Revisao do Cálculo Matricial

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REVISÃO DO CÁLCULO MATRICIAL 
 
 
 
ÁLGEBRA LINEAR 
Matrizes 
Definição: chamamos de matriz uma tabela de elementos 
dispostos em linhas e colunas. 
A matriz, pode conter apenas um elemento. 
 
Igualdade de Matrizes 
Tipos especiais de matrizes: Aij mxn 
• Matriz quadrada: é aquela cujo numero de linhas é igual ao número de 
colunas (m=n); 
• Matriz Nula: é aquela em que aij=0 para todo i e j; 
• Matriz coluna: é aquela que possui uma única coluna (n=1); 
• Matriz linha: é aquela onde m =1; 
• Matriz diagonal: é uma matriz quadrada (m=n) onde aij=0 para i diferente 
de j, isto é, os elementos que não estão na diagonal são nulos; 
• Matriz identidade quadrada: é aquela em que aii=1 e aij=0 para i diferente 
de j. 
• Matriz triangular superior: é uma matriz quadrada onde todos os 
elementos abaixo da diagonal são nulos, isto é, m=n e aij=0 para i maior 
que j. 
• Matriz simétrica: é aquela onde m=n e aij= aji 
 
 
Operações com matrizes. 
Propriedades: Sejam as matrizes A, B e C de mesma 
ordem mxn, temos: 
i) A+B=B+A 
ii) A+(B+C)=(A+B)+C 
iii) A+0=A 
Propriedades: Dadas as matrizes A e B de mesma ordem 
mxn e números k e l, temos: 
i) k(A+B)=kA+kB; 
ii) (k+l)A= kA+lA 
iii) 0.A=0 
iv) k(lA)=(kl)A 
Observação: 
• Uma matriz é simétrica se, e somente se, ela é igual a 
sua transposta. 
• A transposta da transposta de uma matriz é ela 
mesma. 
Exemplo: 
Exercício: 
Calcule AB e em seguida BA. 
Note que a comutativa não é valida em 
Matrizes. 
Sistemas de equações lineares. 
Sistemas de equações lineares. 
Operações (elementares) permitidas: 
• Multiplicar um equação por um número diferente de zero. 
• Adicionar a equação a outra 
• Permutar duas equações 
 
*** Sistemas equivalentes. 
Sistemas e Matrizes 
Matriz ampliada 
Nulidade e Posto 
Solução de um sistema de 
equações lineares. 
Observação: 
Se o sistema (*) possuir 
o sistema (*) será homogêneo. A n-upla (0,0,...0) 
é solução e nesse caso o sistema homogêneo é 
compatível determinado. 
0,...,, 21 mbbb
Sistemas escalonados 
Todo sistema linear S é equivalente a um sistema escalonado. 
Matrizes inversíveis 
Observação: 
• Se uma linha ou coluna de uma matriz A é nula, 
então A não é inversível. 
• Se A e B são matrizes de ordem n, ambas 
inversíveis, então AB também é inversível e 
111)(   ABAB
 
Teorema: Uma matriz A é inversível se, e somente se, a matriz 
identidade for equivalente a matriz A. Neste caso, a mesma 
sucessão de operações elementares que transformam A em 
identidade de ordem n transformam matriz identidade de 
ordem n em inversa de A. 
Exemplo: 
Exercício: Determinar a inversa da matriz A. 
A=
𝟏 𝟐 𝟏
𝟎 𝟏 𝟐
𝟏 𝟏 𝟏
 
Sistema de Cramer 
Definição: 
Exemplo: 
Espaços Vetoriais 
• Desenvolveremos o conceito de vetor de uma forma bem 
ampla, de modo que, por exemplo, solução de sistema de 
equações lineares também possam ser representadas por 
vetores. 
• Em Geometria Analítica, 
 
 
Soma de vetores no plano. 
Diferença entre 
dois vetores do 
plano. 
VETORES NO ESPAÇO 
Exemplo 
Espaços vetoriais 
Exemplos de Espaços vetoriais. 
• O espaço vetorial ℝ; 
• O espaço vetorial ℂ; 
• O conjunto de vetores da Geometria Analítica (segmentos 
orientados); 
• O conjunto 𝑀𝑚𝑥𝑛(ℝ) é um espaço vetorial sobre ℝ; 
• O espaço ℝ𝑛. 
Exercitando... 
• Mostremos que ℝ 2 = *(𝑥, 𝑦)/𝑥𝑦 ∈ ℝ }. 
 
