Limite Laterais

Prévia do material em texto

Ca´lculo Diferencial e Integral I
Limites Laterais
Luiz C. M. de Aquino
aquino.luizclaudio@gmail.com
http://sites.google.com/site/lcmaquino
http://www.youtube.com/LCMAquino
Limite
Limites Laterais
Considere a func¸a˜o f : R→ R definida por
f (x) =

x − 2
x2 − 2x ; x < 2
x2 − 1; x ≥ 2
Imagine que voceˆ tivesse que responder as seguintes perguntas:
(a) Para que valor a func¸a˜o f se aproxima quando x se aproxima
de 2, pore´m com valores menores do que 2?
(b) Para que valor a func¸a˜o f se aproxima quando x se aproxima
de 2, pore´m com valores maiores do que 2?
x f(x)
1,995 0,50125
1,996 0,50100
1,997 0,50075
1,998 0,50050
1,999 0,50025
↓
x f(x)
2,006 3,02404
2,007 3,02805
2,008 3,03206
2,009 3,03608
2,010 3,04010
↑
Limite
Limites Laterais
Considere a func¸a˜o f : R→ R definida por
f (x) =

x − 2
x2 − 2x ; x < 2
x2 − 1; x ≥ 2
Imagine que voceˆ tivesse que responder as seguintes perguntas:
(a) Para que valor a func¸a˜o f se aproxima quando x se aproxima
de 2, pore´m com valores menores do que 2?
(b) Para que valor a func¸a˜o f se aproxima quando x se aproxima
de 2, pore´m com valores maiores do que 2?
x f(x)
1,995 0,50125
1,996 0,50100
1,997 0,50075
1,998 0,50050
1,999 0,50025
↓
x f(x)
2,006 3,02404
2,007 3,02805
2,008 3,03206
2,009 3,03608
2,010 3,04010
↑
Limite
Limites Laterais
Limite pela Esquerda
lim
x→2−
f (x) =
1
2
Limite pela Direita
lim
x→2+
f (x) = 3
Limite
Limites Laterais - Resoluc¸a˜o
Temos a func¸a˜o f (x) =

x − 2
x2 − 2x ; x < 2
x2 − 1; x ≥ 2
.
Limite pela Esquerda
lim
x→2−
f (x) = lim
x→2−
x − 2
x2 − 2x = limx→2−
���
�(x − 2)
x���
�(x − 2) = limx→2−
1
x
=
1
2
Limite pela Direita
lim
x→2+
f (x) = lim
x→2+
x2 − 1 = 22 − 1 = 3
Limite
Definic¸a˜o - Limite Lateral a Esquerda
Seja uma func¸a˜o f definida no intervalo (a, c). Dizemos que o
limite de f quando x aproxima-se de c pela esquerda e´ igual a L,
representando por
lim
x→c−
f (x) = L,
se para qualquer nu´mero ε > 0 existe um nu´mero δ > 0
correspondente de tal modo que:
L− ε < f (x) < L + ε, sempre que c − δ < x < c.
Limite
Definic¸a˜o - Limite Lateral a Esquerda
Figura: Interpretac¸a˜o geome´trica
Limite
Definic¸a˜o - Limite Lateral a Direita
Seja uma func¸a˜o f definida no intervalo (c , a). Dizemos que o
limite de f quando x aproxima-se de c pela direita e´ igual a M,
representando por
lim
x→c+
f (x) = M,
se para qualquer nu´mero ε > 0 existe um nu´mero δ > 0
correspondente de tal modo que:
M − ε < f (x) < M + ε, sempre que c < x < c + δ.
Limite
Definic¸a˜o - Limite Lateral a Direita
Figura: Interpretac¸a˜o geome´trica
Limite
Limites Laterais e o Limite “Geral”
Podemos conectar o limite de uma func¸a˜o f quando x tende a c
com os seus limites laterais quando x tende a c pela esquerda e
pela direita.
Essa conexa˜o se da´ pelo teorema abaixo, cujo a demonstrac¸a˜o fica
como exerc´ıcio.
Teorema
Seja uma func¸a˜o f definida nos intervalos (a, p) e (p, b). Teremos
que:
lim
x→p f (x) = L, se e somente se, limx→p−
f (x) = lim
x→p+
f (x) = L