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DisciplinaÁlgebra Linear II1.004 materiais8.164 seguidores
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\u2191(a1 + b1)
\u2193
· · ·
\u2191
(an + bn)
\u2193
\uf8f9\uf8fb
e kA =
\uf8ee\uf8f0 \u2191(ka1)
\u2193
· · ·
\u2191
(kan)
\u2193
\uf8f9\uf8fb .
Observação 4.15 O sinal \ufffd+\ufffd (mais) dentro da matriz e entre as matrizes tem signi\ufb01cado
distinto: trata-se de soma de vetores, num caso, e de soma de matrizes, no outro. A mesma
observação vale para o produto kA.
A de\ufb01nição usual destas operações é, componente a componente, (A + B)ij = aij +
bij e (kA)ij = kaij. mas nossa apresentação é mais elegante.
Lema 4.40 (espaço vetorial das matrizes) O conjunto das matrizes Mm×n (De\ufb01ni-
ção 2.2 da p.30) munido com as operações da De\ufb01nição 4.39 é um espaço vetorial.
Prova: Uma matriz A \u2208 Mm×n pode ser vista como um vetor em Rmn com entradas
(aij). Vista deste modo, com operações de\ufb01nidas componente a componente,Mm×n é igual
a Rmn. Como já sabemos que Rmn é um espaço vetorial,Mm×n é um espaço vetorial.
Lema 4.41 (propriedades das operações com matrizes) Dadas matrizes A,B,C e es-
calar k, sempre que o produto faça sentido, valerão as seguintes propriedades:
(a) (kA)B = A(kB) = k(AB) (associativa),
(b) A(B + C) = AB + AC (distributiva),
(c) (A+B)C = AC +BC (distributiva),
(d) (AB)T = BTAT ,
(e) Se A é matriz quadrada e I matriz identidade de mesmo tamanho, AI = IA = A.
Dizemos que a matriz identidade é o elemento neutro para o produto de matrizes.
Prova: Por ser enfadonha será omitida. Pode ser feito por aplicações apropriadas do
Lema 2.20 da p.54 e Lema 4.24 da p.110 ou calculando todas entradas das matrizes.
Finalizamos esta Seção com de\ufb01nições úteis para a Seção Autovalores e Autovetores
(matriz simétrica) e para Seção Produto Interno (matriz ortogonal).
De\ufb01nição 4.42 (matriz simétrica) Dizemos que A é simétrica se A = AT .
A matriz tem que ser, necessariamente, quadrada para ser simétrica.
Exemplo 4.31 São simétricas:
\uf8ee\uf8f0 k1 a ba k2 c
b c k3
\uf8f9\uf8fb
,
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1 2 3 4
2 5 6 7
3 6 8 9
4 7 9 10
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb.
De\ufb01nição 4.43 (matriz ortogonal) Dizemos que Q é ortogonal se QTQ = I (identi-
dade).
Exemplo 4.32 São ortogonais:
\uf8ee\uf8f0 1/\u221a2 00 1
1/
\u221a
2 0
\uf8f9\uf8fb
,
\uf8ee\uf8f0 \u221a3/2 0 1/20 1 0
\u22121/2 0 \u221a3/2
\uf8f9\uf8fb
,
[
sen \u3b8 cos \u3b8
\u2212 cos \u3b8 sen \u3b8
]
.
4.5. ÁLGEBRA DAS MATRIZES E TLS 117
4.5.2 ?Álgebra das TLs1
De\ufb01nição 4.44 (conjunto das TLs) Dados U e V espaços vetoriais denotamos por
L(U ;V ) o conjunto das transformações lineares T : U \u2192 V .
De\ufb01nição 4.45 (operações entre TLs) Dados T, S \u2208 L(U ;V ) e k escalar, de\ufb01nimos a
soma de TLs e a sua multiplicação por escalar por:
T + S : U \u2192 V
u 7\u2192 T (u) + S(u) e
kT : U \u2192 V
u 7\u2192 kT (u) .
