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DisciplinaÁlgebra Linear II1.004 materiais8.147 seguidores
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y, z) = (z, \u2212x); (b) T (x, y, z) = (z, xy).
Solução: (a) Como, T (kx + y) = T (kx1 + y1, kx2 + y2, kx3 + y3) = (kx3 + y3, \u2212(kx1 +
y1)) = k(x3, \u2212x1) + (y3, \u2212y1) = kT (x) + T (y), concluímos que é linear.
(b) Como T (1, 1, 1) = (1, 1) e T (2, 2, 2) = (2, 4) 6= 2T (1, 1, 1), concluímos que não é
linear.
Observação 4.2 É fácil veri\ufb01car que se T é linear, então T (0) = T (\u22120+0) = \u2212T (0) +
T (0) = 0. A recíproca não é verdadeira: existem funções que satisfazem isto mas não são
lineares (veja Exemplo 4.3 e Exemplo 4.21 da p.106).
De\ufb01nição 4.3 (TL associada a uma matriz) Dada uma matriz m× n A \u2208Mm×n, de-
\ufb01nimos TA : Rn \u2192 Rm por TA(w) = Aw (produto matriz-vetor). TA é uma transformação
linear pelo Lema 2.20 da p.54 (linearidade do produto matriz-vetor).
Observação 4.3 Abusando a linguagem dizemos \ufffddada a matriz A \u2208 Mm×n, considere
A : Rn \u2192 Rm\ufffd, utilizando o mesmo símbolo para a matriz e para a função. O correto seria
dizer \ufffddada a matriz A, considere a função TA\ufffd.
Exemplo 4.4 Para cada matriz B abaixo determine o domínio, o contradomínio e a trans-
formação associada TB.
(a) B =
[
1 2 3
4 5 6
]
; (b) B =
\uf8ee\uf8f0 2 35 6
3 \u22121
\uf8f9\uf8fb
; (c) B =
[ \u22123 \u22122 ]
; (d) B =
\uf8ee\uf8f0 2\u22122
\u22123
\uf8f9\uf8fb
.
Solução: (a) Como são 2 linhas e 3 colunas, TB : R3 \u2192 R2. Utilizando a de\ufb01nição do
produto matriz-vetor,
B
\uf8ee\uf8f0 xy
z
\uf8f9\uf8fb = [ 1 2 3
4 5 6
]\uf8ee\uf8f0 xy
z
\uf8f9\uf8fb = x [ 1
4
]
+ y
[
2
5
]
+ z
[
3
6
]
=
=
[
x
4x
]
+
[
2y
5y
]
+
[
3z
6z
]
=
[
x+ 2y + 3z
4x+ 5y + 6z
]
.
É mais fácil (e é o que deve ser feito na prática) usar o Lema 2.22 da p.54 e fazer
produto escalar com linhas: B
\uf8ee\uf8f0 xy
z
\uf8f9\uf8fb = [ 1 2 3
4 5 6
]\uf8ee\uf8f0 xy
z
\uf8f9\uf8fb = [ (1, 2, 3) · (x, y, z)
(4, 5, 6) · (x, y, z)
]
=[
x+ 2y + 3z
4x+ 5y + 6z
]
. De uma forma ou de outra, concluímos que TB(x, y, z) = (x + 2y +
3z, 4x+ 5y + 6z).
94 CAPÍTULO 4. TRANSFORMAÇÃO LINEAR E MATRIZ
(b) Como são 3 linhas e 2 colunas, TB : R2 \u2192 R3, TB(x, y) = (2x+ 3y, 5x+ 6y, 3\u2212 y).
(c) Como são 1 linha e 2 colunas, TB : R2 \u2192 R, TB(x, y) = (\u22123x\u2212 2y).
(d) Como são 3 linhas e 1 coluna, TB : R\u2192 R3, TB(x) = (2x, \u22122x, \u22123x).
O próximo lema permite determinar uma TL no espaço todo conhecendo seus valores
somente numa base (caso seja \ufb01nita).
Lema 4.4 (determinando uma TL) Seja T : U \u2192 V transformação linear e
{u1,u2, . . . ,un} base de U . Se conhecemos T (ui) para i = 1, . . . , n, então T (u) está
bem determinado para qualquer u \u2208 U .
