Apostila de Física Experimental - Completa
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Apostila de Física Experimental - Completa


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uma quantidade grande de algarismos no 
resultado dessa operação. No exemplo em questão, fazemos \ud835\udc66 = \ud835\udf0b \u2219 21,34 \u224567,0416  \ud835\udc50\ud835\udc5a. 
 
Figura A.3. O segundo passo é obter \ud835\udc66 + \ud835\udc62(\ud835\udc66) a partir de \ud835\udc65 + \ud835\udc62(\ud835\udc65), ou seja, 
somamos o resultado da medição da grandeza de entrada \ud835\udc65 à sua incerteza \ud835\udc62(\ud835\udc65) e 
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substituimos o valor obtido no modelo matemático. No exemplo em questão, 
fazemos \ud835\udc66 + \ud835\udc62 \ud835\udc66 = \ud835\udf0b \u2219 21,34+ 0,05 =  \ud835\udf0b \u2219 21,39 \u2245 67,1987  \ud835\udc50\ud835\udc5a. 
 
Figura A.4. O terceiro passo é calcular a diferença entre \ud835\udc66 + \ud835\udc62(\ud835\udc66) (obtido no 
passo 2) e \ud835\udc66 (obtido no passo 1). Com isso, no nosso exemplo, obtém-se \ud835\udc62 \ud835\udc66 \u2245 0,1571  \ud835\udc50\ud835\udc5a. Importante! A incerteza deve ser sempre um valor positivo. 
Por isso, se ao final desse processo você obtiver um resultado negativo, considere 
que a incerteza propagada é o módulo desse resultado. 
Embora existam critérios mais sofisticados para determinar com quantos algarismos 
deve ser registrada a incerteza da medição, sugerimos adotar 
que as incertezas sejam representadas somente com um 
algarismo não-nulo. Ou seja, arredondamos \ud835\udc62 \ud835\udc66 \u2245 0,1571  \ud835\udc50\ud835\udc5a 
para \ud835\udc62 \ud835\udc66 \u2245 0,2  \ud835\udc50\ud835\udc5a. Com isso, o resultado da medição \ud835\udc66 \u2245 67,0416  \ud835\udc50\ud835\udc5a deverá ser 
escrito com apenas um algarismo após a vírgula18. Ou seja, \ud835\udc66 \u2245 67,0  \ud835\udc50\ud835\udc5a. Enfim, (67,0± 0,02)  \ud835\udc50\ud835\udc5a é a expressão compacta do resultado e da incerteza da medição do 
comprimento da circunferência cujo diâmetro é 21,34± 0,05  \ud835\udc50\ud835\udc5a. 
A reta tangente 
Considere que a função \ud835\udc66 = \ud835\udc53(\ud835\udc65) representa uma relação matemática não-linear 
qualquer entre duas grandezas experimentais e que o gráfico dessa função é uma curva 
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  
18 A necessidade de representar a incerteza e o resultado da medição com a mesma quantidade de 
algarismos após a vírgula foi discutida em texto anterior sobre incerteza e algarismos significativos. 
Recomendamos que as 
incertezas sejam 
representadas com um 
algarismo não-nulo somente. 
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suave. Essa relação pode ser um polinômio (\ud835\udc66   =  \ud835\udc4e\ud835\udc65! + \ud835\udc4f\ud835\udc65 + \ud835\udc50), uma função 
exponencial (\ud835\udc66   =  \ud835\udc4e\ud835\udc52!"), uma função logarítmica (\ud835\udc66   =  \ud835\udc4e log \ud835\udc4f\ud835\udc65) ou qualquer outra 
função suave que represente grandezas experimentais. 
A melhor estimativa da grandeza de entrada, representada por \ud835\udc65, determina um ponto da 
curva com respeito ao qual é possível traçar uma reta tangente a essa curva conforme a 
Figura A.5. 
 