Observação 4.16 O sinal \ufffd+\ufffd (mais) em \ufffdT + S\ufffd e \ufffdT (u) + S(u)\ufffd (bem como do
produto) possui signi\ufb01cado distinto em cada expressão: soma de TLs, num caso, e soma
de vetores no outro. Compare estas de\ufb01nições com as da De\ufb01nição 3.18 da p.76 e veja
que são iguais.
Lema 4.46 (espaço vetorial das TLs) O conjunto L(U ;V ) munido com às operações da
De\ufb01nição 4.45 é um espaço vetorial.
Prova: É claro que L(U ;V ) \u2282 F(U ;V ) (toda transformação linear é uma função). É um
exercício fácil mostrar que F(U ;V ) é um espaço vetorial (dica: elemento neutro da soma é
E : U \u2192 V de\ufb01nida por E(x) \u2261 0). Portanto, pelo Lema 3.6 da p.67, basta veri\ufb01car que
L(U ;V ) é fechado com relação às operações de soma e produto por escalar.
De fato, sejam T, S \u2208 L(U ;V ). Então (T + S)(u + \u3bbv) = T (u + \u3bbv) + S(u + \u3bbv) =
(linearidade de T e S) T (u) + \u3bbT (v) + S(u) + \u3bbS(v) = T (u) + S(u) + \u3bb(T (v) + S(v))
= (T + S)(u) + \u3bb(T + S)(v). Logo T + S é uma TL, isto é, T + S \u2208 L(U ;V ) (fechado
pela soma).
De forma análoga, (kT )(u+\u3bbv) = kT (u+\u3bbv) = (linearidade de T )= kT (u)+k\u3bbT (v) =
(kT )(u) + \u3bb(kT )(v). Logo kT é uma TL, isto é, kT \u2208 L(U ;V ) (fechado pelo produto).
Como L(U ;V ) é fechado com relação às operações de soma e produto por escalar é um
espaço vetorial.
Observação 4.17 No Desa\ufb01o 4.9.4 da p.136 pede-se para determinar uma base para
L(U ;V ) e uma prova que dim(L(U ;V )) = dim(U) dim(V ) caso U, V sejam espaços
vetoriais de dimensão \ufb01nita.
Lema 4.47 (propriedades da composição de TLs) Dadas TLs S, T, U e escalar k, sem-
pre que a composição faça sentido, valerão as seguintes propriedades:
(a) (kS) \u25e6 T = S \u25e6 (kT ) = k(S \u25e6 T ) (associativa)
(b) S \u25e6 (T + U) = S \u25e6 T + S \u25e6 U (distributiva);
(c) (S + T ) \u25e6 U = S \u25e6 U + T \u25e6 U (distributiva);
Prova: Deixamos para o leitor.
1
A leitura desta subseção é opcional.
118 CAPÍTULO 4. TRANSFORMAÇÃO LINEAR E MATRIZ
4.6 Matriz em Blocos
Já vimos como operar uma matriz por colunas ou linhas. Podemos generalizar para blocos
de tamanho qualquer. É muito importante em linguagens de programação moderna (Fortran
2000 e Python por exemplo) e em programas de computação cientí\ufb01ca (Scilab e Matlab por
exemplo) interpretar o produto e soma de matrizes por blocos.
Exemplo 4.33 (matriz em blocos) Considere a matriz A =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
2 2 2 2 2
1 2 3 4 5
2 2 2 2 2
1 2 3 4 5
2 2 2 2 2
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb e de\ufb01na
por Aij cada um destes blocos: A =
[
A11 A12
A21 A22
]
. Mostre que:
A2 = AA =
[
A11A11 + A12A21 A11A12 + A12A22
A21A11 + A22A21 A21A12 + A22A22
]
.
Solução: Veri\ufb01que que as dimensões permitem calcular todas as operações. Depois faça a
conta. Deixamos detalhes para o leitor.
