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DisciplinaÁlgebra Linear II1.004 materiais8.146 seguidores
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A uma rotação de 90o em torno do eixo x e B uma rotação de
90o em torno do eixo y e C uma rotação de 90o em torno do eixo z. Mostre que:
(a) A4 = B4 = C4 = I; (b) AB 6= BA; (c) A2B2 = B2A2.
Ext 4.6: Seja T : R7 \u2192 R10 linear. O maior valor possível para:
(a) dim(Nuc(T )) é ; (b) dim(Im(T )) é .
Ext 4.7:Determine dim(Im(T )) sabendo que:
(a) T : R4 \u2192 R7 e que Tv = w possui solução única para um determinado w;
(b) T : R6 \u2192 R5 com T sobrejetiva.
Ext 4.8:Determine dim(Nuc(T )) sabendo que:
(a) T : R6 \u2192 R8 com dim(Im(T )) = 3; (b) T : V \u2192 W com T injetiva;
Ext 4.9:Para cada uma das matrizes abaixo, determine uma base e dimensão do núcleo e da
imagem.
(a)
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1 1 0
\u22121 0 1
0 0 0
1 0 \u22121
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb; (b)
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
\u22121 1 0
\u22122 1 \u22121
2 0 2
1 1 2
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb; (c)
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb.
Ext 4.10:Considere T1, T2 : R3 \u2192 R2 de\ufb01nidas por T1(x, y, z) = (x \u2212 y + z, 2x \u2212 y) e
T2(x, y, z) = (3x\u2212 2y + z, x\u2212 z). Determine uma base para Nuc(T1) \u2229 Nuc(T2).
Ext 4.11:Considere A =
[
2 h 7
4 5 7
]
. Determine TODOS os valores de h \u2208 R tais que o
posto de A: (a) seja 1; (b) seja 2.
Ext 4.12:Mostre que a composição de duas TLs injetivas é uma TL injetiva.
Ext 4.13: Seja T : V \u2192 W linear. Prove que:
(a) T (0) = 0; (b) Nuc(T ) é subespaço vetorial; (c) Im(T ) é subespaço vetorial.
(d) se T é injetiva, T leva conjunto LI em conjunto LI.
(e) se T possui inversa, T leva base em base.
Ext 4.14:Determine se são lineares as seguintes operações no espaço P de todos os polinô-
mios em x:
(a) multiplicação por x; (b) multiplicação por x2; (c) derivada em relação a x.
Ext 4.15:Determine se T : Pn \u2192 Pn+1, de\ufb01nida por T (p)(x) = xp(x) (multiplica o po-
linômio por x, aumentando seu grau) é linear e injetiva. Por exemplo se p(x) = x2 + 1,
T (p)(x) = x3 + x.
Ext 4.16: Seja Pn o espaço dos polinômios de grau \u2264 n. Determine se é linear:
(a) L : P2 \u2192 R de\ufb01nida por L(p) = (p(0) + p(1))/2.
(b) L : P5 \u2192 P5 de\ufb01nida por (L(p))(x) = p(x) + 2;
Ext 4.17: Sejam T, S : F(R;R)\u2192 F(R;R) de\ufb01nida por T (f)(x) = 1 + f(x) e S(f)(x) =
f(x+ 1)
(a) T e S são lineares?
132 CAPÍTULO 4. TRANSFORMAÇÃO LINEAR E MATRIZ
(b) Determine, para as que são lineares, o núcleo e a imagem.
Ext 4.18: Seja T (f)(x) = f(2x+ 2). Mostre que S(f)(x) = f(x/2\u2212 1) é a TL inversa.
Ext 4.19: Sabemos que se a, b \u2208 R então ab = 0 implica que a = 0 ou b = 0. Vamos ver
que para TLs isto não é verdade.
(a) Considere projeções (ortogonais) Px no eixo x e Py no eixo y em R2. Prove que
embora nenhuma delas seja nula, PxPy = PyPx = 0;
(b) Considere Dxx o operador segunda derivada e Dxxx o operador terceira derivada.
Prove que em P4 (polinômios de grau máximo igual a 4) DxxDxxx = 0 embora nem Dxx
nem Dxxx sejam nulos.
Obs: em álgebra quando acontece de ST = 0 com S e T não-nulos dizemos que existe
um divisor de 0.
Ext 4.20: Inverta as matrizes: (a)
[
1 1
\u22121 1
]
; (b)
\uf8ee\uf8f0 1 0 10 1 1
1 1 0
\uf8f9\uf8fb
.
