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DisciplinaÁlgebra Linear II1.004 materiais8.159 seguidores
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por 1 preserva-
mos o vetor (e o tamanho), por 2 duplicamos seu tamanho, por 3 triplicamos seu tamanho.
Por outro lado, multiplicando por 1/2 reduzimos seu tamanho pela metade. De forma geral,
multiplicando por valor positivo com módulo maior que 1 obtemos um vetor com mesmo
1
Embora seja útil para a intuição, nada do que fazemos depende desta interpretação geométrica.
1.2. EQUAÇÕES CARTESIANAS E PARAMÉTRICAS 5
sentido mas com tamanho maior; multiplicando por valor positivo com módulo menor que 1
obtemos um vetor com mesmo sentido mas com tamanho menor. Multiplicando por valor
negativo obtemos vetor com sentido invertido e com tamanho maior ou menor de acordo com
módulo ser maior ou menor que 1. Veja o vetor u = (3, 2) e a representação de 1u, 1, 5u,
0, 5u e \u2212u da Figura 1.5.
Figura 1.5: Vetores 1u, 3
2
u, 1
2
u e \u2212u
Portanto, variando o valor do escalar e multiplicando-o por um vetor \ufb01xo u 6= 0 obtemos
uma reta passando pela origem. Assim {tu| t \u2208 R} é uma reta e a equação tu é chamada
de equação paramétrica da reta que passa pela origem com direção u. A motivação
geométrica vem quando u \u2208 R2 ou R3, mas continuamos chamando de reta com u \u2208 Rn.
Observação 1.6 O que é, de fato, um vetor?
A visão geométrica (De\ufb01nição 1.6 da p.3), embora mais intuitiva, é limitante pois não
conseguimos visualizar mais do que três dimensões. É formalizada como segmentos orien-
tados equivalentes. Este caminho é bom para certas generalizações em Matemática (no
contexto da Geometria Diferencial por exemplo), para a visualização de vetores no plano
e no espaço tridimensional e para interpretação Física (forças). São chamados em alguns
livros de vetores geométricos.
Por contraste, a visão algébrica (De\ufb01nição 1.1 da p.1) é bem mais simples mas não apre-
senta nenhuma motivação geométrica. Como não dependemos de intuição geométrica,
trabalhamos com a mesma facilidade em R2 como em R30. São chamados em alguns livros
de vetores algébricos.
Faremos com frequência a passagem da visão algébrica para geométrica e vice-versa.
1.2 Equações Cartesianas e Paramétricas
1.2.1 Retas no R2
Equação Cartesiana da Reta em R2
De\ufb01nição 1.7 (eq. cartesiana da reta em R2) Dados a, b, c \u2208 R com a 6= 0 ou b 6= 0,
chamamos de equação cartesiana da reta a equação ax + by = c, que representa o
conjunto (a reta); {
(x, y) \u2208 R2| ax+ by = c} .
Observação 1.7 Note que equações diferentes podem representar a mesma reta. Por
exemplo, 7x\u2212 3y = 2 e \u221214x+ 6y = \u22124 representam a mesma reta (porque?). Dizemos
que as equações são equivalentes.
6 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA LINEAR
Exemplo 1.7 Determine a equação cartesiana da reta que passa por:
(a) (1, 2) e (\u22122, 3); (b) (1, 3) e (1, 7).
Solução: (a) Temos que resolver o sistema{
1a+ 2b = c,
\u22122a+ 3b = c.
Multiplicando a primeira equação por 2 e somando com a segunda obtemos 7b = 3c. Logo
b = 3/7c. Da primeira equação, a = c\u22122b = c\u22126/7c = c/7. Agora tomando c = 7 obtemos
que a = 1 e b = 3. Logo é a reta x + 3y = 7. Agora veri\ufb01que a resposta substituindo os
pontos: 1 + 3× 2 = 7 e \u22122 + 3× 3 = 7. Poderia se \ufb01xar c = 1 ou outra constante não-nula
qualquer (faça isso!) e obter equações equivalentes.
(b) Temos que resolver o sistema{
1a+ 3b = c,
1a+ 7b = c.
Subtraindo da segunda equação, a primeira: 4b = 0. Assim b = 0. Logo a = c. Fixando
c = 1 (outros valores gerarão equações equivalentes) obtemos a reta x = 1.
Exemplo 1.8 Determine a interseção da reta 2y \u2212 7x = \u22123 com os eixos x e y.
Solução: Tomando x = 0 (é eixo y! Porque?) obtemos y = \u22123/2 e a interseção com eixo
y é (0, \u22123/2). Tomando y = 0 (é eixo x! Porque?) obtemos x = 3/7 e a interseção com
eixo y é (3/7, 0).
Equações Paramétricas da Reta em R2
Pela de\ufb01nição do produto escalar-vetor (ver Figura 1.5 da p.5), dado u 6= 0 a equação tu é
uma reta passando pela origem na direção u. Somando um vetor w a cada elemento deste
conjunto transladamos a reta tu que passa pela origem e obtemos a reta w + tu, conforme
indicado na Figura 1.6.
De\ufb01nição 1.8 (eq. paramétrica da reta) Dados u 6= 0 e w chamamos {w + tu| t \u2208 R}
(ver Figura 1.6) de equação paramétrica da reta paralela ao vetor u passando por w. O
t é chamado de parâmetro.
