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DisciplinaÁlgebra Linear II918 materiais8.048 seguidores
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(a) f(f\u22121(y)) = y para todo y \u2208 Y ; (b) f\u22121(f(x)) = x para todo x \u2208 X.
Prova: Imediata pela de\ufb01nição da inversa.
De fato, estas duas propriedades caracterizam a inversa, conforme veremos no próximo
lema.
Lema 4.29 (caracterização da função inversa) Seja f : X \u2192 Y uma função qual-
quer. Se existem g, h : Y \u2192 X satisfazendo:
(a) (g \u25e6 f)(x) = x para todo x \u2208 X e (b) (f \u25e6 h)(y) = y para todo y \u2208 Y ,
então f é bijetiva e g = h = f\u22121.
Prova: Seja IX a identidade em X e IY a identidade em Y .
Se r \u25e6 s é injetiva, então s é injetiva. E se r \u25e6 s é sobrejetiva, então r é sobrejetiva. Como
IX é injetiva, e IY é sobrejetiva, podemos concluir que f é bijetiva e f
\u22121
está bem de\ufb01nida.
Logo
g \u25e6 f = IX \u21d2 g \u25e6 f \u25e6 f\u22121 = IX \u25e6 f\u22121 \u21d2 g = f\u22121 e
f \u25e6 h = IY \u21d2 f\u22121 \u25e6 f \u25e6 h = f\u22121 \u25e6 IY \u21d2 h = f\u22121.
Corolário 4.30 Se f é bijetiva, então f\u22121 é bijetiva e (f\u22121)\u22121 = f .
Lema 4.31 (inversa da composta) Se f : Y \u2192 Z e g : X \u2192 Y são invertíveis então
f \u25e6 g também o é e (f \u25e6 g)\u22121 = g\u22121 \u25e6 f\u22121.
Prova: Basta observar o diagrama abaixo.
f g
X Y Z
f g
X Y Z
g \u25e6 f
f\u22121 g\u22121
X Y Z
f\u22121 \u25e6 g\u22121
Vamos agora particularizar para o caso em que a função é uma TL. Para isto precisamos
que ela seja uma bijeção.
4.4. FUNÇÃO E MATRIZ INVERSA 113
Lema 4.32 (propriedades da inversa de TL) Sejam S, T : U \u2192 V transformações line-
ares bijetivas (invertíveis), então:
(a) T\u22121 é linear; (b) U e V têm a mesma dimensão se dim(U) é \ufb01nita; (c) (ST )\u22121 =
T\u22121S\u22121.
Prova:
(a) Sejam v1,v2 \u2208 V e \u3b1, \u3b2 \u2208 R e u1 = T\u22121(v1),u2 = T\u22121(v2).
Então, pela linearidade de T , T (\u3b1u1 + \u3b2u2) = \u3b1T (u1) + \u3b2T (u2) = \u3b1v1 + \u3b2v2.
Logo T\u22121(\u3b1v1 + \u3b2v2) = T\u22121(T (\u3b1u1 + \u3b2u2)) = \u3b1u1 + \u3b2u2 = \u3b1T\u22121(v1) + \u3b2T\u22121(v2).
(b) Pelo Lema 4.17 da p.105, como T é injetiva, dimNuc(T ) = 0; como T é sobreje-
tiva, dim Im(T ) = dim(V ). Pelo Teorema 4.12 da p.102 (TNI), dim(U) = dimNuc(T ) +
dim Im(T ) = 0 + dim(V ) = dim(V ).
(c) Segue pelo Lema 4.31.
Teorema 4.33 (inversa e o núcleo) Suponha V de dimensão \ufb01nita. Se T : V \u2192 V então
T é invertível se, e somente se, Nuc(T ) = {0}.
Prova: Se T é invertível então é injetiva e pelo Lema 4.17 da p.105 o núcleo é nulo.
Suponha que Nuc(T ) = {0}. Pelo Lema 4.17 da p.105, T é injetiva. Pelo Teorema 4.12 da
p.102 (TNI), dim(V ) = dim(Nuc(T ))+dim(Im(T )) = dim(Im(T )) (pois dimNuc(T ) = 0).
Logo T é sobrejetiva. Como T é injetiva e sobrejetiva segue que T é uma bijeção e portanto
é invertível.
