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. , r(0.8).
Em processamento de imagem estas transformações são chamadas de mor\ufb01smos. Pode-
mos, por exemplo, criar rostos intermediários entre fotos distintos, misturando características.
r(0.0) r(0.2) r(0.4) r(0.5) r(0.6) r(0.8) r(1.0)
Figura 3.5: Quadrado se transforma em círculo
3.6 ?Dimensão de Espaço Vetorial: Teoria1
Provamos nesta seção que se um espaço vetorial V possui uma base com d \u2208 N vetores então
qualquer base de V possuirá d vetores, o que permite de\ufb01nir a dimensão de V como d. Além
disso uma sequência de resultados provará que qualquer conjunto LI de vetores de V pode ser
estendido para formar uma base.
Começamos enunciando um resultado muito importante na teoria dos espaços vetoriais.
Teorema 3.20 Todo espaço vetorial possui uma base.
Prova: A prova é delicada: veja em [5].
Vamos distinguir os espaços vetoriais de dimensão \ufb01nita e in\ufb01nita.
De\ufb01nição 3.21 (dimensão \ufb01nita e in\ufb01nita) Um espaço vetorial que admite base \ufb01nita é
de dimensão \ufb01nita. Um espaço vetorial que não admite, é dito de dimensão in\ufb01nita.
Exemplo 3.39 Rn é de dimensão \ufb01nita, pois \u3b5 = {e1, e2, . . . , en} é base.
Exemplo 3.40 Pn é de dimensão \ufb01nita, pois \u3b5 = {1, x, x2, . . . , xn} é base.
1
A leitura desta seção é opcional.
3.6. ?DIMENSÃO DE ESPAÇO VETORIAL: TEORIA 83
Exemplo 3.41 P é de dimensão in\ufb01nita.
De fato, dado \u3b2 = {p1,p2, . . . ,pn} \u2282 P conjunto \ufb01nito qualquer, de\ufb01naN = max
p\u2208\u3b2
grau(p)
e q(x) = xN+1. Então q \u2208 P , mas q 6\u2208 \u3008\u3b2\u3009 pois grau(q) = N + 1 > N \u2265 grau(p) para
todo p \u2208 \u3b2. Logo, \u3b2 não é base.
Exemplo 3.42 Os espaços C\u221e(I;R), Ck(I;R), C2(I;R), C1(I;R), C(I;R) e F(I;R) são
de dimensão in\ufb01nita.
De fato todos os espaços acima contém o espaço P (vide Observação 3.9 da p.77).
O próximo lema é fundamental para a de\ufb01nição de dimensão. A demonstração pode ser
omitida numa primeira leitura.
Lema 3.22 (conjunto gerador e LI) Sejam \u3b2 = {u1,u2, . . . ,um} , \u3b3 =
{v1,v2, . . . ,vn} \u2282 H. Se \u3b2 é gerador de H e \u3b3 é LI, então m \u2265 n.
Prova: Sejam aij tais que vj =
m\u2211
i=1
aijui. De\ufb01na A = [aij]
i=1,...,m
j=1,...,n
.
Suponha, por absurdo, que n > m. Portanto o número de variáveis (n) é maior que
o número de equações (m) no sistema homogêneo. Neste caso, existe x 6= 0 tal que
Ax = 0. Logo
n\u2211
j=1
xjaj = 0, o que implica que
n\u2211
j=1
xjaij = 0 para todo i. Segue que
m\u2211
i=1
(
n\u2211
j=1
xjaij
)
ui = 0. Portanto
n\u2211
j=1
xj
(
m\u2211
i=1
aijui
)
=
n\u2211
j=1
xjvj = 0.
Concluímos que \u3b3 não é LI! Como isto é absurdo, concluímos que n \u2264 m.
Corolário 3.23 Toda base de um subespaço vetorial de dimensão \ufb01nita tem o mesmo nú-
mero de elementos.
