madeira capitulo 4

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 444 
SSSOOOLLLIIICCCIIITTTAAAÇÇÇÕÕÕEEESSS NNNAAASSS BBBAAARRRRRRAAASSS DDDAAASSS EEESSSTTTRRRUUUTTTUUURRRAAASSS DDDEEE MMMAAADDDEEEIIIRRRAAA 
 
444...111 GGGeeennneeerrraaallliiidddaaadddeeesss 
As barras das estruturas de madeira são solicitadas por esforços que devem ser 
determinados de acordo com os princípios da Estática das Construções, admitindo-se em geral 
a hipótese de comportamento elástico linear dos materiais. 
 
444...222 EEEllleeemmmeeennntttooosss sssooollliiiccciiitttaaadddooosss ààà tttrrraaaçççãããooo sssiiimmmpppllleeesss pppaaarrraaallleeelllaaa àààsss fffiiibbbrrraaasss111 
 No caso de peças tracionadas, deve ser observada a seguinte condição de segurança, 
relativa ao Estado Limite Último : 
d,0t
livre
d
d,0t fA
T
 equação 4.1 
 Nesta equação, o valor Td corresponde à solicitação de calculo de tração, obtida das 
Combinações de Ações estudadas no capítulo 2. 
 A área livre corresponde ao valor da área líquida da seção transversal, no ponto mais 
desfavorável da barra. A área líquida obtém-se descontando-se os vazios provocados por 
cortes na seção transversal, devido à colocação de pinos de ligação ou encaixes realizados. 
 A Norma Brasileira NBR-7190 permite, no seu item 7.1.1, que os furos das seções 
transversais das peças possam ser ignorados, desde que a redução da área resistente não 
supere 10% da área tracionada da peça íntegra. 
 Por fim, o valor da resistência de calculo à tração paralela às fibras, é determinado para 
a espécie de madeira que será utilizada, de acordo com o que se estudou no capítulo 3. 
 A Norma Brasileira NBR-7190 permite, no seu item 7.3.1, que se ignore a influência da 
eventual inclinação das fibras da madeira em relação ao eixo longitudinal da peça tracionada 
até o ângulo 06 . Para inclinações maiores, deve-se considerar a redução da resistência, 
através da fórmula de HANKINSON (equação 1.8). 
 
 
1 Estas referências constituem-se basicamente no texto da NBR-7190. 
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444...333 EEEllleeemmmeeennntttooosss sssooollliiiccciiitttaaadddooosss ààà cccooommmppprrreeessssssãããooo sssiiimmmpppllleeesss pppaaarrraaallleeelllaaa àààsss 
fffiiibbbrrraaasss222 
 As peças solicitadas à compressão simples paralela às fibras, devem levar em conta na 
sua verificação de segurança, aos Estados Limites Últimos, a possibilidade de ocorrência da 
flambagem. Para tanto, a NBR-7190 prescreve a determinação do grau de esbeltez  da peça, 
em relação aos dois eixos principais de inércia (X e Y), para determinação do procedimento 
que leva à sua verificação : 
i
L0 equação 4.2 
 Nesta expressão, L0 é o comprimento teórico de referência (comprimento de 
flambagem), considerado para as respectivas direções (ou eixos), e i o respectivo raio de 
giração. 
Não será permitido o emprego de peças comprimidas de seção cheia ou múltiplas, cujo 
comprimento teórico de referência L0 exceda 40 vezes a dimensão transversal correspondente. 
Nas peças tracionadas, este limite é de 50 vezes. 
Para elementos que têm ambas as suas extremidades indeslocáveis (rotuladas), o valor 
de L0 é igual ao comprimento efetivo L. 
 Para elementos que não têm esta indeslocabilidade garantida nas suas duas 
extremidades, considera-se, para efeito de calculo, que o elemento seja engastado em uma 
extremidade, e livre na outra, tomando-se então L0 = 2L. 
 Quaisquer outras hipóteses de vinculação nas extremidades dos elementos de madeira, 
não podem ser considerados. 
 O valor do raio de giração mínimo imin , deve ser estabelecido em função dos dois planos 
de rigidez do elemento. 
 Após a determinação do grau de esbeltez resultante, levando-se em conta inclusive a 
possibilidade da ocorrência de diferentes comprimentos L0 , nos respectivos planos de rigidez, 
a NBR-7190 determina os seguintes procedimentos para a verificação da segurança ao Estado 
Limite Último : 
 
