Apostila - Madeira - UFPR - Cap. 4 - Solicitações nas Barras das Estruturas de Madeira - Exercícios

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EEEXXXEEERRRCCCÍÍÍCCCIIIOOOSSS CCCAAAPPP444 
SSSOOOLLLIIICCCIIITTTAAAÇÇÇÕÕÕEEESSS NNNAAASSS BBBAAARRRRRRAAASSS DDDAAASSS EEESSSTTTRRRUUUTTTUUURRRAAASSS DDDEEE MMMAAADDDEEEIIIRRRAAA 
 
EEExxxeeerrrcccíííccciiiooosss rrreeesssooolllvvviiidddooosss ::: 
Exercício 4.1 : Elemento tracionado : Verificar a condição de segurança da barra tracionada 
de uma tesoura de madeira indicada nas figuras : 
1- Conífera pertencente à classe de resistência C-30. 
2- Parafusos = 3/8”, com furo prévio de 10 mm de 
diâmetro. 
3- Dimensões indicadas em centímetros. 
4- Critério da NBR-7190 / 1997. 
5- Esforços atuantes : Nk = NGk + NQk ; 
 NGk = 3 kN (permanente), e NQk = 8 kN (sobrecarga). 
Solução 
a) Valores de cálculo das propriedades mecânicas : 
Tomamos os valores já determinados no exercício 3.1 : fc0,d = ft0,d = 1,2 kN/cm2. 
 
b) Combinação de ações : 
E.L.U.: Td = 1,4 x (TGk + TQk) = 
1,4 x (3 + 8) = 15,4 kN 
Determinação da área livre : 
Aliv =     2cm400,1.210.5,2.2  
c) Verificação da condição de segurança : 
d,0t
*
livre
d
d,0t f5,1.A
T
 ; 2d,0t
*
d,0t cm
kN2,1f58,05,1.
40
4,15
 Verifica ! 
* Considera-se, na prática, em casos correntes, uma majoração de 50% no valor do 
esforço normal, ao invés de considerar a excentricidade atuante, por conta do fato de 
Seção Elevação 
5 2,5 2,5 4 3 3 
Nk Nk 
Planta 
10 
Elevação 10 
1 
1 
2,5 
2,5 
5 
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que a peça é dupla. A consideração da excentricidade levaria a verificação para o caso 
de flexo-tração. Isto é desnecessário nas aplicações correntes, visto que os efeitos da 
mesma são de pequena intensidade. 
Se, no entanto, ao fazer a verificação da condição de segurança, são atingidos valores 
próximos do limite, convém refazê-la, através do critério de flexo-tração. 
 
 Exercício 4.2 : Elemento comprimido (peça curta) e Compressão normal às fibras : 
Verificar a condição de segurança da peça comprimida de madeira, indicada nas figuras : 
1- Dicotiledônea, pertencente à classe de resistência C-30. 
2- Dimensões indicadas em centímetros. 
3- Critério da NBR-7190 / 1997. 
4- Reação de apoio : R ; Rk = RGk + RQk ; 
 RGk = 2 kN (permanente), e RQk = 15 kN (sobrecarga). 
Solução 
a) Valores de cálculo das propriedades mecânicas : 
Tomamos os valores já determinados no exercício 3.1 : fc0,d = 1,2 kN/cm2 ; 
fc90,d = 0,25 . fc0,d = 0,25 . 1,2 = 0,3 kN/cm2 ; 
 
b) Combinação de ações : 
E.L.U.: Rd = Nd = 1,4 x (RGk + RQk) = 1,4 x (2 + 15) = 23,8 kN ; 
 
c) Verificação da peça vertical (elemento comprimido : peça curta) : 
c.1) grau de esbeltez : 
imin = iX = iY = cm44,15.5
12
5.5
A
I
3
X  ; 35
44,1
50
i
L
MIN
0
MAX  ; 
a peça é curta : 40 . 
c.2) verificação da segurança : 
d,0c
d
Ndd,0c fA
N
 (equação 4.3) : 
R 
peça 5x5 
50 5 10 
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2
d,0c
2
d,0c cm/kN2,1fcm/kN95,05.5
8,23
 verifica ! 
 
d) Verificação da peça horizontal (compressão normal às fibras) : 
d,90c
d
d,90c fA
N
 e nd,0cd90,c .f.25,0f  (equações 4.17 e 4.18) : 
 n = 1,3 para c = 5 cm (tabela 19) 
2d
d,90c cm/kN39,03,1.2,1.25,095,0A
R  Não verifica ! 
Solução : aumentar a seção da peça vertical para diminuir as tensões de contato. (ver 
exercício proposto 4.29. 
 
 Exercício 4.3 : Elemento comprimido (peça medianamente esbelta) : Verificar a condição 
de segurança da peça comprimida de madeira, indicada nas figuras, submetida ao esforço 
de compressão “Nk” : 
1- Madeira dicotiledônea, Eucalipto Dunnii. 
2- Dimensões indicadas em centímetros. 
3- Critério da NBR-7190 / 1997. 
4- Esforço Normal : Nk = NGk + NQk ; 
 NGk = 8 kN (permanente), e NQk = 20 kN (sobrecarga). 
Solução 
a) Valores de cálculo das propriedades mecânicas : 
Tomamos os valores já determinados no exercício 3.1 : 
fc0,d = 1,37 kN/cm2 , e Ec0,ef = 1.009,6 kN/cm2 . 
 
b) Combinação de ações : 
E.L.U.: Nd = 1,4 x (NGk + NQk) = 1,4 x (8 + 20) = 39,2 kN . 
 
c) Grau de esbeltez : 
IX = 12
10.5,7 3 = 625 cm4 ; 
Y 
X 
 Seção 
 Transversal 
10 
7,5 
S S 
Nk 
Nk 
L = L0 = 150 cm 
c = 5 
R 
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IY = 12
5,7.10 3 = 352 cm4 ; 
IMIN = IY ; 
imin = iY = cm17,210.5,7
352
A
IY  ; 
69
17,2
150
i
L
MIN
0
MAX   a peça é medianamente esbelta : 8040   . 
 
d) Determinação de Md (equações 4.6 a 4.11) : 
cm25,0
30
5,7
30
h0
2,39
0
N
Me Y
d
d1
i  ; 
cm5,0
300
150
300
Le 0a  ; 
e1 = ei + ea = 0,25 + 0,50 = 0,75 cm ; 
kN156
150
352.6,1009.
L
I.E.
F 2
2
2
0
eixoef,0c
2
E 
 ; 
002,1
2,39156
156.75,0
NF
F.ee
dE
E
1d 













 ; 
Md = Nd . ed = 39,2 . 1,002 = 39,3 kN.cm . 
 
e) Determinação das tensões MdNd e : 
2d
Nd cm/kN52,010.5,7
2,39
A
N
 ; 
2
22
d
Md cm/kN42,0
6
5,7.10
3,39
6
h.bW
M





 
 . 
 
f) Verificação da segurança (equação 4.4) : 
0,169,0
37,1
42,0
37,1
52,0
ff d,0c
Md
d,0c
Nd 
 Verifica ! 
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 Exercício 4.4 : Elemento comprimido (peça esbelta) : Verificar a condição de segurança do 
pilar de madeira indicado nas figuras, submetido ao esforço de compressão “Nk” : 
1- Madeira dicotiledônea, de Itaúba. 
2- Dimensões indicadas em centímetros. 
3- Critério da NBR-7190 / 1997. 
4- Nk = NGk + NQk ; 
NGk = 5 kN (permanente), 
e NQk = 15 kN (sobrecarga). 
Solução 
a) Valores de cálculo das propriedades mecânicas : 
Tomamos os valores já determinados no exercício 3.1 : fc0,d = 2,21 kN/cm2 , e 
Ec0,ef = 1.266,3 kN/cm2 . 
 
b) Combinação de ações : 
E.L.U.: Nd = 1,4 x (NGk + NQk) = 1,4 x (5 + 15) = 28 kN . 
 
c) Grau de esbeltez : 
c.1) considerando o eixo X (L0 = 280 cm) : 
IX = 12
10.5 3 = 417 cm4 ; iX = cm89,210.5
417
A
IX  ; 97
89,2
280
i
L
X
X
X  . 
c.2) considerando o eixo Y (L0 = 160 cm) : 
IY = 12
5.10 3 = 104 cm4 ; iY = cm44,110.5
104
A
IY  ; 111
44,1
160
i
L
Y
Y
Y  . 
c.3) grau de esbeltez máximo : 
111YMAX   ; a peça é esbelta : 14080   . 
Apesar de que relativamente ao eixo Y, o comprimento de referência é menor 
(160 cm), seu grau de esbeltez é superior. 
 
d) Determinação de Md (equações 4.8 a 4.16) : 
10 
5 
160 
120 
Y 
X 
 Seção 
 Transversal 
10 
5 
Nk 
L = 280 
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cm17,0
30
5
30
h0
28
0
N
Me Y
d
d1
i  ; cm53,0300
160
300
Le 0a  ; 
kN8,50
160
104.3,1266.
L
I.E.
F 2
2
2
0
Yef,0c
2
E 
 ; = 0,8 (tabela 18) ; 
NGk = 5 kN ; NQk = 15 kN ;  1 = 0,3 ;  2 = 0,2  
  
  qk21gkE
qk21gk
N.NF
N.N.
c




 = 
  
   261,015.2,03,058,50
15.2,03,05.8,0


 ; 
  1e.eee caigc      cm21,01e.53,017,0 261,0  ; 
e1ef = ei + ea + ec= 0,17 + 0,53 + 0,21 = 0,91 cm ; 
cm.kN8,56
288,50
8,50.91,0.28
NF
F.e.NM
dE
E
ef,1dd 













 . 
 
e) Determinação das tensões MdNd e : 
2d
Nd cm/kN56,010.5
28
A
N
 ; 
2
22
Y
d
Md cm/kN36,1
6
5.10
8,56
6
h.bW
M





 
 . 
 
f) Verificação da segurança (equação 4.4) : 
0,187,0
21,2
36,1
21,2
56,0
ff d,0c
Md
d,0c
Nd 
 Verifica ! 
 
Exercício 4.5 : (5o. TE/2005) - Para a barra comprimida indicada nas figuras, verificar a 
condição de segurança. 
Dados : 
1) critério da NBR-7190/1997. 
2) dimensões em centímetros. 
3) madeira = CEDRO DOCE : 
2a. Categoria = qualidade estrutural , 
fc,0,m = 31,5 MPa.; Ec,0,m = 8.058 MPa. 
4) ELU = Combinação Normal. 
7,5 
10 
 Seção Transversal 
L= 150 
7,5 
Elevação 
 
Nk 
Nk 
1 
2 
X 
Y 
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5) esforço normal : Nk = Ngk + Nqk ; Ngk = 5 kN (permanente) ; 
Nqk = 8 kN (vento de sobrepressão). 
6) vinculação das extremidades da peça : 
ponto 1 : indeslocável no plano vertical , deslocável no plano horizontal . 
ponto 2 : indeslocável no plano vertical , indeslocável no plano horizontal . 
Solução : 
a) Valores de cálculo das propriedades mecânicas : 
fcom = 31,5 MPa = 3,15 kN/cm2 ; 
fcok = 0,7. fcom = 0,7. 3,15 MPa = 2,21 kN/cm2 ; 
2
c
k0c
modd0c cm/kN88,04,1
21,2.56,0f.kf 

 ; 
Ecom = 8058 MPa = 805,8 kN/cm2 ; 
Ecoef = kmod. Ecom = 0,56. 805,8 = 451,2 kN/cm2 . 
 
b) Combinação de ações : 
E.L.U.: Nd = 1,4 x (NGk + NQk) = 1,4 x (5 + 0,75. 8) = 15,4 kN . 
 
