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0) + 4(0, 1), então [v]\u3b5 =
[
2
4
]
. Queremos (2, 4) = a(1, 1) +
b(0, 1), ou seja, 2 = a, 4 = a + b. Logo b = 2 e (2, 4) = 2(1, 1) + 2(0, 1) e [v]\u3b2 =
[
2
2
]
.
Mostramos na Figura 4.13 porque o mesmo vetor pode possuir coordenadas distintas em
bases distintas.
Exemplo 4.38 Considere a base \u3b2 = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} e o vetores v = (1, 2, 2)
e w = (1, 1, 0). Determine [v]\u3b5, [v]\u3b2, [w]\u3b5 e [w]\u3b2.
Solução: É claro que (reveja exemplos anteriores) [v]\u3b5 =
\uf8ee\uf8f0 12
2
\uf8f9\uf8fb
e [w]\u3b5 =
\uf8ee\uf8f0 11
0
\uf8f9\uf8fb
.
1
A leitura desta seção é opcional.
120 CAPÍTULO 4. TRANSFORMAÇÃO LINEAR E MATRIZ
Figura 4.13: Vetor v = (2, 4) em bases distintas
Queremos (1, 2, 2) = a(1, 1, 1)+b(0, 1, 1)+c(0, 0, 1). Logo 1 = a, 2 = a+b, 2 = a+b+c.
Logo b = 1 e c = 0. Logo (1, 2, 2) = 1(1, 1, 1) + 1(0, 1, 1) + 0(0, 0, 1) e [v]\u3b2 =
\uf8ee\uf8f0 11
0
\uf8f9\uf8fb
.
Queremos (1, 1, 0) = a(1, 1, 1) + b(0, 1, 1) + c(0, 0, 1). Logo 1 = a, 1 = a + b, 0 =
a + b + c. Logo b = 0 e c = \u22121. Como (1, 1, 0) = 1(1, 1, 1) + 0(0, 1, 1) \u2212 1(0, 0, 1), então
[w]\u3b2 =
\uf8ee\uf8f0 10
\u22121
\uf8f9\uf8fb
. Como [w]\u3b5 = [v]\u3b2 =
\uf8ee\uf8f0 11
0
\uf8f9\uf8fb
, vetores distintos podem possuir as mesmas
coordenadas em bases distintas.
Exemplo 4.39 Considere a base \u3b2 do Exemplo 3.21 da p.73 e v = (v1, v2, . . . , vn) \u2208 Rn.
Determine [v]\u3b2.
Solução: Da solução do Exemplo 3.21 da p.73, v = v1b1+(v2\u2212v1)b2+ · · ·+(vn\u2212vn\u22121)bn.
Portanto:
[v]\u3b2 =
[
(v1, v2, . . . , vn)
]
\u3b2
=
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
v1
v2 \u2212 v1
.
.
.
vn \u2212 vn\u22121
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb .
Os dois exemplos a seguir mostram como determinar as coordenadas de um vetor numa
base qualquer dadas suas coordenadas na base canônica e vice-versa. Um caso é direto, o
outro envolve resolver um sistema linear. Juntando os dois exemplos podemos passar de
uma base \u3b1 qualquer para outra \u3b2, bastando passar pela base \u3b5.
Exemplo 4.40 Considere a base \u3b2 = {(1, 1, 1), (1, 0, 1), (2, 0,\u22121)} de R3. Determine:
(a) v sabendo que [v]\u3b2 =
\uf8ee\uf8f0 23
\u22121
\uf8f9\uf8fb
; (b) [(4, 3, 7)]\u3b2.
Solução:
(a) Efetuando, v = 2(1, 1, 1) + 3(1, 0, 1)\u2212 (2, 0,\u22121) = (3, 2, 6)
(b) Precisamos determinar a1, a2, a3 \u2208 R tais que a1(1, 1, 1) +a2(1, 0, 1) +a3(2, 0,\u22121) =
(4, 3, 7). Expandindo, obtemos o sistema linear:
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
1a1 + 1a2 + 2a3 = 4
1a1 + 0a2 + 0a3 = 3
1a1 + 1a2 + (\u22121)a3 = 7
.
4.7. ?MATRIZ REPRESENTANDO VETOR: COORDENADAS 121
Escalonando
\uf8ee\uf8f0 1 1 2 41 0 0 3
1 1 \u22121 7
\uf8f9\uf8fb \u223c
\uf8ee\uf8f0 1 0 0 30 1 0 3
0 0 1 \u22121
\uf8f9\uf8fb
. Portanto a solução é única com
(a1, a2, a3) = (3, 3,\u22121). Portanto, [(4, 3, 7)]\u3b2 =
\uf8ee\uf8f0 33
\u22121
\uf8f9\uf8fb
.
Exemplo 4.41 Considere V = P2 (polinômios de grau até 2), a base \u3b5 = {1, x, x2}, a
base \u3b2 = {1 + x, 1 \u2212 x, x2}, e os vetores (polinômios que são elementos de P2) u = 8,
v = 6 + 5x2 e w = 8x\u2212 2. Determine:
(a) [u]\u3b5, (b) [v]\u3b5, (c) [w]\u3b5, (d) [u]\u3b2, (e) [v]\u3b2, (f) [w]\u3b2.
