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DisciplinaÁlgebra Linear II1.004 materiais8.152 seguidores
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para os conjuntos:
(a) x = 3 em R2; (b)
{
2x\u2212 3y + 5z = 1
x+ y = 1
em R3;
(c) x\u2212 2y = 1 em R3; (d) 3x\u2212 2z \u2212 5 = 0 em R3;
Ext 1.3:Determine se é ponto, reta ou plano:
(a) (1, 2, 1, 2, 1) + \u3008(0, 0, 0, 0, 0), (\u22121, 2, 1, 2, 1))\u3009;
(b) (1, 2, 1, 1) + \u3008(1, 2, 1, 3), (1, 2, 1, 4))\u3009;
(c) (1, 2, 1, 1) + \u3008(1, 1, 1, 1), (0, 2, 0, 2), (1, 3, 1, 3))\u3009;
(d) (2, 0, 2, 0) + \u3008(1, 2, 0, 0), (1, 1, 1, 0), (0, 0, 0, 0)\u3009;
(e) (0, 0, 0, 0) + \u3008(0, 0, 0, 0))\u3009;
(f) v + \u3008u,\u2212u, 3u\u3009 com u 6= 0.
1.4. EXERCÍCIOS DE INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA LINEAR 25
1.4.4 Desa\ufb01os
Des 1.1:Um truque de mágica bem conhecido é a fuga de uma caixa completamente fechada.
Vamos ver como isto é possível em R4.
No plano é impossível fugir de dentro de um quadrado sem atravessar uma das arestas. No
entanto, em R3, podemos fugir do quadrado subindo (na direção perpendicular ao quadrado);
andando paralelamente ao quadrado para fora dele; e descendo(na direção perpendicular ao
quadrado) retornando ao plano que contém o quadrado mas no lado de fora dele. Desta forma
saímos de dentro do quadrado sem atravessar nenhuma das arestas.
Utilizando esta ideia, considere o cubo C \u2282 R4 de\ufb01nido por C = {(x, y, z, 0) \u2208 R4; |x| \u2264
1, |y| \u2264 1, |z| \u2264 1}.
(a) Faça de\ufb01nição análoga em R3 do quadrado e esboce o conjunto.
(b) Descreva a parametrização de uma curva que comece em (0, 0, 0, 0) \u2208 C e termine
fora de C.
26 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA LINEAR
Cap\u131´tulo 2
Sistema Linear
Neste capítulo apresentamos:
(a) aplicações de sistemas lineares;
(b) o conjunto das matrizes e sua relação com vetores;
(c) operações elementares em matrizes e sistemas equivalentes;
(d) algoritmo da eliminação de Gauss de escalonamento de matrizes;
(e) como determinar se um sistema possui solução única, in\ufb01nitas soluções ou nenhuma
solução. Caso possua solução, qual é a solução (se única) ou a parametrização do
conjunto-solução (se in\ufb01nitas).
(f) interpretações do produto matriz-vetor implicando em diferentes interpretações de so-
luções de um sistema linear. Em particular interpretação geométrica da solução de
sistemas em qualquer dimensão.
2.1 Aplicações de Sistemas Lineares
Sistemas lineares aparecem em diversas aplicações na Física, Química, Engenharia e em pro-
blemas da própria Matemática. Vamos apresentar diversos exemplos que servem de motivação
para este estudo. O Exemplo ?? não sugere necessidade de muitas (milhares de) variáveis e
foi incluído somente para contrastar com os outros.
Exemplo 2.1 Há dois tipos de moeda indistinguíveis, exceto pelo peso. As de material X
pesam 10 g cada e as de material Y, 20 g cada. Se um conjunto de 100 moedas pesa 1.25
Kg, quantas são do material X?{
x + y = 100
10x + 20y = 1250
.
Exemplo 2.2 A combustão do propano produz dióxido de carbono e água. Encontre a, b, c
e d de forma a balancear a equação da reação: aC3H8 + bO2 \u2212\u2192 cCO2 + dH2O.
1
Versão 22.agosto.2012 07h
27
28 CAPÍTULO 2. SISTEMA LINEAR
Balanço de C: 3a = c, balanço de H: 8a = 2d, balanço de O: 2b = 2c + d. São 3
equações e 4 variáveis: \uf8f1\uf8f2\uf8f3
3a +0b \u22121c +0d = 0
8a +0b +0c \u22122d = 0
0a +2b \u22122c \u22121d = 0
.
Exemplo 2.3 Existe uma única parábola \u3b3 da forma y = ax2 + bx + c passando pelos
pontos (0, 1), (1, 3), (2, 4) e (3, 9)? Caso não exista, qual a parábola que melhor aproxima
estes pontos?
(0, 1) \u2208 \u3b3 \u21d2 1 = a(02) + b(0) + c
(1, 3) \u2208 \u3b3 \u21d2 3 = a(12) + b(1) + c
(2, 4) \u2208 \u3b3 \u21d2 4 = a(22) + b(2) + c
(3, 9) \u2208 \u3b3 \u21d2 9 = a(32) + b(3) + c
Obtemos um sistema com 4 equações e 3 variáveis (a, b, c):\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f3
0a +0b +1c = 1
1a +1b +1c = 3
4a +2b +1c = 4
9a +3b +1c = 9
.
Exemplo 2.4 Determine a função cúbica da forma f(x) = ax3 + bx2 + cx + d que melhor
aproxima a função cos(x) nos pontos ki com i = 1, . . . , N (N tão grande quanto se queira).