c) Grau de esbeltez : 
c.1) considerando o eixo X (L0 = L = 150 cm = dois extremos indeslocáveis) : 
IX = 12
5,7.10 3 = 351,6 cm4 ; 
A = 10 . 7,5 = 75 cm2 ; 
iX = cm17,2
75
6,351
A
IX  ; 
69
17,2
150
i
L
X
X
X  (peça medianamente esbelta). 
c.2) considerando o eixo Y (L0 = 2 L = 2. 150 = 300 cm ; um extremo deslocável) : 
IY = 12
10.5,7 3 = 625 cm4 ; 
iY = cm89,275
625
A
IY  ; 
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104
89,2
300
i
L
Y
Y
Y  (peça esbelta). 
c.3) grau de esbeltez máximo : 
104YMAX  ; a peça é esbelta : 14080   . 
 
d) Verificação da segurança : 
Será verificado apenas o eixo Y (MAX = 104) , pois trata-se de compressão simples. 
d.1 Determinação de Md (equações 4.8 a 4.16) : 
cm33,0
30
10
30
h0
4,15
0
N
Me Y
d
d1
i  ; 
cm0,1
300
300
300
Le 0a  ; 
kN9,30
300
625.2,451.
L
I.E.
F 2
2
2
0
Yef,0c
2
E 



 ; 
 = 0,8 (tabela 18) ; 
NGk = 5 kN ; NQk = 8 kN ;  1 = 0,2 ;  2 = 0  
  
  qk21gkE
qk21gk
N.NF
N.N.
c




 =      217,08.02,059,30
8.02,05.8,0


 ; 
   1e.eee caigc      cm32,01e.0,133,0 217,0  ; 
e1ef = ei + ea + ec= 0,33 + 1,0 + 0,32 = 1,65 cm ; 
cm.kN6,50
4,159,30
9,30.65,1.4,15
NF
F.e.NM
dE
E
ef,1dd 













 . 
d.2 Determinação das tensões MdNd e : 
2d
Nd cm/kN21,075
4,15
A
N
 ; 
2
Y
d
Md cm/kN41,0125
6,50
W
M
 . 
d.3 Verificação da segurança (equação 4.4) : 
 0,171,0
88,0
41,0
88,0
21,0
ff d,0c
Md
d,0c
Nd 


 Verifica ! 
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Exercício 4.6 : Elemento comprimido (peça medianamente esbelta) (1oTE/2006) : Verificar a 
condição de segurança da barra de madeira comprimida, indicadas nas figuras. 
 Dados : 
1) E.L.U. = Combinação normal. 
2) Critério da NBR-7190/1997. 
3) Dimensões em centímetros. 
4) Madeira TATAJUBA, 2a. categoria ; 
qualidade estrutural. 
5) Esforços atuantes : 
Nk = NGk + NQk ; NGk = 20 kN (permanente) ; NQk = 75 kN (sobrecarga). 
6) Vinculos dos extremos da barra : Indeslocáveis nos dois planos. 
Solução : 
a) Valores de cálculo das propriedades mecânicas : 
fcom = 79,5 MPa = 7,95 kN/cm2 ; 
fcok = 0,7. fcom = 0,7. 7,95 MPa = 5,57 kN/cm2 ; 
2
c
k0c
modd0c cm/kN23,24,1
57,5.56,0f.kf 

 ; 
Ecom = 19.583 MPa = 1958,3 kN/cm2 ; 
Ecoef = kmod. Ecom = 0,56. 1958,3 = 1.096,6 kN/cm2. 
 
b) Combinação de ações : 
E.L.U.: Nd = 1,4 x (NGk + NQk) = 1,4 x (20 + 75) = 133 kN . 
 
c) Grau de esbeltez : 
c.1) considerando o eixo X : 
IX = 12
10.15 3 = 1250 cm4 ; 
A = 15 . 10 = 150 cm2 ; 
iX = cm89,2150
1250
A
IX  ; 
7,7989,2
230
i
L
X
X,0
X  (peça medianamente esbelta) ; 
WX = 6
10.15
6
h.b 22  = 250 cm3. 
c.2) considerando o eixo Y : 
IY = 12
15.10 3 = 2.812,5 cm4 ; 
15 
X 
Y 
10 
L 
= 
23
0 
Nk 
Nk 
Seção 
Elevação 
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 iY = cm33,4150
5,2812
A
IY  ; 
1,5333,4
230
i
L
Y
Y,0
Y  (peça medianamente esbelta). 
c.3) grau de esbeltez máximo : 
7,79XMAX  ; a peça é medianamente esbelta : 8040  . 
 
d) Verificação da segurança : 
Será verificado apenas o eixo X (MAX = 79,7) , pois trata-se de compressão simples. 
d.1) Determinação de Md (equações 4.8 a 4.16) : 
cm33,0
30
10
30
h0
133
0
N
Me X
d
d1
i  ; 
cm77,0
300
230
300
Le 0a  ; 
e1 = ei + ea = 0,33 + 0,77 = 1,10 cm ; 
kN7,255
230
1250.6,1096.
L
I.E.
F 2
2
2
0
Xef,0c
2
E 



 ; 
ed = 





 dE
E
1 NF
F.e = 





1337,255
7,255.1,10 = 2,29 cm ; 
cm.kN8,30429,2.133e.NM ddd  . 
d.2) Determinação das tensões MdNd e : 
2d
Nd cm/kN89,0150
133
A
N
 ; 2
X
d
Md cm/kN22,1250
8,304
W
M
 . 
d.3) Verificação da segurança (equação 4.4) : 
 0,195,0
23,2
22,1
23,2
89,0
ff d,0c
Md
d,0c
Nd 


 Verifica ! 
 
Exercício 4.7 : Elemento comprimido (peça esbelta) (1oTE/2006) : Verificar a condição de 
segurança da barra de madeira comprimida, indicadas nas figuras. 
 Dados : 
1) E.L.U. = Combinação normal. 
2) Critério da NBR-7190/1997. 
3) Dimensões em centímetros. 
4) Madeira DICOTILEDÔNEA-CLASSE C- 40, 
2a. categoria ; qualidade estrutural. 
5) Esforços atuantes : 
L 
= 
24
0 
Nk 
Nk 
Elevação 
1 
2 
15 
X 
Y 
Seção 
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Nk = NGk + NQk ; NGk = 10 kN (permanente) ; 
NQk = 30 kN (sobrecarga). 
6) Vinculos dos extremos da barra : 
ponto : indeslocável nos dois planos (X e Y). 
ponto : deslocável no plano Y. 
Solução : 
a) Valores de cálculo das propriedades mecânicas : 
fcok = 40 MPa = 4,0 kN/cm2 ; 
2
c
k0c
modd0c cm/kN60,14,1
0,4.56,0f.kf 

 ; 
Ecom = 19.500 MPa = 1950 kN/cm2 ; 
Ecoef = kmod. Ecom = 0,56. 1950 = 1.092 kN/cm2. 
 
b) Combinação de ações : 
E.L.U.: Nd = 1,4 x (NGk + NQk) = 1,4 x (10 + 30) = 56 kN . 
 
c) Grau de esbeltez : 
c.1) considerando o eixo X (L0 = L = 240 cm ; dois extremos indeslocáveis) : 
IX = IY = 64
15. 4 = 2.485 cm4 ; 
A = 4
15. 2 = 176,6 cm2 ;WY= 3Y cm3,3315,7
2485
x
I  ; 
iX = iY = cm75,36,176
2485
A
IX  ; 
6475,3
240
i
L
X
X,0
X  (peça medianamente esbelta). 
c.2) considerando o eixo Y (L0 = 2 L = 2. 240 = 480 cm ; um extremo deslocável) : 
12875,3
480
i
L
Y
Y,0
Y  (peça esbelta). 
c.3) 128YMAX  ; a peça é esbelta : 14080   . 
 
d) Verificação da segurança : 
Será verificado apenas o eixo Y (MAX = 104) , pois trata-se de compressão simples. 
d.1) Determinação de Md (equações 4.8 a 4.16) : 
cm5,0
30
15
30
h056
0
N
Me Y
d
d1
i  ; 
1 
2 
mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 12/59 
cm6,1
300
480
300
Le 0a  ; 
2
0
Yef,0c
2
E L
I.E.
F

 ; kN3,116
480
2485.1092.F 2
2
E 

 ; 
 = 0,8(tabela 18) ; 
NGk = 10 kN ; NQk = 30kN ; 
 1 = 0,3 ;  2 = 0,2 ; 
  
  qk21gkE
qk21gk
N.NF
N.N.
c




 =      219,030.2,03,0103,116
30.2,03,010.8,0


 ; 
   1e.eee caigc      cm51,01e.6,15,0 219,0  ; 
e1ef = ei + ea + ec ; e1ef = 0,5+1,6+0,51 = 2,61 cm ; 
cm.kN0,282
563,116
3,116.61,2.56
NF
F.e.NM
dE
E
ef,1dd 













 
d.2) Determinação das tensões MdNd e : 
2d
Nd cm/kN32,07,176
56
A
N
 ; 
2
Y
d
Md cm/kN85,05,331
282
W
M
 . 
d.3) Verificação da segurança (equação 4.4) : 
 0,173,0
6,1
85,0
6,1
32,0
ff d,0c
Md
d,0c
Nd 


 Verifica ! 
 
Exercício 4.8 : Elemento comprimido (peça medianamente esbelta) (1oTE/2007) : 
Verificar a condição de segurança da barra de madeira maciça, submetida à compressão 
simples, indicada nas figuras. Considerar : 
1- Critério da NBR-7190/1997. 
2- Dimensões indicadas em cm. 
3- ELU - Combinação normal. 
4- Madeira CONÍFERA classe C-25, 
2a. categoria, qualidade estrutural. 
5- Esforços atuantes : 
Nk = NGk + NQk . 
NGk = 20 kN (permanente); NQk = 60 kN (sobrecarga). 
6- Vinculação dos extremos da barra : 
Eixo X : 2 extremos indeslocáveis. Eixo Y : 1 extremo indeslocável. 
ELEVAÇÃO 
SEÇÃO 
20 
Nk 
L=
 1
80
 
Y 
20
 
5 
X 
10
 
5 
5 
5 10 
mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 13/59 
Solução : 
a) Valores de cálculo das propriedades mecânicas : 
fcok = 25 MPa = 2,5 kN/cm2 ; 
2
c
k0c
modd0c cm/kN00,14,1
5,2.56,0f.kf 

 ; 
Ecom = 8.500 MPa = 850 kN/cm2 ; 
Ecoef = kmod. Ecom = 0,56. 850 = 476 kN/cm2. 
 
b) Combinação de ações : 
E.L.U.: Nd = 1,4 x (NGk + NQk) = 1,4 x (20 + 60) = 112 kN . 
 
c) Grau de esbeltez : 
c.1) considerando o eixo X (L0 = L = 180 cm ; dois extremos indeslocáveis) : 
IX = IY = 12
10.5.2
12
20.10 33
 = 7.500 cm4 ; 
A = (20. 20) – 4. (5. 5) = 300 cm2 ; 
WY= 3Y cm750)2/20(
7500
x
I  ; 
iX = iY = cm0,5300
7500
A
IX  ; 
360,5
180
i
L
X
X,0
X  (peça curta). 
c.2) considerando o eixo Y (L0 = 2 L = 2. 180 = 360 cm ; um extremo deslocável) : 
720,5
360
i
L
Y
Y,0
Y  (peça medianamente esbelta). 
c.3) 72YMAX  ; a peça é medianamente esbelta : 8040  . 
 
d) Verificação da segurança : 
Será verificado apenas o eixo Y (MAX = 72) , pois se trata de compressão simples. 
d.1) Determinação de Md (equações 4.8 a 4.16) : 
cm67,0
30
20
30
h0112
0
N
Me Y
d
d1
i  ; 
cm2,1
300
360
300
Le 0a  ; 
2
0
Yef,0c
2
E L
I.E.
F

 ; kN9,271
360
7500.476.F 2
2
E 

 ; 
e1 = ei + ea = 0,67+1,2 = 1,87 cm ; 
mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 14/59 
cm18,3
1129,271
9,271.87,1
NF
F.ee
dE
E
1d 













 ; 
 ddd e.NM 112. 3,18 = 356,1 kN.cm . 
d.2) Determinação das tensões MdNd e : 
2d
Nd cm/kN37,0300
112
A
N
 ; 
2
Y
d
Md cm/kN48,0750
1,356
W
M
 . 
d.3) Verificação da segurança (equação 4.4) : 
 0,185,0
0,1
48,0
0,1
37,0
ff d,0c
Md
d,0c
Nd 


 Verifica ! 
 
