Pesquisa Operacional

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Pesquisa Operacional
O que é pesquisa operacional?
A Pesquisa operacional, como o nome já diz, abrange a pesquisa sobre operações, atividades ou ainda é utilizada em problemas para se resolver como coordenar e conduzir as operações, as atividades em uma organização.
A Pesquisa Operacional é considerada uma ciência aplicada, um método científico para se tratar modelos matemáticos complexos, preocupando-se em orientar na tomada de decisões.
Qual a origem da pesquisa operacional?
A origem da Pesquisa Operacional deu-se em torno de 1939 na Inglaterra, durante a Segunda Guerra Mundial. O aparecimento da Pesquisa Operacional é creditado a estudos feitos por cientistas contratados para criar e aperfeiçoar estratégias e táticas militares, na época, limitadas.
Ravindaran(1986), em seu livro Operations Research, esclarece que os problemas de Pesquisa Operacional existem há muito tempo, no entanto, somente a partir da Segunda Grande Guerra passaram a ser tratados sob a abordagem organizada, em uma disciplina área do conhecimento.
Sabe-se que os primeiros casos de aplicação da Pesquisa Operacional reportados foram de caráter militar. Após o final da Segunda Grande Guerra, somente a Pesquisa Operacional começou a estudar problemas ditos civis.
Trefethen (1954), em seu livro nos traz detalhes sobre a origem da Pesquisa Operacional.
Pesquisa Operacional foi estudada e usada somente nas organizações militares. Por conta do sucesso atingido por essa ciência, no que diz respeito a atingir objetivos e metas, as grandes empresas começaram a utilizá-la. A propagação da Pesquisa Operacional nos Estados Unidos durante e após a guerra pode ser creditada principalmente à equipe de cientistas liderada por George B, equipe esta que foi convocada durante a guerra.
No Brasil, a Pesquisa Operacional só surgiu no início da década de 60. Em 1969, foi fundada a Sociedade Brasileira de Pesquisa operacional.(SOBRAPO).
Podemos dizer que um modelo é uma representação de um sistema real. Se o sistema já existir, o modelo deve pretender reproduzir o funcionamento do sistema, de modo a aumentar sua produtividade. No caso de se tratar de um projeto a ser executado, o modelo é utilizado para definir a estrutura ideal do sistema. Um modelo matemático é composto por três conjuntos principais de elementos:
As variáveis de decisão e parâmetros: as variáveis de decisão são incógnitas a serem determinadas pela solução do modelo, enquanto que os parâmetros são valores fixos no problema.
As restrições: utilizadas para levar em conta as limitações físicas do sistema, as restrições limitam as variáveis de decisão a seus valores possíveis ou viáveis. 
Função-objetivo: é uma função matemática que define o objetivo da solução em função das variáveis de decisão.
A formulação do modelo depende diretamente do sistema que precisa ser representado do problema em questão. A função-objetivo e as funções de restrições podem ser lineares ou não lineares. As variáveis de decisão podem ser contínuas ou discretas, como, por exemplo, variáveis inteiras ou mesmo binárias, e os parâmetros podem ser determinísticos ou probabilísticos.
Vamos ver alguns exemplos de modelagem que encontramos na literatura.
Um alfaiate tem disponíveis os seguintes tecidos: 16 metros de algodão, 11 metros de seda e 15 metros de lã. Para um terno, são necessários 2 metros de algodão, 1 metro de seda e 1 metro de lã. Para um vestido, são necessários 1 metro de algodão, 2 metros de seda e 3 metros de lã. Se um terno é vendido por $300,00 e um vestido por $500,00, modele este problema de forma a determinar quantas peças de cada tipo o alfaiate deve fazer de modo a maximizar o seu lucro.
Chamaremo de: X1quantidade de ternos a serem produzidos
 X2 quantidade de vestidos a serem produzidos
Identificaremos agora a função-objetivo: maximiar o lucro total com a produção dos 2 produtos
Max Z= 300X1 +500X2
E as restrições? Como ficam?
A restrição do algodão
2 X1 + X2 ≤ 16
A restrição da seda
X1 + 2 X2 ≤ 11
A restrição da lã
X1 + 3 X2 ≤ 15
Uma companhia de aluguel de caminhões possuía dois tipos de caminhões: o tipo A, com 2 metros cúbicos de espaço refrigerado e 4 metros cúbicos de espaço não refrigerado, e o tipo B, com 3 metros cúbicos refrigerados e 3 não refrigerados. Uma fábrica precisou transportar 90 metros cúbicos de produto refrigerado e 120 metros cúbicos de produto não refrigerado. Quantos caminhões de cada tipo ela deve alugar, de modo a minimizar o custo, se o aluguel do caminhão A era $0,30 por km e o do B, $0,40 por km? Elabore o modelo de programação linear que represente esta situação.
Chamaremos de:
X1 quantidade de caminhões do tipo A
X2 quantidade de caminhões do tipo B
Identificaremos agora a função-objetivo minimizar o custo: Min Z=0,30X1 + 0,40X2