Exemplo 4.28 Determine, se for possível, a inversa das transformações geométricas em R2:
(a) rotação de 25 graus; (b) re\ufb02exão em torno da reta 2x \u2212 3y = 0; (c) projeção
ortogonal na reta 5x\u2212 2y = 0.
Solução: (a) inversa é rotação de 360\u2212 25 = 335 graus pois rodar 25 graus e depois rodar
335 graus equivale a rodar 360 graus, isto é, \ufb01car parado.
(b) inversa é re\ufb02etir novamente em torno da mesma reta (2x\u22123y = 0) pois duas re\ufb02exões
seguidas cancelam uma a outra;
(c) não possui inversa pois os vetores perpendiculares à reta 5y \u2212 2y = 0 farão parte do
núcleo; como ele é não-trivial, esta TL não possui inversa pelo Teorema 4.33.
4.4.2 Matriz Inversa
De\ufb01nição 4.34 (matriz identidade) De\ufb01nimos como matriz identidade I a matriz que
corresponde à TL identidade I : Rn \u2192 Rn de\ufb01nida por I(v) = v para todo v \u2208 Rn. I é uma
matriz diagonal com n 1's na diagonal (vetores da base canônica em cada coluna):
I =
\uf8ee\uf8f0 \u2191e1
\u2193
. . .
\u2191
en
\u2193
\uf8f9\uf8fb =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 1 . .
.
1
\uf8f9\uf8fa\uf8fb .
De\ufb01nição 4.35 (matriz inversa e singular) Diz-se que uma matriz quadrada A \u2208Mn×n
é invertível se existe B \u2208 Mn×n tal que AB = BA = I. Neste caso dizemos que B é a
matriz inversa de A e denota-se B por A\u22121 (a unicidade é provada no próximo lema).
Caso A \u2208Mn×n não seja invertível dizemos que A é singular.
114 CAPÍTULO 4. TRANSFORMAÇÃO LINEAR E MATRIZ
Lema 4.36 (propriedades da inversa) Sejam A,B \u2208Mn×n. Então:
(a) Inversa de A é única;
(b) AB = I se, e somente se, BA = I, se e somente se B = A\u22121;
(c) Se A e B são invertíveis então AB é invertível e (AB)\u22121 = B\u22121A\u22121.
Prova: (a) Suponha que C e B são inversas de A. Então AC = I e BA = I. Logo,
(BA)C = IC = C e pela associatividade do produto de matrizes (Proposição 4.26) B(AC) =
BI = B = C.
(b) Se AB = I então A é sobrejetiva pois A(Bv) = Iv = v para todo v. Pelo
Corolário 4.18 da p.106 A é uma bijeção e portanto existe inversa A\u22121. Pela unicidade da
inversa, A\u22121 = B. Deixamos o resto para o leitor.
(c) Aplique o Lema 4.32 para provar que AB é invertível e a fórmula dada.
Lema 4.37 (núcleo e inversa de matriz) A matriz quadrada A é invertível se, e somente
se, Nuc(A) = 0.
Prova: Aplique o Teorema 4.33 da p.113 à TL associada TA.
Antes de apresentar o algoritmo do cálculo de matriz inversa, vamos mostrar como resol-
ver simultâneamente sistemas lineares com mesma matriz de coe\ufb01cientes mas com lado
direito distinto.
Exemplo 4.29 (resolvendo sistemas lineares simultaneamente) Resolva os sistemas{
x+ 2y = 4
2x+ 5y = 9
e
{
x+ 2y = \u22121
2x+ 5y = \u22123 de forma independente e simultaneamente.
Solução: De forma independente calculamos[
1 2 4
2 5 9
]
\u223c
[
1 2 4
0 1 1
]
\u223c
[
1 0 2
0 1 1
]
,
determinando a solução do primeiro sistema (x = 2, y = 1), e depois calculamos[
1 2 \u22121
2 5 \u22123
]
\u223c
[
1 2 \u22121
0 1 \u22121
]
\u223c
[
1 0 1
0 1 \u22121
]
,
determinando a solução do segundo sistema (x = 1, y = \u22121).