Observe o exemplo anterior para obter:\uf8f1\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f3
ak31 +bk
2
1 +ck1 +d = cos(k1)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
ak3N +bk
2
N +ckN +d = cos(kN)
.
Exemplo 2.5 Queremos determinar a distribuição de temperatura no interior da placa re-
presentada na Figura 2.1 sabendo a temperatura em volta desta placa, conforme indicado na
\ufb01gura. Para isto vamos utilizar um princípio físico que garante (de forma aproximada) que a
temperatura em um vértice é igual a média das temperaturas dos quatro vértices mais próxi-
mos. Deste modo, a temperatura a por exemplo é igual a (20 + 25 + b+ d)/4. Procedendo
desta forma obtemos 6 equações e 6 variáveis (a, b, c, d, e, f):\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
4a\u2212 b\u2212 d = 45
4b\u2212 a\u2212 c\u2212 e = 15
4c\u2212 b\u2212 f = 25
4d\u2212 e\u2212 a = 55
4e\u2212 b\u2212 d\u2212 f = 20
4f \u2212 c\u2212 e = 35
.
Observação 2.1 Porque Resolver Sistema com muitas equações/variáveis?
No Exemplo 2.4 podemos ter N (o número de pontos) tão grande quanto se queira. No
Exemplo 2.5 poderíamos utilizar, ao invés de uma malha 4 × 5, uma malha 100 × 100
(em torno de 10 mil variáveis). Ou então considerar a distribuição de calor em uma peça
sólida, com três dimensões espaciais. Neste caso, utilizando um malha de 100×100×100,
chegamos a cerca de 1 milhão de variáveis.
Surge desta forma, naturalmente, a resolução de sistemas com muitas equações e muitas
variáveis.
2.1. APLICAÇÕES DE SISTEMAS LINEARES 29
25o
15o
30o
20o
20o 25o
15o 20o
10o 15o
a
b
c
d
e
f
Figura 2.1: Placa Aquecida
Exemplo 2.6 Determinar o \ufb02uxo de carros em ruas faz parte do planejamento urbano de
uma cidade. Outros \ufb02uxos importantes são de água, corrente elétrica, mercadoria, ou bytes
(internet). Nesses sistemas existem vias (ruas, canos, estradas ou \ufb01os) que transportam estes
\ufb02uxos e que devem ser planejados de forma a suportar as capacidades. Estes problemas são
modelados por sistemas lineares. Consulte livros de álgebra linear ou Wikipedia para detalhes
sobre estes modelos.
Exemplo 2.7 Foram realizadas medições de dados bidimensionais (por exemplo distância
percorrida e consumo de combustível de um automóvel) obtendo-se N pontos (xi, yi) no
plano. Sabendo-se que a relação deve ser linear, qual a equação da reta que melhor aproxima
esta relação?
Precisamos determinar a, b \u2208 R tal que a reta y = ax+ b passe o mais perto possível (em
sentido a ser precisado) de todos os pontos (xi, yi), como indicado na Figura 2.2. A resposta
é dada através do chamado método de mínimos quadrados (veja Seção 5.3 da p.143), que
busca solução aproximada (com menor erro) do sistema com 2 variáveis (a, b) e N equações:\uf8f1\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f3
ax1 + b = y1
.
.
. =
.
.
.
axN + b = yN .
x
y
Figura 2.2: Reta Aproximada
Exemplo 2.8 O vetor (0, 6, 10) é combinação linear de (1, 2, 3), (2, 1, 1) e (4,\u22121,\u22123)?
30 CAPÍTULO 2. SISTEMA LINEAR
Precisamos saber existem \u3b1, \u3b2, \u3b3 tais que
\u3b1(1, 2, 3) + \u3b2(2, 1, 1) + \u3b3(4,\u22121,\u22123)
= (\u3b1, 2\u3b1, 3\u3b1) + (2\u3b2, \u3b2, \u3b2) + (4\u3b3,\u2212\u3b3,\u22123\u3b3)
= (\u3b1 + 2\u3b2 + 4\u3b3, 2\u3b1 + \u3b2 \u2212 \u3b3, 3\u3b1 + \u3b2 \u2212 3\u3b3)
= (0, 6, 10).
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
1\u3b1 +2\u3b2 +4\u3b3 = 0
2\u3b1 +1\u3b2 \u22121\u3b3 = 6
3\u3b1 +1\u3b2 \u22123\u3b3 = 10
Destes exemplos concluímos que:
\u2022 sistemas lineares modelam problemas bem distintos entre si;
\u2022 problemas da Álgebra Linear recaem na resolução de sistemas lineares de modo que
as técnicas para resolvê-los nos acompanharão por todo o curso;
\u2022 facilmente os sistemas podem ter milhares de variáveis \ufffd neste caso a teoria será
fundamental para se entender as soluções que serão geradas por softwares de com-
putação cientí\ufb01ca.
2.2 Matrizes e Vetores do Rn
De\ufb01nição 2.1 (matriz) Uma matriz A sobre um conjunto K (neste texto sempre K = R,
mas pode-se ter K = C,Q,Z,N etc.) é um arranjo num retângulo m× n (m linhas e n
colunas) de mn elementos aij \u2208 K (i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , n):
A =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 a11 · · · a1n..
.
.
.
.
am1 · · · amn
\uf8f9\uf8fa\uf8fb .
Escrevemos também que A = (aij), onde o número de linhas e colunas \ufb01ca subentendido
pelo contexto.
Observação 2.2 Para lembrar da convenção que matriz m× n signi\ufb01ca m linhas e n
colunas observe que quando