Exercício 4.9 : Elemento comprimido (peça esbelta) (1oTE/2007) : Verificar a condição de 
segurança da barra de madeira maciça, submetida à compressão simples, indicada nas 
figuras. 
 Considerar : 
1- Critério da NBR-7190/1997. 
2- Dimensões indicadas em cm. 
3- Critério da NBR-7190/1997. 
4- ELU - Combinação normal. 
5- Madeira CANELA, 2a. categoria, qualidade estrutural. 
6- Esforços atuantes : Nk = NGk + NQk ; 
NGk = 40 kN (permanente); NQk = 120 kN (sobrecarga). 
7- Vinculação dos extremos da barra : Eixo X e Y : 2 extremos indeslocáveis. 
Solução : 
a) Valores de cálculo das propriedades mecânicas : 
fc0m = 48,7 MPa = 4,87 kN/cm2 ; 
fc0k = 0,7. fc0m = 0,7. 4,87 = 3,41 kN/cm2 ; 
2
c
k0c
modd0c cm/kN36,14,1
41,3.56,0f.kf 

 ; 
Ec0m = 17.592 MPa = 1759,2 kN/cm2 ; 
Ec0ef = kmod. Ecom = 0,56. 1759,2 = 985,1 kN/cm2. 
 
b) Combinação de ações : 
E.L.U.: Nd = 1,4 x (NGk + NQk) = 1,4 x (40 + 120) = 224 kN . 
 
Nk 
L 
= 
L o
= 
60
0 
20 
X 
Y 
5 5 10 
Y 
30
 
10
 
10
 
10
 
ELEVAÇÃO SEÇÃO 
mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 15/59 
c) Grau de esbeltez : 
A = (20. 30) – (10. 10) = 500 cm2; 
c.1) eixo X : 
L0 = L = 600 cm : dois extremos indeslocáveis ; 
IX = 12
10.10
12
30.20 33
 = 44166,7 cm4 ; 
iX = cm44,9500
7,44166
A
IX  ; 
64~44,9
600
i
L
X
X,0
X  (peça medianamente esbelta). 
c.2) eixo Y : 
L0 = L = 600 cm ; dois extremos deslocáveis ; 
IY = 12
10.10
12
20.30 33
 = 19166,7 cm4 ; 
IY = cm19,6500
7,19166
A
IY  ; 
9719,6
600
i
L
Y
Y,0
Y  (peça esbelta). 
WY= 3Y cm7,1916)2/20(
7,19166
x
I  ; 
c.3) 97YMAX  ; a peça é esbelta : 14080   . 
 
d) Verificação da segurança : 
Será verificado apenas o eixo Y (MAX = 97) , pois se trata de compressão simples. 
d.1) Determinação de Md (equações 4.8 a 4.16) : 
cm67,0
30
20
30
h0224
0
N
Me Y
d
d1
i  ; 
cm0,2
300
600
300
Le 0a  ; 
2
0
Yef,0c
2
E L
I.E.
F

 ; kN6,517
600
7,191666.1,985.F 2
2
E 

 ; 
 = 0,8 (tabela 18) ; 
NGk = 40 kN ; NQk = 120 kN ; 
 1 = 0,3 ;  2 = 0,2 ; 
  
  qk21gkE
qk21gk
N.NF
N.N.
c




 =      192,0120.2,03,0406,517
120.2,03,040.8,0


 ; 
   1e.eee caigc      cm57,01e.0,267,0 192,0  ; 
mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 16/59 
e1ef = ei + ea + ec ; e1ef = 0,67+ 2,0+ 0,57 = 3,24 cm ; 
cm.kN5,1279
2246,517
6,517.24,3.224
NF
F.e.NM
dE
E
ef,1dd 













 . 
d.2) Determinação das tensões MdNd e : 
2d
Nd cm/kN45,0500
224
A
N
 ; 
2
Y
d
Md cm/kN67,07,1916
5,1279
W
M
 . 
d.3) Verificação da segurança (equação 4.4) : 
 0,182,0
36,1
67,0
36,1
45,0
ff d,0c
Md
d,0c
Nd 


 Verifica ! 
 
Exercício 4.10 : Elemento comprimido (peça medianamente esbelta) (1º.TE-2008) - Verificar a 
condição de segurança da barra de madeira maciça, submetida à compressão simples, 
indicada nas figuras :Considerar : 
1- Critério da NBR-7190/1997. 
2- Dimensões indicadas em cm. 
3- ELU - Combinação normal. 
4- Madeira Dicotiledônea – CLASSE C-40, 
2a. categoria, qualidade estrutural. 
5- Esforços atuantes : Nk = NGk + NQk , 
NGk = 30 kN (permanente), NQk = 100 kN (sobrecarga). 
6- Vinculação dos extremos da barra : 
Eixo X e Y : 2 extremos indeslocáveis. 
Solução : 
a) Valores de cálculo das propriedades mecânicas : 
fcok = 40 MPa = 4,0 kN/cm2 ; 
2
c
k0c
modd0c cm/kN6,14,1
0,4.56,0f.kf 
 ; 
Ecom = 19.500 MPa = 1950,0 kN/cm2 ; 
Ecoef = kmod. Ecom = 0,56. 1950,0 = 1.092,0 kN/cm2. 
 
b) Combinação de ações : 
E.L.U.: Nd = 1,4 x (NGk + NQk) = 1,4 x (30 + 100) = 182 kN . 
 
ELEVAÇÃO 
SEÇÃO 
21,2 
Nk 
L=
 2
80
 2
1,
2 
mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 17/59 
c) Grau de esbeltez : 
considerando o eixo X = eixo Y ; 
lados do quadrado = 21,2. sen 45o = 15 cm ; 
IX = IY = 
12
15.15 3 = 4218,8 cm4 ; 
A = 15. 15 = 225 cm2 ; 
iX = iY = cm33,4225
8,4218
A
IX  ; 
7,6433,4
280
i
L
X
X,0
YX
 (peça medianamente esbelta) ; 
WX = 
6
15.15
6
h.b 22  = 562,5 cm3. 
 
d) Verificação da segurança : 
Será verificado apenas um eixo (X) (MAX = 64,7) , pois trata-se de compressão simples. 
d.1) Determinação de Md (equações 4.8 a 4.16) : 
cm5,0
30
15
30
h0
182
0
N
Me X
d
d1
i
 ; 
cm93,0
300
280
300
Le 0a  ; 
e1 = ei + ea = 0,5 + 0,93 = 1,43 cm ; 
kN0,580
280
8,4218.0,1092.
L
I.E.F 2
2
2
0
Xef,0c
2
E




 ; 
ed = 





 dE
E
1 NF
F.e = 





1820,580
0,580.1,43 = 2,09 cm ; 
cm.kN2,38009,2.182e.NM ddd  . 
d.2) Determinação das tensões MdNd e : 
2d
Nd cm/kN81,0225
182
A
N  ; 
 2
X
d
Md cm/kN68,05,562
2,380
W
M  . 
d.3) Verificação da segurança (equação 4.4) : 
 0,193,0
60,1
68,0
60,1
81,0
ff d,0c
Md
d,0c
Nd 


 Verifica ! 
 
 
mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 18/59 
Exercício 4.11: Elemento comprimido (peça esbelta) (1º.TE-2008)- Verificar a segurança da 
barra de madeira maciça, submetida à compressão simples, indicada nas figuras : 
 Considerar : 
1- Critério da NBR-7190/1997. 
2- Dimensões indicadas em cm. 
3- ELU - Combinação normal. 
4- Madeira Dicotiledônea – CLASSE C-40, 
2a. categoria, qualidade estrutural. 
5- Esforços atuantes : Nk = NGk + NQk , 
NGk = 15 kN (permanente), NQk = 80 kN (sobrecarga). 
6- Vinculação dos extremos da barra : 
Eixo X e Y : 2 extremos indeslocáveis. 
Solução : 
a) Valores de cálculo das propriedades mecânicas : 
fcok = 40 MPa = 4,0 kN/cm2 ; 
2
c
k0c
modd0c cm/kN6,14,1
0,4.56,0f.kf 
 ; 
Ecom = 19.500 MPa = 1950,0 kN/cm2 ; 
Ecoef = kmod. Ecom = 0,56. 1950,0 = 1.092,0 kN/cm2. 
 
b) Combinação de ações : 
E.L.U.: Nd = 1,4 x (NGk + NQk) = 1,4 x (15 + 80) = 133 kN . 
 
c) Grau de esbeltez : 
considerando o eixo X = eixo Y ; 
IX = IY = 
12
15.15 3 = 4218,8 cm4 ; 
A = 15. 15 = 225 cm2 ; 
iX = iY = cm33,4225
8,4218
A
IX  ; 
8,8733,4
380
i
L
X
X,0
YX
 (peça esbelta) ; 
WX = 
6
15.15
6
h.b 22  = 562,5 cm3. 
 
d) Verificação da segurança : 
Será verificado apenas um eixo (X) (MAX = 87,8) , pois trata-se de compressão simples. 
ELEVAÇÃO 
SEÇÃO 
15 
Nk 
L=
 3
80
 1
5 
mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 19/59 
d.1) Determinação de Md (equações 4.8 a 4.16) : 
cm5,0
30
15
30
h0133
0
N
Me X
d
d1
i
 ; 
cm27,1
300
380
300
Le 0a  ; 
kN9,314
380
8,4218.0,1092.
L
I.E.F 2
2
2
0
Xef,0c
2
E




 ; 
 = 0,8 (tabela 18) ; 
NGk = 15 kN ; NQk = 80 kN ; 
 1 = 0,3 ;  2 = 0,2 ; 
  
  qk21gkE
qk21gk
N.NF
N.N.
c




 =      169,080.2,03,0159,314
80.2,03,015.8,0 

 ; 
   1e.eee caigc      cm33,01e.27,15,0 169,0  ; 
e1ef = ei + ea + ec ; e1ef = 0,5+ 1,27+ 0,33 = 2,1 cm ; 
cm.kN82,481
1339,314
9,314.1,2.133
NF
F.e.NM
dE
E
ef,1dd














 . 
d.2) Determinação das tensões MdNd e : 
2d
Nd cm/kN59,0225
133
A
N  ; 
2
Y
d
Md cm/kN86,05,562
8,481
W
M  . 
d.3) Verificação da segurança (equação 4.4) : 
 0,190,0
60,1
86,0
60,1
59,0
ff d,0c
Md
d,0c
Nd 


 Verifica ! 
 