 4.3.1) Peças curtas : Elementos com grau de esbeltez 40 : 
 A condição de segurança (Estado Limite Último) é expressa por : 
 
2 Estas referências constituem-se basicamente no texto da NBR-7190. 
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d,0c
d
Ndd,0c fA
N
 equação 4.3 
Nesta expressão, as tensões atuantes d,0c são determinadas através dos valores 
do esforço de compressão de calculo, obtido das Combinações de Ações estudadas 
no capítulo 2, e da área da seção transversal do elemento comprimido. 
 
 4.3.2) Peças medianamente esbeltas : Elementos com grau de esbeltez 8040   : 
A condição de segurança (Estado Limite Último) é expressa por : 
0,1
ff d,0c
Md
d,0c
Nd 
 equação 4.4 
Nesta expressão, os valores apontados correspondem ao item 4.3.1, sendo que Md 
corresponde às tensões de flexão de cálculo, determinada pela equação : 
W
Md
Md  equação 4.5 
O valor de W corresponde ao momento resistente da seção transversal, para o plano 
considerado. 
O valor de Md , é dado pela equação : 
Md = Nd . ed equação 4.6 
Por sua vez, ed é determinado pela expressão : 








dE
E
1d NF
F.ee , equação 4.7 
sendo : 
e1 = ei + ea , equação 4.8 
onde : 
300
Le 0a  , equação 4.9 
em que ea corresponde à excentricidade acidental devida às imperfeições 
geométricas do elemento, e a excentricidade inicial (ou de projeto) é : 
30
h
N
MM
N
Me
d
qd1gd1
d
d1
i 

 , equação 4.10 
Nesta expressão, M1d é o valor do momento atuante na situação de projeto. Por sua 
vez, h é o valor da altura da seção transversal correspondente ao plano de rigidez 
respectivo. 
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O valor da carga crítica FE é : 
2
0
eixoef,0c
2
E L
I.E.
F

 equação 4.11 
 4.3.3) Peças Esbeltas : Elementos com grau de esbeltez 14080  : 
A condição de segurança (Estado Limite Último) é expressa também por : 
0,1
ff d,0c
Md
d,0c
Nd 
 equação 4.4 
Nesta expressão, os valores apontados correspondem ao item 4.3.1, sendo que Md 
é calculado pela equação 4.5 . 
O valor de Md , é dado pela equação : 








dE
E
ef,1dd NF
F.e.NM , equação 4.12 
em que a excentricidade efetiva de 1a. ordem é determinada pela expressão : 
caic1ef,1 eeeeee  , equação 4.13 
onde ec é uma excentricidade suplementar de primeira ordem que representa a 
fluência da madeira : 
   1e.eee caigc  , equação 4.14 
sendo : 
 
 
 Qk21GkE
Qk21Gk
N.)(NF
N.)(N.
c




 equação 4.15 
onde : 
gd
d,g1
ig N
M
e  ,equação 4.16 
O coeficiente de fluência  , é dado pela tabela 18, que é uma reprodução da tabela 
15 da NBR-7190 : 
Classes de carregamento 
Classes de umidade 
(1) e (2) (3) e (4) 
permanente ou de longa 
duração 
0,8 2,0 
média duração 0,3 1,0 
curta duração 0,1 0,5 
Tabela 18 – Coeficientes de fluência  - NBR-7190 
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444...444 EEEllleeemmmeeennntttooosss sssooollliiiccciiitttaaadddooosss ààà cccooommmppprrreeessssssãããooo nnnooorrrmmmaaalll àààsss fffiiibbbrrraaasss333 
 As peças solicitadas à compressão simples normal às fibras, devem levar em conta a 
extensão do carregamento, medida paralelamente à direção das fibras, na verificação da 
segurança aos Estados Limites Últimos : 
 