Prova: Dado u \u2208 U qualquer, pela de\ufb01nição de base, existem \u3b1\u2032is tais que u =
\u2211n
i=1 \u3b1iui.
Pela linearidade, T (u) = T (
\u2211n
i=1 \u3b1iui) =
\u2211n
i=1 \u3b1iT (ui). Como os valores T (ui) são conhe-
cidos, a transformação está determinada de modo único.
Exemplo 4.5 Determine uma TL satisfazendo em cada caso:
(a) T : R2 \u2192 R2 tal que T (1, 0) = (2,\u22121) e T (0, 1) = (3, 1);
(b) T : R2 \u2192 R tal que T (1, 1) = 2 e T (0, 1) = 3.
Solução: (a) Como (x, y) = x(1, 0) + y(0, 1), pela linearidade, T (x, y) = xT (1, 0) +
yT (0, 1) = x(2,\u22121) + y(3, 1) = (2x + 3y, y \u2212 x). (b) Como (1, 1) e (0, 1) são LIs,
formam uma base do R2. Dado (x, y) \u2208 R2, (x, y) = x(1, 1) + (y \u2212 x)(0, 1). Logo,
T (x, y) = xT (1, 1) + (y \u2212 x)T (0, 1) = 2x+ 3(y \u2212 x) = 3y \u2212 x.
Lema 4.5 (bijeção entre matrizes e TLs) A função da De\ufb01nição 4.3 que associa a cada
matriz A \u2208Mm×n a transformação linear TA : Rn \u2192 Rm é uma bijeção.
Prova: Vamos provar a injetividade. Suponha que TA = TB. Logo, dados vetores ei,
i = 1, . . . , n da base canônica do Rn, temos TA(ei) = Aei = Bei = TB(ei) para todo i.
Agora, é claro que Aei é a i-ésima coluna de A pois na combinação linear dos vetores colunas
de A vai aparecer somente a i-ésima coluna. Do mesmo modo, Bei é a i-ésima coluna de
B. Concluímos que cada coluna de A é igual a cada coluna de B, isto é, A = B, provando
a injetividade.
Para a sobrejetividade, considere S : Rn \u2192 Rm uma TL. De\ufb01na vi = S(ei), i = 1, . . . , n.
De\ufb01na A =
\uf8ee\uf8f0 \u2191v1
\u2193
· · ·
\u2191
vn
\u2193
\uf8f9\uf8fb
. Agora, é claro que Aei = vi. Logo TA(ei) = Aei = vi =
S(ei). Como S e TA são lineares e assumem os mesmo valores em todos os vetores da base,
pelo Lema 4.4 acima, S = TA.
Observação 4.4 Pelo lema acima toda TL do Rn em Rm é dada por uma matriz e vice-
versa. Isto é verdade para espaços de dimensão \ufb01nita pela De\ufb01nição 4.51 da p.123 e o
estudo de TLs em EVs \ufb01nitos pode ser reduzido ao estudo de matrizes.
Exemplo 4.6 Determine a matriz associada à TL:
(a) T (x, y, z, w) = (x\u2212 y + 2z, x+ y, z + w);
(b) T que leva cada vetor do R3 na sua projeção ortogonal no plano xz.
(c) T que leva cada vetor do R3 na sua rotação em torno do eixo z por um ângulo de 90
graus no sentido anti-horário do plano xy1.
1
Orientar sentido de rotações em R3 é um problema delicado. Neste caso, por se tratar do plano xy,
pensamos na orientação usual do plano. Em outras partes do livro, quando rodamos em torno de outros
eixos, seremos pouco precisos neste ponto.
4.1. FUNÇÃO, TRANSFORMAÇÃO LINEAR E MATRIZ 95
Solução: (a) Calcule T (1, 0, 0, 0) = (1, 1, 0), T (0, 1, 0, 0) = (\u22121, 1, 0), T (0, 0, 1, 0) =
(2, 0, 1),
T (0, 0, 0, 1) = (0, 0, 1). Colocando estes vetores como colunas da matriz T , obtemos que
T =
\uf8ee\uf8f0 1 \u22121 2 01 1 0 0
0 0 1 1
\uf8f9\uf8fb .
