunta: Sera´ que isso vale para todas as func¸o˜es? Limite Ca´lculo de Limite Lembrando do exemplo anterior, no´s t´ınhamos a func¸a˜o f (x) = 2x + 3. No´s vimos que o limite dessa func¸a˜o quando x aproxima-se de 1 foi igual a 5. Olhando com mais atenc¸a˜o para a func¸a˜o, percebemos que f (1) = 2 · 1 + 3 = 5. Isto e´, nesse exemplo temos que lim x→1 f (x) = f (1) Surge uma pergunta: Sera´ que isso vale para todas as func¸o˜es? Limite Ca´lculo de Limite Considere agora a func¸a˜o f : R− {−2, 2} → R definida por: f (x) = x − 2 x2 − 4 Para que valor a func¸a˜o f se aproxima quando x se aproxima de 2? x f(x) 1,95 0,25316 1,96 0,25253 1,97 0,25189 1,98 0,25126 1,99 0,25063 ↓ x f(x) 2,006 0,24963 2,007 0,24956 2,008 0,24950 2,009 0,24944 2,01 0,24938 ↑ Parece razoa´vel afirmar que: lim x→2 f (x) = 0, 25 Mas, como ter certeza? Limite Ca´lculo de Limite Considere agora a func¸a˜o f : R− {−2, 2} → R definida por: f (x) = x − 2 x2 − 4 Para que valor a func¸a˜o f se aproxima quando x se aproxima de 2? x f(x) 1,95 0,25316 1,96 0,25253 1,97 0,25189 1,98 0,25126 1,99 0,25063 ↓ x f(x) 2,006 0,24963 2,007 0,24956 2,008 0,24950 2,009 0,24944 2,01 0,24938 ↑ Parece razoa´vel afirmar que: lim x→2 f (x) = 0, 25 Mas, como ter certeza? Limite Ca´lculo de Limite Considere agora a func¸a˜o f : R− {−2, 2} → R definida por: f (x) = x − 2 x2 − 4 Para que valor a func¸a˜o f se aproxima quando x se aproxima de 2? x f(x) 1,95 0,25316 1,96 0,25253 1,97 0,25189 1,98 0,25126 1,99 0,25063 ↓ x f(x) 2,006 0,24963 2,007 0,24956 2,008 0,24950 2,009 0,24944 2,01 0,24938 ↑ Parece razoa´vel afirmar que: lim x→2 f (x) = 0, 25 Mas, como ter certeza? Limite Ca´lculo de Limite Desejamos calcular lim x→2 x − 2 x2 − 4 Recordando-se de Produtos Nota´veis, sabemos que no denominador temos x2 − 4 = x2 − 22 = (x − 2)(x + 2). Desse modo, temos que: lim x→2 x − 2 x2 − 4 = limx→2 x − 2 (x − 2)(x + 2) Como x aproxima-se de 2, pore´m nunca e´ exatamente 2, temos que (x − 2) 6= 0. Sendo assim, podemos simplificar a frac¸a˜o: lim x→2 ��� �(x − 2) ��� �(x − 2)(x + 2) = limx→2 1 x + 2 Por fim, note que quanto mais x se aproxima de 2 mais o valor x + 2 aproxima-se de 4. Portanto, temos que: lim x→2 1 x + 2 = 1 2 + 2 = 1 4 = 0, 25 Limite Ca´lculo de Limite Desejamos calcular lim x→2 x − 2 x2 − 4 Recordando-se de Produtos Nota´veis, sabemos que no denominador temos x2 − 4 = x2 − 22 = (x − 2)(x + 2). Desse modo, temos que: lim x→2 x − 2 x2 − 4 = limx→2 x − 2 (x − 2)(x + 2) Como x aproxima-se de 2, pore´m nunca e´ exatamente 2, temos que (x − 2) 6= 0. Sendo