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que um paciente deva fazer uma refeição
consistindo de arroz e carne, de forma a totalizar 150g de alimento com 450 Kcal e 25g de
gordura. Dado que 1g de arroz tem 2.5Kcal e 0.03g de gordura e que a mesma quantidade de
carne tem 3.1 Kcal e 0.21g de gordura, que quantidade de cada alimento deve ser ingerida?
Solução: Seja x a quantidade de arroz, em gramas, e y a quantidade de carne. Precisamos
de uma solução para o sistema linear\uf8f1\uf8f2\uf8f3
x + y = 150
2.50x + 3.10y = 450
0.03x + 0.21y = 25.
ou
\uf8ee\uf8f0 1 1 1502.50 3.10 450
0.03 0.21 25
\uf8f9\uf8fb .
É fácil veri\ufb01car, no entanto, que este é um sistema sem solução. Mas esta resposta não há
de ajudar muito o nosso paciente!
Note que \uf8ee\uf8f0 1 12.50 3.10
0.03 0.21
\uf8f9\uf8fb[ 38
113
]
=
\uf8ee\uf8f0 151445.3
24.87
\uf8f9\uf8fb .
Isto signi\ufb01ca que 38g de arroz e 113 de carne é uma \ufffdquase-solução\ufffd: 151g de alimento (ao
invés de 150g), 445.3Kcal (ao invés de 450Kcal) e 24.87g de gordura (ao invés de 25g). Para
\ufb01ns de alimentação, estes erros são totalmente aceitáveis.
O que fazer quando b /\u2208 Im(A)?
Neste caso não existe z tal que Az = b. Assim d(Az,b) 6= 0 para todo z no domínio
de A. Observando a Figura 5.3, o melhor que podemos fazer é minimizar esta distância:
determinar z tal que a distância d(Az,b) assuma o menor valor possível.
De\ufb01nição 5.18 (solução de mínimos quadrados) Uma \ufffdquase-solução\ufffd do sistema
Ax = b, chamada de solução de mínimos quadrados1, é um vetor z tal que d(Az,b) \u2264
d(Ax,b) para todo x no domínio de A.
Teorema 5.19 (mínimos quadrados) Se z é uma solução2 de ATAz = ATb, então z é
uma solução de mínimos quadrados do sistema Ax = b.
1
O nome vem de minimizar a distância, que é medida tomando a soma dos quadrados das diferenças entre
as coordenadas.
2
Pode-se provar que o sistema ATAz = ATb sempre possui solução.
144 CAPÍTULO 5. PRODUTO INTERNO
0
Az
b
d(Az,b)
Im(A)
Figura 5.3: Mínimos Quadrados
Prova: Se ATAz = ATb, então AT (b \u2212 Az) = 0. De\ufb01nindo H = ImA, pelo Lema 5.14
da p.141, H\u22a5 = Nuc(AT ) e portanto b\u2212 Az \u2208 H\u22a5. Pelo Lema 5.16 da p.142, d(Az,b) \u2264
d(h,b) para todo h \u2208 H = ImA. Logo d(Az,b) \u2264 d(Ax,b) para todo x no domínio de A.
Relação entre Projeção Ortogonal e Mínimos Quadrados
Observação 5.3 Na linguagem da De\ufb01nição 5.17 da p.142 (projeção ortogonal) resolver
o sistema Az = b no sentido dos mínimos quadrados equivale a resolver o sistema Az =
P
Im(A)
b, que sempre tem solução pois é claro que P
Im(A)
b \u2208 ImA.
Se um sistema linear tem solução no sentido clássico, então b \u2208 Im(A) e portanto
P
Im(A)
b = b. O sistema Az = P
Im(A)
b é idêntico ao sistema original Az = b. As
soluções de mínimo quadrado coincidem, neste caso, com as soluções clássicas.
Exemplo 5.8 Resolva, no sentido dos mínimos quadrados,
\uf8ee\uf8f0 1 22 1
2 1
\uf8f9\uf8fb[ x
y
]
=
\uf8ee\uf8f0 33
5
\uf8f9\uf8fb
.
Solução: ATAz = ATb :
[
1 2 2
2 1 1
]\uf8ee\uf8f0 1 22 1
2 1
\uf8f9\uf8fb[ x
y
]
=
[
1 2 2
2 1 1
]\uf8ee\uf8f0 33
5
\uf8f9\uf8fb . Assim,[
9 6
6 6
] [
x
y
]
=
[
19
14
]
e portanto,
[
x
y
]
=
[
5/3
2/3
]
.
Observação 5.4 (Software Algébrico) Pode-se resolver com o Maxima. En-
tramos a matriz com M: matrix( [1,2], [2,1], [2,1]);, b: [3,3,5];,
Mt: \transpose(M);. Agora resolvemos o sistem com linsolve_by_lu(Mt.M,Mt.b);
Exemplo 5.9 Determine a equação da reta que melhor aproxima, no sentido dos mínimos
quadrados, os pontos (1, 6), (2, 5), (3, 7) e (4, 10).
Solução: Queremos determinar a, b,\u2208 R tais que a equação da reta y = ax + b é satisfeita
5.3. APLICAÇÃO: SISTEMAS SEM SOLUÇÃO (MÍNIMOS QUADRADOS) 145
pelos quatro pontos. Assim queremos resolver o sistema (porque?):\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1 1
2 1
3 1
4 1
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb[ ab
]
=
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
6
5
7
10
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb .
Este sistema não tem solução (veri\ufb01que) e vamos resolvê-lo no sentido de mínimos quadrados.
Assim vamos resolver:
[
1 2 3 4
1 1 1 1
]\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1 1
2 1
3 1
4 1
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb[ ab
]
=
[
1 2 3 4
1 1 1 1
]\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
6
5
7
10
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb .
[
30 10
10 4
] [
a
b
]
=
[
77
28
]
.
Resolvendo obtemos a = 7/5 e b = 7/2. Assim a equação da reta y = (14x + 35)/10. Na
\ufb01gura abaixo apresentamos os dados e esta reta (Fonte: Wikipedia, File:Linear least squares
example2.svg).
Exemplo 5.10
1
Jogamos uma moeda 90 vezes e contamos o número de vezes que apareceu
cara após 30, 60 e 90 jogadas. O resultado está na tabela abaixo.
jogadas 30 60 90
caras 16 34 51
A moeda tem uma certa proporção m de caras com relação ao total de jogadas.Determine m.
Solução: Precisamos resolver o sistema abaixo que não possui solução (exata).\uf8f1\uf8f2\uf8f3
30m = 16
60m = 34
90m = 51
Isto porque o vetor b = (16, 34, 51) 6\u2208 span {(30, 60, 90)} = ImA, onde A =
\uf8ee\uf8f0 3060
90
\uf8f9\uf8fb
.
Precisamos resolver ATAm = ATb. Assim, (900 + 3600 + 8100)m = 7110 = 12600m.
146 CAPÍTULO 5. PRODUTO INTERNO
jogadas
caras
30 60 90
30
60
Figura 5.4: Jogando uma Moeda
Assim m = 7110
12600
\u2248 0.564. A reta com coe\ufb01ciente angular m \u2248 0.564, que melhor aproxima
os dados, é mostrada na \ufb01gura abaixo:
Exemplo 5.11 A equação que modela um determinado fenômeno físico é dada por f(t) =
at2 + bt+ c (por exemplo, f pode ser a posição de um corpo uniformemente acelerado). Com
o objetivo de se determinar os parâmetros a, b e c, uma série de experimentos são realizados,
com os seguintes resultados:
As posições medidas foram:
t f(t)
1 6.5
2 11.2
3 17.7
4 27.1
5 39.0
.
Determine os parâmetros a, b e c que melhor ajustam os dados experimentais no sentido
dos mínimos quadrados.
Solução: Gostaríamos que, para determinada escolha de a, b e c, fossem satisfeitas simulta-
neamente as equações\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
a× 12 + b× 1 + c = 6.5
a× 22 + b× 2 + c = 11.2
a× 32 + b× 3 + c = 17.7
a× 42 + b× 4 + c = 27.1
a× 52 + b× 5 + c = 39.0
ou
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1 1 1
4 2 1
9 3 1
16 4 1
25 5 1
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb
\uf8ee\uf8f0 ab
c
\uf8f9\uf8fb =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
6.5
11.2
17.7
27.1
39.0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb .
A solução aproximada é obtida resolvendo-se
\uf8ee\uf8f0 1 4 9 16 251 2 3 4 5
1 1 1 1 1
\uf8f9\uf8fb
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1 1 1
4 2 1
9 3 1
16 4 1
25 5 1
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb
\uf8ee\uf8f0 ab
c
\uf8f9\uf8fb =
\uf8ee\uf8f0 1 4 9 16 251 2 3 4 5
1 1 1 1 1
\uf8f9\uf8fb
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
6.5
11.2
17.7
27.1
39.0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb .
\uf8ee\uf8f0 979 225 55225 55 15
55 15 5
\uf8f9\uf8fb\uf8ee\uf8f0 ab
c
\uf8f9\uf8fb =
\uf8ee\uf8f0 1619.2385.4
101.5
\uf8f9\uf8fb \u21d2
\uf8ee\uf8f0 ab
c
\uf8f9\uf8fb \u2248
\uf8ee\uf8f0 1.240.68
4.68
\uf8f9\uf8fb .
1
Adaptado de [6].
5.3. APLICAÇÃO: SISTEMAS SEM SOLUÇÃO (MÍNIMOS QUADRADOS) 147
Para estes valores dos parâmetros, o modelo prevê a seguinte tabela
t f(t)
1 6.60
2 11.00
3 17.88
4 27.24
5 39.08
bastante próxima da real.
Exemplo 5.12
2
As cédulas de dinheiro de um certo país tem médias diferentes de tempo
de circulação de acordo com o valor dados pela tabela abaixo. Quanto tempo você espera
que uma nota de 25 dure?
valor da cédula 1 5 10 20 50 100
tempo médio (anos) 1.5 2 3 5 9 20
Solução: Supondo que exista uma relação linear entre o tempo médio y em função do valor
x da cédula, temos que determinar k e m de forma aproximada tal que y = k + mx. Assim
devemos resolver o sistema
\uf8f1\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f3
k + 1m = 1.5
.
.
. =
.
.
.
k + 100m = 20
, que é impossível. Considere
A =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1 1
1 5
1 10
1 20
1 50
1 100
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb b =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1.5
2
3
5
9
20
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb z =
[
k
m
]
Para determinar os coe\ufb01cientes k e m resolvemos ATAz = ATb com auxílio de software,
obtendo z = (1.05, 0.18). Portanto, k = 1.05 e m = 0.18. O grá\ufb01co abaixo mostra a
reta aproximada y = 0.18x + 1.05 e os dados. Colocando x = 25 na equação da reta,
cédula
tempo médio (anos)
10 30 50 70 90
5
10
15
20
Figura 5.5: Tempo médio de duração da cédula
determinamos que a cédula deve durar 5.55 anos, isto é entre 5 e 6 anos.
2
Adaptado de [6].
148 CAPÍTULO 5. PRODUTO INTERNO
Exemplo 5.13 Considere os pontos (1, 3), (3, 2) e (6, 1). Sabendo que devem satisfazer, de
forma aproximada ao modelo y = aex + b