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DisciplinaÁlgebra Linear II1.004 materiais8.147 seguidores
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é uma reta.
2.3.3 No Espaço (R3)
Nesta seção convidamos o leitor a veri\ufb01car cada interpretação representando os planos com
folhas de papel, as mãos, paredes e chão da sala, etc. Isto é muito importante para
desenvolver a intuição para o que se segue. Ajuda também representar o plano x = y em R3
como a reta x = y em R2 e colocar o eixo z saindo do papel.
A equação ax+ by + cz = d representa um plano em R3. Assim determinar a solução de
um sistema com 2 equações corresponde, geometricamente, a determinar a interseção de 2
planos. As possibilidades são:
(a) 2 planos (não-paralelos e não coincidentes) se interceptando numa reta: in\ufb01nitas
soluções, conjunto-solução é uma reta;
(b) 2 planos paralelos não-coincidentes: sem solução, conjunto-solução é vazio.
(c) 2 planos coincidentes: in\ufb01nitas soluções, conjunto-solução é um plano.
Vamos ver, de forma sistemática, todas interpretações geométricas de um sistema com 3
equações em R3. Partindo de 2 planos \u3a01 e \u3a02 não-paralelos e não-coincidentes, considere a
reta r = \u3a01 \u2229 \u3a02 (interseção dos planos):
(a) terceiro plano não é paralelo à reta r: solução única, conjunto-solução é um ponto;
(b) terceiro plano é paralelo não coincidente à reta r: sem solução, conjunto-solução é
vazio. Neste caso os 3 planos formam um prisma triangular (tente visualizar isto!);
(c) terceiro plano contém a reta r: in\ufb01nitas soluções, conjunto-solução é a reta r;
Partindo de 2 planos paralelos não-coincidentes:
(d) independente da posição do terceiro plano: sem solução, conjunto-solução é vazio.
Partindo de 2 planos coincidentes \u3a01 = \u3a02:
(e) terceiro plano intercepta \u3a01 mas não é coincidente: in\ufb01nitas soluções, conjunto-
solução é uma reta;
(f) terceiro plano é coincidente a \u3a01: in\ufb01nitas soluções, conjunto-solução é um plano.
Esta análise pode ser feita para 4 equações também. Na Seção 2.8 da p.56 apresentamos
a interpretação geométrica de sistemas em Rn com qualquer número de variáveis. Note que
no R3 o conjunto-solução pode ser in\ufb01nito de 2 formas: um plano ou uma reta.
36 CAPÍTULO 2. SISTEMA LINEAR
2.4 Operações Elementares e Sistemas Equivalentes
De\ufb01nição 2.3 (matriz de coe\ufb01cientes, matriz aumentada e lado direito)
Considere o sistema, com m equações em n variáveis:\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
a11x1 +a12x2 · · · +a1nxn = b1
a21x1 +a22x2 · · · +a2nxn = b2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
am1x1 +am2x2 · · · +amnxn = bm
De\ufb01nimos como matriz de coe\ufb01cientes, matriz aumentada (ou ampliada) e o lado direito do
sistema acima as matrizes indicadas na \ufb01gura abaixo.
matriz aumentada ou ampliada\ufe37 \ufe38\ufe38 \ufe37\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
m1 am2 · · · amn\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
matriz de coe\ufb01cientes
b1
b2
.
.
.
bm
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb
\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
lado direito
Note que a matriz de coe\ufb01cientes possuim linhas e n colunas que correspondem asm equações
em n variáveis do sistema.
Observação 2.6 É comum o abuso de linguagem \ufffdconsidere o sistema A\ufffd, onde A é a
matriz aumentada do sistema a ser considerado.
Quando a matriz de coe\ufb01cientes possui algumas formas particulares, o sistema se torna
extremamente fácil de ser resolvido. O primeiro caso é quando a matriz de coe\ufb01cientes é
diagonal: a solução do sistema é imediata.
De\ufb01nição 2.4 (matriz diagonal) A é diagonal se aij = 0 para todo i 6= j.
Exemplo 2.13 São matrizes diagonais:
\uf8ee\uf8f0 \u221210 0 00 3 0
0 0 \u22125
\uf8f9\uf8fb ,
\uf8ee\uf8f0 1 00 3
0 0
\uf8f9\uf8fb ,
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
3 0 0 0
0 \u22125 0 0
0 0 0 0
0 0 0 \u22123
0 0 0 0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb .
Exemplo 2.14 Resolva o sistema
\uf8ee\uf8f0 3 0 0 50 \u22122 0 4
0 0 1 \u22122
\uf8f9\uf8fb
.
Solução: A matriz ampliada corresponde ao sistema:
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
3x1 = 5
\u22122x2 = 4
x3 = \u22122
. É fácil ver que o
conjunto-solução é
{(
5
3
,\u22122,\u22122
)}
.
2.4. OPERAÇÕES ELEMENTARES E SISTEMAS EQUIVALENTES 37
Outro caso fácil é quando matriz de coe\ufb01cientes é triangular.
De\ufb01nição 2.5 (matriz triangular superior) A é triangular superior se aij = 0 para
todo i > j.