Ext 4.21:Encontre a representação matricial e inverta (se for possível): T (x, y, x) = (z, y+
z, x+ y + z).
Ext 4.22:Considere A =
[
1 1
0 1
]
. Calcule An para qualquer n \u2208 N.
Ext 4.23:Encontre uma P (não precisa calcular P\u22121) tal que: P\u22121
[
1 2
3 2
]
P =
[
4 0
0 \u22121
]
Ext 4.24:Veri\ufb01que se é subespaço vetorial o subconjunto das matrizes quadradas:
(a) triangulares superiores; (b) diagonais; (c) simétricas;
Determine bases para os os subconjuntos acima que sejam subespaços quando a matriz é
2× 2 e 3× 3.
Ext 4.25:
(a) Encontre uma base deM2×3. Qual a dimensão deste espaço?
(b) De forma geral, determine base e dimensão deMm×n.
Ext 4.26:Considere T :Mm×n \u2192Mn×m de\ufb01nida por T (A) = AT . Determine:
(a) Nuc(T ) e Im(T ). (b) se T é injetiva e se T é sobrejetiva.
Ext 4.27:Considere as matrizes A =
[
5 3
3 2
]
e B =
[
6 2
2 4
]
. Resolva a equação matricial
(i.e. determine a matriz X) AX + 2I = B.
Ext 4.28:
De\ufb01nição 4.59 (matriz nilpotente) Dizemos que uma matriz quadrada N é nilpotente
de ordem k se existe k \u2208 N tal que Nk = 0 e Nk\u22121 6= 0.
(a) Mostre que
[
0 1
0 0
]
é nilpotente;
(b) Mostre que
\uf8ee\uf8f0 0 1 00 0 1
0 0 0
\uf8f9\uf8fb
é nilpotente. Qual valor de k?
(c) Seja D o operador de derivação em Pn (polinômios de grau menor ou igual n). Mostre
que D é nilpotente. Qual o valor de k?
(d) Mostre que se N é nilpotente de ordem k, então (I \u2212N)\u22121 = I + N + N2 + N3 +
· · ·+Nk\u22121.
4.9. EXERCÍCIOS DE TRANSFORMAÇÕES LINEARES 133
Ext 4.29: Suponha que A \u2208Mn×n satisfaz Avi = \u3bbivi com vi \u2208 Rn, \u3bbi \u2208 R e i = 1, . . . , n.
De\ufb01na P =
\uf8ee\uf8f0 \u2191v1
\u2193
\u2191
· · ·
\u2193
\u2191
vn
\u2193
\uf8f9\uf8fb
e \u3a3 uma matriz diagonal onde os elementos da diagonal são
\u3bb1, . . . , \u3bbn. Mostre que AP = P\u3a3.
Coordenadas
Ext 4.30:Considere v = (4,\u22121,\u22121) e \u3b2 = {(1,\u22121, 0), (0, 1,\u22121), (0, 0, 1)};
(a) escreva v como combinação linear dos vetores de \u3b2;
(b) determine [v]\u3b5 (base canônica);
(c) determine [v]\u3b2;
(d) sabendo que [w]\u3b2 =
\uf8ee\uf8f0 2\u22123
2
\uf8f9\uf8fb
; determine [w]\u3b5.
Ext 4.31:Considere as bases do R2: \u3b21 = {(\u22121, 1), (1, 1)} e \u3b22 = {(0, 2), (1, 0)}. Se
[v]\u3b21 = (2, 3) determine [v]\u3b22 .
Ext 4.32: Se \u3b2 = {w1,w2,w3,w4} é base do R4 e u = w4 + 2w3 + 3w2 + 4w1,
[u]\u3b2 =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb.
Ext 4.33:Determine se é verdadeiro ou falso: As coordenadas de um vetor são sempre as
mesmas, independente de base.
Ext 4.34:Considere v = (0, 5, 1). Determine [v]\u3b2 (coordenadas de v com relação à base \u3b2),
onde \u3b2 = {(1, 1, 1), (\u22121, 1, 0), (1, 0,\u22121)}.
Ext 4.35:Considere a base \u3b2 = {1 + x, 1\u2212 x, x2 + 1} de P2. Seja p(x) = 4 + x\u2212 x2.
(a) Determine [p]\u3b2 (coordenadas de p com relação à base \u3b2).
(b) Prove que \u3b2 é base de P2, o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 2.
