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1) + t(\u22121, 1, 0)| s, t \u2208 R} e
\u3a02 = {(3, 2, 1) + s(2, 1, 1) + t(1, 1, 2)| s, t \u2208 R}. Determine \u3a01 \u2229 \u3a02.
Solução: Queremos saber se existem s, t, u, v \u2208 R (note que trocamos os parâmetros do
segundo plano) tais que (1,\u22122, 1) + s(1, 1, 1) + t(\u22121, 1, 0) = (3, 2, 1) +u(2, 1, 1) + v(1, 1, 2),
ou seja, s(1, 1, 1) + t(\u22121, 1, 0) + u(\u22122,\u22121,\u22121) + v(\u22121,\u22121,\u22122) = (2, 4, 0), ou seja,
Precisamos resolver o sistema (3 equações, 4 variáveis):\uf8ee\uf8f0 1 \u22121 \u22122 \u221211 1 \u22121 \u22121
1 0 \u22121 \u22122
\uf8f9\uf8fb
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
s
t
u
v
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb =
\uf8ee\uf8f0 24
0
\uf8f9\uf8fb .
2.5. RESOLVENDO SISTEMAS LINEARES 51
Assim precisamos escalonar a matriz
\uf8ee\uf8f0 1 \u22121 \u22122 \u22121 21 1 \u22121 \u22121 4
1 0 \u22121 \u22122 0
\uf8f9\uf8fb
. Escalonando totalmente
(veri\ufb01que!) obtemos
\uf8ee\uf8f0 1 0 0 \u22124 \u221260 1 0 1 4
0 0 1 \u22122 \u22126
\uf8f9\uf8fb
. Assim tomando v como parâmetro livre, ob-
temos que (s, t, u, v) = (4v \u2212 6, 4 \u2212 v, 2v \u2212 6, v). Em termos de pontos do plano, como
\u3a01 = (1,\u22122, 1) + s(1, 1, 1) + t(\u22121, 1, 0), a interseção é a reta
{(1,\u22122, 1) + (4v \u2212 6)(1, 1, 1) + (4\u2212 v)(\u22121, 1, 0)| v \u2208 R}. Outra possibilidade é utilizar a
equação de \u3a02 = (3, 2, 1) + u(2, 1, 1) + v(1, 1, 2) e dar como solução
{(3, 2, 1) + (2v \u2212 6)(2, 1, 1) + v(1, 1, 2)| v \u2208 R}. Pode-se veri\ufb01car que nos dois casos chega-
mos na mesma resposta: {(\u22129,\u22124,\u22125) + v(5, 3, 4)| v \u2208 R}.
Exemplo 2.31 Seja \u3a01 = (\u22121, 0,\u22122, 1)+\u3008(1, 3, 4, 1), (2,\u22121, 2, 1)\u3009. Determine a interseção
de \u3a01 com
(a) \u3a02 = \u3008(2, 1, 1, 2)\u3009.
(b) \u3a03 = (1, 0, 2, 1) + \u3008(\u22121,\u22121,\u22121,\u22121), (0, 3, 1, 1), (\u22121, 0, 1, 2)\u3009
(c) \u3a04 o conjunto dos pontos (x, y, z, w) \u2208 R4 tais que
{
x\u2212 2y + w = 0
2x\u2212 y + z + w = 0 (\u3a04 é o
conjunto-solução deste sistema).
Solução: Em eqs paramétricas \u3a01 = (\u22121, 0,\u22122, 1)+s(1, 3, 4, 1)+t(2,\u22121, 2, 1) com s, t \u2208 R.
(a) Como \u3a02 = u(2, 1, 1, 2) (note que usamos parâmetro u, distinto de s, t!), queremos
saber se existem s, t, u \u2208 R tais que (\u22121, 0,\u22122, 1)+s(1, 3, 4, 1)+t(2,\u22121, 2, 1) = u(2, 1, 1, 2).
Precisamos (faça as contas!) resolver o sistema (4 equações, 3 variáveis)\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1 2 \u22122
3 \u22121 \u22121
4 2 \u22121
1 1 \u22122
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb
\uf8ee\uf8f0 st
u
\uf8f9\uf8fb =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1
0
2
\u22121
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb .
Escalonando (veri\ufb01que!) vamos concluir que o sistema não possui solução. Concluímos
que a interseção é vazia: \u3a01 \u2229 \u3a02 = \u2205.
(b) Como \u3a03 = (1, 0, 2, 1)+u(\u22121,\u22121,\u22121,\u22121)+v(0, 3, 1, 1)+x(\u22121, 0, 1, 2) (novamente
utilizamos parâmetros distintos dos utilizados na parametrização de \u3a01), precisamos resolver
(veri\ufb01que!) o sistema (4 equações, 5 variáveis)\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1 2 1 0 1
3 \u22121 1 \u22123 0
4 2 1 \u22121 \u22121
1 1 1 \u22121 \u22122
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
s
t
u
v
x
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
2
0
4
0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb .
Resolvendo (utilizamos linsolve no Maxima) obtemos que conjunto solução é uma reta.
Parametrizando a reta por k \u2208 R, s = 2\u2212 4k, t = 11k\u2212 2, u = 4\u2212 19k, v = 4\u2212 14k, x = k.
Substituindo na equação paramétrica de \u3a01 (poderíamos substituir também na de \u3a03 e
obteríamos o mesmo resultado \ufffd veri\ufb01que!) obtemos que a interseção é
(\u22121, 0,\u22122, 1)+(2\u22124k)(1, 3, 4, 1)+(11k\u22122)(2,\u22121, 2, 1) = (\u22123, 8, 2, 1)+k(18, \u221223, 6, 7)
para k \u2208 R. Assim \u3a01 \u2229 \u3a03 = (\u22123, 8, 2, 1) + \u3008(18, \u221223, 6, 7)\u3009.
(c) Como x = \u22121 + s+ 2t, y = 3s\u2212 t, z = \u22122 + 4s+ 2t, w = 1 + s+ t, e (veri\ufb01que!)
0 = x\u22122y+w = \u22124s+ 5t e 0 = 2x\u2212y+ z+w = \u22123 + 4s+ 8t, devemos resolver o sistema{ \u22124s+ 5t = 0
\u22123 + 4s+ 8t = 0 . Resolvendo obtemos a solução s0 =
15
52
e t0 =
3
13
. Assim a
interseção de \u3a01 com \u3a04 é o ponto (x, y, z, w) \u2208 R4 com x = \u22121 + s0 + 2t0, y = 3s0 \u2212 t0,
52 CAPÍTULO 2. SISTEMA LINEAR
z = \u22122 + 4s0 + 2t0, w = 1 + s0 + t0.
Exemplo 2.32 Seja Y o conjunto dos pontos (x, y, z, w, k) \u2208 R5 tais que
{
x\u2212 w + k = 2
x\u2212 y + z = 1
e Z o conjunto dos pontos (x, y, z, w, k) \u2208 R5 tais que
{
w \u2212 k = 0
x+ z = 0
. Determine Y \u2229 Z.
Solução: Pontos na interseção vão satisfazer os dois sistemas simultanemante. Assim
temos que resolver o sistema
\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f3
x\u2212 w + k = 2
x\u2212 y + z = 1
w \u2212 k = 0
x+ z = 0
. Escalonando obtemos que a solução é a
reta (x, y, z, w, k) = (2,\u22121,\u22122, 0, 0) + t(0, 0, 0, 1, 1) para t \u2208 R.
Logo Y \u2229 Z = (2,\u22121,\u22122, 0, 0) + \u3008(0, 0, 0, 1, 1)\u3009.
Exemplo 2.33 Determine se é ponto, reta ou plano o conjunto solução de cada um dos
sistemas abaixo, dados por sua matriz aumentada já escalonada:
(a)
\uf8ee\uf8f0 1 2 3 4 4 20 0 1 2 1 \u22121
0 0 0 1 2 1
\uf8f9\uf8fb
(b)
\uf8ee\uf8f0 1 3 2 \u22121 20 0 7 0 \u22121
0 0 0 5 9
\uf8f9\uf8fb
(c)
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
2 3 \u22122 4 2
0 5 2 1 0
0 0 2 \u22123 \u22121
0 0 0 2 0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb
(b)
Solução: (a) 5 variáveis e 3 equações: é um plano (5\u22123 = 2). (b) 4 variáveis e 3 equações:
é uma reta (4\u2212 3 = 1). (c) 4 variáveis e 4 equações: é um ponto (4\u2212 4 = 0).
Exemplo 2.34 Determine um sistema linear cujo conjunto solução seja igual:
(a) a (1, 0, 2, 1) + \u3008(2,\u22121, 2, 1), (1, 3, 4, 1)\u3009.
(b) ao plano que passa por (1,\u22121, 0, 2), (2, 0, 1, 0) e (2, 1, 2, 3).
(c) à reta que passa por (1, 2, 1, 2, 2) e (2, 1, 3, 4,\u22121).