Figura A.5. Observe que, na vizinhança do ponto com respeito ao qual foi traçada 
a reta tangente, essa reta se aproxima relativamente bem da própria curva. 
Como é possível perceber, a reta que é tangente à curva no ponto de coordenada \ud835\udc65 está 
bastante próxima de todos os outros pontos da curva na vizinhança de \ud835\udc65. Assim, 
dizemos que a reta tangente à curva é uma boa aproximação à curva nessa região. 
Entretanto, quando nos afastamos muito de \ud835\udc65, percebemos que a reta tangente e a curva 
se afastam. Fora da vizinhança de \ud835\udc65, a reta tangente não é uma boa aproximação à 
curva. 
Portanto, desde que estejamos trabalhando na vizinhança de \ud835\udc65, 
podemos substituir a curva determinada pela função \ud835\udc66 = \ud835\udc53(\ud835\udc65) por 
uma reta tangente à curva nesse ponto. Ou seja, na vizinhança de \ud835\udc65, por mais exótica que seja a função suave \ud835\udc53(\ud835\udc65), podemos aproximá-la por uma reta! 
Propagação de incerteza no caso não-linear 
Desde que estejamos trabalhando na vinzinhaça de \ud835\udc65, ou seja, desde que \ud835\udc62(\ud835\udc65) seja 
Por mais exótica que seja a 
função \ud835\udc87(\ud835\udc99) na vizinhança de \ud835\udc99!, podemos aproximar essa 
função por uma reta! 
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bastante pequeno, temos garantido que o modelo matemático (por mais exótico que 
seja) pode ser considerado aproximadamente linear. Ou seja, vale o procedimento para 
obtenção de \ud835\udc62(\ud835\udc66) a partir de \ud835\udc62(\ud835\udc65) que descrevemos há pouco. 
A título de ilustração, considere que desejamos determinar a área \ud835\udc34 da face circular de 
uma peça metálica a partir do seu diâmetro \ud835\udc51, que, medido com um paquímetro, 
resultou (17,468± 0,005)  \ud835\udc50\ud835\udc5a. Nesse caso, podemos escrever: \ud835\udc34 = \ud835\udf0b4 \ud835\udc51!  
Evidentemente, estamos lidando agora com uma relação não-linear. Porém, na 
vizinhança do ponto \ud835\udc51 = 17,468  \ud835\udc50\ud835\udc5a podemos considerá-la linear. Com isso, 
procedemos assim: 
1. O primeiro passo é obter \ud835\udc34 substituindo o valor \ud835\udc51 no modelo matemático. É 
importante manter uma quantidade grande de algarismos no resultado dessa 
operação. No exemplo em questão, fazemos \ud835\udc34 = \ud835\udf0b 4 \u2219 17,468! \u2245 239,64935  \ud835\udc50\ud835\udc5a!. 
2. O segundo passo é obter \ud835\udc34 + \ud835\udc62(\ud835\udc34) a partir de \ud835\udc51 + \ud835\udc62(\ud835\udc51), ou seja, somamos o 
resultado da medição da grandeza de entrada \ud835\udc51 à sua incerteza \ud835\udc62(\ud835\udc51) e 
substituimos o valor obtido no modelo matemático. No exemplo em questão, 
fazemos \ud835\udc34 + \ud835\udc62 \ud835\udc34 = \ud835\udf0b 4 \u2219 17,473! \u2245 239,78656  \ud835\udc50\ud835\udc5a!. 
3. O terceiro passo é calcular o módulo da diferença entre \ud835\udc34 + \ud835\udc62(\ud835\udc34) (obtido no 
passo 2) e \ud835\udc34 (obtido no passo 1). Com isso, no nosso exemplo, obtém-se \ud835\udc62 \ud835\udc34 \u2245 0,13721  \ud835\udc50\ud835\udc5a!. 
Representando a incerteza com somente um algarismo não-nulo e arredondando o 
resultado da medição para apresentar a mesma quantidade de algarismos após a vírgula 
que a incerteza, obtemos (239,6± 0,1)  \ud835\udc50\ud835\udc5a!. 
 
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Propagação no caso de mais de uma variável 
Para estimar a incerteza da medição de uma grandeza que depende de muitas variáveis 
de entrada, é preciso levar em consideração um fato que não podemos demonstrar 
agora: diferentes parcelas da incerteza da medição de uma mesma grandeza se somam 
aos quadrados, e o resultado dessa soma é o quadrado da incerteza propagada19. 
Assim, quando nos depararmos com uma situação em que há mais de uma grandeza de 
entrada e somente uma grandeza de saída, o quadrado da incerteza da grandeza de saída 
é determinado pela soma dos quadros das contribuições das incertezas de cada variável. 
Por exemplo, considere que estamos diante de um pêndulo com (1,000± 0,005)\ud835\udc5a de 
comprimento e 2,00± 0,01 \ud835\udc60 de período20. Acrescentando essas informações ao 
modelo matemático do pêndulo simples (\ud835\udc54 = 4\ud835\udf0b! \ud835\udc59 \ud835\udc47!), as contribuições de \ud835\udc62(\ud835\udc59) e \ud835\udc62(\ud835\udc47) para a incerteza \ud835\udc62(\ud835\udc54) devem ser calculadas da seguinte maneira: 
\u2022 Seja \ud835\udc62!(\ud835\udc54) a contribuição do período \ud835\udc47 para a incerteza \ud835\udc62(\ud835\udc54). Para obter essa 
contribuição, fixamos as outras variáveis e fazemos variar somente o período. 
1. Calculamos a melhor estimativa da variável de saída substituindo as melhores 
estimativas das variáveis de entrada no modelo matemático. Ou seja, \ud835\udc54 =4\ud835\udf0b! \ud835\udc59 \ud835\udc47! = 9,86960  \ud835\udc5a \ud835\udc60!. 
2. Repetimos o mesmo cálculo acrescentando a incerteza \ud835\udc62(\ud835\udc47) ao valor \ud835\udc47 e 
mantendo todo o resto inalterado. Ou seja, \ud835\udc54 + \ud835\udc62! \ud835\udc54 = 4\ud835\udf0b! \ud835\udc59 [\ud835\udc47 + \ud835\udc62 \ud835\udc47 ]! =9,77164  \ud835\udc5a \ud835\udc60!. 
3. O terceiro passo é calcular a diferença em módulo entre \ud835\udc54 + \ud835\udc62! \ud835\udc54 (obtido no 
passo 2) e \ud835\udc54 (obtido no passo 1). Com isso, no nosso exemplo, obtém-se \ud835\udc62! \ud835\udc54 = 0,09796  \ud835\udc5a \ud835\udc60!. 
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  
19 A compreensão mais rigorosa dessa questão exigiria a demonstração, também