 
 
 
 
• Mostremos que se I é um intervalo de ℝ e C(I) é o conjunto 
das funções contínuas definidas no intervalo I e tomando 
valores reais. Dados 𝑓 , 𝑔 ∈ 𝐶 𝐼 e 𝑎 ∈ ℝ definem-se 𝑓 + 𝑔 e 
𝑎𝑓 do seguinte modo. 
 
𝑓 + 𝑔: 𝐼 → ℝ e 𝑓 + 𝑔 𝑡 = 𝑓 𝑡 + 𝑔 𝑡 ∀𝑡 ∈ 𝐼 
𝑎𝑓: 𝐼 → ℝ e 𝑎𝑓 𝑡 = 𝑎𝑓(𝑡) ∀𝑡 ∈ 𝐼. 
 
 
Exercício 
No conjunto V = *(𝑥, 𝑦)/𝑥𝑦 ∈ ℝ } definamos “adição” assim: 
(𝑥1, 𝑦1) +(𝑥2, 𝑦2)=(𝑥1 + 𝑥2, 0) 
e multiplicação por escalares como no ℝ 2, ou seja, para cada 
𝑎 ∈ ℝ , 
𝑎(𝑥, 𝑦) = (𝑎𝑥, 0) 
 
V é um espaço vetorial? 
 
Propriedades: 
• Para todo ∝ ∈ ℝ, ∝ 0 = 0; 
• Para todo u ∈ V, 0𝑢 = 0; 
• Uma igualdade ∝ 𝑢 = 0, com ∝ ∈ ℝ e u ∈ V, só é possível se 
∝= 0 ou 𝑢 = 0; 
• Para todo ∝ ∈ ℝ e todo u ∈ V, −𝛼 𝑢 = 𝛼 −𝑢 = − 𝛼𝑢 ; 
• Quaisquer que sejam 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ e u em V, 𝛼 − 𝛽 𝑢 = 𝛼𝑢 −
𝛽𝑢; 
• Quaisquer que seja 𝛼 ∈ ℝ, u e v em V, 𝛼 𝑢 − 𝑣 = 𝛼𝑢 − 𝛼𝑣. 
Subespaços vetoriais 
Proposição: 
• Se W é um sub-espaço vetorial de V, então W também é um 
espaço vetorial sobre ℝ. 
 
 
Exemplo: Mostre que 𝑊 = *(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅³/𝑥 + 𝑦 = 0+ é um 
sub-espaço de 𝑅³. 
 
Exemplo: 
Sejam V = R² e W = {(x, 2x); x ∈ R}. 
Evidentemente, W ≠ Φ, pois (0,0) ∈ W. 
Verifiquemos as condições (ii) e (iii). 
• Para u = (x1, 2 x1) e v = (x2, 2x2) ∈ W, tem-se: 
• ii. u + v = (x1, 2 x1) + (x2, 2 x2) = (x1 + x2, 2 x1 + 2x2) = (x1 + x2, 2(x1 
+x2)) ∈ W, pois a segunda 
• componente de u + v é igual ao dobro da primeira. 
• iii. αu = α(x1, 2 x1) = (α x1, 2(α x1)) ∈ W, pois a segunda 
componente de αu é igual ao dobro da primeira. 
• Portanto, W é um subespaço vetorial de R² que representa 
geometricamente uma reta que passa pela origem. 
Observações: 
1. As condições da definição garantem que ao operarmos em W 
não obteremos um vetor fora de W. De modo que W é ele 
próprio um espaço vetorial. 
 
2. Qualquer subespaço W de V precisa necessariamente conter 
o vetor nulo. 
 
3. Todo espaço vetorial admite pelo menos dois subespaços 
(chamados subespaços triviais), o conjunto formado somente 
pelo vetor nulo e o próprio espaço vetorial. 
 
Exemplos de sub-espaços 
• Dado um sistema linear homogêneo sobre R de tipo mxn 
também é um sub-espaço vetorial do ℝ 𝑛 . 
• A interseção de dois sub-espaços vetoriais do mesmo espaço 
V é também um sub-espaço vetorial V. 
• O conjunto das matrizes simétricas é um sub-espaço veotrial 
de 𝑀𝑛(ℝ). 
Soma de sub-espaços 
 