Prova: Sejam \u3b2 = {v1,v2, . . . ,vm} e \u3b3 = {u1,u2, . . . ,un} bases. Pelo Lema 3.22, como
\u3b2 é gerador e \u3b3 é LI, então m \u2265 n. Trocando os papéis de \u3b2 e \u3b3, novamente pelo Lema 3.22,
como \u3b3 é gerador e \u3b2 é LI, então n \u2265 m. Como m \u2265 n e n \u2265 m, concluímos que m = n.
Este Corolário justi\ufb01ca a próxima de\ufb01nição.
De\ufb01nição 3.24 (dimensão) A dimensão de um (sub)espaço vetorial de dimensão \ufb01nita é
o número de vetores em (qualquer) uma de suas bases.
Lema 3.25 (caracterização dos conjuntos LD) Os vetores v1,v2, . . . ,vp são LD se, e
só se, existe um vetor que é combinação linear dos anteriores, vk =
\u2211
i<k
\u3b1ivi.
Prova: Se: trivial.
Só se: seja k \u2265 1 mínimo tal que v1,v2, . . . ,vk são LD. Seja
k\u2211
i=1
\u3b1ivi = 0 CL não-trivial.
Se \u3b1k fosse zero,
k\u22121\u2211
i=1
\u3b1ivi = 0 seria CL não-trivial, contrariando a minimalidade de k. Assim,
\u3b1k 6= 0 e vk = \u2212
k\u22121\u2211
i=1
\u3b1i
\u3b1k
vi.
O próximo lema nos diz que podemos eliminar vetores que são CL de outros de um conjunto
sem modi\ufb01car o espaço gerado.
84 CAPÍTULO 3. ESPAÇO VETORIAL
Lema 3.26 (eliminando vetores redundantes) Dado um conjunto S = {v1,v2, . . . ,vn}
LD, seja vk CL dos demais. Então \u3008v1, . . . ,vk\u22121,vk+1, . . . ,vn\u3009 = \u3008S\u3009 .
Prova: Temos que vk =
\u2211
i 6=k
\u3b1ivi. Dado w \u2208 \u3008S\u3009, temos w =
\u2211
i
\u3b3ivi =
\u2211
i 6=k
\u3b3ivi +
\u3b3kvk =
\u2211
i 6=k
\u3b3ivi + \u3b3k
\u2211
i 6=k
\u3b1ivi =
\u2211
i 6=k
(\u3b3i + \u3b3k\u3b1i)vi. Logo w =
\u2211
i 6=k
(\u3b3i + \u3b3k\u3b1i)vi e portanto,
w \u2208 \u3008v1, . . . ,vk\u22121,vk+1, . . . ,vn\u3009.
Corolário 3.27 Todo conjunto gerador contém uma base.
Prova: Se o conjunto é LI, nada a fazer. Se é LD, há um vetor que é combinação linear
dos demais. Descarte este vetor; o subconjunto obtido ainda é gerador (pelo lema anterior).
Repita o procedimento até que o subconjunto obtido seja LI (assumimos tacitamente que o
conjunto inicial é \ufb01nito).
Finalmente, o resultado abaixo garante que, dado um conjunto de vetores LI em um espaço
vetorial de dimensão \ufb01nita, este pode ser estendido a uma base.
Lema 3.28 (estendendo conjunto LI em base) Todo conjunto LI em um espaço de di-
mensão \ufb01nita pode ser estendido a uma base. Ou seja, se {v1,v2, . . . ,vp} é LI, existem
vp+1, . . . ,vn tais que {v1,v2, . . . ,vp,vp+1, . . . ,vn} é base.
Prova: Seja {v1,v2, . . . ,vp} LI e \u3b2 = {u1,u2, . . . ,un} base. Note que
{v1,v2, . . . ,vp,u1,u2, . . . ,un} é gerador. Aplique o resultado anterior, notando que, en-
quanto o subconjunto é LD, existe um vetor que é combinação linear dos anteriores (Lema 3.25
da p.83). Este não pode ser um dos vi's. Portanto, os vi's não são descartados no processo.