Observação 1.8 (vetor é ponto?) Na Figura 1.6 apresentamos três interpretações ge-
ométricas de vetor simultaneamente: como seta começando na origem (o vetor w), como
seta começando em ponto qualquer (os vetores 1u, 2u,\u22121u,\u22122u) e como pontos (os
pontos da reta w + 1u,w + 2u, etc.).
Observação 1.9 Se uma reta r passa pelos pontos p1 e p2, um vetor paralelo à r é
u = p2 \u2212 p1. Faça uma \ufb01gura se convencendo disso. Assim sua equação paramétrica é
p1 + tu.
Exemplo 1.9 Considere a reta r = {(1, 2) + t(4, 6)| t \u2208 R}.
(a) Determine pontos de r; (b) Veri\ufb01que se (\u22125, 2) \u2208 r.
1.2. EQUAÇÕES CARTESIANAS E PARAMÉTRICAS 7
r
2u
\u2212u
\u22122u
0
w + 0u = w
w + 1u
w + 2u
w \u2212 1u
w \u2212 2u
u
Figura 1.6: Reta r = {w + tu; t \u2208 R}
Solução: (a) Colocando t = 0 obtemos o ponto (1, 2) \u2208 r. Colocando t = 1 obtemos o
ponto (1, 2) + 1(4, 6) = (5, 8) \u2208 r. Colocando t = 0, 5 obtemos o ponto (1, 2) + 0, 5(4, 6) =
(3, 5) \u2208 r. Colocando t = \u22121 obtemos o ponto (1, 2)\u2212 1(4, 6) = (\u22123,\u22124) \u2208 r. Colocando
t = \u22120, 5 obtemos o ponto (1, 2)\u2212 0, 5(4, 6) = (\u22121,\u22121) \u2208 r.
(b) Temos que ver se existe t \u2208 R tal que (1, 2) + t(4, 6) = (\u22125, 2) resolvendo o sistema{
1 + 4t = \u22125
2 + 6t = 2
. Da primeira equação t = \u22123/2, da segunda t = 0! O sistema é sem
solução. Portante (\u22125, 2) 6\u2208 r.
Exemplo 1.10 A mesma reta pode ser gerada por vetores distintos, basta que eles sejam
paralelos entre si. Por exemplo os conjuntos {t(1, 1)| t \u2208 R} e {m(4, 4)| m \u2208 R} representam
a mesma reta. De fato o vetor (t, t) pode ser escrito como t/4(4, 4). Tomando m = t/4
observamos que formam o mesmo conjunto.
Equação Cartesiana da reta\u2192 Paramétrica em R2 Para passar de equação cartesiana
para paramétrica de reta em R2: Coloque uma das variáveis como o parâmetro e determine
a outra variável em função do parâmetro.
Exemplo 1.11 Determine uma equação paramétrica para a reta:
(a) 2x\u2212 3y = 6; (b) y = 7; (c) que passa por (1, 2) e (\u22122, 1).
Solução: (a) Coloque y = t. Agora x = 3+3/2y = 3+3/2t. Assim (x, y) = (3+3/2t, t) =
(3, 0) + t(3/2, 1). Logo, {(3, 0) + t(3/2, 1)| t \u2208 R}.
(b) Coloque x = t, y = 7. Logo (x, y) = (0, 7) + t(1, 0).
(c) O vetor u = (1, 2)\u2212 (\u22122, 1) = (3, 1) é paralelo à reta. Logo {(1, 2) + t(3, 1)| t \u2208 R}
= {(\u22122, 1) + t(3, 1)| t \u2208 R}. Outra possibilidade é tomar u = (\u22122, 1)\u2212 (1, 2) = (\u22123,\u221211):
{(1, 2) + t(\u22123,\u22121)| t \u2208 R}.
Observação 1.10 Se colocarmos y = t no exemplo anterior item (b) obteremos que
t = 7 e não teremos valor para x! A escolha de quem vai ser o parâmetro é importante.
Aprenderemos a fazer a escolha certa de forma sistemática no (próximo) Capítulo Sistema
Linear (p.27). Veja caso similar na Observação 1.14 da p.13.
8 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA LINEAR
Exemplo 1.12 A mesma reta possui diversas representações paramétricas (veja solução do
último exemplo (c)). Veri\ufb01que quais retas são iguais à reta {(1,\u22122) + t(3,\u22122)| t \u2208 R}:
(a) {(\u22122, 0) + t(\u22123, 2)| t \u2208 R}; (b) {(\u22121, 2) + t(3,\u22122)| t \u2208 R}.
Solução: (a) Temos que ver se existem s, t \u2208 R tais que (1,\u22122) + t(3,\u22122) = (\u22122, 0) +
s(\u22123, 2). Isto resulta no sistema
{
1 + 3t = \u22122\u2212 3s
\u22122\u2212 2t = 0 + 2s . Resolvendo vemos que as duas
equações são equivalentes a t+ s = 1. Assim a solução é t = 1\u2212 s: as retas são idênticas.
(b) Temos que ver se existem s, t \u2208 R tais que (1,\u22122) + t(3,\u22122) = (\u22121, 2) + s(3,\u22122).
Isto resulta no sistema
{
1 + 3t = \u22121 + 3s
\u22122\u2212 2t = 2\u2212 2s . O sistema é sem solução pois devemos ter
t \u2212 s = \u22122/3 = \u22121! Logo não é a mesma reta e elas são paralelas entre si (não possuem
interseção).
Equação Paramétrica da reta \u2192 Cartesiana em R2
Para passar de equação paramétrica para cartesiana de reta em R2: Determine o parâmetro
em função de uma das variáveis e substitua na