Solução: (a) Temos que (x, y, z, w) = (1, 0, 2, 1) + s(2,\u22121, 2, 1) + t(1, 3, 4, 1). Assim
x = 1 + 2s + t e y = \u2212s + 3t. Resolvendo (para s, t) obtemos que 7s = \u2212y + 3x \u2212 3 e
7t = 2y + x\u2212 1. Como z = 2 + 2s + 4t e w = 1 + s + t, substituindo s, t como função de
x, y obtemos o sistema
{
z = 2 + 2(\u2212y + 3x\u2212 3)/7 + 4(2y + x\u2212 1)/7
w = 1 + (\u2212y + 3x\u2212 3 + 2y + x\u2212 1)/7
(b) O plano é (porque?) (1,\u22121, 0, 2) + \u3008(1, 1, 1,\u22122), (1, 2, 2, 1)\u3009. Logo (x, y, z, w) =
(1,\u22121, 0, 2) + s(1, 1, 1,\u22122) + t(1, 2, 2, 1) .
Assim x = 1 + s + t e y = \u22121 + s + 2t. Resolvendo (para s, t) obtemos que (com Maxima:
linsolve([x=1+s+t, y=-1+s+2*t],[s,t]);) s = \u2212y + 2x \u2212 3,t = y \u2212 x + 2. Como
z = s + 2t e w = 2 \u2212 2s + t, substituindo s, t como função de x, y obtemos o sistema{
z = \u2212y + 2x\u2212 3 + 2(y \u2212 x+ 2)
w = 2\u2212 2(\u2212y + 2x\u2212 3) + y \u2212 x+ 2
(c) A reta é (porque?) (1, 2, 1, 2, 2) + \u3008(1,\u22121, 2, 2,\u22123)\u3009.
Logo (x, y, z, w, k) = (1, 2, 1, 2, 2) + t(1,\u22121, 2, 2,\u22123). Assim x = 1 + t. Logo t = x \u2212 1.
Substituindo nas outras equações vamos obter o sistema
\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f3
y = 2\u2212 1(x\u2212 1)
z = 1 + 2(x\u2212 1)
w = 2 + 2(x\u2212 1)
k = 2\u2212 3(x\u2212 1)
.
2.6. PRODUTO MATRIZ-VETOR 53
2.6 Produto Matriz-Vetor
Podemos ver uma matriz como um conjunto de vetores dispostos em colunas ou linhas.
Assim, dado A \u2208 Mm×n, pensando em colunas, A é composto de n vetores-coluna, cada
vetor vi \u2208 Rm:
A =
\uf8ee\uf8f0 \u2191v1
\u2193
· · ·
\u2191
vn
\u2193
\uf8f9\uf8fb .
Pensando em linhas, A é composto de m vetores-linha, cada vetor ui \u2208 Rn:
A =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 \u2190 u1 \u2192..
.
\u2190 um \u2192
\uf8f9\uf8fa\uf8fb .
Esta visão de matrizes é muito importante, entre outras razões, pois as operações de soma
e produto de matrizes, incluindo o produto matriz-vetor, são mais fáceis (e naturais) de serem
de\ufb01nidas utilizando este ponto de vista. Vamos utilizar bastante no livro este ponto de vista.
Ela é generalizada pela visão de matriz em blocos apresentada na Seção 4.6 da p.118.
De\ufb01nição 2.19 (produto matriz-vetor) Seja A =
\uf8ee\uf8f0 \u2191v1
\u2193
· · ·
\u2191
vn
\u2193
\uf8f9\uf8fb \u2208 Mm×n e x =\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
x1
x2
.
.
.
xn
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb \u2208 Rn. De\ufb01nimos Ax \u2208 Rm, o produto da matriz A pelo vetor x, por
Ax =
n\u2211
i=1
xivi.
Portanto o produto matriz-vetor é a combinação linear das colunas da matriz com coe\ufb01-
cientes dados pelas entradas do vetor.
Mais explicitamente, se A =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
am1 am2 · · · amn
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb então
Ax =
n\u2211
i=1
xivi = x1
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
a11
a21
.
.
.
am1
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb
\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
v1
+x2
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
a12
a22
.
.
.
am2
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb
\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
v2
+ · · ·+ xn
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
a1n
a2n
.
.
.
amn
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb
\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
vn
.
Assim
Ax =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
a11 x1 + a12 x2 · · · + a1n xn
a21 x1 + a22 x2 · · · + a2n xn
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
am1 x1 + am2 x2 · · · + amn xn
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb .
54 CAPÍTULO 2. SISTEMA LINEAR
Isto pode ser representado pelo esquema:
Ax =
\uf8ee\uf8f0 \u2191v1
\u2193
· · ·
\u2191
vn
\u2193
\uf8f9\uf8fb
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 x1..
.
xn
\uf8f9\uf8fa\uf8fb =
\uf8ee\uf8f0 \uf8f9\uf8fb\uf8ee\uf8f0 ··
·
\uf8f9\uf8fb = n\u2211
j=1
xjvj.
Lema 2.20 (linearidade do produto matriz-vetor) Dados uma matriz A, vetores u,v \u2208
Rn e escalar k, A(u + kv) = Au + kAv.
Prova: Basta escrever as entradas dos vetores u,v