 
 
 
Figura 22 – compressão localizada 
d,90c
d
d,90c fA
N
 equação 4.17 
onde : 
nd,0cd90,c .f.25,0f  equação 4.18 
 A extensão “c” do carregamento, medido na direção das fibras, define o valor de n , 
através da tabela 19, que é uma reprodução da tabela 13 da NBR-7190 : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Este artifício da norma, aumentando virtualmente a resistência da madeira, na verdade 
representa o aumento da capacidade da madeira de resistir a tensões de compressão 
normalmente às fibras, por mobilização das fibras vizinhas à área de contato. 
 A figura 46, no capítulo 6 deste trabalho, ilustra esta situação. 
 
3 Estas referências constituem-se basicamente no texto da NBR-7190. 
Extensão “c” da carga normal às fibras, 
medida paralelamente a estas (cm) 
n 
 1 2,00 
 2 1,70 
 3 1,55 
 4 1,40 
 5 1,30 
 7,5 1,15 
 10 1,10 
 15 1,00 
Tabela 19 – Valores de n - NBR-7190 
7,5 
R 
c 
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444...555 EEEllleeemmmeeennntttooosss sssooollliiiccciiitttaaadddooosss ààà cccooommmppprrreeessssssãããooo iiinnncccllliiinnnaaadddaaa eeemmm rrreeelllaaaçççãããooo àààsss 
fffiiibbbrrraaasss444 
 As peças solicitadas à compressão simples inclinada às fibras, devem levar em conta a 
expressão de HANKINSON, ressalvada a tolerância de até 6o, conforme previsto no item 7.2.9 
da NBR-7190. 
 
 
Figura 23 - Compressão inclinada em relação às fibras 
d,,c
d
d,,c fA
N
  equação 4.19 
 
 2d,90,c
2
d,0,c
d,90,cd,0,c
d,,c cos.fsen.f
f.f
f

 equação 1.8 
 
444...666 EEEllleeemmmeeennntttooosss sssooollliiiccciiitttaaadddooosss aaaooo ccciiisssaaalllhhhaaammmeeennntttooo555 
As peças solicitadas ao cisalhamento, devem levar em conta na verificação da segurança 
aos Estados Limites Últimos, a seguinte expressão : 
d,0vvd f equação 4.20 
 Na falta de determinação experimental específica, admite-se, de acordo com a NBR-
7190, que para as CONÍFERAS : 
d,0cd,0v f.12,0f  , equação 4.21 
e, para as DICOTILEDÔNEAS : 
d,0cd,0v f.10,0f  , equação 4.22 
 
444...777 EEEllleeemmmeeennntttooosss sssooollliiiccciiitttaaadddooosss ààà fffllleeexxxãããooo sssiiimmmpppllleeesss rrreeetttaaa666 
4.7.1) Vão de cálculo a considerar : 
Considera-se o vão teórico com o menor dos seguintes valores : 
a) distância entre eixos dos apoios. 
b) o vão livre acrescido da altura da seção transversal da peça no meio do vão, não 
se considerando acréscimo maior que 10 cm. 
 
4 Estas referências constituem-se basicamente no texto da NBR-7190. 
5 Estas referências constituem-se basicamente no texto da NBR-7190. 
6 Estas referências constituem-se basicamente no texto da NBR-7190. 
 