Exercício 4.12 : Encaixe entre peças de madeira : Projetar o nó de extremidade da tesoura de 
madeira, indicada no exercício 4.3, cuja barra inclinada (asna) é solicitada por um esforço de 
compressão “Nk” : 
1- Madeira dicotiledônea, Eucalipto Dunnii. 
2- Dimensões indicadas em centímetros. 
3- Critério da NBR-7190 / 1997. 
4- Esforço Normal Nk = NGk + NQk ; 
 NGk = 5 kN (permanente), e 
 NQk = 8 kN (sobrecarga). 
Elevação 
Seção 
10 7,5 
Nk 
400 
10 
15 
S 
S 
Nk 
mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 20/59 
Solução 
a) Soluções para o encaixe : 
a.1) solução clássica : 
Esta solução é teoricamente a mais indicada : a seção 
crítica para a compressão é a pequena área de contato AB, 
em que a resistência à compressão fc(90-β),d é igual nas 
peças horizontal e inclinada. 
a.2) solução corrente : 
Esta solução é mais prática, do ponto de vista executivo. É 
menos econômica porque a resistência de calculo na área 
AB (a mais crítica), é menor na peça inclinada. Esta 
solução será adotada no presente exercício. 
a.3) construção do encaixe : 
A confecção do encaixe não deve aprofundar o recorte na 
peça além de 25% de sua altura. 
Além de enfraquecer muito a peça recortada, cria-se uma 
excentricidade alta para o esforço de tração na mesma (a 
força de tração na barra horizontal faz parte do equilíbrio 
estático entre os esforços Nk e a reação de apoio). 
 
b) Combinação de ações : 
E.L.U.: Nd = 1,4 x (NGk + NQk) = 1,4 x (5 + 8) = 18,2 kN ; 
 
c) Esforços gerados nas áreas respectivas criadas com 
a confecção do encaixe : 
A força Nd , aplicada na barra inclinada do banzo 
superior (asna) da tesoura, transmite-se ao nó de 
extremidade através das áreas de contato AB e BC. 
O ângulo  é diferente, mas parecido com 90o. Por simplicidade 
de calculo, adota-se : 
.kN1,17
2
40cos.2,18
2
40cos.NN
oo
dd,AB  
β = (180 - α) / 2 
C 
B 
A 
β 
β α 
3,75 
C B 
A 
500 
900 
40o 
 
NAB,d 
NBC,d 
Nd 
40o 
 = (90 - α) 
C B 
A 
900 α 
β 
Nd x 
3,75 
C 
B 
A 
Rd 
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A componente da força NBC,d , é desconsiderada no calculo : sua 
intensidade é pequena, e a área de contato BC é muito grande, 
gerando tensões muito baixas, absorvidas com facilidade pelas 
peças de madeira. 
Por outro lado, o apoio da tesoura no pilar indicado, gera tensões 
de contato que solicitarão normalmente as fibras da peça 
horizontal : 
.kN7,1140sen.2,1840sen.NR oodd  
.kN0,1440cos.2,1840cos.NH oodd  
d) Características mecânicas do Eucalipto Dunnii : 
Tomamos os valores já determinados no exercício 3.1 : 
fc0,d = 1,37 kN/cm2 ; fV0,d = 0,17 kN/cm2 ; fc90,d= 0,34 kN/cm2 ; 
2
222
d,90,c
2
d,0,c
d,90,cd,0,c
d,40,c cm/kN61,040cos.34,040sen.37,1
34,0.37,1
40cos.f40sen.f
f.f
f 



 . 
 
e) Verificação das tensões de contato na área AB : 
2
d,40,c
AB
d,AB
AB cm/kN61,0f60,05,7.75,3
1,17
A
N
 . Verifica ! 
A verificação ao esmagamento por compressão será feita pela peça menos resistente, 
no caso, a peça inclinada, pois as tensões formam um ângulo de 40o com as fibras, ao 
contrário da peça horizontal, cujas tensões são paralelas às fibras. 
 
f) Verificação do encaixe ao cisalhamento horizontal : 
d,0v*
d
vd fx.5,7
H
  cm11~
17,0.5,7
0,14
f.5,7
Hx
d,0V
d  
* largura das peças = 7,5 cm. 
 
g) Verificação das tensões de compressão no apoio da tesoura sobre o pilar : 
2
nd,90cd90,c cm/kN37,010,1.34,0.ff   ;  n = 1,1 para c = 10 cm (tabela 19) ; 
d,90c
PILARCONTATO
d
d,90c f16,010.5,7
7,11
A
R
 = 0,37 kN/cm2 . Verifica ! 
Hd 
90o 
Rd 
Nd 
40o 
Hd 
Nd 
x 
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Observação : 
Se não houvessem sido verificadas as tensões atuantes na face AB, poder-se-ia lançar 
mão do recurso de executar dentes duplos. Com esta providência, as tensões de contato caem 
pela metade, por dispor-se de duas áreas AB. 
A técnica para realização do encaixe segue o critério anterior : 
A componente de força NAB é absorvida nas duas áreas AB, e a componente Hd é 
absorvida na área b.x . 
Quando se optar pelos dois encaixes, há a possibilidade de reduzir a profundidade do 
encaixe e. 
 
Exercício 4.13 : Encaixe entre peças de madeira (2oTE/2006) : Determinar, pela condição de 
segurança, o máximo valor do esforço “NQk” que pode ser aplicado ao nó de extremidade da 
tesoura de madeira, indicado nas figuras. 
Em seguida, para este máximo valor de “NQk”,determinar o mínimo valor de “x”. 
1- Madeira : CANELA – 2a. categoria – 
 qualidade estrutural. 
2- Dimensões indicadas em centímetros. 
3- Critério da NBR-7190 / 1997. 
4- Esforço Atuante : Nk = NGk + NQk ; 
NGk = 10 kN (permanente), e 
 NQk = ? kN (sobrecarga). 
5- Estado Limite Último : Combinação Normal. 
 Solução 
a) Características mecânicas da Canela : 
fc0,m = 48,7 MPa = 4,87 kN/cm2, 
fc0,k = 0,7 x 4,87 = 3,41 kN/cm2, 
2
c
k0c
modd0c cm/kN36,14,1
41,3.56,0f.kf 

 ; 
2
d0cd,90,c cm/kN34,036,1.25,0f.25,0f  ; 
2
222
d,90,c
2
d,0,c
d,90,cd,0,c
d,30,c cm/kN78,030cos.34,030sen.36,1
34,0.36,1
30cos.f30sen.f
f.f
f 



 ; 
10 
Nk 
5 
300 
15 
Nk 10 
Elevação 
Seção 
S 
S 
A 
B C 
x = ? 
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fV0,m = 9,6 MPa = 0,96 kN/cm2, 
fV0,k = 0,54 x 0,96 = 0,52 kN/cm2, 
2
V
k0V
modd0V cm/kN16,08,1
52,0.56,0f.kf 

 . 
 
b) Combinação das ações : 
E.L.U.: Nd = 1,4 x (NGk + NQk) = 1,4 x (10 + NQk). 
 
c) Esforços gerados em AB : 
o
d
o
dd,AB 15cos.N2
30cos.NN  
dd,AB N.9659,0N  
d
o
dd N.8666,030cos.NH  
 
d) Verificação das tensões de contato na área AB : 
2
d,30,c
dd
AB
d,AB
AB cm/kN78,0f765,51
N
10.5
N.9659,0
A
N
  
Nd = 40,3 kN. 
 
e) Valor máximo de NQk : 
Nd = 40,3 = 1,4 x (10 + NQk)  
NQk = 18,8 kN. 
 
f) Valor mínimo de “x” : 
d,0v
d
vd fx.10
H
  cm22~8,21
16,0.10
3,40.8666,0
f.10
Hx
d,0V
d  
 
Exercício 4.14 : Encaixes (2o. TE 2007) : Determinar o máximo valor característico (Gk) do 
esforço permanente aplicado à barra inclinada do nó indicado nas figuras : 
a) em função do cisalhamento na barra horizontal. 
 
NAB,d 
NBC,d 
Nd 
30o 
Hd 
90o 
Rd 
Nd 
30o 
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b) Em função das tensões de contato no encaixe (área AB). 
 Considerar : 
1- Critério da NBR-7190/1997. 
2- Dimensões indicadas em cm. 
3- ELU - Combinação normal. 
4- Madeira de CEDRO DOCE, 
2a. categoria, qualidade estrutural. 
5- Esforço atuante : Gk = ? kN (permanente). 
 Solução 
a) Características mecânicas do CEDRO DOCE : 
fc0,m = 31,5 MPa = 3,15 kN/cm2, 
fc0,k = 0,7 x 3,15 = 2,21 kN/cm2, 
2
c
k0c
modd0c cm/kN88,04,1
21,2.56,0f.kf 

 ; 
2
d0cd,90,c cm/kN22,088,0.25,0f.25,0f  ; 
2
222
d,90,c
2
d,0,c
d,90,cd,0,c
d,35,c cm/kN44,035cos.22,035sen.88,0
22,0.88,0
35cos.f35sen.f
f.f
f 



 ; 
fV0,m = 5,6 MPa = 0,56 kN/cm2, 
fV0,k = 0,54 x 0,56 = 0,30 kN/cm2, 
2
V
k0V
modd0V cm/kN09,08,1
30,0.56,0f.kf 

 . 
 
b) Combinação de ações : 
E.L.U.: Gd = 1,4 x Gk . 
 
c) Esforços gerados nos encaixes : 
o
k
o
dd,AB 5,17cos.G.4,12
35cos.GG  = 1,335. Gk , 
.G147,135cos.G.4,135cos.GH k
o
k
o
dd  
 
d) Verificação das tensões de contato na área AB : 
S 
Seção 
7,5 
Gk 
7,5 
2,5 
Elevação 
7,5 
350 
10 
Gk 
10 
Gd 10 
2,5 C 
B 
A 
GAB,d 
Hd 
Gd 
35o 
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2
d,35,c
kd,AB
AB
d,AB
AB cm/kN44,0f5,7.5,2
G.335,1
5,7.5,2
G
A
G
 
Gk = 6,18 kN. 
 
e) Verificação do encaixe ao cisalhamento horizontal : 
2
d,0v
kd
vd cm/kN09,0f10.5,7
G.147,1
10.5,7
H
 ; 
.kN89,5
147,1
10.5,7.09,0Gk  
 Resposta : Gk = 5,89 kN. 
 
Exercício 4.15 : Encaixe entre peças de madeira (2oTE/2008) : Projetar a ligação (por encaixe) 
entre as peças 1 e 2, indicada nas figuras, estabelecendo o valor do encaixe (e), pelas tensões 
decorrentes do contato entre elas. 
 Considerar : 
1- Critério da NBR-7190/1997. 
2- Dimensões indicadas em cm. 
3- ELU - Combinação normal. 
4- Madeira : PINUS ELLIOTTII, 
2a. categoria, qualidade estrutural. 
5- Esforços atuantes : Nk = NGk + NQk , 
NGk = 5 kN (permanente), NQk = 3 kN (sobrecarga). 
 Solução 
a) Características mecânicas do PINUS ELIOTTII : 
fc0,m = 40,4 MPa = 4,04 kN/cm2 ; 
fc0,k = 0,7 x 4,04 = 2,83 kN/cm2 ; 
2
c
k0c
modd0c cm/kN13,14,1
41,3.56,0f.kf 
 ; 
2
d0cd,90,c cm/kN28,013,1.25,0f.25,0f  ; 
2
222
d,90,c
2
d,0,c
d,90,cd,0,c
d,60,c cm/kN35,0
60cos.28,060sen.13,1
28,0.13,1
60cos.f60sen.f
f.ff 


 ; 
fV0,m = 7,4 MPa = 0,74 kN/cm2 ; 
fV0,k = 0,54 x 0,74 = 0,40 kN/cm2 ; 
Hd 
Gd 
10 
15 
750 
Nk 
450 
600 
e=? 
Elevação Seção 
2,
5 
Nk 
2,
5 
7,
5 
1 
2 
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2
V
k0V
modd0V cm/kN12,08,1
40,0.56,0f.kf 
 . 
 
b) Combinação das ações : 
E.L.U.: Nd = 1,4 x (NGk + NQk) = 1,4 x (5 + 3) = 11,2 kN. 
 
c) Esforços gerados em AB : 
o
d
o
dd,AB 30cos.N2
60cos.NN  
kN7,92,11.866,0N d,AB  . 
 
d) Verificação das tensões de contato na área AB : 
2
d,60,c
AB
d,AB
AB cm/kN35,0f5,7.e
7,9
A
N   
e ≥ 3,7 cm ; 
Considerando que o máximo valor indicado para o recorte da peça (e) é h/4 = 15/4 = 3,75 cm, 
um encaixe simples pode resolver a ligação com segurança. 
 
