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DisciplinaÁlgebra Linear II921 materiais8.056 seguidores
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Wikipedia: Determinante) do determinante de uma
matriz n × n pode ser deduzida expandindo por colunas como \ufb01zemos para matriz 3 × 3.
Obtemos uma soma de termos, com sinais + ou \u2212, a grande maioria dos quais são zero
(correspondendo às colunas repetidas) e sobram apenas os que são o produto de n entradas
da matriz em que não há duas entradas da mesma linha nem da mesma coluna (pense em
Sodoku!).
6.3.2 Algoritmo para Cálculo do Determinante
Apresentamos um algoritmo para o cálculo do determinante baseado nas operações ele-
mentares (De\ufb01nição 2.7 da p.38), usadas anteriormente para resolver sistemas lineares.
Primeiro transferimos as propriedades do determinante por linha para coluna através da
propriedade do determinante da matriz transposta (De\ufb01nição 4.13 da p.104). Depois ve-
ri\ufb01camos o efeito no determinante da aplicação das operações elementares. Utilizando-as
colocamos a matriz na forma escalonada triangular. Finalizamos provando que se a matriz é
triangular (superior ou inferior) é fácil calcular seu determinante.
Teorema 6.6 (determinante da transposta)
Propriedade 5: Se A é uma matriz quadrada então det(AT ) = det(A).
6.3. CALCULANDO DETERMINANTE 175
Prova: É uma prova técnica. Veja [7].
A Propriedade 5 permite transferir todas as propriedades do determinante com relação às
colunas para as linhas da matriz.
Corolário 6.7 Todas as propriedades do determinante para colunas são verdadeiras para as
linhas. Portanto:
Propriedade 6: O determinante:
(a) é linear em cada linha;
(b) é zero se as linha são LDs;
(c) troca de sinal quando se trocam duas linhas.
Prova: Segue facilmente do teorema anterior e propriedades correspondentes (por colunas)
do determinante.
Corolário 6.8 (operações elementares e determinante) O efeito de cada operação ele-
mentar abaixo sobre o determinante de uma matriz é:
(a) trocar linhas: determinante troca de sinal;
(b) multiplicar linha por escalar não-nulo: determinante é multiplicado por escalar;
(c) substituir linha por sua soma com múltiplo de outra: determinante não se altera.
Prova: Os itens (a) e (b) seguem diretamente do último Corolário. Quanto ao item (c),
pelo Teorema 6.6, basta mostrar propriedade correspondente por coluna. Considere
A =
\uf8ee\uf8f0 · · · \u2191u
\u2193
· · ·
\u2191
v
\u2193
· · ·
\uf8f9\uf8fb
. Substituindo uma coluna pela soma com múltiplo de outra
obtemos B =
\uf8ee\uf8f0 · · · \u2191u + kv
\u2193
· · ·
\u2191
v
\u2193
· · ·
\uf8f9\uf8fb
. Portanto, por linearidade,
detB = det
\uf8ee\uf8f0 · · · \u2191u + kv
\u2193
· · ·
\u2191
v
\u2193
· · ·
\uf8f9\uf8fb =
= det
\uf8ee\uf8f0 · · · \u2191u
\u2193
· · ·
\u2191
v
\u2193
· · ·
\uf8f9\uf8fb+ k det
\uf8ee\uf8f0 · · · \u2191v
\u2193
· · ·
\u2191
v
\u2193
· · ·
\uf8f9\uf8fb .
Como duas colunas são iguais no último determinante, ele é nulo (independente do valor de
k) e portanto detB = det
\uf8ee\uf8f0 · · · \u2191u
\u2193
· · ·
\u2191
v
\u2193
· · ·
\uf8f9\uf8fb = detA.
Lema 6.9 (determinante de matriz triangular)
Propriedade 7: Se uma matriz é triangular (superior ou inferior) então seu determinante
é igual ao produto dos elementos da diagonal.
Prova: Vamos supor que a matriz é triangular superior (argumento análogo vale para
triangular inferior). Considere dois casos:
(a) tem pelo menos um zero na diagonal. Suponha que akk = 0. Considere M a matriz
formada pelas k primeiras colunas desta matriz. Como M está escalonada com no máximo
k\u22121 linhas não-nulas, a dimensão do espaço-linha deM é no máximo k\u22121. Pelo Lema 4.15
176 CAPÍTULO 6. DETERMINANTE
da p.104, a dimensão do espaço-coluna de M é igual a dimensão do espaço-linha, e portanto
é no máximo k \u2212 1. Como são k vetores coluna de M gerando espaço de dimensão máxima
k \u2212 1, as colunas de M , e por consequência as primeiras k colunas da matriz são LDs e
portanto o determinante é zero.
(b) todos elementos da diagonal são não-nulos. Coloque-os em evidência para obter 1 na
diagonal. O valor do determinante será o produto destes elementos vezes o determinante da
matriz com 1 na diagonal. Substitua linha por múltiplo de outra linha até transformá-la em
diagonal. Pelo Corolário 6.8 isto não altera o seu determinante. Obtemos a matriz identidade,
cujo determinante é 1.