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4.7.2) Tensões Normais de Flexão (Estados Limites Últimos) : 
A condição de segurança será estabelecida mediante a verificação das seguintes 
expressões : 
d,0cd,1c f equação 4.23 
d,0td,2t f equação 4.24 
 
 
 
 
Figura 24 – Tensões de flexão na seção retangular 
 
Para a determinação das tensões máximas de bordo, empregam-se as expressões ; 
c
d
d,1c W
M
 equação 4.25 
t
d
d,2t W
M
 equação 4.26 
 
4.7.3) Estabilidade lateral de vigas de seção retangular (Estados Limites Últimos) : 
Em vigas sujeitas a instabilidade lateral por flambagem da região comprimida da 
seção transversal, a NBR-7190 não tem um critério estabelecido para a condição de 
segurança. Deverá ser utilizada uma teoria cuja validade tenha sido comprovada 
experimentalmente. 
No entanto, pode-se dispensar tal verificação quando forem satisfeitas as seguintes 
condições : 
a) Os apoios de extremidade da viga impedem a rotação de suas 
extremidades, em torno do eixo longitudinal da mesma. 
b) Existe um conjunto de elementos de travamento ao longo do comprimento 
“L” da viga, afastados entre si de uma distância não maior que “L1”, que 
também impedem a rotação dessas seções transversais em torno do eixo 
longitudinal da peça. 
O valor de “L1” pode ser determinado em função da largura “b” e da altura “h” 
da seção transversal : 
t 
c 
2 
1 
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d,0cM
ef,0c1
f.
E
b
L

 equação 4.27 
2
1
2
3
f
E
M
63,0
b
h
b
h
..
.26,0
1





 










 equação 4.28 
Nesta expressão, sendo o coeficiente de correção E = 4, e f = 1,4, resulta : 
2
1
2
3
M
63,0
b
h
b
h
.5,3





 






 equação 4.29 
Também se dispensa a verificação da estabilidade lateral, para as peças em 
que : 
d,0cM
ef,0c1
f.
E
b
L

 , equação 4.30 
desde que a verificação da equação 4.23 seja substituída por : 
M
1
ef,0c
d,1c
.
b
L
E








 equação 4.31 
 
4.7.4) Tensões Tangenciais de Cisalhamento (Estados Limites Últimos) : 
Nas vigas sujeitas à flexão com força cortante, a condição de segurança é expressa 
por : 
d,0vvd f equação 4.20 
Em vigas com seção retangular, de largura “b” e altura “h”, tem-se : 
h.b
V.
2
3
I.b
S.V dd
vd  equação 4.32 
onde “S” é o momento estático da semi-seção, e “I” o momento de inércia da seção 
completa. 
 
Duas situações especiais, relativamente à verificação das tensões de cisalhamento 
devem ser observadas : 
4.7.4.1) Cargas concentradas junto aos apoios diretos : 
Nas seções próximas aos apoios, em vigas de altura “h” que recebem cargas 
concentradas (a reação de apoio da viga), que produzem tensões de 
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compressão nos planos longitudinais, a uma distância a 2.h do eixo do apoio, 
o cálculo das tensões de cisalhamento pode ser feito com uma força cortante 
reduzida : 
h.2
a.VVred  equação 4.33 
4.7.4.2) Vigas entalhadas : 
Nas variações bruscas de seção transversal, devidas a entalhes, deve-se 
multiplicar a tensão de cisalhamento na seção mais fraca (de altura “h”), pelo 
fator 





1h
h , respeitada a restrição h1 > 0,75 . h , obtendo-se o seguinte valor : 







11
d
vd h
h.
h.b
V.
2
3
 equação 4.34 
 
 
 
Figura 25 – Entalhes em peças com h1 > 0,75 
 
No caso em que h1  0,75 . h , recomenda-se o emprego de parafusos 
verticais dimensionados à tração axial, para a totalidade da força cortante a ser 
transmitida, ou o emprego de mísulas como mostrada na figura 26 : 
 
 
 
 
Figura 26 - Entalhes em peças com h1  0,75 
Em qualquer circunstância, deve-se ter 5,0
h
h
1
 . 
 
