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DisciplinaÁlgebra Linear II1.004 materiais8.163 seguidores
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sistema representado na Figura 2.8 possui 5 soluções.
Figura 2.8: Sistema Não-linear
2.5.3 Sistemas com In\ufb01nitas Soluções
De\ufb01nição 2.17 (variável dependente e independente (ou livre)) Considere a matriz
aumentada, totalmente escalonada, de um sistema linear. A cada coluna, exceto a última,
da matriz corresponde uma variável do sistema linear. Chamamos de variável dependente
aquela associada a coluna com pivô. Chamamos de variável independente ou variável
livre
1
aquelas que não são dependentes.
Observação 2.13 É utilizado como sinônimo de variável dependente o termo variável
líder pois estão associadas a pivôs (líderes).
Dentro da prova do próximo Teorema apresentamos o algoritmo de solução de um sistema
linear. Sugerimos a leitura do Exemplo 2.27 da p.49 antes (e depois também!) de se dedicar
ao entendimento do próximo teorema.
1
O número de variáveis livres (e de variáveis dependentes) é uma propriedade do sistema de equações; a
lista das variáveis livres dependente de como foi escalonada a matriz ampliada. Não vamos provar este fato.
48 CAPÍTULO 2. SISTEMA LINEAR
Teorema 2.18 (Algoritmo para determinar conjunto-solução) O conjunto-solução S
(quando não-vazio) de um sistema linear é sempre a translação de um espaço gerado. Mais
precisamente, existe q \u2208 N e v0 \u2208 Rn e um conjunto LI de vetores do Rn: {v1, . . . ,vq} tais
que
S = {v0 + t1v1 + · · ·+ tqvq, vi \u2208 Rn, ti \u2208 R},
ou, em termos de espaço gerado,
S = v0 + \u3008v1, . . . ,vq\u3009 .
Prova: Escalone totalmente a matriz aumentada do sistema.
Se a solução for única tome q = 0 e v0 a solução única.
Se tiver in\ufb01nitas soluções tome q igual ao número de variáveis livres e siga o seguinte
algoritmo:
Algoritmo de Solução de Sistemas com In\ufb01nitas Soluções:
(a) Após o escalonamento total do sistema, atribua a cada variável livre, um parâme-
tro, denotado por t1, t2, . . . , tq, que pode assumir qualquer valor.
(b) Considere o sistema nas variáveis livres obtido após eliminar linhas nulas e passe os
parâmetros para o lado direito do sistema. Este será da forma
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1 0 · · · 0 ?
0 1 · · · 0 ?
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 · · · 1 ?
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb,
onde cada ? é da forma ? + t1 ? + · · · + tq? (constante mais combinação linear
dos parâmetros t1, . . . , tq). Assim o sistema possui solução única em função dos
parâmetros t1, t2, . . . , tq.
(c) Cada entrada do vetor solução x é igual a um dos parâmetros, caso seja variável
livre, ou igual a constante mais combinação linear dos parâmetros t1, . . . , tq, caso
seja variável dependente. Logo x = v0 + t1v1 + · · ·+ tqvq para vi \u2208 Rn.
Deixamos para o leitor provar que os vetores obtidos na parametrização são LIs pois a
matriz está na forma totalmente escalonada e o pivô é o único elemento não nulo da coluna.
Observação 2.14 Resolver um sistema linear pelo método de eliminação de Gauss sig-
ni\ufb01ca obter esta parametrização do conjunto-solução S de forma explícita: determinar
quantos parâmetros q são necessários e quais são os vetores v0,v1,v2, . . . ,vq.
Podemos classi\ufb01car geometricamente S de acordo com o valor de q: ponto (q = 0
parâmetros), reta (q = 1 parâmetro), plano (q = 2 parâmetros), etc.
Alguns livros chamam o número de variáveis livres, que é igual ao número de parâ-
metros, de grau de liberdade ou grau de indeterminação do sistema linear.
2.5. RESOLVENDO SISTEMAS LINEARES 49
Observação 2.15 Após o escalonamento total de um sistema obtemos uma matriz com
n+1 colunas (correspondendo ao total de n variáveis) e p linhas não-nulas, correspondendo
ao número de pivôs ou de equações efetivas (as equações 0 = 0 não são efetivas, pois
podem ser eliminadas sem modi\ufb01car o conjunto-solução) ou variáveis dependentes após o
escalonamento.
Em resumo temos que:
n = no total de variáveis,
p = no de equações efetivas = no de linhas não-nulas = no de pivôs = no de variáveis
dependentes,
n\u2212 p = q = no de variáveis livres ou independentes = no de parâmetros.
Exemplo 2.27 Determine o conjunto solução do sistema:\uf8ee\uf8f0 1 \u22123 0 5 0 40 0 1 2 0 0
0 0 0 0 1 \u22122
\uf8f9\uf8fb .
Solução: Como as colunas com pivô são 1, 3, 5, são 3 variáveis dependentes: x1, x3, x5. São
2 variáveis livres: x2 e x4. Introduzindo parâmetros r e s (mais conveniente que t1 e t2) e
atribuindo-os as variáveis livres obtemos que x2 = r e x4 = s.
O sistema pode ser reescrito como:
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
1x1 = 4 + 3r \u2212 5s
1x3 = \u22122s
1x5 = \u22122
.