assim, podemos simplificar a frac¸a˜o: lim x→2 ��� �(x − 2) ��� �(x − 2)(x + 2) = limx→2 1 x + 2 Por fim, note que quanto mais x se aproxima de 2 mais o valor x + 2 aproxima-se de 4. Portanto, temos que: lim x→2 1 x + 2 = 1 2 + 2 = 1 4 = 0, 25 Limite Ca´lculo de Limite Desejamos calcular lim x→2 x − 2 x2 − 4 Recordando-se de Produtos Nota´veis, sabemos que no denominador temos x2 − 4 = x2 − 22 = (x − 2)(x + 2). Desse modo, temos que: lim x→2 x − 2 x2 − 4 = limx→2 x − 2 (x − 2)(x + 2) Como x aproxima-se de 2, pore´m nunca e´ exatamente 2, temos que (x − 2) 6= 0. Sendo assim, podemossimplificar a frac¸a˜o: lim x→2 ��� �(x − 2) ��� �(x − 2)(x + 2) = limx→2 1 x + 2 Por fim, note que quanto mais x se aproxima de 2 mais o valor x + 2 aproxima-se de 4. Portanto, temos que: lim x→2 1 x + 2 = 1 2 + 2 = 1 4 = 0, 25 Limite Ca´lculo de Limite Desejamos calcular lim x→2 x − 2 x2 − 4 Recordando-se de Produtos Nota´veis, sabemos que no denominador temos x2 − 4 = x2 − 22 = (x − 2)(x + 2). Desse modo, temos que: lim x→2 x − 2 x2 − 4 = limx→2 x − 2 (x − 2)(x + 2) Como x aproxima-se de 2, pore´m nunca e´ exatamente 2, temos que (x − 2) 6= 0. Sendo assim, podemos simplificar a frac¸a˜o: lim x→2 ��� �(x − 2) ��� �(x − 2)(x + 2) = limx→2 1 x + 2 Por fim, note que quanto mais x se aproxima de 2 mais o valor x + 2 aproxima-se de 4. Portanto, temos que: lim x→2 1 x + 2 = 1 2 + 2 = 1 4 = 0, 25 Limite Nota No exemplo anterior, foi executado a simplificac¸a˜o: ��� �(x − 2) ��� �(x − 2)(x + 2) = 1 x + 2 Vale a pena destacar que isso so´ pode ser feito pois x − 2 6= 0. Se x − 2 fosse igual a 0 (o que implica que x = 2), enta˜o voceˆ estaria fazendo uma simplificac¸a˜o inva´lida: �0 �0 · 4 = 1 4 Errado! Limite Nota No exemplo anterior, foi executado a simplificac¸a˜o: ��� �(x − 2) ��� �(x − 2)(x + 2) = 1 x + 2 Vale a pena destacar que isso so´ pode ser feito pois x − 2 6= 0. Se x − 2 fosse igual a 0 (o que implica que x = 2), enta˜o voceˆ estaria fazendo uma simplificac¸a˜o inva´lida: �0 �0 · 4 = 1 4 Errado! Limite Ca´lculo de Limite No exemplo anterior, vimos que a func¸a˜o na˜o estava definida em x = 2. Pore´m, obtivemos que lim x→2 f (x) = 1 4 . Isso significa que nem sempre o valor de uma func¸a˜o em um determinado ponto e´ igual ao seu limite nesse ponto. Isto e´, nem sempre sera´ va´lido que lim x→a f (x) = f (a). Limite Ca´lculo de Limite Fac¸amos um u´ltimo exemplo. Considere a func¸a˜o f : R∗ → R definida por: f (x) = √ x2 + 9− 3 x2 Vamos calcular lim x→0 f (x). x f(x) -0,0001 0,16666668 -0,00001 0,16666668 -0,000001 0,16653345 -0,0000001 0,17763568 -0,00000001 0,00000000 ↓ x f(x) 0,00000001 0,00000000 0,0000001 0,17763568 0,000001 0,16653345 0,00001 0,16666668 0,0001 0,16666668 ↑ Parece que lim x→0 f (x) = 0, mas essa na˜o e´ a reposta correta! Limite Ca´lculo de Limite Fac¸amos um u´ltimo exemplo. Considere a func¸a˜o f : R∗ → R definida por: f (x) = √ x2 + 9− 3 x2 Vamos calcular lim x→0 f (x). x f(x) -0,0001 0,16666668 -0,00001 0,16666668 -0,000001 0,16653345 -0,0000001 0,17763568 -0,00000001 0,00000000 ↓ x f(x) 0,00000001 0,00000000 0,0000001 0,17763568 0,000001 0,16653345 0,00001 0,16666668 0,0001 0,16666668 ↑ Parece que lim x→0 f (x) = 0, mas essa na˜o e´ a reposta correta! Limite Ca´lculo de Limite Fac¸amos um u´ltimo exemplo. Considere a func¸a˜o f : R∗ → R definida por: f (x) = √ x2 + 9− 3 x2 Vamos calcular lim x→0 f (x). x f(x) -0,0001 0,16666668 -0,00001 0,16666668 -0,000001 0,16653345 -0,0000001 0,17763568 -0,00000001 0,00000000 ↓ x f(x) 0,00000001 0,00000000 0,0000001 0,17763568 0,000001 0,16653345 0,00001 0,16666668 0,0001 0,16666668 ↑ Parece que lim x→0 f (x) = 0, mas essa na˜o e´ a reposta correta! Limite Ca´lculo de Limite Desejamos calcular lim x→0 √ x2 + 9− 3 x2 Aqui precisamos realizar um artif´ıcio alge´brico! Note que se fizermos a expressa˜o ( √ x2 + 9)2 − 32 aparecer no numerador, teremos que o numerador ficara´ igual a x2. Isso sera´ u´til para realizarmos uma simplificac¸a˜o. Mas, como fazer para essa expressa˜o aparecer? O artif´ıcio e´ multiplicar o numerador e o denominador por √ x2 + 9 + 3. lim x→0 √ x2 + 9− 3 x2 = lim x→0 ( √ x2 + 9− 3)(√x2 + 9 + 3) x2( √ x2 + 9 + 3) Limite Ca´lculo de Limite Desejamos calcular lim x→0 √ x2 + 9− 3 x2 Aqui precisamos realizar um artif´ıcio alge´brico! Note que se fizermos a expressa˜o ( √ x2 + 9)2 − 32 aparecer no numerador, teremos que o numerador ficara´ igual a x2. Isso sera´ u´til para realizarmos uma simplificac¸a˜o. Mas, como fazer para essa expressa˜o aparecer? O artif´ıcio e´ multiplicar o numerador e o denominador por √ x2 + 9 + 3. lim x→0 √ x2 + 9− 3 x2 = lim x→0 ( √ x2 + 9− 3)(√x2 + 9 + 3) x2( √ x2 + 9 + 3) Limite Ca´lculo de Limite Desejamos calcular lim x→0 √ x2 + 9− 3 x2 Aqui precisamos realizar um artif´ıcio alge´brico! Note que se fizermos a expressa˜o ( √ x2 + 9)2 − 32 aparecer no numerador, teremos que o numerador ficara´ igual a x2. Isso sera´ u´til para realizarmos uma simplificac¸a˜o. Mas, como fazer para essa expressa˜o aparecer? O artif´ıcio e´ multiplicar o numerador e o denominador por √ x2 + 9 + 3. lim