P1 Rudi Gaelzer

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Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Instituto de Física
Departamento de Física
Disciplina: Física Geral – Eletromagnetismo
Professor: Rudi Gaelzer
Cursos: Engenharias, Química, Matemática
Semestre: 2016/1
Primeira Verificação
08 de abril de 2016
Nome: Nota:
1) Na figura abaixo, a partícula 1 possui carga elétrica
igual a+1, 0µC e a partícula 2 possui carga igual a−3, 0µC.
Ambas são mantidas fixas e separadas a uma distância
L = 10, 0 cm ao longo do eixo x. Deseja-se posicionar uma
partícula 3, de carga q3 (desconhecida), de tal forma que
a força eletrostática resultante sobre a mesma seja nula.
Quais devem ser suas coordenadas (x, y) se a sua carga for
(a) positiva, ou
(b) negativa?
2) Na figura abaixo, as quatro partículas são mantidas fi-
xas e possuem cargas q1 = q2 = +5e, q3 = +3e e q4 = −12e.
Se d = 5, 0µm, qual é o campo elétrico (magnitude, direção
e sentido) resultante no ponto P?
3) (a) O painel (a) da figura abaixo mostra um barra
de um material dielétrico com uma carga elétrica +Q dis-
tribuída de maneira uniforme ao longo da mesma. A barra
forma um semicírculo de raio R e produz um campo elétrico
Ebarra no seu centro de curvatura (ponto P ). Quanto vale
Ebarra (módulo, direção e sentido)?
(b) Se o material da barra for comprimido a um ponto situ-
ado a uma distância R do mesmo ponto P , como mostra o
painel (b) da figura, por que fator numérico o módulo Ebarra
será multiplicado? A direção e sentido do campo elétrico em
P são modificados?
4) A figura abaixo mostra um arranjo retangular de 06
cargas elétricas, mantidas fixas em suas posições. Os va-
lores das cargas elétricas são múltiplos de q1 = 3, 4 pC e
q2 = 6, 0 pC, e o lado menor do retângulo mede a = 39, 0 cm.
(a) Sendo V = 0 no infinito, qual é potencial elétrico resul-
tante no centro geométrico do retângulo?
(b) Qual é o campo elétrico E resultante no centro do re-
tângulo?
Valor de cada questão: 2,5 pontos.
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RESOLUÇÃO
1) As duas figuras abaixo ilustram diversos posicionamentos possíveis: painel esquerdo: carga positiva; painel direito:
carga negativa. O valor da carga não é conhecido e será identificado por q3.
Os vetores vermelhos representam as forças repulsivas, enquanto que os vetores azuis representam as forças atrativas.
Observa-se claramente nas figuras que somente posicionando-se a carga positiva (negativa) sobre o eixo x que as forças
podem ser exatamente opostas. Porém, não entre as cargas 1 e 2, pois neste intervalo as forças sempre se somam.
Então, consideraremos somente a situação onde a carga positiva (negativa) é posicionada sobre o eixo x.
(a) Se a carga q3 é positiva (painel esquerdo), então o módulo da força repulsiva (vermelha) entre a mesma e a carga 1
é identificado por F1, enquanto que o módulo da força atrativa (azul) entre q3 e a carga 2 é identificado por F2. Estes
módulos são:
F1 (x) = k
q1q3
x2
, F2 (x) = k
|q2| q3
(x− L)2 ,
lembrando que q2 < 0.
No ponto x = x0 ambas as forças são exatamente opostas, então a força resultante sobre q3 é
F1 (x0)− F2 (x0) = k q1q3
x20
− k |q2| q3
(x0 − L)2
= 0 =⇒ �k q1ZZq3
x20
= �k
|q2|ZZq3
(x0 − L)2(
x0 − L
x0
)2
= |q2|
q1
.
Lembrando que se desejamos isolar a quantidade a na equação abaixo,
a2 = b, se b > 0,
existem 2 possibilidades de sinais quando tomamos a raiz quadrada em ambos os lados:
a = ±
√
b.
Portanto,
x0 − L
x0
= ±
√
|q2|
q1
=⇒ x0 = L1±√|q2| /q1 .
Note que ainda estão mantidas ambas as possibilidades de sinais (±) que surgiram quando tomamos a raiz quadrada
em ambos os lados. Como |q2|
q1
= 3, 0µC1, 0µC = 3 > 1,
então se for escolhido o sinal (+) resulta
x0 =
L
1 +
√
3
< L,
o que indica que a carga q3 deveria ser posicionada entre as cargas 1 e 2. Porém, a análise vetorial das forças sobre
q3, realizada a partir da visualização das figuras acima, mostrou que a força total sobre q3 nesta região nunca é nula.
Portanto, esta solução não faz sentido físico.
Por outro lado, se for escolhido o sinal (−), resulta
x0 =
L
1−√3 = −
L√
3− 1 = −
10, 0 cm√
3− 1 =⇒ x0 = −13, 66 cm, y0 = 0.