Exercício 4.16 : Flexão simples : Determinar o valor mínimo da altura “h” da viga de madeira 
indicada nas figuras, para que sejam respeitadas as condições de segurança. 
1- Madeira conífera,Classe de Resistência C-30. 
2- Dimensões indicadas em centímetros. 
3- Critério da NBR-7190 / 1997. 
4- Cargas aplicadas : 
gk = 1,0 kN/m (permanente), e 
Qk = 2,0 kN (sobrecarga). 
Solução 
 A solução deste exercício pode ser dada calculando-se teoricamente a altura “h” em função 
dos critérios da NBR-7190 / 1997. É uma solução matematicamente trabalhosa, razão pela 
qual, na prática, e neste exemplo, será feita por tentativa, arbitrando-se uma altura inicial 
h 
h=? 
5 
gk 
Qk L/2 
L 
400 20 20 
NAB,d 
NBC,d 
Nd 
60o 
15 
750 450 
600 
Detalhe 
e A 
B C 
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“h” e fazendo-se as verificações. Em caso de fracasso, novas tentativas serão feitas 
sucessivamente, até uma solução adequada. 
O valor adotado para a primeira tentativa é h = 25 cm. 
a) Vão de cálculo : 
 L = cm420
2
20400
2
20
 , ou L = 400 + 25 ( cm10 ) = 400 + 10  L = 410 cm. 
 
b) Valores de cálculo das propriedades mecânicas : 
Tomamos os valores já determinados no exercício 3.1 : 
fc0,d = ft0,d = 1,2 kN/cm2 ; fv0,d = 0,18 kN/cm2 ; Ec0,ef = 812 kN/cm2 ; 
 
c) Combinações de Ações : 
E.L.U.: Fd = .kN8,2cm
kN014,00,2.4,101,0.4,1FFF.F. QdGdQQGG  ; 
E.L.Uti.: Fd = .kN0,2.2,0cm
kN01,00,2.01,0F.FF.F 2Qd2GdQ2G   
 
d) Tensões normais de flexão (ELU) : 
d.1) momentos fletores : 
Md = cm.kN2,5814
410.8,2
8
410.014,0
4
L.Q
8
L.g
2
d
2
d  
d.2) Verificação das tensões de flexão (equações 4.23 a 4.26) : 
 W = 3
22
cm8,520
6
25.5
6
h.b
 ; 2
d
d,t/c cm
kN20,112,1
8,520
2,581
W
M
 , verifica! 
Considerou-se que a viga não tem possibilidade de flambagem da região 
comprimida. 
 
e) Tensões tangenciais de cisalhamento (ELU) : 
e.1) esforços cortantes : 
Vd = kN27,42
8,2
2
410.014,0
2
Q
2
L.g dd  
Md 
Vd 
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e.2) Verificação das tensões de cisalhamento (equações 4.20 e 4.32) : 
2
d
vd cm
kN18,0051,0
25.5
27,4.
2
3
h.b
V.
2
3
 , verifica! 
e.3) Observação : 
Não foi necessário, mas a NBR-7190 permite a 
redução do valor de Vd nas regiões próximas aos 
apoios diretos (equação 4.33): 
Vred = 4,27 – 50. 0,014 = 3,57 kN. 
 
f) Flecha máxima (ELUti) (equações 4.35 e 4.36) : 
200
L
I.E.48
L.Q.
I.E.384
L.g.5u
Xef,0c
3
k
2
Xef,0c
4
k
d  ; sendo IX = 
4
3
cm6510
12
25.5
 , 
cm05,2
200
410cm81,0
6510.812.48
410.0,2.2,0
6510.812.384
410.010,0.5u
34
d  verifica! 
 
g) Conclusão : 
Foram verificadas as duas condições de segurança : Estados Limites Últimos, com as 
respectivas Tensões Normais de Flexão e Tensões Tangenciais de Cisalhamento, e 
Estados Limites de Utilização, com as deformações. 
Todas as três verificações ocorreram com uma certa distância dos valores limites de 
calculo, exceto pela verificação da flexão. 
Como o processo de verificação foi o de tentativas, caberia uma segunda tentativa, 
tomando-se h = 20 cm, se não houvesse uma proximidade tão grande na verificação da 
flexão. 
 
 h) Verificação da Instabilidade Lateral (equações 4.27 a 4.31) : 
Caso não houvesse o travamento da região comprimida da viga, deveríamos verificar a 
instabilidade lateral, considerando travamento apenas nas duas extremidades, isto é : 
L1 = L = 410 cm ; h/b = 25/5 = 5 ; L1/b = 410/5 = 82. 
Vred 
2.h = 50 cm 
Vd 
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 
 
 
 
7,18
63,05
5.5,3
63,0b
h
b
h
.5,3
2
1
2
3
2
1
2
3
M 



 ; 
 36
2,1.7,18
812
f.
E
d,0cM
ef,0c 

 ; 
L1/b = 82 > 36 ; 
 
M
1
ef,0c
d,1c
.b
L
E








 ou seja : 53,0
7,18.82
81212,1  não verifica ! 
 
Exercício 4.17 : (EF-2005) Flexão simples reta : Determinar o valor mínimo de “h” (múltiplo de 
2,5 cm), na seção transversal da viga de madeira indicada nas figuras, atendendo às 
condições de segurança previstas na NBR-7190. 
1) Critério da NBR-7190/1997. 
2) Dimensões em centímetros. 
3) Madeira MOGNO, de 2a. categoria : 
fc,0,m = 53,6 MPa , fv,0,m = 10,0 MPa , 
Ec,0,m = 14.487 MPa . 
4) ELU = Combinação Normal. 
5) Cargas aplicadas : 
 gk = 1 kN/m (permanente), Qk = 2 kN (sobrecarga). 
Solução 
a) combinação das ações : 
E.L.U.: m/kN4,1kN8,21.4,12.4,1Q.4,1g.4,1F kkd 

; 
E.L.Uti.: Fd = .kN4,0cm/kN01,0m/kN0,2.2,0cm/kN01,0F.F Q2G  
 
b) propriedades mecânicas do MOGNO : 
fcom = 53,6 MPa = 5,36 kN/cm2 ; 
fcok = 0,7. fcom = 0,7. 5,36 MPa = 3,75 kN/cm2 ; 
2
c
k0c
modd0c cm/kN5,14,1
75,3.56,0f.kf 

 . 
fvom = 10,0 MPa = 1,0 kN/cm2 ; 
fvok = 0,54. fvom = 0,54. 1,0 = 0,54 kN/cm2 ; 
gk 
Qk 
300 
Qk 
100 100 100 
Esquema 
5 
h=? 
Seção 
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2
c
vok
modd0v cm/kN17,08,1
54,0.56,0f.kf 

 . 
 
c) altura “h” determinada pela condição de segurança à flexão : 
c.1) determinação do máximo momento fletor : 
Mgd = (1,4. 10-2 . 3002) / 8 = 157,5 kN.cm 
MQd = (2,8. 100. 200 / 300) / 8 = 186,7 kN.cm 
MQ1d = MQ2d = MQd. 150 / 200 = 140,0 kN.cm 
Md,MAX = Mgd + MQ1d + MQ2d 
Md,MAX = 157,5 + 140 + 140 = 437,5 kN.cm 
c.2) verificação da condição de segurança à flexão : 
2
d
d,t/c cm
kN50,1
W
5,437
W
M
 , 
W  437,5 / 1,5 = 291,7 cm3 , 
W = 
6
h.5
6
h.b 22
  291,7  h  18,7 cm. 
 
d) altura “h” determinada pela condição de segurança ao cisalhamento : 
d.1) determinação do máximo esforço cortante : 
Vd = kN9,48,22
300.10.4,1Q
2
L.g 2
d
d 

 
d.2) verificação da condição de segurança ao esforço cortante : 
17,0
h.5
9,4.
2
3
h.b
V.
2
3 d
vd   h  8,75 cm. 
 
e) altura “h” determinada pela deformação : 
cm5,1
200
300
200
L
I.3,811.2,28
300.0,2.2,0
I.3,811.384
300.01,0.5*
I.E.2,28
L.Q.
I.E.384
L.g.5u
X
3
X
4
Xef
3
k
2
Xef
4
k 






 
* Esta expressão refere-se à máxima flecha proporcionada por um par de cargas 
concentradas aplicadas nos terços do vão da viga. 
IX,MIN = 1181 cm4  1181,4  12
h.5
12
h.b 33
  h  14,2 cm. 
h  (18,7 ; 8,75 ; 14,2)  Resposta : h = 20 cm. 
 
gd 
Qd 
Mgd 
Qd 
100 50 
+ 
50 
MQ1d 
MQ2d 
MQd 
100 
M
d,
M
A
X
 
+ 
= 
Vgd 
+ 
VQ2d 
V d
,M
A
X
 
= 
mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 31/59 
Exercício 4.18 : (2O.TE-2006) : Flexão simples reta : Determinar, para a viga de madeira 
indicada nas figuras, o máximo valor da carga uniforme distribuída “qk” que pode ser aplicada, 
em função das condições de segurança (flexão, cisalhamento e deformação). Considerar 
travamento lateral da região comprimida da seção, ao longo de todo o vão (sem instabilidade 
lateral). 
Considerar : 
1) Madeira DICOTILEDÔNEA, classe de resistência C-60, 2a. categoria ; qualidade 
estrutural. 
2) Dimensões indicadas em centímetros. 
3) Critério da NBR-7190/1997. 
4) Cargas aplicadas : 
gk = 2 kN/m (permanente); 
qk = ? kN/m (sobrecarga). 
5) E.L.U. = Combinação Normal. 
 E.L.Uti.=Combinação de Longa Duração. 
Solução : 
a) Características mecânicas da Dicotiledônea C-60 : 
fc0,k = 60 MPa = 6,0 kN/cm2, 
2
d0c cm/kN4,24,1
0,6.56,0f  ; 
fV0,k = 8 MPa = 0,8 kN/cm2, 
2
d0V cm/kN25,08,1
8,0.56,0f  ; 
Ec0,m = 24.500 MPa = 2.450 kN/cm2, 
2
ef,0c cm/kN13722450.56,0E  . 
 
b) ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS : 
b.1) Tensões de Flexão : 
Md = 
8
400.)q02,0(.4,1
8
L.q
8
L.g
2
k
2
d
2
d  = 28.000 . )q02,0( k ; 
 W = 3
22
cm67,666
6
20.10
6
h.b
 ; 
67,666
)q02,0.(28000
W
M kd
d,t/c
 = 2,4  
gk 
400 
10 
20 
Esquema 
Seção 
qk = ? 
Md 
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qk = 0,0371 kN/cm = 3,71 kN/m. 
b.2) Tensões de Cisalhamento : 
Vd = 2
400.)q02,0(.4,1
2
L.q
2
L.g kdd  = 280. )q02,0( k ; 
25,0
20.10
 )q(0,02280..
2
3
h.b
V.
2
3 kd
vd 

 ; 
 qk = 0,099 kN/cm = 9,90 kN/m. 
 
 c) ESTADO LIMITE de UTILIZAÇÃO : 
IX = 4
3
cm7,6666
12
20.10
 ; 
cm0,2
200
400
200
L
7,6666.1372.384
400.q.5.20,0
7,6666.1372.384
400.02,0.5u
4
k
4
d  ; 
 qk = 0,1744 kN/cm = 17,44 kN/m. 
d) RESPOSTA : 
qk,MAX = 3,71 kN/m. 
 
Exercício 4.19 : (2o. TE - 2007) : Flexão simples reta - Determinar o diâmetro mínimo “d” da 
escora de madeira roliça sujeita à flexão simples, conforme indicado nas figuras. Considerar 
apenas o critério das tensões de flexão e deformações (omitir o cálculo pelo cisalhamento). 
 Considerar : 
1- Critério da NBR-7190/1997. 
2- Dimensões indicadas em cm. 
3- ELU - combinação normal, 
e ELUTI – combinação de longa duração. 
4- Madeira de EUCALIPTO CITRIODORA, 
2a. categoria, qualidade estrutural. 
5- Esforços atuantes : 
Pk = 5 kN (sobrecarga), e 
gk = 3 kN/m (permanente). 
 