(b) É claro que (porque?) T (1, 0, 0) = (1, 0, 0) (o vetor e1 pertence ao plano xz),
T (0, 1, 0) = (0, 0, 0) (o vetor e2 é perpendicular ao plano xz), T (0, 0, 1) = (0, 0, 1) (o vetor
e3 pertence ao plano xz). Colocando estes vetores como colunas da matriz T , obtemos que
T =
\uf8ee\uf8f0 1 0 00 0 0
0 0 1
\uf8f9\uf8fb .
(c) É claro que (porque?) T (1, 0, 0) = (0, 1, 0), T (0, 1, 0) = (\u22121, 0, 0), T (0, 0, 1) =
(0, 0, 1). Colocando estes vetores como colunas da matriz T , obtemos que
T =
\uf8ee\uf8f0 0 \u22121 01 0 0
0 0 1
\uf8f9\uf8fb .
4.1.3 Transformações Lineares Geométricas
Matrizes que representam transformações geométricas como projeção, rotação, re\ufb02exão e
homotetias (ampliações e reduções) são utilizadas em computação grá\ufb01ca e para o estudo
da geometria das transformações lineares. Este ponto de vista geométrico será retomado na
p.199 (veja as \ufb01guras!). Deixamos para o leitor veri\ufb01car que estas transformações geométricas
são TLs.
Exemplo 4.7 (exemplos no R2) Determine a matriz que:
(a) amplia todos os vetores por um fator k.
(b) re\ufb02ete os vetores em torno do eixo x.
(c) projeta (ortogonalmente) os vetores no eixo x.
(d) re\ufb02ete os vetores em torno da reta y = \u2212x.
Solução: (a) A(1, 0) = k(1, 0) = (k, 0), A(0, 1) = k(0, 1) = (0, k). Logo, A =
[
k 0
0 k
]
=
kI. Para ilustração do caso k = 2 veja Figura 4.2.
(b) A(1, 0) = (1, 0), A(0, 1) = (0,\u22121). Logo, A =
[
1 0
0 \u22121
]
. Para ilustração veja
Figura 4.3.
(c) A(1, 0) = (1, 0), A(0, 1) = (0, 0). Logo, A =
[
1 0
0 0
]
. Para ilustração veja Fi-
gura 4.4.
(d) Com auxílio de um desenho, veri\ufb01que que A(1, 0) = (0,\u22121), A(0, 1) = (\u22121, 0). Logo,
A =
[
0 \u22121
\u22121 0
]
.
96 CAPÍTULO 4. TRANSFORMAÇÃO LINEAR E MATRIZ
x
y
Tv0\u25e6
Tv23\u25e6
Tv45\u25e6
Tv68\u25e6
Tv90\u25e6
Tv113\u25e6
Tv135\u25e6
Tv158\u25e6
Tv180\u25e6
Tv205\u25e6
Tv225\u25e6
Tv248\u25e6 Tv270\u25e6
Tv293\u25e6
Tv315\u25e6
Tv338\u25e6
v0\u25e6
v23\u25e6
v45\u25e6
v68\u25e6
v90\u25e6v113\u25e6
v135\u25e6
v158\u25e6
v180\u25e6
v205\u25e6
v225\u25e6
v248\u25e6v270\u25e6
v293\u25e6
v315\u25e6
v338\u25e6
Figura 4.2: Ampliação Uniforme: A(x, y) = (2x, 2y)
x
y
v0\u25e6 = Tv0\u25e6v180\u25e6 = Tv180\u25e6
v23\u25e6
Tv23\u25e6
v45\u25e6
Tv45\u25e6
v68\u25e6
Tv68\u25e6
v90\u25e6
Tv90\u25e6
v113\u25e6
Tv113\u25e6
v135\u25e6
Tv135\u25e6
v158\u25e6
Tv158\u25e6
Figura 4.3: Re\ufb02exão no eixo x: A(x, y) = (x,\u2212y)
Exemplo 4.8 (exemplos no R3) Determine a matriz que:
(a) projeta (ortogonalmente) os vetores do espaço no plano z = 0.
(b) re\ufb02ete os vetores do espaço em torno do plano z = 0.
(c) que projeta (ortogonalmente) os vetores do espaço no plano y = 0.
Solução: (a) Como os vetores que estão no plano z = 0 tem como imagem eles mesmo,
A(1, 0, 0) = (1, 0, 0), A(0, 1, 0) = (0, 1, 0). O vetor (0, 0, 1) quando projetado valerá