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DisciplinaÁlgebra Linear II918 materiais8.046 seguidores
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queremos localizar uma letra numa página (arranjo retangular)
falamos que ela está na linha m, coluna n: é natural dizer a linha primeiro.
De\ufb01nição 2.2 (espaço das matrizes) Denotamos porMm×n (Mm×n(K) seria mais pre-
ciso) o conjunto das matrizes sobre K = R com m linhas e n colunas.
2.3. INTERPRETAÇÃO DE SISTEMAS EM R,R2 E R3 31
Vetor como Matriz com uma Coluna
Vimos na De\ufb01nição 1.1 da p.1 que um vetor u \u2208 Rn é representado por u =
(a1, a2, . . . , an\u22121, an). Podemos representar o mesmo vetor u como um elemento de
Mn×1 (matrizes com uma única coluna) por
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
a1
a2
.
.
.
an\u22121
an
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb.
Faremos esta identi\ufb01cação entre vetores e matrizes com uma coluna (veja Lema 4.50 da
p.122): Rn \u223c Mn×1. É fácil ver que esta identi\ufb01cação é uma bijeção entre os dois
conjuntos. Por exemplo, determinamos o mesmo vetor v \u2208 R4 por v = (a, b, c, d) (uso
correto) ou v =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
a
b
c
d
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb (é um abuso de notação pois um vetor é uma n-upla e não uma
matriz coluna).
Observação 2.3 Alguns livros de\ufb01nem vetor do Rn como uma matriz com uma coluna.
Existem 2 problemas nessa abordagem:
(a) pela Seção 4.7 da p.119 vemos que o mesmo vetor, dependendo da base escolhida, será
representado por uma matriz coluna distinta.
(b) o Rn é o produto cartesiano de R por ele mesmo n vezes, o que implica que seus
elementos são n-uplas de elementos de R.
Um vetor pode ser identi\ufb01cado com uma matriz com uma linha \ufffd faremos isto ocasional-
mente para interpretar o produto matriz vetor \ufffd mas a convenção utilizada em todos os
livros é como uma matriz com uma coluna.
2.3 Interpretação de Sistemas em R,R2 e R3
Vamos discutir e interpretar geometricamente soluções de sistemas lineares em R (reta),
R2 (plano) e R3 (espaço). Na Seção 2.8 da p.56 retomamos a interpretação geométrica,
generalizando-a para Rn.
2.3.1 Na Reta (R)
O sistema mais simples que existe é o sistema 1 × 1 (1 variável e 1 equação): determine
x \u2208 R tal que: {
ax = b .
Para resolvê-lo, consideramos três casos:
(a) se a 6= 0 então x = a\u22121b: sistema com solução única;
(b) se a = b = 0 então qualquer x \u2208 R é solução: sistema com in\ufb01nitas soluções;
(c) se a = 0 e b 6= 0 então nenhum x \u2208 R é solução: sistema sem solução.
No ensino médio aprendemos a generalizar esta análise para sistemas 2 × 2 e 3 × 3 da
forma Ax = b, com b \u2208 R2 ou R3. Se det(A) 6= 0 (similar a condição a 6= 0 acima), então
32 CAPÍTULO 2. SISTEMA LINEAR
existe solução única x = A\u22121b. Caso contrário, dependendo de condições que relacionam
A e b, o sistema possui in\ufb01nitas soluções ou não existe solução.
Observação 2.4 Classi\ufb01camos os sistemas lineares como sem solução, com solução
única ou com in\ufb01nitas soluções. No ensino médio utiliza-se outro vocabulário (que não
utilizaremos):
\u2022 sem solução: incompatível ou impossível ou inconsistente;
\u2022 com solução: compatível ou possível ou consistente;
\u2022 com solução única: (compatível ou consistente ou possível e) determinado
\u2022 com in\ufb01nitas soluções: (compatível ou consistente ou possível e) indeterminado.
Observação 2.5 É utilizado como sinônimo de variável o termo incógnita.
2.3.2 No Plano (R2)
No sistema
{
a11x+ a12y = b1 (r1)
a21x+ a22y = b2 (r2),
cada equação representa uma reta (r1 e r2). Re-
solver o sistema equivale a buscar interseções destas retas. Por outro lado o sistema pode ser
escrito como
x
[
a11
a21
]
+ y
[
a12
a22
]
=
[
b1
b2
]
.
De\ufb01nindo vetores
v1 =
[
a11
a21
]
,v2 =
[
a12
a22
]
,b =
[
b1
b2
]
,
resolver o sistema corresponde a determinar se existem x, y \u2208 R tais que
xv1 + yv2 = b,
ou seja determinar se b é combinação linear de v1 e v2. Na linguagem de espaço gerado,
queremos saber se
b \u2208 \u3008v1,v2\u3009 .
Interpretações da Solução de Sistema 2× 2
(a) Interseção de 2 retas (interpretação geométrica).
(b) O vetor \ufffdlado direito\ufffd do sistema está no espaço gerado pelas colunas da matriz do
sistema (interpretação algébrica).
Exemplo 2.9 (solução única) Considere o sistema
{
1x +1y = 2 (r1)
1x \u22121y = 0 (r2) .