O próximo lema mostra que operamos com os blocos como se fossem números, com o
único cuidado de manter a ordem nos produtos pois o produto de matrizes não é comutativo.
Apresentamos a divisão em 4 blocos mas podemos dividir num número arbitrário de blocos.
Lema 4.48 (soma e produto de matrizes por blocos) Sejam A e B matrizes divididas
em blocos com A =
[
A11 A12
A21 A22
]
e B =
[
B11 B12
B21 B22
]
.
Seja k \u2208 R, kA =
[
kA11 kA12
kA21 kA22
]
.
Caso o tamanho dos blocos sejam compatíveis para que as somas que aparecem na fórmula
sejam possíveis, A+B =
[
A11 +B11 A12 +B12
A21 +B21 A22 +B22
]
.
Caso o tamanho dos blocos sejam compatíveis para que os produtos que aparecem na
fórmula sejam possíveis, AB =
[
A11B11 + A12B21 A11B12 + A12B22
A21B11 + A22B21 A21B12 + A22B22
]
.
Prova: Consulte a literatura.
Exemplo 4.34 Suponha A \u2208 M4×4 tal que A =
[
B 0
0 C
]
com B,C \u2208 M2×2 invertíveis.
O 0 signi\ufb01ca uma matriz com todas as entradas nulas de tamanho apropriado. Determine:
(a) A2; (b) A\u22121.
Solução: (a) A2 = AA =
[
B2 0
0 C2
]
. (b) A\u22121 =
[
B\u22121 0
0 C\u22121
]
pois AA\u22121 =[
BB\u22121 0
0 CC\u22121
]
=
[
I 0
0 I
]
= I.
Exemplo 4.35 Suponha A,B,C quadradas, I matriz identidade com a dimensão correta
em cada caso. De\ufb01na J =
[
A B
0 C
]
, K =
[
A 0
0 I
]
, L =
[
I 0
0 B
]
. Determine:
(a) J2; (b) 2J ; (c) K + L; (d) KL; (e) LK.
4.7. ?MATRIZ REPRESENTANDO VETOR: COORDENADAS 119
Solução: (a) J2 =
[
A2 AB +BD
0 C2
]
. (b) 2J =
[
2A 2B
0 2C
]
.
(c) K + L =
[
A+ I 0
0 B + I
]
. (d) e (e) KL =
[
A 0
0 B
]
= LK.
Veja como inverter uma matriz de bloco qualquer na Wikipedia: Matriz inversa.
4.7 ?Matriz Representando Vetor: Coordenadas1
De\ufb01nição 4.49 (coordenadas) Seja V um espaço vetorial (de dimensão \ufb01nita) com base
\u3b2 = {b1,b2, . . . ,bn}. As coordenadas do vetor v \u2208 V na base \u3b2 (conjunto ordenado) são
os coe\ufb01cientes \u3b1i's (únicos pela De\ufb01nição 3.11 da p.72) usados para combinar linearmente os
vetores bi's de forma a gerar v, isto é, v =
n\u2211
i=1
\u3b1ibi. Denotamos pela matriz de uma coluna:
[v]\u3b2 =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
\u3b11
\u3b12
.
.
.
\u3b1n
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb \u2208Mn×1.
A função [ · ]\u3b2 : V \u2192 Mn×1
v 7\u2192 [v]\u3b2
associa a cada vetor suas coordenadas na base \u3b2.
Exemplo 4.36 Dados a base canônica \u3b5 = {e1, e2, . . . , en} do Rn e v = (1, 2, 3, . . . , n)
determine [v]\u3b5.
Solução: Como v = 1e1 + 2e2 + · · ·+ nen concluímos que [v]\u3b5 =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1
2
.
.
.
n
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb.
Exemplo 4.37 Considere o vetor v = (2, 4) \u2208 R2 e as bases \u3b5 = {(1, 0), (0, 1)} e \u3b2 =
{(1, 1), (0, 1)}. Determine [v]\u3b5 e [v]\u3b2.
Solução: Como (2, 4) = 2(1,