Solução: (a) Como u = 8 + 0x + 0x2, [u]\u3b5 =
\uf8ee\uf8f0 80
0
\uf8f9\uf8fb
. (b) Como v = 6 + 0x + 5x2,
[v]\u3b5 =
\uf8ee\uf8f0 60
5
\uf8f9\uf8fb
, (c) Como w = \u22122 + 8x+ 0x2, [w]\u3b5 =
\uf8ee\uf8f0 \u221228
0
\uf8f9\uf8fb
.
(d) Queremos 8 = a(1+x)+b(1\u2212x)+cx2. Expandindo 8 = a+b+(a\u2212b)x+cx2. Logo
a+ b = 8, a\u2212 b = 0, c = 0. Logo a = b = 4. Como 8 = 4(1 + x) + 4(1\u2212 x), [u]\u3b2 =
\uf8ee\uf8f0 44
0
\uf8f9\uf8fb
.
(e) Queremos 6+5x2 = a(1+x)+b(1\u2212x)+cx2. Expandindo 6+5x2 = a+b+(a\u2212b)x+cx2.
Logo a+b = 6, a\u2212b = 0, c = 5. Logo a = b = 3. Como 6+5x2 = 3(1+x)+3(1\u2212x)+5x2,
[v]\u3b2 =
\uf8ee\uf8f0 33
5
\uf8f9\uf8fb
.
(f) Queremos 8x\u2212 2 = a(1 +x) + b(1\u2212x) + cx2 = a+ b+ (a\u2212 b)x+ cx2. Logo c = 0 e
temos que resolver o sistema
{
a+ b = \u22122
a\u2212 b = 8 . Resolvendo obtemos a = 3, b = \u22125. Logo
[w]\u3b2 =
\uf8ee\uf8f0 3\u22125
0
\uf8f9\uf8fb
.
Exemplo 4.42 Considere F(R;R) (funções reais), \u3b2 = {sen2(x), cos2(x)} e \u3b3 = {1, sen2(x)}.
Considere os vetores (funções que são elementos de F(R;R)) u = cos2(x), v = cos(2x) e
w = 1. Seja W = \u3008\u3b2\u3009 \u2282 F(R;R) o subespaço gerado por \u3b2. Prove que:
(a) W = \u3008\u3b3\u3009 (espaço gerado por \u3b3); (b) \u3b2 e \u3b3 são LIs; (c) u,v \u2208 \u3008\u3b3\u3009.
Determine:
(d) [u]\u3b2, [v]\u3b2, [w]\u3b2; (e) [u]\u3b3, [v]\u3b3, [w]\u3b3.
Solução: (a) Seja G = \u3008\u3b3\u3009. Se z \u2208 W então z = a sen2 x + b cos2 x. Logo z = a sen2 x +
b(1 \u2212 sen2 x) = b1 + (a \u2212 b) sen2 x \u2208 G. Agora se k \u2208 G então k = a1 + b sen2 x =
a(sen2 x+ cos2 x) + b sen2 x = (a+ b) sen2 x+ a cos2 x \u2208 W . Logo G = W .
(b) Vamos provar que \u3b2 é LI. Suponha que a sen2 x+ b cos2 x = 0. Queremos provar que
a = b = 0. Como a identidade é para todo x \u2208 R, tomando x = 0 concluímos que a0+b1 = 0,
ou seja, b = 0. Tomando x = pi/2, a1 + b0 = 0, logo a = 0. Convidamos o leitor a provar
que \u3b3 é LI. Uma técnica mais geral é oWronskiano apresentada no Desa\ufb01o 6.9.4 da p.193.
(c) u = cos2 x = 1\u2212sen2 x \u2208 W , v = cos(2x) = cos2(x)\u2212sen2(x) = 1\u22122 sen2(x) \u2208 W ,
122 CAPÍTULO 4. TRANSFORMAÇÃO LINEAR E MATRIZ
(d) Pelo item anterior e identidades trigonométricas (veri\ufb01que!) [u]\u3b2 =
[
0
1
]
, [v]\u3b2 =[ \u22121
1
]
, [w]\u3b2 =
[
1
1
]
, [u]\u3b3 =
[
1
\u22121
]
, [v]\u3b3 =
[
1
\u22122
]
, [w]\u3b3 =
[
1
0
]
.
O próximo lema garante que todo espaço vetorial de dimensão \ufb01nita n é essencialmente
igual ao Rn (em linguagem matemática, dizemos isomorfo pois existe bijeção linear).