Restrição do espaço refrigerado: 2X1 + 3X2 ≤ 90
Restrição do espaço refrigerado: 40X1 + 3X2 ≤ 120 
Temos que lembrar que X1 e X2 representam quantidades de caminhões e, portanto, não podem assumir valores negativos
X1 ≥ 0
X2 ≥ 0
O modelo ficará então: Min Z = 0,30X1 + 0,40X2
Sujeito a: 2X1 3X2 ≤ 90 restrição do esp. Refrigerado
4X1 + 3X2 ≤ 120 restrição do esp não refrigerado
X1 ≥ 0	
X2 ≥ 0
Exemplos de Modelagem – Problema da Fábrica de Vidro
Uma determinada companhia é grande fabricante de vidros de alta qualidade, produzindo um grande número de portas e janelas de vidro. A companhia possui 3 fábricas, sendo que na fábrica 1 são feitas as esquadrias de alumínio, na fábrica 2 são feitas as esquadrias de madeira e na 3 os produtos (portas e janelas) são montados. Como os lucros estão caindo, a diretoria resolveu parar a produção de alguns produtos que não estão vendendo bem.
Para aproveitar a ociosidade que irá surgir no parque de produção, dois novos produtos serão lançados no mercado. Um desses produtos (produto1) é uma porta de vidro com esquadrias de alumínio e o outro (produto 2) é uma janela com esquadrias de madeira. Após uma pesquisa de mercado, o Departamento de Vendas concluiu que esses 2 novos produtos terão grande aceitação e todas as unidades produzidas serão vendidas.
As informações disponíveis, por dia, para a produção desses 2 novos produtos estão mostrados na tabela a seguir.
Exemplos de Modelagem – Problema da Confecção
Uma determinada confecção opera com dois produtos: calças e camisas. Como se trata de produtos semelhantes, possuem uma produtividade comparável e compartilham os mesmos recursos.
A programação da produção é realizada por lotes de produto. O Departamento de Produção informa que são necessários 10 homens/hora para um lote de calças e 20 homens/hora para um lote de camisas.
Sabe-se que não é necessária a mão de obra especializada para a produção de calças, mas são necessários 10 homens/hora desse tipo de mão de obra para produzir um lote de camisas. O Departamento Pessoal informa que a força máxima de trabalho disponível é de 30 homens/hora de operários especializados e de 50 homens/hora de não especializados.
Da planta de produção, sabemos que existem apenas duas máquinas com capacidade de produzir os dois tipos de produto, sendo que a máquina 1 pode produzir um lote de calças a cada 20 horas, e um lote de camisas a cada 10 horas, não podendo ser utilizada por mais de 80 horas no período considerado.
A máquina 2 pode produzir um lote de calças a cada 30 horas e um lote de camisas a cada 35 horas, não podendo ser utilizada por mais de 130 horas no período considerado. São necessários dois tipos de matéria-prima para produzir calças e camisas. Na produção de um lote de calças, são utilizados 12 quilos de matéria-prima A e 10 da B. Na produção de um lote de camisas, são utilizados 8 quilos da matéria-prima A e 15 da B.
DEFINIÇÃO DO PROBLEMA
A definição do problema baseia-se em três aspectos principais:
• descrição exata dos objetivos do estudo;
• identificação das alternativas de decisão existentes;
• reconhecimento das limitações, restrições e exigências do sistema.
A descrição dos objetivos é muitoimportante em todo o processo, pois, a partir desta definição, o modelo é concebido. É essencial também que as alternativas de decisão e as limitações existentes sejam todas explicitadas para que as soluções obtidas ao final do processo sejam válidas e aceitáveis.
CONSTRUÇÃO DO MODELO
É preciso se escolher bem o modelo para que a solução tenha qualidade. Se o modelo que se elaborou tem a forma de um modelo conhecido, podemos obter a solução através de métodos matemáticos convencionais. Se o modelo tiver relações matemáticas muito complexas, precisaremos utilizar combinações de metodologias.
SOLUÇÃO DO MODELO
Nesta fase de procurar e encontrar uma solução para o modelo proposto, geralmente utilizamos técnicas matemáticas existentes. Se isso não for possível, cria-se um novo algoritmo, mais adequado, no que diz respeito a tempo e precisão de resposta. Tanto a utilização de técnicas existentes quanto a criação de algoritmos exige um conhecimento profundo das técnicas existentes.
VALIDAÇÃO DO MODELO
Um modelo é válido se ele for capaz de fornecer uma previsão aceitável do comportamento do sistema. Um método comum de validação do modelo é analisar seu desempenho com dados antigos e verificar se os resultados conseguem reproduzir o comportamento que o sistema apresentou anteriormente.
IMPLEMENTAÇÃO DA SOLUÇÃO
Agora é o momento de se investir em regras operacionais. Eventualmente, os valores da nova solução, quando levados à prática, podem demonstrar a necessidade de correções, exigindo a reformulação do modelo em algumas de suas partes.
		1.
		Dentre as fases do estudo em Pesquisa Operacional temos a formulação do problema, e nesta fase é correto afirmar que:
	