Podemos resolver simultaneamente os dois sistemas aumentando a matriz com vários
lados direitos de uma vez. Desta forma calculamos[
1 2 4 \u22121
2 5 9 \u22123
]
\u223c
[
1 2 4 \u22121
0 1 1 \u22121
]
\u223c
[
1 0 2 1
0 1 1 \u22121
]
para obter a solução dos dois sistemas com um escalonamento.
Teorema 4.38 (algoritmo para calcular matriz inversa) Seja A uma matriz quadrada.
(a) Monte matriz estendida [A|I];
(b) Escalone totalmente até obter a matriz identidade no lado esquerdo.
Caso isto seja possível, a inversa aparecerá do lado direito: [I|A\u22121].
4.5. ÁLGEBRA DAS MATRIZES E TLS 115
Prova: Pelo Lema 4.36 basta determinar B =
\uf8ee\uf8f0 \u2191v1
\u2193
· · ·
\u2191
vn
\u2193
\uf8f9\uf8fb
tal que AB = I. Como
I =
\uf8ee\uf8f0 \u2191e1
\u2193
. . .
\u2191
en
\u2193
\uf8f9\uf8fb
, queremos que
AB = A
\uf8ee\uf8f0 \u2191v1
\u2193
· · ·
\u2191
vn
\u2193
\uf8f9\uf8fb =
\uf8ee\uf8f0 \u2191Av1
\u2193
. . .
\u2191
Avn
\u2193
\uf8f9\uf8fb = I =
\uf8ee\uf8f0 \u2191e1
\u2193
. . .
\u2191
en
\u2193
\uf8f9\uf8fb.
Para isto temos que resolver n sistemas do tipo Avi = ei para i = 1, . . . , n. No Exemplo 4.29
vimos como resolver simultaneamente sistemas cujo lado esquerdo é o mesmo. Monte a matriz
ampliada
\uf8ee\uf8f0 A \u2191e1
\u2193
· · ·
\u2191
en
\u2193
\uf8f9\uf8fb = [A|I] e escalone-a totalmente, obtendo a matriz identidade
à esquerda e a solução dos sistema no lado direito. Desta forma, após o escalonamento total,
obtemos \uf8ee\uf8f0 A \u2191e1
\u2193
· · ·
\u2191
en
\u2193
\uf8f9\uf8fb = [A|I] \u223c
\uf8ee\uf8f0 I \u2191v1
\u2193
· · ·
\u2191
vn
\u2193
\uf8f9\uf8fb = [I|B] = [I|A\u22121].
Exemplo 4.30 Determine a matriz inversa de A =
[
1 \u22122
1 1
]
.
Solução: Escalonando totalmente
[
1 \u22122 1 0
1 1 0 1
]
, obtemos
[
1 0 1/3 2/3
0 1 \u22121/3 1/3
]
. Logo,
A\u22121 =
[
1/3 2/3
\u22121/3 1/3
]
.
Observação 4.14 (Software Algébrico) Pode-se calcular a matriz inversa com o co-
mando do Maxima invert. Entramos a matriz com M: matrix( [1,-2], [1,1]); e
invertemos com invert(M);.
4.5 Álgebra das Matrizes e TLs
4.5.1 Álgebra de Matrizes
Nesta seção vamos introduzir operações de soma e produto por escalar de matrizes e TLs.
Munido destas operações o conjunto das matrizes e o das TLs formam um espaço vetorial.
Vamos começar de\ufb01nindo as operações de soma e produto por escalar de matrizes. Fa-
remos isto utilizando as de\ufb01nições correspondentes (ver De\ufb01nição 1.2 da p.2 e De\ufb01nição 1.4
da p.2) em Rn.
116 CAPÍTULO 4. TRANSFORMAÇÃO LINEAR E MATRIZ
De\ufb01nição 4.39 (soma de matrizes e multiplicação por escalar) Sejam k um escalar
e matrizes A,B m× n cujas colunas são compostas por vetores a1, . . . , an e b1, . . . ,bn, isto
é,
A =
\uf8ee\uf8f0 \u2191a1
\u2193
· · ·
\u2191
an
\u2193
\uf8f9\uf8fb
e B =
\uf8ee\uf8f0 \u2191b1
\u2193
· · ·
\u2191
bn
\u2193
\uf8f9\uf8fb .
De\ufb01ne-se A+B =
\uf8ee\uf8f0