 
 
Vd 
gk 
d =? 
Pk 
H
 =
 3
00
 
15
0 
SEÇÃO 
ELEVAÇÃO 
mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 33/59 
Solução 
a) Propriedades mecânicas do EUCALIPTO CITRIODORA : 
fc0m = 62,0 MPa = 6,20 kN/cm2 ; 
fc0k = 0,7. fc0m = 0,7. 6,20 = 4,34 kN/cm2 ; 
2
c
k0c
modd0c cm/kN74,14,1
34,4.56,0f.kf 

 ; 
fv0m = 10,7 MPa = 1,07 kN/cm2 ; 
fv0k = 0,54. fv0m = 0,54. 1,07 = 0,58 kN/cm2 ; 
2
V
k0V
modd0V cm/kN18,08,1
58,0.56,0f.kf 

 ; 
Ec,0,m = 18421 MPa = 1842,1 kN/cm2 ; 
Ec,0,ef = .kmod Ec,0,m = 0,56. 1842,1 = 1031,6 kN/cm
2 . 
 
b) combinação das ações : 
b.1) E.L.U.: kN7m/kN042,05.4,103,0.4,1Q.4,1g.4,1F kkd 

 
b.2) E.L.Uti.: Fd = .kN0,1cm/kN03,00,5.2,003,0F.F Q2G  
 
c) Esforços atuantes : 
Md = cm.kN5,9974
300.7
8
300.042,0
4
L.P
8
L.g 2d
2
d  . 
 
d) Tensões normais de flexão (ELU) : 
;f
W
M
d0c
d
Md  32
d.
2
d
64
d.
y
IW
3
4
X 

 ; 
;74,1f
32
d.
5,997
d0c3Md 
 d  18 cm 
a) Deformações : 
uef = ug + uP ; 
cm5,1
200
300
I.6,1031.48
300.0,5.2,0
I.6,1031.384
300.03,0.5u
34
ef  ; 
I ≥ 2408,27 cm4 ; 
mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 34/59 
I = 64
d. 4 = 2408,27 ; d  15 cm 
Resposta : d = 18 cm. 
 
Exercício 4.20 : (2O.TE-2008) : Flexão simples reta : 
Determinar o máximo valor do vão “L” da viga de madeira 
indicada nas figuras, sujeita à flexão simples reta, para que 
sejam respeitadas as condições de segurança. 
 Considerar : 
1- Critério da NBR-7190/1997. 
2- Dimensões indicadas em cm. 
3- ELU - Combinação normal. 
4- Madeira Dicotiledônea – CLASSE C-40, 2a. categoria, qualidade estrutural. 
5- Esforços atuantes : gk = 0,4 kN/m (permanente), qk = 2,4 kN/m (sobrecarga). 
Solução : 
a) Características mecânicas da Dicotiledônea C-60 : 
fc0,k = 40 MPa = 4,0 kN/cm2, 
2
d0c cm/kN6,14,1
0,4.56,0f  ; 
fV0,k = 6 MPa = 0,6 kN/cm2 ; 
2
d0V cm/kN19,08,1
6,0.56,0f  ; 
Ec0,m = 19.500 MPa = 1.950 kN/cm2 ; 
2
ef,0c cm/kN10921950.56,0E  . 
 
 b) Propriedades Geométricas da Seção Transversal : 
IX = 4
3
cm4,2109
12
15.5,7  ; 
WX = 3
22
cm25,281
6
15.5,7
6
h.b  . 
c) ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS : 
gk = 0,4 kN/m = 0,004 kN/cm ; 
 qk = 2,4 kN/m = 0,024 kN/cm. 
c.1) Verificação da segurança pelas Tensões de Flexão : 
gk 
L=? 
7,5 
15 
qk 
SEÇÃO 
ELEVAÇÃO 
mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 35/59 
Md = 
8
L.)024,0004,0(.4,1
8
L.q
8
L.g 22d2d  = 0,0049. L2 (kN. cm) 
6,1f
25,281
L.0049,0
W
M
d0c
2
d
d,t/c
  
L ≤ 303 cm. 
 c.2) Verificação da segurança pelas Tensões de Cisalhamento : 
Vd = 
2
L.)024,0004,0(.4,1
2
L.q
2
L.g dd  = 0,020 . L ; 
19,0
15.5,7
 L). ( 0,020.
2
3
h.b
V.
2
3 d
vd
  
 L ≤ 712 cm. 
 
d) ESTADO LIMITE de UTILIZAÇÃO : 
 gd = gk ; qd = 2 . qk 
 d.1) Verificação da flecha : 
200
L
4,2109.1092.384
L.024,0.5.20,0
4,2109.1092.384
L.04,0.5u
44
d
  
L ≤ 462 cm. 
 
e) RESPOSTA : 
LMAX = 300 cm. 
 
Exercício 4.21 : (Nv.Av. - 2008) Flexão simples reta : Verificar as condições de segurança da 
viga de madeira indicadas nas figuras. 
1) E.L.U. = Combinação normal. 
2) Critério da NBR-7190/1997. 
3) Dimensões em centímetros. 
4) Madeira DICOTILEDÔNEA C-40, 2a. categoria, qualidade estrutural. 
5) Esforços atuantes : 
gk = 1,5 kN/m (permanente), Pk = 1 kN (sobrecarga). 
Solução 
Md 
Vd 
20 
7,5 
SEÇÃO 
X 
ELEVAÇÃO 
gk 
Pk 
450 
Pk 
150 150 150 
mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 36/59 
a) propriedades mecânicas da DICOTILEDÔNEA C-40 : 
fcok = 40 MPa = 4,0 kN/cm2 ; 
2
c
k0c
modd0c cm/kN6,14,1
0,4.56,0f.kf 
 . 
fvok = 6 MPa = 0,6 kN/cm2 ; 
2
c
vok
modd0v cm/kN19,08,1
6,0.56,0f.kf 
 ; 
Ec,0,m = 19500 MPa = 1950 kN/cm2 ; 
Ec,0,ef = .kmod Ec,0,m = 0,56. 1950 = 1092kN/cm
2 . 
 
 b) Propriedades Geométricas da Seção Transversal : 
IX = 4
3
cm5000
12
20.5,7  ; 
 WX = 3
22
cm500
6
20.5,7
6
h.b  . 
 
c) Determinação dos esforços solicitantes de cálculo : 
 c.1) determinação do máximo esforço cortante : 
Vd,MAX = 




 1
2
450.
100
5,1.4,1 ; 
Vd,MAX = 6,13 kN. 
c.1) determinação do máximo momento fletor : 
Md,MAX = 6,13. 150 - 





2
150.
100
5,1.4,1
2
+ 





8
150.
100
5,1.4,1
2
; 
Md,MAX = 742,3 kN.cm . 
 
 d) Verificação das condições de segurança : 
 d.1) verificação da condição de segurança à flexão : 
2d0c
X
d
d,M
cm
kN60,1f48,1
500
6,741
W
M  . Verifica! 
d.2) verificação da condição de segurança ao cisalhamento : 
2d0v
d
vd
cm
kN19,0f06,0
20.5,7
13,6.
2
3
h.b
V.
2
3  . Verifica! 
d.3) verificação das deformações : 
gd 
Pd 
Mgd 
Pd 
150 75 
+ 
75 
150 
Vgd 
+ 
VP2d 
= 
MP2d 
MP1d 
= 
M
d,
M
A
X
 
V d
,M
A
X
 
+ 
mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 37/59 
;
5000.1092.2,28
450.0,1.2,0
5000.1092.384
450.015,0.5*
I.E.2,28
L.P.
I.E.384
L.g.5u
34
Xef
3
k
2
Xef
4
k
d






 
cm25,2
200
450
200
Lcm59,112,047,1ud  . Verifica! 
* Esta expressão refere-se à máxima flecha proporcionada por um par de cargas 
concentradas aplicadas nos terços do vão da viga. 
Conclusão : a viga suporta com segurança as cargas previstas. 
 
Exercício 4.22 : Flexão oblíqua : Verificar as condições de segurança da terça de madeira 
indicada nas figuras. 
1- Madeira dicotiledônea, Classe de Resistência C-30. 
2- Dimensões indicadas em centímetros. 
3- Critério da NBR-7190 / 1997. 
4- Cargas atuantes : 
gk = 0,80 kN/m2 (permanente= peso 
próprio + telhas), 
qk = 0,50 kN/m2 (sobrecarga). 
Solução 
a) Combinações de Ações : 
a.1) cargas atuantes na terça : 
 gk = 0,8 kN/m2 . 1,13 m = 0,904 kN/m = 0,00904 kN/cm ; 
 qk = 0,5 kN/m2 . 1,13 m = 0,565 kN/m = 0,00565 kN/cm . 
a.2) decomposição das ações nas direções X e Y : 
 gk,X = 0,00904 . cos 200 = 0,0085 kN/cm ; 
 gk,Y = 0,00904 . sen 200 = 0,0031 kN/cm ; 
 qk,X = 0,00565 . cos 200 = 0,0053 kN/cm ; 
 qk,Y = 0,00565 . sen 200 = 0,0020 kN/cm ; 
a.3) combinações de ações : 
 ELU : M + V : QQGGd F.F.F  
15 
120 
113 
113 
20o 
7,5 
113 113 
Planta telhado 
qk 
gk 
L = 200 
mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 38/59 
 ELUti : f : Q2Gd F.FF  ; onde 2,02  . 
 
b) Características geométricas da seção transversal : 
A = 7,5 . 15 = 112,5 cm2 ; IX = 
12
15.5,7
3
= 2109 cm4 ; IY = 
12
5,7.15
3
= 527 cm4 ; 
WX = b.h2 / 6 = 7,5.152/6 = 281 cm3 ; WY= h.b2 / 6 = 15.7,52/6 = 141 cm3 . 
 
c) Valores de cálculo das propriedades mecânicas : 
Tomamos os valores já determinados no exercício 3.1 : fco,d = 1,2 kN/cm2 ; 
fvo,d = 0,16 kN/cm2 ; Ec0,ef = 812 kN/cm2 . 
 
d) Verificação das tensões de flexão (ELU) : 
d.1) Eixo X : 
 cm.kN6,96
8
200 . 0,0053 . 1,4
8
200 . 0,0085 . 1,4 M
22
Xd,  . 
d.2) Eixo Y : 
 cm.kN7,35
8
200 . 0,0020 . 1,4
8
200 . 0,0031 . 1,4 M
22
Yd,  . 
d.3) Verificação : 
2
X
d,X
d,X,M cm/kN35,0281
6,96
W
M
 ; 
2
Y
d,Y
d,Y,M cm/kN25,0141
7,35
W
M
 ; 
140,0
20,1
25,0.5,0
20,1
35,0
f
.k
f wd
d,MY
M
wd
d,Mx 



 verifica ! 
136,0
20,1
25,0
20,1
35,0.5,0
ff
.k
wd
d,MY
wd
d,Mx
M 



 verifica ! 
 
e) Verificação das tensões de cisalhamento (ELU) : 
mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 39/59 
e.1) Eixo X : 
 kN93,1
2
002 . 0,0053 . 1,4
2
002 . 0,0085 . 1,4 V Xd,  ; 
e.2) Eixo Y : 
 kN72,0
2
002 . 0,0020 . 1,4
2
002 . 0,0031 . 1,4 V Yd,  ; 
e.3) Verificação : 
2
d,0V
d,X
d,X cm/kN16,0f03,015.5,7
93,1.
2
3
h.b
V
.
2
3
 verifica ! 
2
d,0V
d,Y
d,Y cm/kN16,0f01,05,7.15
72,0.
2
3
b.h
V
.
2
3
 verifica ! 
 
f) Verificação das flechas (ELUti) : 
f.1) Eixo X : 
.cm1
200
200
200
Lcm12,0
2109.812.384
002 . 0,0053 . 5.2,0
2109.812.384
002 . 0,0085 . 5 U
44
X  verifica ! 
f.2) Eixo Y : 
.cm1
200
200
200
Lcm17,0
527.812.384
002 . 0,0020 . 5.2,0
527.812.384
002 . 0,0031 . 5 U
44
Y  verifica ! 
 