Lema 4.50 (mapeamento vetor \u2192 coordenadas é bijeção linear) Considere V es-
paço vetorial de dimensão \ufb01nita n com base \u3b2. O mapeamento [ · ]\u3b2 : V \u2192 Mn×1
v 7\u2192 [v]\u3b2
é:
(a) linear, isto é, preserva combinações lineares,
[\u3b1u + \u3b3v]\u3b2 = \u3b1[u]\u3b2 + \u3b3[v]\u3b2 \u2200\u3b1, \u3b3 \u2208 R, \u2200u,v \u2208 V ;
(b) injetivo, isto é, se [v]\u3b2 = [w]\u3b2 então v = w.
(c) sobrejetivo, isto é, dada matriz coluna A \u2208Mn×1, existe v \u2208 V tal que [v]\u3b2 = A.
Além disso existe uma bijeção linear L : V \u2192 Rn.
Prova: (a) Escrevemos \u3b2 = {v1,v2, . . . ,vn}. Dados u,v \u2208 V , u =
n\u2211
i=1
\u3b1ivi e w =
n\u2211
i=1
\u3b3ivi. Assum u + w =
n\u2211
i=1
(\u3b1i + \u3b3i)vi. É imediato que [u]\u3b2 =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 \u3b11..
.
\u3b1n
\uf8f9\uf8fa\uf8fb , [w]\u3b2 =\uf8ee\uf8ef\uf8f0 \u3b31..
.
\u3b3n
\uf8f9\uf8fa\uf8fb , [u + w]\u3b2 =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 \u3b11 + \u3b31..
.
\u3b1n + \u3b3n
\uf8f9\uf8fa\uf8fb =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 \u3b11..
.
\u3b1n
\uf8f9\uf8fa\uf8fb +
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 \u3b31..
.
\u3b3n
\uf8f9\uf8fa\uf8fb = [u]\u3b2 + [w]\u3b2. Analogamente,
[\u3beu]\u3b2 =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 \u3be\u3b11..
.
\u3be\u3b1n
\uf8f9\uf8fa\uf8fb = \u3be[u]\u3b2.
(b) Segue da unicidade da representação de um vetor como CL de vetores de uma base.
(c) Dado A =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 \u3b11..
.
\u3b1n
\uf8f9\uf8fa\uf8fb de\ufb01na v = n\u2211
i=1
\u3b1ivi.
Seja \u3b5 a base canônica do Rn e [ · ]\u22121\u3b5 : Mn×1 \u2192 Rn o mapeamento inverso. De\ufb01na
L = [[ · ]\u3b2]\u22121\u3b5 : V \u2192 Rn, a composição de [ · ]\u22121\u3b5 com [ · ]\u3b2.
Embora coordenadas sem indicação da base não determinem um vetor, existe uma con-
venção (dizemos que é um abuso de notação, isto é, um uso da notação diferente do conven-
cionado) que é assumir que a base é canônica. Temos três formas equivalentes de determinar
o mesmo vetor v \u2208 Rn (veja p.31):
\u2022 considere o vetor v = (\u3b11, . . . , \u3b1n) (uso correto);
\u2022 considere o vetor [v]\u3b5 =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 \u3b11..
.
\u3b1n
\uf8f9\uf8fa\uf8fb (uso correto);
4.8. ?MATRIZ REPRESENTANDO TL: MUDANÇA DE BASE 123
\u2022 considere o vetor v =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 \u3b11..
.
\u3b1n
\uf8f9\uf8fa\uf8fb (abuso de notação).
O último uso é tão comum que muitos livros usam como de\ufb01nição de vetor do Rn: um
vetor é uma matriz com uma coluna e n linhas. Um vetor poderia ser uma matriz linha, mas
a convenção utilizada em todos os livros é como uma matriz coluna.
4.8 ?Matriz Representando TL: Mudança de Base1
Antes de estudar esta seção estude a de\ufb01nição de coordenadas de um vetor numa base
(De\ufb01nição 4.49 da p.119).
O Lema 4.5 da p.94 mostra que existe uma bijeção entre matrizes (Mm×n) e L(Rn;Rm)
(TLs do Rn em Rm). Vamos associar matrizes a TLs entre dois espaços vetoriais quaisquer
de dimensão \ufb01nita.
De\ufb01nição 4.51 (matriz associada à TL) Sejam U e V espaços vetoriais de dimensão
\ufb01nita com dim(U) = n e dim(V ) = m e bases \u3b2 = {u1, . . . ,un} de U e \u3b3 de V . Dada
T \u2208 L(U ;V ), denotamos por [T ]\u3b3\u2190\u3b2 \u2208Mm×n a matriz de que representa T . Ela é de\ufb01nida
por
[T ]\u3b3\u2190\u3b2 =
\uf8ee\uf8f0 \u2191[T (u1)]\u3b3
\u2193
· · ·
\u2191
[T (un)]\u3b3
\u2193
\uf8f9\uf8fb \u2208Mm×n.
Desta forma, cada coluna da matriz [T ]\u3b3\u2190\u3b2 é formada pelas coordenadas do vetor T (ui) na
base \u3b3.
Em que sentido a matriz [T ]\u3b3\u2190\u3b2 representa T?
A resposta está no próximo teorema, cujo resultado apresentamos no diagrama abaixo.