x→0 √ x2 + 9− 3 x2 = lim x→0 ( √ x2 + 9− 3)(√x2 + 9 + 3) x2( √ x2 + 9 + 3) Limite Ca´lculo de Limite Desejamos calcular lim x→0 √ x2 + 9− 3 x2 Aqui precisamos realizar um artif´ıcio alge´brico! Note que se fizermos a expressa˜o ( √ x2 + 9)2 − 32 aparecer no numerador, teremos que o numerador ficara´ igual a x2. Isso sera´ u´til para realizarmos uma simplificac¸a˜o. Mas, como fazer para essa expressa˜o aparecer? O artif´ıcio e´ multiplicar o numerador e o denominador por √ x2 + 9 + 3. lim x→0 √ x2 + 9− 3 x2 = lim x→0 ( √ x2 + 9− 3)(√x2 + 9 + 3) x2( √ x2 + 9 + 3) Limite Ca´lculo de Limite Desejamos calcular lim x→0 √ x2 + 9− 3 x2 Aqui precisamos realizar um artif´ıcio alge´brico! Note que se fizermos a expressa˜o ( √ x2 + 9)2 − 32 aparecer no numerador, teremos que o numerador ficara´ igual a x2. Isso sera´ u´til para realizarmos uma simplificac¸a˜o. Mas, como fazer para essa expressa˜o aparecer? O artif´ıcio e´ multiplicar o numerador e o denominador por √ x2 + 9 + 3. lim x→0 √ x2 + 9− 3 x2 = lim x→0 ( √ x2 + 9− 3)(√x2 + 9 + 3) x2( √ x2 + 9 + 3) Limite Ca´lculo de Limite lim x→0 √ x2 + 9− 3 x2 = lim x→0 ( √ x2 + 9− 3)(√x2 + 9 + 3) x2( √ x2 + 9 + 3) = lim x→0 (√ x2 + 9 )2 − 32 x2( √ x2 + 9 + 3) = lim x→0 x2 x2( √ x2 + 9 + 3) Como x aproxima-se de 0, mas nunca e´ exatamente 0, temos que x2 6= 0 e portanto podemos efetuar a simplificac¸a˜o: = lim x→0 ��x2 ��x2( √ x2 + 9 + 3) = lim x→0 1√ x2 + 9 + 3 Limite Ca´lculo de Limite lim x→0 √ x2 + 9− 3 x2 = lim x→0 ( √ x2 + 9− 3)(√x2 + 9 + 3) x2( √ x2 + 9 + 3) = lim x→0 (√ x2 + 9 )2 − 32 x2( √ x2 + 9 + 3) = lim x→0 x2 x2( √ x2 + 9 + 3) Como x aproxima-se de 0, mas nunca e´ exatamente 0, temos que x2 6= 0 e portanto podemos efetuar a simplificac¸a˜o: = lim x→0 ��x2 ��x2( √ x2 + 9 + 3) = lim x→0 1√ x2 + 9 + 3 Limite Ca´lculo de Limite lim x→0 √ x2 + 9− 3 x2 = lim x→0 ( √ x2 + 9− 3)(√x2 + 9 + 3) x2( √ x2 + 9 + 3) = lim x→0 (√ x2 + 9 )2 − 32 x2( √ x2 + 9 + 3) = lim x→0 x2 x2( √ x2 + 9 + 3) Como x aproxima-se de 0, mas nunca e´ exatamente 0, temos que x2 6= 0 e portanto podemos efetuar a simplificac¸a˜o: = lim x→0 ��x2 ��x2( √ x2 + 9 + 3) = lim x→0 1√ x2 + 9 + 3 Limite Ca´lculo de Limite lim x→0 √ x2 + 9− 3 x2 = lim x→0 ( √ x2 + 9− 3)(√x2 + 9 + 3) x2( √ x2 + 9 + 3) = lim x→0 (√ x2 + 9 )2 − 32 x2( √ x2 + 9 + 3) = lim x→0 x2 x2( √ x2 + 9 + 3) Como x aproxima-se de 0, mas nunca e´ exatamente 0, temos que x2 6= 0 e portanto podemos efetuar a simplificac¸a˜o: = lim x→0 ��x2 ��x2( √x2 + 9 + 3) = lim x→0 1√ x2 + 9 + 3 Limite Ca´lculo de Limite lim x→0 √ x2 + 9− 3 x2 = lim x→0 ( √ x2 + 9− 3)(√x2 + 9 + 3) x2( √ x2 + 9 + 3) = lim x→0 (√ x2 + 9 )2 − 32 x2( √ x2 + 9 + 3) = lim x→0 x2 x2( √ x2 + 9 + 3) Como x aproxima-se de 0, mas nunca e´ exatamente 0, temos que x2 6= 0 e portanto podemos efetuar a simplificac¸a˜o: = lim x→0 ��x2 ��x2( √ x2 + 9 + 3) = lim x→0 1√ x2 + 9 + 3 Limite Ca´lculo de Limite Sendo assim, no´s obtemos que: lim x→0 √ x2 + 9− 3 x2 = lim x→0 1√ x2 + 9 + 3 Note que quando x aproxima-se de zero, √ x2 + 9 + 3 aproxima-se de 6. Ou seja, temos que: lim x→0 1√ x2 + 9 + 3 = 1 ( √ 02 + 9 + 3) = 1 6 Portanto, lim x→0 √ x2 + 9− 3 x2 = 1 6 = 0, 16666 . . . Limite Ca´lculo de Limite Sendo assim, no´s obtemos que: lim x→0 √ x2 + 9− 3 x2 = lim x→0 1√ x2 + 9 + 3 Note que quando x aproxima-se de zero, √ x2 + 9 + 3 aproxima-se de 6. Ou seja, temos que: lim x→0 1√ x2 + 9 + 3 = 1 ( √ 02 + 9 + 3) = 1 6 Portanto, lim x→0 √ x2 + 9− 3 x2 = 1 6 = 0, 16666 . . . Limite Nota No exemplo anterior, foi executado a simplificac¸a˜o:(√ x2 + 9 )2 = x2 + 9 Vale a pena destacar que isso so´ pode ser feito pois x2 + 9 ≥ 0. Quando temos uma raiz quadrada com radicando negativo, enta˜o essa simplificac¸a˜o resultado no mo´dulo do radicando. Exemplo:(√−4)2 = | − 4| = 4 Portanto, de modo geral, se a ∈ R, enta˜o:(√ a )2 = |a| Limite Nota No exemplo anterior, foi executado a simplificac¸a˜o:(√ x2 + 9 )2 = x2 + 9 Vale a pena destacar que isso so´ pode ser feito pois x2 + 9 ≥ 0. Quando temos uma raiz quadrada com radicando negativo, enta˜o essa simplificac¸a˜o resultado no mo´dulo do radicando. Exemplo:(√−4)2 = | − 4| = 4 Portanto, de modo geral, se a ∈ R, enta˜o:(√ a )2 = |a| Limite Nota No exemplo anterior, foi executado a simplificac¸a˜o:(√ x2 + 9 )2 = x2 + 9 Vale a pena destacar que isso so´ pode ser feito pois x2 + 9 ≥ 0. Quando temos uma raiz quadrada com radicando negativo, enta˜o essa simplificac¸a˜o resultado no mo´dulo do radicando. Exemplo:(√−4)2 = | − 4| = 4 Portanto, de modo geral, se a ∈ R, enta˜o:(√ a )2 = |a| Limite Resumo da aula Exemplo 1: lim x→1 2x + 3 = 5 Exemplo 2: lim x→2 x − 2 x2 − 4 = limx→2 1 x + 2 = 1 4 Exemplo 3: lim x→0 √ x2 + 9− 3 x2 = lim x→0 1√ x2 + 9 + 3 = 1 6 Limite Resumo da aula Exemplo 1: lim x→1 2x + 3 = 5 Exemplo 2: lim x→2 x − 2 x2 − 4 = limx→2 1 x + 2 = 1 4 Exemplo 3: lim x→0 √ x2 + 9− 3 x2 = lim x→0 1√ x2 + 9 + 3 = 1 6 Limite Resumo da aula Exemplo 1: lim x→1 2x + 3 = 5 Exemplo 2: lim x→2 x − 2 x2 − 4 = limx→2 1 x + 2 = 1 4 Exemplo 3: lim x→0 √ x2 + 9− 3 x2 = lim x→0 1√ x2 + 9 + 3 = 1 6
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