4.7.5) Deformações nas vigas (Estados Limites de Utilização) : 
Nas vigas sujeitas à flexão, o aparecimento de deformações excessivas deve 
ser evitado, de tal modo, que os Estados Limites de Utilização não sejam atingidos. 
A condição de segurança neste caso é expressa por : 
limuti,d SS  equação 4.35 
 3 . (h - h1) 
h1 h h1 h 
h1 h h h1 
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Considera-se apenas as combinações de ações de longa duração (ver 2.6.2.1), 
levando-se em conta o Módulo de Elasticidade Efetivo Ec0,ef (equação 3.19). 
Os valores limites de deformações prescritos na NBR-7190 são : 
a) para construções correntes : 
uef = uG + uQ 





4.37 equaçãobalançosdos.100
1
4.36 equaçãovãosdos.200
1
 
As flechas devidas às ações permanentes podem ser parcialmente compensadas 
por contra-flechas u0 dadas na construção. Neste caso, na verificação da 
segurança, as flechas devidas às ações permanentes podem ser reduzidas de u0 
, mas não se considerando reduções superiores a Gu.3
2 . 
 
 
Figura 27– Contra-flechas em vigas de madeira 
 
b) para construções com materiais frágeis não estruturais : 
As combinações de ações a considerar são as de média ou curta duração, 
dependendo do rigor da segurança pretendida. 
Para as flechas totais : 
uef = uG + uQ 





4.39 equaçãobalançosdos.175
1
4.38 equaçãovãosdos.350
1
 
Para as flechas devidas apenas às ações variáveis : 
uQ 





4.41 equaçãobalançosdos.150
1
4.40 equaçãovãosdos.300
1
 
 
c) para construções especiais : 
Em construções especiais, tais como formas para concreto estrutural, 
cimbramentos, torres, etc, as deformações limites devem ser estabelecidas pelo 
proprietário da construção ou por normas especiais. 
 
Com relação às vibrações, nas construções de madeira de modo geral, devem 
ser adotadas disposições construtivas que as evitem. Em estruturas sobre as quais 
uef ulim uQ uG/3 
u0 
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o público pode caminhar, devem ser evitadas vibrações que causem desconforto 
aos usuários. 
Em construções de acesso regular de pessoas, a menor freqüência natural de 
vibração dos elementos da estrutura dos pisos não deve ser inferior a 8 Hz. 
Para construções correntes, admite-se uma flecha máxima de 15 mm causada 
pela vibração, na combinação de curta duração. 
 
444...888 EEEllleeemmmeeennntttooosss sssooollliiiccciiitttaaadddooosss ààà fffllleeexxxãããooo ooobbblllíííqqquuuaaa777 
 
 
 
 
 
Figura 28 – Flexão oblíqua 
São comuns os casos de flexão oblíqua em estruturas de telhados, dada a inclinação 
necessária para as mesmas. Deve-se observar : 
 
4.8.1) Vão de cálculo : 
Considera-se como estabelecido para flexão reta. 
 
4.8.2) Tensões Normais de Flexão (Estados Limites Últimos) : 
A condição de segurança será estabelecida mediante a verificação das seguintes 
expressões : 
1
f
.k
f wd
d,MY
M
wd
d,Mx 

 equação 4.42 
 1
ff
.k
wd
d,MY
wd
d,Mx
M 

 equação 4.43 
Nestas expressões, o valor do coeficiente de correção kM pode ser tomado : 
 para seções retangulares : kM = 0,5 equação 4.44 
para outras seções : kM = 1,0 equação 4.45 
 
 
7 Estas referências constituem-se basicamente no texto da NBR-7190. 
Fd 
Y X 
 
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4.8.3) Tensões Tangenciais de Cisalhamento (Estados Limites Últimos) : 
Considera-se como estabelecido para flexão reta, referido a cada um dos eixos X e 
Y, respectivamente. 
 
4.8.4) Deformações nas vigas (Estados Limites de Utilização) : 
 Procede-se como estabelecido para flexão reta, sendo que os limites estabelecidos 
anteriormente de flechas, podem ser verificados isoladamente para cada um dos eixos 
principais de flexão (eixos X e Y). 
 