Agora este é um sistema em 3 variáveis: x1, x3 e x5 da forma:
\uf8ee\uf8f0 1 0 0 4 + 3r \u2212 5s0 1 0 \u22122s
0 0 1 \u22122
\uf8f9\uf8fb
Sabemos resolver esse sistema, que está no 1
\u25e6
caso do Teorema 2.15 da p.45. Ele possui
solução única:
(x1, x3, x5) = (4 + 3r \u2212 5s, \u22122s, \u22122). Como x2 = r e x4 = s, obtemos que
(x1, x2, x3, x4, x5) = (4 + 3r \u2212 5s, r, \u22122s, s, \u22122) ou ainda:
{(4, 0, 0, 0,\u22122) + r(3, 1, 0, 0, 0) + s(\u22125, 0,\u22122, 1, 0) | r, s \u2208 R}.
Na linguagem de espaço gerado, o conjunto-solução é o plano
(4, 0, 0, 0,\u22122) + \u3008(3, 1, 0, 0, 0), (\u22125, 0,\u22122, 1, 0)\u3009 .
Neste exemplo o sistema possui um total de 5 variáveis e, por possuir 3 equações relacio-
nando-as, \ufb01cou com somente 5\u2212 3 = 2 variáveis livres para assumir qualquer valor. A essas
duas variáveis (x2 e x4) foram atribuídos os dois parâmetros r, s e, utilizando as 3 equações
remanescentes do sistema foram obtidas soluções em função destes parâmetros.
Observação 2.16 Para o mesmo número total de variáveis, quanto maior o número de
linhas não-nulas (equações efetivas) no sistema escalonado menor o número de variáveis
livres.
Zerar uma linha reduz o número efetivo de equações do sistema. Isto signi\ufb01ca que a
equação era combinação linear das outras, sendo, portanto, redundante para a resolução
do sistema.
Observação 2.17 (Software Algébrico) Com auxílio do Software Maxima pode-se re-
solver sistemas com linsolve([x-3*y+5*w=4, z+2*w=0, a=-2], [x,y,z,w,a]);
50 CAPÍTULO 2. SISTEMA LINEAR
Exemplo 2.28 Resolva o sistema:\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
0 1 2 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 3 4
0 0 0 0 1 0 0 \u22121
0 0 0 0 0 1 3 2
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb .
Solução: Como as colunas com pivô são 2, 4, 5, 6, são 4 variáveis dependentes: x2, x4, x5, x6.
São 3 variáveis livres: x1, x3, x7. Introduzindo parâmetros r, s, t (mais conveniente que t1, t2
e t3) e atribuindo-os as variáveis livres obtemos que x1 = r, x3 = s, x7 = t. Das equações
obtemos que x2 = \u22122x3 + x7 = \u22122s+ t, x4 = 4\u2212 3x7 = 4\u2212 3t, x5 = \u22121, x6 = 2\u2212 3x7 =
2 \u2212 3t. Portanto (x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7) = (r, \u22122s + t, s, 4 \u2212 3t, \u22121, 2 \u2212 3t, t), ou
ainda, o conjunto-solução é
{(0, 0, 0, 4,\u22121, 2, 0) + r(1, 0, 0, 0, 0, 0, 0) + s(0,\u22122, 1, 0, 0, 0, 0) + t(0, 1, 0,\u22123, 0,\u22123, 1)},
com r, s, t \u2208 R. Na linguagem do Capítulo 1, o conjunto-solução é
(0, 0, 0, 4,\u22121, 2, 0) + \u3008(1, 0, 0, 0, 0, 0, 0), (0,\u22122, 1, 0, 0, 0, 0), (0, 1, 0,\u22123, 0,\u22123, 1)\u3009 .
Exemplo 2.29 Considere o sistema[
0 1 3 0 \u22127
0 0 0 1 4
]
.
(a) Determine o conjunto solução; (b) Determine soluções particulares.
Solução: (a) Como as colunas com pivô são 2, 4, são 2 variáveis dependentes: x2, x4. São
2 variáveis livres: x1, x3.
Introduzindo parâmetros r, s e atribuindo-os as variáveis livres obtemos que x1 = r e
x3 = s. Das equações obtemos que x2 = \u22127 \u2212 3x3 = \u22127 \u2212 3s e x4 = 4. Portanto
(x1, x2, x3, x4) = (r, \u22127 \u2212 3s, s, 4), ou ainda, o conjunto-solução é {(0,\u22127, 0, 4) +
r(1, 0, 0, 0) + s(0,\u22123, 1, 0) | r, s \u2208 R}. Na linguagem do Capítulo 1, o conjunto-solução
é o plano (0,\u22127, 0, 4) + \u3008(1, 0, 0, 0), (0,\u22123, 1, 0)\u3009.
(b) Obtemos soluções particulares fazendo variar os parâmetros r, s. Por exemplo, to-
mando r = 0 e s = 0, obtemos a solução (0,\u22127, 0, 4) + 0(1, 0, 0, 0) + 0(0,\u22123, 1, 0) =
(0,\u22127, 0, 4). Obtemos outra solução tomando r = 3 e s = \u22122: (0,\u22127, 0, 4) + 3(1, 0, 0, 0)\u2212
2(0,\u22123, 1, 0) = (3,\u22121,\u22122, 4). Podemos obter in\ufb01nitas soluções pois para cada escolha de
valores para os parâmetros r e s, uma nova solução é gerada.
Exemplo 2.30 Considere os planos \u3a01 = {(1,\u22122, 1) + s(1, 1,