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DisciplinaÁlgebra Linear II921 materiais8.056 seguidores
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e aplicar a de\ufb01nição do produto matriz-
vetor como combinação linear das colunas da matriz. Deixamos detalhes para o leitor.
Vamos recordar o produto escalar entre dois vetores. Retomaremos este assunto bem mais
adiante no texto (veja De\ufb01nição 5.1 da p.137).
De\ufb01nição 2.21 (produto escalar ou interno) Dados dois vetores u = (u1, . . . , un),v =
(v1, . . . , vn) \u2208 Rn denotamos o produto escalar (ou produto interno) entre eles por u ·v,
um número de\ufb01nido por
u · v =
n\u2211
i=1
uivi.
Se u · v = 0 dizemos que u e v são perpendiculares entre si.
Exemplo 2.35 Sejam u = (1,\u22122,\u22123, 4, 5),v = (\u22121, 2,\u22121, 3, 0) \u2208 R5. Então
u · v = (1)(\u22121) + (\u22122)(2) + (\u22123)(\u22121) + (4)(3) + (5)(0) = (\u22121) + (\u22124) + (3) + (12) = 10.
Lema 2.22 (interpretação do produto matriz-vetor) Seja A =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 \u2190 u1 \u2192..
.
\u2190 um \u2192
\uf8f9\uf8fa\uf8fb \u2208
Mm×n e x \u2208 Rn. Então
Ax =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 u1 · x..
.
um · x
\uf8f9\uf8fa\uf8fb .
Portanto cada entrada do produto matriz-vetor é o produto escalar entre cada linha da
matriz e x.
Prova: Basta explicitar em termos de coe\ufb01cientes (aij) da matriz e do vetor w = (wi). Ver
Exemplo 4.4 da p.93. Deixamos detalhes para o leitor.
Isto pode ser representado pelo esquema:
Ax =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 \u2190 u1 \u2192..
.
\u2190 um \u2192
\uf8f9\uf8fa\uf8fb
\uf8ee\uf8f0 \u2191x
\u2193
\uf8f9\uf8fb =
\uf8ee\uf8f0 \uf8f9\uf8fb\uf8ee\uf8f0 \uf8f9\uf8fb =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 u1 · x..
.
um · x
\uf8f9\uf8fa\uf8fb =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 b1..
.
bm
\uf8f9\uf8fa\uf8fb = b.
2.7. SISTEMAS HOMOGÊNEOS, SOLUÇÃO GERAL E PARTICULAR 55
2.7 Sistemas Homogêneos, Solução Geral e Particular
De\ufb01nição 2.23 (Sistema homogêneo) é um sistema cujo lado direito é todo igual a zero:\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
a11x1 +a12x2 · · · +a1nxn = 0
a21x1 +a22x2 · · · +a2nxn = 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
am1x1 +am2x2 · · · +amnxn = 0
.
De\ufb01nição 2.24 (solução trivial) O vetor nulo (0, 0, . . . , 0) é sempre solução do sistema
homogêneo. Esta solução é chamada solução trivial.
Num sistema homogêneo o lado direito de zeros é preservado por operações elementares:\uf8ee\uf8ef\uf8f0 ? · · · ? 0..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
? · · · ? 0
\uf8f9\uf8fa\uf8fb \u223c
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 ? · · · ? 0..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
? · · · ? 0
\uf8f9\uf8fa\uf8fb .
Por isso a forma escalonada de um sistema homogêneo não possui linha da forma[
0 · · · 0 ]. Isto implica que um sistema homogêneo sempre possui solução. Mais
ainda, num sistema homogêneo com n variáveis, o número de pivôs p (equações efetivas)
após o escalonamento determina se a solução é única:
(a) p = n \u21d2 solução única (apenas a trivial);
(b) p < n \u21d2 in\ufb01nitas soluções, (n\u2212 p) variáveis livres.
De\ufb01nição 2.25 (solução geral e particular) Considere o sistema Ax = b.
Chamamos de solução geral seu conjunto-solução S.
Chamamos de solução particular um elemento v0 \u2208 S qualquer.
Chamamos de solução do sistema homogêneo associado o conjunto-solução do sis-
tema Ax = 0.
De\ufb01nição 2.26 (núcleo) Dada uma matriz A chamamos de núcleo de A, denotado por
Nuc(A), o conjunto-solução do sistema Ax = 0.
Exemplo 2.36 Vamos ver a relação entre soluções de um sistema não-homogêneo e do
sistema homogêneo associado. Considere o sistema não-homogêneo:[
0 1 3 0 \u22127
0 0 0 1 4
]
.
Este sistema foi resolvido no Exemplo 2.29 da p.50 e o conjunto-solução é
{(0,\u22127, 0, 4) + r(1, 0, 0, 0) + s(0,\u22123, 1, 0) | r, s \u2208 R}. Na linguagem do Capítulo 1, o
conjunto-solução é o plano
(0,\u22127, 0, 4) + \u3008(1, 0, 0, 0), (0,\u22123, 1, 0)\u3009 .
Considere o sistema homogêneo associado:[
0 1 3 0 0
0 0 0 1 0
]
.
56 CAPÍTULO 2. SISTEMA LINEAR
Resolvendo-o de forma análoga, obtemos o conjunto-solução
{r(1, 0, 0, 0) + s(0,\u22123, 1, 0) | r, s \u2208 R}. Na linguagem do Capítulo 1, o conjunto-solução é
o plano
\u3008(1, 0, 0, 0), (0,\u22123, 1, 0)\u3009 .
Note que o conjunto-solução do sistema não-homogêneo e do homogêneo associado dife-
rem somente pelo vetor (0,\u22127, 0, 4), que é uma solução particular (dentre as in\ufb01nitas soluções)
do sistema não-homogêneo.