Exemplo 6.3 Calcule det
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
2 1 3 4
0 3 1 2
0 0 4 1
0 0 0 5
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb.
Solução: Como a matriz é triangular, det = 2 · 3 · 4 · 5 = 5! = 120.
Algoritmo 6.10 (cálculo e\ufb01ciente do determinante)
1. Faça eliminação de Gauss, reduzindo matriz à forma diagonal superior;
2. Leve em conta a cada operação elementar o efeito sobre o determinante:
(a) trocar linhas =\u21d2 determinante troca de sinal;
(b) multiplicar linha por constante =\u21d2 determinante é multiplicado pela constante;
(c) substituir linha por sua soma com múltiplo de outra: =\u21d2 determinante não se
altera.
3. Calcule determinante da matriz resultante pelo produto dos elementos da diagonal.
Exemplo 6.4 Calcule o determinante da matriz A =
\uf8ee\uf8f0 0 4 82 1 8
3 6 9
\uf8f9\uf8fb
.
Solução: Troque l1 com l3: detA = \u2212 det
\uf8ee\uf8f0 3 6 92 1 8
0 4 8
\uf8f9\uf8fb
.
Coloque 3 em evidência em l1: detA = \u22123 det
\uf8ee\uf8f0 1 2 32 1 8
0 4 8
\uf8f9\uf8fb
.
Faça l2 \u2190 l2 \u2212 2l1: detA = \u22123 det
\uf8ee\uf8f0 1 2 30 \u22123 2
0 4 8
\uf8f9\uf8fb
.
Faça l3 \u2190 l3 + 4l2/3: detA = \u22123 det
\uf8ee\uf8f0 1 2 30 \u22123 2
0 0 8 + 8/3 = 32/3
\uf8f9\uf8fb
.
Agora a matriz é triangular: calcule produto dos elementos da diagonal:
detA = \u22123(1)(\u22123)(32/3) = 96.
Observação 6.5 (Software Algébrico) Pode-se calcular o determinante
com o comando do Maxima determinant. Entramos a matriz com
M: matrix( [0,4,8], [2,1,8], [3,6,9]); e calculamos: determinant(M);.
Se você folhear livros de Álgebra Linear encontrará pelo menos
6.4. MAIS PROPRIEDADES 177
Três modos de calcular o determinante:
(a) fórmula de Laplace (também conhecido como expansão por cofatores);
(b) fórmula de Leibniz;
(c) Algoritmo 6.10 da p.176.
Embora as formas (a) e (b) sejam importantes do ponto de vista teórico (por exemplo
para provar que detA = detAT ) são extremamente ine\ufb01cientes na prática (veja próxima
observação): optamos por omiti-las (mas veja na Wikipedia). A forma do item (c) é a mais
e\ufb01ciente mas não é uma fórmula, e sim um algoritmo.
Observação 6.6 (comparando métodos de cálculo do determinante) Dada ma-
triz n× n, a fórmula de Laplace ou Leibniz necessita de cerca de n! operações, enquanto
o Algoritmo 6.10 necessita de cerca de 2n3/3 operações.
n Laplace Algoritmo 6.10
2 3 4
3 14 15
4 63 37
6 2 mil 130
20 6× 1018 5 mil
.
Para n \u2265 4 o Algoritmo 6.10 já é mais e\ufb01ciente. Um computador que faça 1 milhão de
operações por segundo levaria 32 mil anos para calcular o determinante de uma matriz
20× 20 pelo método de Laplace e frações de segundo pelo Algoritmo 6.10 .
6.4 Mais Propriedades
Teorema 6.11 (caracterização de matrizes invertíveis)
Propriedade 8: Seja A uma matriz quadrada. São equivalentes:
(a) A não é invertível;
(b) Nuc(A) 6= {0};
(c) colunas (ou linhas) de A são LDs;
(d) det(A) = 0.
Prova: (a) e (b) são equivalentes pelo Lema 4.37 da p.114.
Pelo Lema 4.15 da p.104 (posto linha = posto coluna), se a matriz é n× n, a dimensão
do espaço-coluna é < n (colunas LDs) se, e somente se, a dimensão do espaço-linha é < n
(linhas LDs). Portanto a matriz possuir colunas LDs é equivalente a possuir linhas LDs
(b) implica em (c): Se Nuc(A) 6= 0 então existe v 6= 0 tal que Av = 0. Os componentes
do vetor v, pela de\ufb01nição do produto matriz-vetor, vão determinar uma combinação linear
não-trivial das colunas de A cujo resultado é o vetor zero. Logo as colunas de A formam um
conjunto LD.
(c) implica em (d) pela de\ufb01nição de determinante.
(d) implica em (b): Suponha que detA = 0. Aplique o algoritmo de cálculo do determi-
nante, reduzindo A à forma triangular U . Agora detA = 0 se, e somente se, detU = 0. Logo
um dos elementos da diagonal de U é zero. Seguindo o argumento da prova do Lema 6.9 da
p.175 (determinante da matriz triangular), as linhas de U são LDs. Logo as linhas de A são
178 CAPÍTULO 6. DETERMINANTE
LDs (U é a matriz A escalonada)