O vetor V=(-7,7,7) é combinação linear dos vetores u=(-1,2,4) e 
v=(5,-3,1) ? 
Notação: [v] ou [v1,...vn]. O subespaço [v] recebe o 
nome de subespaço gerado por v1,...vn. Cada elemento 
de [v] é uma combinação linear de v1,...vn. 
v1,...vn geram [v]. 
Base e dimensão 
Dependência e Independência Linear 
V Espaço vetorial 
1 2, ,..., .nv v v V
Dizemos que o conjunto 
 1 2, ,..., nv v v
é linearmente independente (L.I), se: 
1 1 1... 0 ... 0n n nv v         
1 10; ... 0i n nv v      Se: 
Dizemos que é um conjunto de vetores 
linearmente dependentes (L.D). 
Seja 𝑉 = 𝑅³ . Vejamos se os vetores: 
3
1 2(1,2,1), (0,1,2)  v v R
são (L.I). 
31 1 1 2 0 v v  R
Assim, 
1 2(1,2,1) (0,1,2) (0,0,0)  
1
1
1 2
2
1 2
0
0
2 0
0
2 0


    
  


 

 
eles são (L.I) 
Exemplo 2 
 (1, 1),(1,0),(1,1)
O conjunto 
𝑉 = 𝑅² 
é (LD), pois temos a seguinte relação 
com coeficientes não todos nulos: 
1 1
(1, 1) 1(1,0) (1,1) (0,0)
2 2
   
Observação 
Exercícios: 
1) Em V = R³, os vetores u = (2,-1,3), v = (-1,0,-2) e w = (2,-3,1) 
são L.D ou L.I.? 
2) Em V = R², i = (1,0) e j = (0,1) são L.D. ou L.I.? 
3) .. 
 
 
 
Os elementos chamados geradores ou 
sistemas de geradores de podem 
ser um conjunto L.I ou L.D. 
V
Exemplo: 
• Mostrar que o conjunto * 1,0, ∝ , 1,1, ∝ , 1,1, ∝2 + de 
vetores do R³ é L.I. desde que ∝≠ 0 𝑒 ∝≠ 1. 
 
 
Base de um espaço vetorialDefinição: 
 
 
 
Exemplos: 
 
Exemplo: 
Proposição: De um conjunto de geradores de 
um espaço ou subespaço vetorial V é sempre 
possível extrair uma base. 
Processo prático para determinar uma 
base de um subespaço do . 
Consiste em escalonar a matriz cujas linhas são 
os vetores geradores do subespaço. As linhas 
que não “zerarem” correspondem aos vetores 
geradores que forem LI. 
Determinar uma base para o seguinte subespaço 
do espaço do R^4: 
     2,1,1,0 , 1,0,1,2 , 0, 1,1,4W    
2 1 1 0
1 0 1 2
0 1 1 4
A
 
 
 
  
1 0 1 2
2 1 1 0
0 1 1 4
 
 
 
  
1 2L L
1 0 1 2
0 1 1 4
0 1 1 4
 
  
 
  
1 0 1 2
0 1 1 4
0 0 0 0
 
  
 
  
3 3 2L L L 
Portanto, os vetores (1,0,1,2) e (0,1,-1,-4) 
(correspondentes às linhas que não se anularam 
na matriz escalonada) formam a base para W. 
Vejamos agora se é LI: 
    2,1 , 0, 1
Teorema: n vetores em 𝑅𝑛 são L.I. se o 
determinante da matriz formada pelos n 
vetores (escritos como vetores linha ou 
coluna) for diferente zero. 
2 1
det 2 0
0 1
 
    
 
   2,1 e 0, 1
são LI. 
    2,1 , 0, 1
é uma base para V. 
Teorema: Qualquer conjunto de vetores L.I. em V é parte de uma 
base, isto é, pode ser completado até formar uma base de V. 
 
 
Exemplo: Consideremos os vetores u = (1,1,0) e v = (0,1,2). 
Observe que {u,v} é LI. Como dim R³ = 3, pelo teorema acima, 
uma base do R³ terá 3 vetores L.I. 
Encontraremos um vetor w ∈ R³ tal que {u,v,w} seja L.I. 
Ou seja, w não pode ser escrito como combinação linear dos 
vetores u e v, isto é, w ≠ au + bv, a,b ∈ R, 
W = (x,y,z) ≠ a(1,1,0) + b(0,1,2) = (a,a + b,2b). 
Escolhendo, por exemplo, a = 1, b = 1, a segunda coordenada 
deve ser diferente de a + b = 2, ou seja tomando w = (1,0,2), o 
conjunto {u,v,w} será L.I. 
Pensar na 
dimensão de um 
espaço... 
Pressupõe extrair 
uma base deste 
espaço ou subespaço 
E observar sua 
cardinalidade ou 
quantidade de 
elementos 
Exercício! 
 