Ou seja, se q3 > 0, então a mesma deve ser posicionada 13, 66 cm à esquerda da carga 1, para que a força total sobre q3
seja nula. Este resultado faz sentido, uma vez que q1 < |q2| e a carga q3 deve portanto estar mais próxima de 1 para que
as forças possam se anular.
(b) Agora q3 < 0 (Painel direito). Claramente, a solução continua a mesma:
x0 = −13, 66 cm.
Para verificar esta conclusão, agora a força F 1 é atrativa e F 2 é repulsiva. Os módulos destas forças são:
F1 (x) = k
q1 |q3|
x2
, F2 (x) = k
|q2| |q3|
(x− L)2 .
Fazendo F1 (x0)− F2 (x0) = 0 novamente, chegaremos ao mesmo resultado obtido na letra (a).
Note também que o valor de x0 é independente de q3.
2) Considere a figura abaixo, onde os campos elétricos individuais no ponto P foram traçados. Os vetores azuis
indicam campos elétricos das cargas positivas enquanto que o vetor vermelho é o campo elétrico da carga negativa.
E1
E2
E3
E4
x
Realizando a soma vetorial dos campos, claramente os campos E1 e E2 se cancelam, uma vez que q1 = q2 e o ponto
P está à mesma distância de ambas. Agora, a soma vetorial entre E3 e E4 terá como resultante um campo elétrico em
P cuja direção está ao longo da reta Pq3q4.
Orientemos o eixo x ao longo dessa reta, como também está ilustrado na figura. Então, o campo elétrico resultante
em P pode ser escrito ET = ET ıˆ, onde ıˆ é o vetor unitário na direção x, sentido positivo. Portanto,
ET = E3 +E4 =⇒ ET = −E3 + E4 = −kq3
d2
+ k |q4|
(2d)2
= k
d2
( |q4|
4 − q3
)
= k
d2
(
12e
4 − 3e
)
= 0.
Portanto, o campo elétrico em P é nulo.
3) A figura abaixo ilustra os campos resultantes.
Ebarra,a Ebarra,b
(a) De acordo com a discussão realizada em aula, como o ponto P está no centro de curvatura do arco e como a reta
corta o arco exatamente no seu centro, então o campo elétrico resultante da barra está na direção ilustrada pelo vetor
azul. Como a carga da barra é positiva, o seu sentido também é o ilustrado. De acordo com o formulário, na situação
ilustrada acima o módulo do campo elétrico é dado por
Ebarra = 2
kλ
R
sen
(
θ
2
)
,
sendo: λ a densidade linear de carga e θ a abertura angular do arco (em radianos).
De acordo com o desenho, θ = pi rad (= 180◦) e, portanto,
λ = Q
piR
.
Portanto,
Ebarra = 2
k
R
Q
piR
sen
(pi
2
)
=⇒ Ebarra = 2 kQ
piR2
.
(b) Agora, toda a carga Q é comprimida em um ponto que está à distância R do ponto P . A figura acima mostra que o
campo resultante continua na mesma direção e sentido, mas agora o seu módulo é
Eb =
kQ
R2
.
Comparando os dois resultados obtidos para o módulo do campo elétrico:
Eb
Ebarra
= �kSSQ/�
�>R2
2�kSSQ/pi��>R2
= pi2 =⇒
Eb
Ebarra
= pi2 ≈ 1, 57.
Ou seja, o campo elétrico da partícula de carga Q é cerca de 1,57 vezes mais intenso que o campo elétrico da barra
semicircular de carga Q.
4) Na figura abaixo, as linhas tracejadas azuis localizam o centro geométrico do retângulo (C) e as quantidades {b, c}
são as distâncias das cargas a C.
b b
b bc
c
C
As distâncias são:
c = a2 = 0, 195m, b =
1
2
√
(2a)2 + a2 =⇒ b =
√
5
2 a = 0, 44m.
(a) O potencial elétrico de uma carga puntiforme q a uma distância r da mesma é dado por
V = k q
r
,
sendo convencionado que o potencial em r →∞ é nulo.
Portanto, o potencial elétrico total no centro do retângulo é
VC =
�
��k
2q1
b
−
�
�k
q1
b
−
�
��k
3q1
b
+
�
��k
2q1
b
+ k 4q2
c
+ k 4q2
c
= 8kq2
c
= 16kq2
a
VC = 2, 21V.
(b) Já o campo elétrico resultante no ponto C é obtido da seguinte maneira: os campos das cargas +2q1 e das cargas
+4q1 cancelam-se aos pares. Já os campos das cargas −q1 e −3q1 são opostos; portanto, o módulodo campo resultante
será dado pela diferença dos módulos dos campos individuais:
EC = |Eq1 − Eq3 | =
∣∣∣∣k |q1|b2 − k 3 |q1|b2
∣∣∣∣ = 2k |q1|b2 = 85k |q1|a2 .
Portanto,
EC = 0, 32V/m
Direção: ao longo da reta (−q1) (−3q1)
Sentido: de C para− 3q1.
O vetor vermelho na figura ilustra EC .