Ext 4.36:Considere \u3b2 = {1, 1\u2212 x, x2 \u2212 1}. Determine:
(a) [q]\u3b2 onde q(x) = x
2 \u2212 x; (b) [p]\u3b2 onde p(x) = x2 + x+ 1.
Ext 4.37:Considere as funções \u3c60, . . . , \u3c63 mostradas na Figura 3.1 da p.79. De\ufb01na \u3b2 =
{\u3c60, . . . , \u3c63} (é base). Seja f : [0, 3]\u2192 R a função representada no grá\ufb01co abaixo. Determine
[f ]\u3b2.
x
y
0
4
1
3
2
5
3
2
Mudança de Base
Ext 4.38:Considere as bases de R3: \u3b1 = {v1,v2,v3} e \u3b2 = {w1,w2,w3} comw1 = v1+v3,
w2 = v1 + v2 + v3 e w3 = v1 \u2212 v3. Determine a matriz mudança de base [I]\u3b1\u2190\u3b2.
134 CAPÍTULO 4. TRANSFORMAÇÃO LINEAR E MATRIZ
Ext 4.39:Considere as bases de R3: \u3b1 = {(1, 0,\u22121), (1, 2, 3), (1, 1, 1)}, \u3b2 = {(3, 2, 1),
(4, 5, 6), (7, 8, 9)} \u3b5 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} (base canônica).
(a) determine as matrizes mudança de base A = [I]\u3b5\u2190\u3b1 e B = [I]\u3b5\u2190\u3b2;
(b) escreva equações matriciais que determinem, como função de A,B,A\u22121, B\u22121 (não
calcule A\u22121, B\u22121) as matrizes mudança de base [I]\u3b1\u2190\u3b5, [I]\u3b2\u2190\u3b5, [I]\u3b1\u2190\u3b2, [I]\u3b2\u2190\u3b1.
Ext 4.40:Considere a base \u3b1 = {(1, 1, 1), (\u22121, 1, 1), (0,\u22121, 1)} de R3. Determine uma base
\u3b2 tal que [I]\u3b1\u2190\u3b2 =
\uf8ee\uf8f0 1 0 02 \u22121 1
0 0 1
\uf8f9\uf8fb
.
Ext 4.41:Considere as bases de R2: \u3b1 = {(1, 0), (0, 2)} e \u3b2 = {(1, 1), (2, 1)}. Calcule a
matriz mudança de base [I]\u3b2\u2190\u3b1.
Ext 4.42:Considere as bases do P2: \u3b1 = {1, x, x2} e \u3b2 = {1 + x, 1\u2212 x, x2 + 1}. Determine
[I]\u3b1\u2190\u3b2.
Ext 4.43: Seja D o operador derivada, isto é, Df = f \u2032 de\ufb01nida em Wi = \u3008\u3b2i\u3009. Determine a
matriz [D]\u3b2i que representa D : Wi \u2192 Wi na base \u3b2i:
(a) \u3b21 = {cosx, senx}; (b) \u3b22 = {ex, e2x}; (c) \u3b23 = {1, x, ex, xex};
Ext 4.44: Seja D2 o operador derivada segunda, isto é, D2f = f \u2032\u2032 de\ufb01nida em Wi = \u3008\u3b2i\u3009.
Determine a matriz [D2]\u3b2i que representa D
2 : Wi \u2192 Wi na base \u3b2i:
(a) \u3b21 = {1, x, x2}; (b) \u3b22 = {sen(x), sen(2x), sen(3x)}.
Ext 4.45:Considere T : P2 \u2192 P2, de\ufb01nida por T (p)(x) = p(x + 1). Seja \u3b5 = {1, x, x2}.
Calcule [T ]\u3b5.
Ext 4.46:Considere as bases de R2: \u3b1 = {(6, 11), (2, 4)} \u3b5 = {(1, 0), (0, 1)}.
(a) Calcule a matriz mudança de base [I]\u3b5\u2190\u3b1.
(b) Explique como determinar [I]\u3b1\u2190\u3b5 usando (a). (Não faça as contas.)
(c) Veri\ufb01que que [I]\u3b1\u2190\u3b5 =
[
2 \u22121
\u221211/2 3
]
Ext 4.47: Seja \u3b2 = {(1, 0, 0), (0, 1,\u22121), (1,\u22121, 0)}.
(a) Calcule [I]\u3b5\u2190\u3b2 e [I]\u3b2\u2190\u3b5; (b) v = (0, 1, 0), calcule [v]\u3b2;
(c) [w]\u3b2 =
\uf8ee\uf8f0