Determinar a dimensão e uma base do espaço vetorial 
W = {(x,y,z)∈ℝ³ / 2x + y + z = 0}. 
 
 
Solução Com a condição 2x + y + z = 0, temos z = -2x - y. 
Se (x,y,z) ∈ℝ³, este tem a forma: 
(x,y,z) = (x,y,-2x-y) = (x,0,-2x) + (0,y,-y), ou ainda, 
(x,y,z) = x(1,0,-2) + y(0,1,-1). 
Vejam que todo vetor de W é combinação linear dos vetores 
(1,0,-2) e (0,1,-1). Como esses dois vetores geradores de W são LI, 
(mostrem este fato!), estes formam uma base de W e, por 
definição, dim W = 2. 
Observações importantes: 
Dimensão: 
• Proposição: Seja V um espaço vetorial finitamente 
gerado. Então, qualquer base de V tem o mesmo número 
de elementos (cardinalidade). 
• A este número de elementos dá-se o nome de Dimensão 
de V. 
• Portanto, se V é finitamente gerado, podemos dizer que 
ele tem 
 
dimensão finita 
Dimensão da Soma de 2 Subespaços 
Seja V um espaço vetorial de dimensão finita 
e U, W subespaços de V. Então: 
 
   dim dimdim U W U W dim U W   
Exemplos: 
• Sejam 
 
 
 
 
• Considere o espaço R^4 e seus subespaços 
 
Utilizando os vetores acima determine: 
 
 
 
3RV 
 zyxRzyxU  ;),,( 3
 0;),,( 3  zxRzyxW
subespaços de V. Determinar as dimensões de U, 
W e . Verifique, pela fórmula cima, se 
U W 3RWU 
         1,2,0, 1 , 1, 1,2,0 1,3,0,1 , 2,4,2, 1 , 1,7,2,0           U e W
 
 
) dim
) dim
) dim
) dim
a U
b W
c U W
d U W


Transformações lineares 
Sejam U e V espaços vetoriais. 
 
Uma função T : U→ V é chamada 
transformação linear de U em V se para todo o x, y ∈ U 
e c ∈ R se verifica: 
 
(a) T(x + y) = T(x) + T(y) 
 
(b) T(cx) = cT(x) 
 
Uma transformação linear preserva a estrutura de espaço vetorial. 
Observações: 
• O conjunto U é chamado de domínio e o 
conjunto V de contradomínio da aplicação T. 
• No caso em que U = V, uma transformação 
linear T : U → V é chamada também de 
operador linear. 
• Para uma transformação linear T : U → V 
verifica-se: 
(a) se T é linear T(O) = O 
(b) T é linear se e só se T(cx + y) = cT(x) + T(y) 
• 𝐸𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 
 
• T: 𝑅2 → 𝑅3 
• T (x, y) = (x, y, x+y) 
 
• Vamos considerar os vetores u(1,2) e v(-2,3). 
 
• 𝐸𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: Verifique se as aplicações seguintes são 
transformações lineares. 
 
• a) T: 𝑅2 → 𝑅3 tal que T (x, y) = (x, y, x+y) 
 
• b) T: 𝑅3 → 𝑅2 tal que T (x, y, z) = (x + y, y + 1) 
 
• c) T: 𝑅2 → 𝑅3 tal que T (x, y) = (3x, -2y, x-y) 
 
• d) T: 𝑅3 → 𝑅2 tal que T (x, y, z) = (3x + 2, 2y -z) 
 
𝐸𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: Seja 
T: 𝑅3 → 𝑅2 𝑢𝑚𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 𝑒 𝐵 = 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3 
uma base do 𝑅3, sendo 𝑣1= 0,1,0 , 𝑣2 = (1,0,1) e 𝑣3 = 
(1,1,0). Determinar T (5,3,-2), sabendo que T( 𝑣1) = (1,-2), 
T(𝑣2) = (3,1) e T(𝑣3) = (0,2). 
 
Obtendo a lei de uma transformação 
linear 
• 𝐸𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: Obtenha a lei das seguintes transformações lineares: 
 
a) T: 𝑅2 → 𝑅3 , T (1, -1) = (1, 1, 0) e T (2, 0) = (2, -1, 1) 
 
b) T: 𝑅2 → 𝑅3 , T (1, -1) = (3, 2, -2) e T (-1, 2) = (1, -1, 3)