g) Observação final : 
A norma NBR-6120, especifica, no item 2.2.1.4, que 
todo elemento isolado de coberturas (ripas, terças, 
barras de banzo superior de treliças), deve ser 
projetado, para receber, na posição mais 
desfavorável, uma carga vertical de 1 kN, além da 
carga permanente : 
g.1) Verificação das tensões de flexão (ELU) : 
g.1.1) Eixo X : 
 cm.kN3,125
4
200. )20 cos . (1 . 1,4
8
200 . 0,0085 . 1,4 M
02
Xd,  . 
100 
Qk=1 kN 
L = 200 
gk 
mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 40/59 
g.1.2) Eixo Y : 
 cm.kN7,45
4
002 . )20sen.(1 . 1,4
8
200 . 0,0031 . 1,4 M
02
Yd,  . 
g.1.3) Verificação : 
 2
X
d,X
d,X,M cm/kN45,0281
3,125
W
M
 ; 2
Y
d,Y
d,Y,M cm/kN32,0141
7,45
W
M
  
 151,0
20,1
32,0.5,0
20,1
45,0
f
.k
f wd
d,MY
M
wd
d,Mx 



 verifica ! 
 145,0
20,1
32,0
20,1
45,0.5,0
ff
.k
wd
d,MY
wd
d,Mx
M 



 verifica ! 
g.2) Verificação das tensões de cisalhamento (ELU) : 
g.2.1) Eixo X : 
 kN66,1
2
20 cos . 1
2
002 . 0,0085 . 1,4 V
0
Xd,  . 
g.2.2) Eixo Y : 
 kN61,0
2
02 sen . 1
2
002 . 0,0031 . 1,4 V
0
Yd,  . 
g.2.3) Verificação : 
 2d,0V
d,X
d,X cm/kN16,0f02,015.5,7
66,1.
2
3
h.b
V
.
2
3
 verifica ! 
 2d,0V
d,Y
d,Y cm/kN16,0f01,05,7.15
61,0.
2
3
b.h
V
.
2
3
 verifica ! 
g.3) Verificação das flechas (ELUti) : 
g.3.1) Eixo X : 
.cm1
200
200
200
Lcm12,0
2109.812.48
002 . 20 cos . 1.2,0
2109.812.384
002 . 0,0085 . 5 U
304
X  verifica ! 
g.3.2) Eixo Y : 
.cm1
200
200
200
Lcm18,0
527.812.48
002 .20 sen . 1.2,0
527.812.384
002 . 0,0031 . 5 U
304
Y  verifica ! 
 
mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 41/59 
Exercício 4.23 : Flexo-tração: Verificar a condição de segurança da barra horizontal da tesoura 
de madeira, indicada no exercício 4.3, supondo-se que não é possível apoiar o respectivo nó 
diretamente sobre o pilar. 
1- Madeira dicotiledônea, Eucalipto Dunnii. 
2- Dimensões indicadas em centímetros. 
3- Critério da NBR-7190 / 1997. 
4- Esforço normal no banzo superior : 
Nd = 18,2 kN (exercício 4.12) 
Solução 
a) Esforços gerados na barra : 
a.1) equilíbrio do nó : 
 Nd = 18,2 kN ; Rd = 18,2.sen 400 = 11,7 kN ; 
 Td = 18,2.cos 400 = 14,0 kN . 
a.2) momento fletor gerado na barra horizontal : 
 a.2.1) apoio deslocado : 
Md,1 = Rd.10 = 11,7 . 10 = 117 kN.cm ; 
a.2.2) excentricidade gerada pelo encaixe : 
Md,2 = Td. 2
75,3 = 14,0 . 1,875 = 26,25 kN.cm ; 
Md = Md,1 + Md,2 = 117,0 + 26,25 =143,25 kN.cm 
a.3) esforços gerados na barra horizontal : 
Td = 14,0 kN ; Md = 143,25 kN.cm : 
Observar que a seção sujeita ao momento fletor máximo, corresponde ao ponto 
onde se realizou o encaixe do banzo superior, ou seja, está enfraquecida em 25% 
de sua altura. 
 
b) Características mecânicas do Eucalipto Dunnii : 
Tomamos os valores já determinados no exercício 3.1 : 
ft0,d = 1,37 kN/cm2 ; Ec0,ef = 1009,6 kN/cm2 . 
 
15 
115 
Td 
Elevação 
Seção 
10 7,5 
Nd 
400 
10 
S 
S 
Nd 
90o 
Td 
Rd 
Nd 
40o 
Md 
10 
Rd 
115 
e/2 Td 
e 
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c) Verificação da segurança (equações 4.44 e 4.45) : 
Não há momento fletor em torno do eixo Y, razão pela qual, as expressões de 
verificação da segurança referidas ficam reduzidas à equação 4.44 : 
2
livre
d
d,Nt cm/kN17,025,11.5,7
0,14
A
T
 ; 
 22
X
d,X
d,X,M cm/kN91,0
6
25,11.5,7
25,143
W
M
 ; 
178,0
37,1
91,0
37,1
17,0
f
0
.)5,0k(
ff d,0t
d,MY
M
d,0t
d,Mx
d,0t
d,Nt 



 verifica ! 
 
Exercício 4.24 : Flexo-compressão: Verificar a condição de segurança do pilar de madeira, 
indicado nas figuras, sujeito ao esforço de compressão concentrado excêntrico Gk e à carga 
transversal distribuída do vento qwYk. 
1- Madeira dicotiledônea, Itaúba. 
2- Dimensões indicadas em centímetros.3- Critério da NBR-7190 / 1997. 
4- Esforço atuantes : 
Gk = 80,0 kN (permanente); eX = 5 cm ; 
 qwYk = 5 kN/m = 0,05 kN/cm (vento). 
Solução 
a) Combinação de ações (ELU) : 
QQGGd F.F.F  = wGwGwQGGd F.05,1F.4,1F.4,1.75,0F.4,1F..75,0F.F   
 
b) Esforços gerados no pilar : 
b.1) ação permanente (carga concentrada 
excêntrica Gk) : 
 Gd = 1,4 . Gk = 1,4 . 80 = 112 kN. 
 MG,X,d = Gd . eX = 112 . 5 = 560 kN.cm 
 
qwYk 15 
Elevação 
eX 
L=L0 = 300 
Gk 
qwYk 
Gk 
20 
eX 
Y 
Seção 
X 
Gd= 112 kN 
MYd = 590,6 kN.cm 
X 
MXd = 560 kN.cm 
15 
20 
Y 
Seção 
mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 43/59 
b.2) ação variável (carga distribuída qwYk) : 
 qwYd = 1,05 . 0,05 = 0,053 kN/cm ; 
Mw,y,d = qwYd . L2 / 8 = 0,053 . 3002 / 8 = 590,6 kN.cm . 
 
c) Propriedades mecânicas da Itaúba : 
fc0,d = 2,21 kN/cm2 ; Ec0,ef = 1266,3 kN/cm2 . 
 
d) Características geométricas do pilar : 
d.1) Eixo X : 
A = 20 . 15 = 300 cm2 ; 
IX = 12
15.20
3
= 5625 cm4 ; 
cm33,4
300
5625
A
Ii XX  ; 
69
33,4
300
i
L
X
0
X  ; 
3
22
X cm7506
15.20
6
h.bW  . 
d.2) Eixo Y : 
IY = 12
20.15
3
= 10000 cm4 ; 
cm77,5
300
10000
A
Ii YY  ; 
52
77,5
300
i
L
Y
0
Y  ; 
 3
22
Y cm10006
20.15
6
h.bW  . 
 
e) 1A. verificação : Verificação da resistência : 
e.1) determinação das tensões atuantes : 
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 2dNcd cm/kN37,0300
112
A
G
 ; 
 2
X
Xd
MXd cm/kN75,0750
560
W
M
 ; 
 2
Y
Yd
MYd cm/kN59,01000
3,596
W
M
 ; 
e.2) Verificação (equações 4.48 e 4.49) : 








d,0c
d,MY
M
d,0c
d,MX
2
d,0c
d,Nc
f
.k
ff

150,0
21,2
59,0.5,0
21,2
75,0
21,2
37,0 2





 verifica ! 








d,0c
d,MY
d,0c
d,MX
M
2
d,0c
d,Nc
ff
.k
f

146,0
21,2
59,0
21,2
75,0.5,0
21,2
37,0 2





 verifica ! 
f) 2A. verificação : Verificação da estabilidade (equações 4.4 a 4.11) : 
f.1) eixo X : 
  X = 69 (peça medianamente esbelta) : 
f.1.1) determinação de Md : 
cm5,0
30
15
30
h5
112
560
N
Me
d
d1
i  ; 
cm1
300
300
300
Le 0a  ; 
e1 = ei + ea = 5 + 1 = 6 cm ; 
kN2,781
300
5625.3,1266.
L
I.E.
F 2
2
2
0
eixoef,0c
2
E 



 ; 
cm7
1122,781
2,781.6
NF
F.ee
dE
E
1d 













 ; 
Md = Nd . ed = 112 . 7 = 784,5 kN.cm 
f.1.2) determinação das tensões Nd e Md : 
 2dNd cm/kN37,0300
112
A
N
 ; 
 2
X
d
Md cm/kN05,1750
5,784
W
M
 . 
mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 45/59 
f.1.3) verificação : 
 0,164,0
21,2
05,1
21,2
37,0
ff d,0c
Md
d,0c
Nd 
 verifica ! 
f.2) eixo Y : 
  Y = 52 (peça medianamente esbelta) : 
f.2.1) determinação de Md : 
!cm67,0
30
20
30
h3,5
112
6,590
N
Me
d
d1
i  
cm1
300
300
300
Le 0a  ; 
e1 = ei + ea = 5,3 + 1 = 6,3 cm ; 
kN7,1388
300
10000.3,1266.
L
I.E.
F 2
2
2
0
eixoef,0c
2
E 



 ; 
cm8,6
1126,1388
6,1388.3,6
NF
F.ee
dE
E
1d 













 ; 
Md = Nd . ed = 112 . 6,8 = 764,3 kN.cm . 
f.2.2) determinação das tensões Nd e Md : 
 2dNd cm/kN37,0300
112
A
N
 ; 2
Y
d
Md cm/kN76,01000
8,772
W
M
 . 
f.2.3) verificação : 
 0,151,0
21,2
76,0
21,2
37,0
ff d,0c
Md
d,0c
Nd 


 verifica ! 
 
Exercício 4.25 : (5o. TE/2005) Flexo-compressão: Para o elemento flexo-comprimido indicado 
nas figuras, verificar a condição de segurança. 
Dados : 
1) critério da NBR-7190/1997. 
2) dimensões em centímetros. 
3) madeira = CONÍFERA C-25 : 
 2a. Categoria = qualidade estrutural 
 fc,0,k = 25 MPa.; Ec,0,m = 8.500 MPa. 
10 
Y 
15 
 Seção 
 Transversal 
gkY 
Elevação 
 
L=
L o
X=
 L
oY
=2
20
 
Nk 
gkY 
Nk 
X 
mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 46/59 
4) ELU = Combinação Normal. 
5) Esforços aplicados : Nk = Ngk + Nqk; Ngk = 4 kN (permanente) ; 
 Nqk = 8 kN (sobrecarga) ; gkY = 3,0 kN/m (permanente). 
Solução : 
a) Combinação de ações (ELU) : 
MgdY = 1,4. 3,0. 10-2. 2202 / 8 = 254,1 kN.cm ; 
Nd = 1,4. (4 + 8) = 16,8 kN. 
 
b) Propriedades mecânicas da CONÍFERA C-25 : 
fco,k = 25 MPa = 2,5 kN/cm2 ; 
fco,d = 
4,1
5,2.56,0f.k
c
cok
mod 
 = 1,0 kN/cm2 ; 
Eco,m = 8500 Mpa = 850 kN/cm2 ; 
Ec0,ef = 850.56,0E.k commod  = 476 kN/cm
2 . 
 