Teorema 2.27 (solução geral de sistema) Seja S o conjunto-solução (solução geral) do
sistema não-homogêneo e V o conjunto-solução do sistema homogêneo associado. Se S 6= \u2205,
então existe uma solução particular (do sistema não-homogêneo) v0 \u2208 S e S = v0 + V .
Prova: Seja S 6= \u2205 a solução geral do sistema não-homogêneo Ax = b e v0 \u2208 S solução
particular qualquer do sistema não-homogêneo. Seja V o conjunto-solução do sistema homo-
gêneo associado Ax = 0. Queremos provar que S = v0 + V . Para isto basta provar que
v0 + V \u2282 S e que S \u2282 v0 + V .
Vamos provar que v0 + V \u2282 S. Dado v \u2208 V qualquer, queremos provar que v0 + v \u2208 S,
ou seja, que A(v0 + v) = b. De fato, pelo Lema 2.20 da p.54 (linearidade do produto matriz
vetor) A(v0 + v) = Av0 + Av = b + 0 = b.
Vamos provar que S \u2282 w0+V . Dado w \u2208 S qualquer, queremos provar que w \u2208 v0+V .
Novamente pelo Lema 2.20 da p.54 A(w\u2212 v0) = Aw\u2212Av0 = b\u2212 b = 0. Concluímos que
w \u2212 v0 \u2208 V e portanto w \u2208 v0 + V .
A solução geral (se não-vazia) do sistema Ax = b é da forma v0 + V , soma de uma
solução particular com uma solução do sistema homogêneo associado Ax = 0.
Assim são equivalentes:
(a) o sistema possui solução única (igual a v0);
(b) o sistema homogêneo associado possui solução única (a trivial);
(c) Nuc(A) = 0.
2.8 Interpretação de Sistemas em Rn
Para interpretar precisamos da de\ufb01nição de hiperplano, que generaliza retas no R2 e planos
no R3.
De\ufb01nição 2.28 (hiperplano) Um hiperplano em Rn é a translação de um espaço gerado
de dimensão n\u2212 1.
Exemplo 2.37 São hiperplanos:
(a) Uma reta em R2 (translação de um espaço gerado de dimensão 2\u2212 1 = 1);
(b) Um plano em R3 (translação de um espaço gerado de dimensão 3\u2212 1 = 2);
(c) Em R4 a translação de um espaço gerado de dimensão 4\u2212 1 = 3 é um hiperplano.
Lema 2.29 (geometria da equação do hiperplano) Dado u 6= 0, o conjunto-solução
H da equação u · x = b \u2208 R é um hiperplano.
Mais precisamente, se V é o conjunto dos vetores perpendiculares a u então existe v0 \u2208 H
tal que H = v0 + V .
2.8. INTERPRETAÇÃO DE SISTEMAS EM RN 57
Prova: Como 0 6= u = (a1, . . . , an) \u2208 Rn, um dos ak 6= 0. Logo é solução particular da
equação v0 = (x1, . . . , xn) com xk =
b
ak
e xj = 0 para j 6= k. Considere V o conjunto-
solução do sistema homogêneo associado u · y = 0. Note que V é o conjunto dos vetores
perpendiculares a u. Como este é um sistema escalonado com 1 equação não-nula e n
variáveis, são q = n\u22121 variáveis livres. Pelo Teorema 2.18 da p.48 V é gerado por q = n\u22121
vetores LIs, ou seja, tem dimensão n \u2212 1. Pelo Teorema 2.27 da p.56, H = v0 + V , a
translação de um espaço gerado de dimensão n\u2212 1.
Exemplo 2.38 Mostre que {(x, y, z, w, u) \u2208 R5| x\u2212 2y + 3z + w \u2212 u = 4} é um hiperplano.
Solução: Podemos escrever que x = 2y\u22123z\u2212w+u+4. Introduzindo quatro parâmetros t1 =
y, t2 = z, t3 = w e t4 = u, obtemos que x = 2t1\u22123t2\u2212t3+t4+4. Portanto (x, y, z, w, u) =
(4, 0, 0, 0, 0) + t1(2, 1, 0, 0, 0) + t2(\u22123, 0, 1, 0, 0) + t3(\u22121, 0, 0, 1, 0) + t4(1, 0, 0, 0, 1). Trata-se
da translação de um espaço gerado de dimensão 4 em R5, isto é, um hiperplano em R5.
Vamos relacionar a operação de produto matriz-vetor com sistemas lineares. Considere o
sistema \uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
a11 x1 + a12 x2 · · · + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 · · · + a2n xn = b2
.
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.
.
.
.
.
.
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.
.
.
.
.
.
am1 x1 + am2 x2 · · · + amn xn = bm
.
De\ufb01nimos x =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 x1..
.
xn
\uf8f9\uf8fa\uf8fb, b =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 b1..
.
bm
\uf8f9\uf8fa\uf8fb e a matriz A =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
am1 am2 · · · amn
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb. Sabemos
da De\ufb01nição 2.19 da p.53 do produto matriz-vetor que podemos escrever este sistema como
Ax = b.
As duas interpretações do produto matriz-vetor (combinação linear de colunas e produto
escalar com linhas) implicarão em duas interpretações para o conjunto-solução do sistema
linear (interseção de hiperplanos e b \u2208 espaço gerado pelas colunas):
(a) (produto escalar com linhas \u2192 interseção de hiperplanos)
Se A =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 \u2190 u1 \u2192..
.
\u2190 um \u2192
\uf8f9\uf8fa\uf8fb (cada linha