De\ufb01na v1 =
[
1
1
]
,v2 =
[
1
\u22121
]
,b =
[
2
0
]
. A Figura 2.3 apresenta as duas interpreta-
ções para a solução deste sistema, que possui solução única igual ao ponto (1, 1): no lado
esquerdo a interseção de duas retas, no lado direito observe que b é combinação linear única
de v1 e v2 (mais exatamente, neste caso b = 1v1 + 1v2). Assim b \u2208 \u3008v1,v2\u3009.
2.3. INTERPRETAÇÃO DE SISTEMAS EM R,R2 E R3 33
x
y
(2, 0)
r1
r2
(0, 2)
(0, 0)
(1, 1)
x
y
v1
v2
b
Figura 2.3: Solução Única
Exemplo 2.10 (sem solução) Considere o sistema
{
1x \u22122y = 2 (r1)
\u22122x +4y = 2 (r2) .
De\ufb01na v1 =
[
1
\u22122
]
,v2 =
[ \u22122
4
]
,b =
[
2
2
]
. A Figura 2.4 apresenta as duas inter-
pretações para a solução deste sistema, que é sem solução: no lado esquerdo duas retas
paralelas (portanto sem interseção), no lado direito observe que b não é combinação linear de
v1 e v2 pois ambos estão na mesma reta. Portanto qualquer combinação deles \ufb01cará nesta
mesma reta. Assim b 6\u2208 \u3008v1,v2\u3009.
x
y
r1
(\u22121, 0)
(0, 1/2)
r2
(2, 0)
(0,\u22121)
x
y
v1
v2
b
Figura 2.4: Sem Solução
Exemplo 2.11 (in\ufb01nitas soluções) Considere o sistema
{
1x \u22122y = 2 (r1)
\u22122x +4y = \u22124 (r2) .
De\ufb01na v1 =
[
1
\u22122
]
,v2 =
[ \u22122
4
]
,b =
[
2
\u22124
]
. A Figura 2.5 apresenta as duas
interpretações para a solução deste sistema, que possui in\ufb01nitas soluções: no lado esquerdo
duas retas coincidentes, no lado direito observe que b pode ser escrito de in\ufb01nitas formas
como combinação linear de v1 e v2 pois os três estão na mesma reta. Por exemplo, b =
0v1 \u2212 v2 = 2v1 + 0v2 = v1 \u2212 1/2v2. O conjunto-solução nesse caso será (veri\ufb01que!)
{(0, 2) + t(1,\u22121) | t \u2208 R}. Na linguagem do Capítulo 1, o conjunto-solução é a reta
(0, 2) + \u3008(1,\u22121)\u3009. Assim b \u2208 \u3008v1,v2\u3009.
Exemplo 2.12 (sem solução) Considere o sistema
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
1x +1y = 2 (r1)
0x +1y = 0 (r2)
1x +0y = 0 (r3)
.
34 CAPÍTULO 2. SISTEMA LINEAR
x
y
r1 = r2
(2, 0)
(0,\u22121)
x
y
v1
v2
b
Figura 2.5: In\ufb01nitas Soluções
De\ufb01na v1 =
\uf8ee\uf8f0 11
0
\uf8f9\uf8fb ,v2 =
\uf8ee\uf8f0 10
1
\uf8f9\uf8fb ,b =
\uf8ee\uf8f0 20
0
\uf8f9\uf8fb . A Figura 2.6 apresenta a interpretação
geométrica para a solução deste sistema, que é sem solução: são três retas que não se
interceptam no mesmo ponto. Observe que b 6\u2208 \u3008v1,v2\u3009 (porque? prove isso).
r2 x
r3
yr1
(2, 0)
(0, 2)
Figura 2.6: Sem Solução
Vamos fazer um resumo do que \ufb01zemos do ponto de vista geométrico. Como cada equação
da forma ax+ by = c representa uma reta em R2, um sistema com 2 equações corresponde,
geometricamente, a um dos três casos:
(a) 2 retas (não-paralelas e não coincidentes) se interceptando num ponto: solução
única, conjunto-solução é um ponto;
(b) 2 retas paralelas não-coincidentes: sem solução, conjunto-solução é vazio;
(c) 2 retas coincidentes: in\ufb01nitas soluções, conjunto-solução é uma reta.
Vamos ver, de forma sistemática, todas interpretações geométricas de um sistema com 3
equações em R2. Convidamos o leitor a fazer os desenhos correspondentes.
Partindo de 2 retas r1 e r2 não-paralelas e não-coincidentes, considere a ponto P = r1\u2229r2
(interseção das retas):
(a) terceira reta contém o ponto P : solução única, conjunto-solução é um ponto;
(b) terceira reta não contém o ponto P : sem solução, conjunto-solução é vazio. Neste
caso as 3 retas formam um triângulo (faça uma \ufb01gura!);
Partindo de 2 retas paralelas não-coincidentes:
(c) independente da posição da terceira reta: sem solução, conjunto-solução é vazio.
2.3. INTERPRETAÇÃO DE SISTEMAS EM R,R2 E R3 35
Partindo de 2 retas coincidentes r1 = r2:
(d) terceira reta intercepta r1 mas não é coincidente: solução única, conjunto-solução
é um ponto;
(e) terceira reta é coincidente a r1: in\ufb01nitas soluções, conjunto-solução