Corolário 3.29 Em um espaço vetorial de dimensão n, dado \u3b2 = {v1,v2, . . . ,vp} (um
conjunto ordenado de vetores com p elementos), se:
\u2022 p > n, então \u3b2 não é LI;
\u2022 p < n, então \u3b2 não é gerador; e
\u2022 p = n, então \u3b2 é gerador se e só se é LI.
3.7 Exercícios de Espaços Vetoriais
3.7.1 Exercícios de Fixação
Fix 3.1:Determine se são subespaços vetoriais do Rn:
(a) o conjunto-solução de um sistema linear homogêneo;
(b) o conjunto-solução de um sistema linear cujo lado direito tem como entradas inteiros
maiores do que 1;
(c) plano passando pela origem no espaço;
(d) reta que não passa pela origem no plano;
(e) parábola que passa pela origem no plano;
(f) primeiro quadrante do plano;
0
Versão 23.agosto.2012 22h
3.7. EXERCÍCIOS DE ESPAÇOS VETORIAIS 85
Fix 3.2:
(a) Se o espaço gerado por u é igual ao espaço gerado por v então necessariamente
(u = v, u é múltiplo de v, u é perpendicular a v, nenhuma das alternativas)
(b) Se \u3008u,v\u3009 = \u3008u,w\u3009 então necessariamente (v = w, v é múltiplo de w, v é
perpendicular a w, nenhuma das alternativas)
(c) Sabendo que o conjunto {w} é LI podemos a\ufb01rmar que w é (não nulo, nulo).
Fix 3.3:Escolha uma opção. Dizer que {v1,v2, . . . ,vn} é LI é o mesmo que dizer que:
(A) se \u3bb1 = · · · = \u3bbn = 0, então \u3bb1v1 + · · ·\u3bbnvn = 0;
(B) \u3bb1v1 + · · ·\u3bbnvn = 0 para todo \u3bbi \u2208 R;
(C) se \u3bb1v1 + · · ·\u3bbnvn = 0, então \u3bb1 = · · · = \u3bbn = 0;
(D) vi 6= 0 para todo i = 1, . . . , n;
(E) vi não é múltiplo de vk se i 6= k.
Fix 3.4:O elemento neutro para soma do espaço vetorial das funções reais é o(a)
(número zero, função identidade, função identicamente nula, conjunto vazio).
Fix 3.5:Determine se são subespaços vetoriais de F(R;R):
(a) conjunto das funções contínuas;
(b) {f(x) = a sen(x) + 2, a \u2208 R};
(c) {f(x) = ax2 + b, a, b \u2208 R};
Fix 3.6:Considere W = \u3008u1,u2, . . . ,um\u3009. Obtemos base de W (escalonando,
multiplicando, zerando, somando) uma matriz que tem estes vetores como (linhas,
colunas).
Fix 3.7: Seja W o subespaço-solução de um sistema linear homogêneo com 4 equações:
(a) eliminando uma equação, dim(W ) (pode, vai) (aumentar, diminuir).
(b) acrescentando uma equação (com lado direito igual a zero), dim(W ) (pode,
vai) (aumentar, diminuir).
Fix 3.8: Sejam V,W \u2282 R3 subespaços vetoriais, com dim(V ) = 2 e W uma reta.
(a) dim(W ) = (0, 1, 2, 3); (b) V é um(a) (ponto, reta, plano, sistema);
Fix 3.9:Pode ser base de R5 um conjunto de:
(a) 4 vetores LIs? (b) 5 vetores LDs? (c) 6 vetores?
Fix 3.10: Seja \u3b2 \u2282 R7 LI.
(a) \u3b2 possui (no máximo, exatamente, no mínimo) 7 vetores;
(b) retirando de \u3b2 um vetor, obteremos um conjunto que (é, pode ser) (LI, LD);
(c) acrescentando a \u3b2 um