444...999 EEEllleeemmmeeennntttooosss sssooollliiiccciiitttaaadddooosss ààà fffllleeexxxãããooo cccooommmpppooossstttaaa888 
4.9.1) Flexo-tração : 
 Em barras submetidas à flexo-tração, a condição de segurança é expressa pela mais 
rigorosa das duas expressões mostradas a seguir, aplicadas ao ponto mais solicitado da 
borda tracionada, considerando-se uma função linear para a influência das tensões 
devidas à força normal de tração. 
1
f
.k
ff d,0t
d,MY
M
d,0t
d,Mx
d,0t
d,Nt 

 equação 4.46 
 1
ff
.k
f d,0t
d,MY
d,0t
d,Mx
M
d,0t
d,Nt 

 equação 4.47 
Nestas expressões, o valor do coeficiente de correção kM pode ser tomado como 
indicado em 4.8.2. (equações 4.44 e 4.45). 
 
4.9.2) Flexo-compressão : 
 Em barras submetidas à flexo-compressão, duas são as verificações a serem feitas : 
1a.) Verificação da resistência : 
A condição de segurança é expressa pela mais rigorosa das duas expressões 
mostradas a seguir, aplicadas ao ponto mais solicitado da borda comprimida, 
considerando-se uma função quadrática para a influência das tensões devidas 
à força normal de compressão. 
1
f
.k
ff d,0c
d,MY
M
d,0c
d,MX
2
d,0c
d,Nc 






 
 equação 4.48 
 
8 Estas referências constituem-se basicamente no texto da NBR-7190. 
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1
ff
.k
f d,0c
d,MY
d,0c
d,MX
M
2
d,0c
d,Nc 






 
 equação 4.49 
Nestas expressões, o valor do coeficiente de correção kM pode ser tomado 
como indicado em 4.8.2. (equações 4.44 e 4.45). 
 
2a.) Verificação da estabilidade : 
Procede-se como feito em 4.3 : leva-se em conta a flambagem, considerando-
se o grau de esbeltez  , e adota-se uma excentricidade inicial ei estabelecida 
em função da equação 4.10. 
 
444...111000 DDDiiissspppooosssiiiçççõõõeeesss cccooonnnssstttrrruuutttiiivvvaaasss999 
 4.10.1) Disposições gerais 
Os projetos de estruturas de madeira devempropiciar uma definição clara do 
sistema estático adotado. A obrigatoriedade de tratamentos preservativos, a facilidade de 
escoamento de águas e arejamento das peças, assim como facilidade de inspeção e 
reparo são atributos a serem conferidos nas estruturas. 
 4.10.2) Dimensões mínimas das seções transversais : 
Nas peças principais isoladas, como vigas e barras longitudinais de treliças, a área 
mínima das seções transversais será de 50 cm2 e a espessura mínima de 5 cm. Nas 
peças secundárias, estes limites reduzem-se para 18 cm2 e 2,5 cm, respectivamente. 
No caso de peças principais múltiplas, a área mínima da seção transversal de cada 
elemento componente será de 35 cm2, e a espessura mínima de 2,5 cm. Nas peças 
secundárias múltiplas, estes limites reduzem-se a 18 cm2 e 1,8 cm, respectivamente. 
 
 4.10.3) Peças de seção circular : 
As peças de seção circular, sob a ação de solicitações normais ou tangenciais, 
podem ser consideradas como se fossem de seção quadrada, de área equivalente. As 
peças de seção circular variável podem ser calculadas como se fossem de seção 
uniforme, igual à seção situada a uma distância da extremidade mais delgada igual a 1/3 
do comprimento total, não se considerando, no entanto, um diâmetro superior a 1,5 vez o 
diâmetro nesta extremidade. 
 
9 Estas referências constituem-se basicamente no texto da NBR-7190.