Exemplo 2.15 É triangular superior:
\uf8ee\uf8f0 \u22121 1 70 3 2
0 0 \u22121
\uf8f9\uf8fb ,
\uf8ee\uf8f0 5 20 3
0 0
\uf8f9\uf8fb ,
\uf8ee\uf8f0 3 12 0 \u221230 \u22125 3 0
0 0 5 \u22121
\uf8f9\uf8fb .
Observação 2.7 Existe de\ufb01nição similar de matriz triangular inferior, cuja de\ufb01nição
deixamos para o leitor.
Quando a matriz é triangular superior a solução é calculada através da substitui-
ção para trás. Começando-se da última equação, onde se determina a última variável,
determina-se cada variável, sucessivamente, de trás para frente.
Exemplo 2.16 Resolva o sistema
\uf8ee\uf8f0 3 1 3 20 \u22122 1 \u22125
0 0 2 \u22122
\uf8f9\uf8fb .
Solução: A matriz ampliada corresponde ao sistema:
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
3x1 +x2 +3x3 = 2
\u22122x2 +x3 = \u22125
2x3 = \u22122
. Fa-
zendo a Substituição para trás, calculamos primeiro x3 da última equação. Substituímos
seu valor na segunda equação e obtemos x2. Finalmente, substituindo x1 e x2 na primeira
equação, calculamos x1:
2x3 = \u22122 \u21d2 x3 = \u22121
\u22122x2 +(\u22121) = \u22125 \u21d2 x2 = 2
3x1 +(2) +3(\u22121) = 2 \u21d2 x1 = 1
.
De\ufb01nição 2.6 (sistemas equivalentes) Dois sistemas (nas mesmas variáveis) são equi-
valentes se têm o mesmo conjunto-solução.
Exemplo 2.17 Os dois sistemas da Figura 2.7 são equivalentes, embora com número de
equações distintas, pois possuem o mesmo conjunto-solução {(1, 1)}.
A estratégia para Solução de Sistemas Lineares é transformar um sistema qualquer num
sistema equivalente (mesmo conjunto-solução) \ufffdfácil\ufffd:
\u2022 na forma escalonada (\ufffdtipo\ufffd triangular superior, ver De\ufb01nição 2.10 da p.41) ou
\u2022 na forma totalmente escalonada (\ufffdtipo\ufffd diagonal, ver De\ufb01nição 2.12 da p.42).
Para isto precisamos ver como gerar sistemas equivalentes utilizando as operações ele-
mentares, que são efetuadas na matriz aumentada de um sistema. Estas operações podem
ser vistas também como operações nas equações do sistema, embora quando efetuamos os
cálculos fazemos as operações diretamente na matriz aumentada.
38 CAPÍTULO 2. SISTEMA LINEAR
[
1 1 2
1 \u22121 0
] \uf8ee\uf8f0 1 2 31 \u22121 0
3 1 4
\uf8f9\uf8fb
(2, 0)
(0, 2)
(1, 1)
(3, 0)
(
0,
3
2
)
(1, 1)
(
4
3
, 0
)
Figura 2.7: Sistemas equivalentes
De\ufb01nição 2.7 (operações elementares) São operações elementares numa matriz (li
é a i-ésima linha):
(a) trocar a ordem das linhas: (denotado li \u2194 lj):\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
.
.
.
li
.
.
.
lj
.
.
.
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb \u223c
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
.
.
.
lj
.
.
.
li
.
.
.
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb
(b) multiplicar uma linha por k 6= 0: (denotado li \u2190 kli):\uf8ee\uf8ef\uf8f0
.
.
.
li
.
.
.
\uf8f9\uf8fa\uf8fb \u223c
\uf8ee\uf8ef\uf8f0
.
.
.
kli
.
.
.
\uf8f9\uf8fa\uf8fb
(c) substituir linha por sua soma com múltiplo de outra (denotado lj \u2190 lj + kli):\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
.
.
.
li
.
.
.
lj
.
.
.
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb \u223c
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
.
.
.
li
.
.
.
lj + kli
.
.
.
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb
(d) descartar ou acrescentar linhas só de zeros:\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
l1
.
.
.
0 0 · · · 0 0
.
.
.
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb \u223c
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 l1...
.
.
.
\uf8f9\uf8fa\uf8fb
De\ufb01nição 2.8 (matriz equivalente) Uma matriz A é equivalente a B se pode ser obtida
por meio de uma sequencia de operações elementares. Denotamos A \u223c B.
2.4. OPERAÇÕES ELEMENTARES E SISTEMAS EQUIVALENTES 39
Lema 2.9 (sistemas e matrizes equivalentes) Sejam A e B matrizes aumentadas de
dois sistemas (nas mesmas variáveis). Se as matrizes são equivalentes (A \u223c B), então os
sistemas correspondentes são equivalentes (possuem mesmo conjunto-solução).
Prova: Cada uma das operações elementares efetuadas na matriz aumentada de um sistema
corresponde a uma operação nas equações desse sistema que não altera o conjunto-solução:
(a) trocar a ordem das linhas: trocar ordem das equações em um sistema não altera o
conjunto-solução.
(b) multiplicar uma linha por um escalar não-nulo: substituir a equação A = B por
kA = kB. Isto não altera o sistema pois se A = B então kA = kB (isto é verdade mesmo
se k = 0). Por outro lado se kA = kB, como k 6= 0, multiplicamos os dois lados por k\u22121 e