c) Características geométricas do pilar : 
c.1) Eixo X : 
A = 10 . 15 = 150 cm2 ; 
IX = 
12
10.15
3
= 1250 cm4 ; 
cm89,2
150
1250
A
Ii XX  ; 
76
89,2
220
i
L
X
0
X  ; 
3
22
X cm2506
10.15
6
h.bW  . 
c.2) Eixo Y : 
IY = 
12
15.10
3
= 2812,5 cm4 ; 
cm33,4
150
5,2812
A
Ii YY  ; 
Nd= 16,8 kN 
MgYd = 254,1 kN.cm 
X 
10 
15 
Y 
Seção 
22
0 
mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 47/59 
51
33,4
220
i
L
Y
0
Y  ; 
 3
22
Y cm3756
15.10
6
h.bW  . 
Obs.: os dois eixos deverão ser verificados, pois somente um deles tem Momento fletor 
aplicado. 
 
d) 1A. verificação : Verificação da resistência : 
d.1) determinação das tensões atuantes : 
 2dNcd cm/kN11,0150
8,16
A
N
 ; 
 0MXd  ; 
 2
Y
Yd
MYd cm/kN68,0375
1,254
W
M
 . 
d.2) Verificação (equações 4.46 e 4.47) : 








d,0c
d,MY
d,0c
d,MX
M
2
d,0c
d,Nc
ff
.k
f

169,0
0,1
68,00.5,0
0,1
11,0 2





 verifica ! 
 
e) 2A. verificação : Verificação da estabilidade (equações 4.4 a 4.11) : 
e.1) eixo X : 
  X = 76 (peça medianamente esbelta) : 
e.1.1) determinação de Md : 
cm33,0
30
10
30
h0
8,16
0
N
Me
d
d1
i  ; 
cm73,0
300
220
300
Le 0a  ; 
e1 = ei + ea = 0,33 + 0,73 = 1,06 cm ; 
kN3,121
220
1250.476.
L
I.E.
F 2
2
2
0
eixoef,0c
2
E 



 ; 
mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 48/59 
cm23,1
8,163,121
3,121.06,1
NF
F.ee
dE
E
1d 













 ; 
Md = Nd . ed = 16,8. 1,23 = 20,7 kN.cm . 
e.1.2) determinação das tensões 
Nd
 e Md : 
2d
Nd cm/kN11,0150
8,16
A
N

; 
 
2
X
dX
Md cm/kN08,0250
7,20
W
M

. 
e.1.3) verificação : 
 0,119,0
0,1
08,0
0,1
11,0
ff d,0c
Md
d,0c
Nd 


 verifica ! 
e.2) eixo Y : 
  Y = 51 (peça medianamente esbelta) : 
e.2.1) determinação de Md : 
cm5,0
30
15
30
h13,15
8,16
1,254
N
Me
d
d1
i  ; 
cm73,0
300
220
300
Le 0a  ; 
e1 = ei + ea = 15,13 + 0,73 = 15,86 cm ; 
kN0,273
220
5,2812.476.
L
I.E.
F 2
2
2
0
eixoef,0c
2
E 



 ; 
cm9,16
8,16273
273.86,15
NF
F.ee
dE
E
1d 












 ; 
Md = Nd . ed = 16,8. 16,9 = 283,9 kN.cm 
e.2.2) determinação das tensões Nd e Md : 
 2dNd cm/kN11,0150
8,16
A
N
 ; 
 2
Y
d
Md cm/kN76,0375
9,283
W
M
 . 
e.2.3) verificação : 
 0,187,0
0,1
76,0
0,1
11,0
ff d,0c
Md
d,0c
Nd 


 verifica ! 
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Exercício 4.26 : (Nova Avaliação/2005) Verificar a condição de segurança da barra de 
madeira, flexo-comprimida, indicadas nas figuras. 
1) E.L.U. = Combinação normal. 
2) Critério da NBR-7190/1997. 
3) Dimensões em centímetros. 
4) Madeira DICOTILEDÔNEA C-60, 2a. categoria : 
5) Esforços atuantes : 
Nk = NGk + NQk ; 
NGk = 40 kN (permanente), eXG= 3 cm ; 
NQk = 50 kN (sobrecarga), eYQ= 2 cm ; e = excentricidades das cargas normais 
Solução : 
a) Combinação de ações (ELU) : 
Nd = 1,4. (40+50) = 126 kN , 
MGXd = 1,4. 40. 3 = 168 kN.cm , 
MQYd = 1,4. 50. 2 = 140 kN.cm . 
 
b) Propriedades mecânicas da dicotiledônea C-60 : 
fco,k = 60 MPa = 6,0 kN/cm2 ; 
fco,d = 
4,1
0,6.56,0f.k
c
cok
mod 
 = 2,4 kN/cm2 ; 
Eco,m = 24500 MPa = 2450 kN/cm2 ; 
Ec0,ef = 2450.56,0E.k commod  = 1372 kN/cm
2. 
 
c) Características geométricas da barra : 
A = 20. 15 = 300 cm2 . 
c.1) Eixo X : 
IX = 12
15.20
3
= 5625 cm4 ; 
cm33,4
300
5625
A
Ii XX  ; 
69
33,4
300
i
L
X
0
X  ; 
3
22
X cm7506
15.20
6
h.bW  . 
c.2) Eixo Y : 
20 
eYQ=2 
X 
Y 
15 
eXG=3 
L=
L o
=3
00
 
Nk 
Nk 
Seção Elevação 
mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 50/59 
IY = 12
20.15
3
= 10000 cm4 ; 
cm77,5
300
10000
A
Ii YY  ; 
52
77,5
300
i
L
Y
0
Y  ; 
 3
22
Y cm10006
20.15
6
h.bW  . 
 
d) 1A. verificação : Verificação da resistência : 
d.1) determinação das tensões atuantes : 
 2dNd cm/kN42,0300
126
A
N
 ; 
2
X
Xd
MXd cm/kN22,0750
168
W
M
 ; 
 2
Y
Yd
MYd cm/kN14,01000
140
W
M
 . 
d.2) Verificação: 








d,0c
d,MY
M
d,0c
d,MX
2
d,0c
d,Nc
f
.k
ff

115,0
4,2
14,0.5,0
4,2
22,0
4,2
42,0 2





 verifica ! 








d,0c
d,MY
d,0c
d,MX
M
2
d,0c
d,Nc
ff
.k
f

114,0
4,2
14,0
4,2
22,0.5,0
4,2
42,0 2





 verifica ! 
 
e) 2A. verificação : Verificação da estabilidade : 
e.1) eixo X : 
  X = 69 (peça medianamente esbelta) : 
e.1.1) determinação de Md : 
cm5,0
30
15
30
h33,1
126
168
N
Me
d
d1
i  ; 
cm1
300
300
300
Le 0a  ; 
e1 = e i+ ea = 1,33 + 1 = 2,33 cm; 
kN3,846
300
5625.1372.
L
I.E.
F 2
2
2
0
eixoef,0c
2
E 



 ; 
cm74,2
1263,846
3,846.33,2
NF
F.ee
dE
E
1d 













 ; 
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Md = Nd . ed = 126. 2,74 = 345 kN.cm . 
e.1.2) determinação das tensões Nd e Md : 
 2dNd cm/kN42,0300
126
A
N
 ; 
2
X
d
Md cm/kN46,0750
345
W
M
 . 
e.1.3) verificação : 
 0,137,0
4,2
46,0
4,2
42,0
ff d,0c
Md
d,0c
Nd 


 verifica ! 
e.2) eixo Y : 
  Y = 52 (peça medianamente esbelta) : 
e.2.1) determinação de Md : 
cm67,0
30
20
30
h11,1
126
140
N
Me
d
d1
i  ; 
cm1
300
300
300
Le 0a  ; 
e1 = ei + ea = 1,11 + 1 = 2,11 cm; 
kN5,1504
300
10000.1372.
L
I.E.
F 2
2
2
0
eixoef,0c
2
E 



 ; 
cm3,2
1265,1504
5,1504.11,2
NF
F.ee
dE
E
1d 













 ; 
Md = Nd . ed = 126. 2,3 = 290 kN.cm . 
e.2.2) determinação das tensões Nd e Md : 
 2dNd cm/kN42,0300
126
A
N
 ; 
2
Y
d
Md cm/kN29,01000
290
W
M
 . 
e.2.3) verificação : 
 0,130,0
4,2
29,0
4,2
42,0
ff d,0c
Md
d,0c
Nd 


 verifica ! 
 
Exercício 4.27 : (3o. TE/2008) Flexo-compressão: Verificar a condição de segurança da barra 
de madeira, flexo-comprimida, indicadas nas figuras. 
Considerar : 
1- Critério da NBR-7190/1997. 
2- Dimensões indicadas em cm. 
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3- ELU - Combinação normal. 
4- Madeira : CONÍFERA-C20, 
2a. categoria, qualidade estrutural. 
5- Esforços atuantes : 
NGk = 20 kN (permanente), eYG = 7,5 cm (Esforço Normal); 
MQk = 250 kN.cm (sobrecarga) (Momento Fletor). 
Solução 
a) Combinação de ações (ELU) : 
GGd F.N  = 1,4. 20 = 28 kN ; 
MQXd = 
Q
 . MXk = 1,4. 250 = 350 kN. cm ; 
MGYd = Nd. eYG = 28. 7,5= 210 kN. cm . 
 
b) Propriedades mecânicas da CONÍFERA C-20 : 
fco,k = 20 MPa = 2,0 kN/cm2 ; 
fco,d = 
4,1
0,2.56,0f.k
c
cok
mod


 = 0,8 kN/cm2 ; 
Eco,m = 3500 MPa = 350 kN/cm2 ; 
Ec0,ef = 350.56,0E.k commod  = 196 kN/cm
2. 
 
c) Características geométricas do pilar : 
c.1) Eixo X : 
A = 15 . 20 = 300 cm2 ; 
IX = 
12
20.15
3
= 10000 cm4 ; 
cm77,5
300
10000
A
Ii XX  ; 
66
77,5
380
i
L
X
0
X
 ; 
3
22
X cm10006
20.15
6
h.bW  . 
c.2) Eixo Y : 
Nd= 28 kN 
MGYd = 210 kN.cm 
X 
MQXd = 350 kN.cm 
20 
15 
Y 
SEÇÃO 
L=
L o
=3
80
 c
m
 
Nk 
Nk 
7,5 
MQX
k 
ELEVAÇÃO 
X 
Y 
eYG= 7,5cm 
15 
20
 
MQXk 
SEÇÃO 
Nk 
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IY = 
12
15.20
3
= 5625 cm4 ; 
cm33,4
300
5625
A
Ii YY  ; 
88
33,4
380
i
L
Y
0
Y
 ; 
 3
22
Y cm7506
15.20
6
h.bW  . 
 
d) 1A. verificação : Verificação da resistência : 
d.1) determinação das tensões atuantes : 
 2d
Nd cm/kN09,0300
28
A
N  ; 
 2
X
Xd
MXd cm/kN35,01000
350
W
M  ; 
 2
Y
Yd
MYd cm/kN28,0750
210
W
M  ; 
d.2) Verificação (equações 4.48 e 4.49) : 








d,0c
d,MY
M
d,0c
d,MX
2
d,0c
d,Nc
f
.k
ff

163,0
80,0
28,0.5,0
80,0
35,0
80,0
09,0
2





 verifica ! 








d,0c
d,MY
d,0c
d,MX
M
2
d,0c
d,Nc
ff
.k
f

158,0
08,0
28,0
80,0
35,0.5,0
80,0
09,0
2





 verifica ! 
 
e) 2A. verificação : Verificação da estabilidade (equações 4.4 a 4.11) : 
e.1) eixo X : 
  X = 66 (peça medianamente esbelta) : 
e.1.1) determinação de Md : 
cm67,0
30
20
30
h5,12
28
350
N
Me
d
d1
i
 ; 
cm27,1
300
380
300
Le 0a  ; 
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e1 = ei + ea = 12,5 + 1,27 = 13,77 cm ; 
kN8,133
380
10000.196.
L
I.E.F 2
2
2
0
eixoef,0c
2
E




 ; 
cm4,17
288,133
8,133.77,13
NF
F.ee
dE
E
1d














 ; 
Md = Nd . ed = 28. 17,4 = 487,3 kN.cm 
e.1.2) determinação das tensões Nd e Md : 
 2d
Nd cm/kN09,0300
28
A
N  ; 
 2
X
d