	
	
	
	 
	É realizado um teste com dados empíricos do sistema,caso haja dados históricos, estes serão aplicados ao modelo, gerando desempenho que pode ser comparado ao desempenho observado mno sistema.
	
	 
	O administrador e o responsável pelo estudo em Pesquisa Operacional, discutem para colocar o problema de maneira clara e coerente, definindo os objetivos a alcançar e quais os possíveis caminhos para que isso ocorra. Além disso, são levantadas as limitações técnicas do sistema, a fim de criticar a validade de possíveis soluções.
	
	
	A construção e experimentação com o modelo identificam parâmetros fundamentais para solução do problema.
	
	
	A solução será apresentada ao administrador ,evitando-se o uso da linguagem técnica do modelo. Esta fase deverá ser acompanhada para se observar o comportamento do sistema com a solução adotada.
	
	
	Os modelos que interessam em Pesquisa Operacional são os modelos matemáticos , isto é, modelos formados por um conjunto de equações e inequações.
	 Gabarito Comentado
	 Gabarito Comentado
	
	
		2.
		Dentre as alternativas abaixo, assinale a que não corresponde as vantagens de utilização de modelos:
	
	
	
	
	
	Possibilita compreender relações complexas;
	
	
	Serve como base para estabelecer e aprimorar parâmetros.
	
	 
	Dificulta a visualização da amplitude das variáveis sem alterar a essência;
	
	
	Emerge sob a forma gráfica, para representar a realidade aprendida em determinado momento;
	
	
	Ajuda a identificar várias relações possíveis entre os elementos da realidade;
	 Gabarito Comentado
	
	
		3.
		Certa empresa fabrica 2 produtos P1 e P2. O lucro por unidade de P1 é de 100 u.m. e o lucro unitário por P2 é de 150 u.m. A empresa necessita de 2 horas para fabricar uma unidade de P1 e 3 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo mensal disponível para essas atividades é de 120 horas. As demandas esperadas para os 2 produtos levaram a empresa a decidir que os montantes produzidos de P1 e P2 não devem ultrapassar 40 unidades de P1 e 30 unidades de P2 por mês. Elabore o modelo.
	
	
	
	
	
	Max Z=150x1+100x2
Sujeito a:
2x1+x2≤120
x1≤40
x2≤30
x1≥0
x2≥0
	
	
	Max Z=100x1+150x2
Sujeito a:
3x1+2x2≤120
2x1≤40
x2≤30
x1≥0
x2≥0
	
	
	Max Z=100x1+150x2
Sujeito a:
3x1+2x2≤120
x1≤40
x2≤30
x1≥0
x2≥0
	
	 
	Max Z=100x1+150x2
Sujeito a:
2x1+3x2≤120
x1≤40
x2≤30
x1≥0
x2≥0
	
	
	Max Z=150x1+100x2
Sujeito a:
2x1+3x2≤120
x1≤40
x2≤30
x1≥0
x2≥0
	
	
	
		4.
		A Esportes Radicais S/A produz pára-quedas e asa-deltas em duas linhas de montagem. A primeira linha de montagem tem 100 horas semanais disponíveis para a fabricação dos produtos, e a segunda linha tem um limite de 42 horas semanais. Cada um dos produtos requer 10 horas de processamento na linha 1, enquanto que na linha 2 o pára-quedas requer 3 horas e a asa-delta requer 7 horas. Sabendo que o mercado está disposto a comprar toda a produção da empresa e que o lucro pela venda de cada pára-quedas é de R$60,00 e para cada asa-delta vendida é de R$40,00, encontre a programação de produção que maximize o lucro da Esportes Radicais S/A. Elabore o modelo.
	
	
	
	
	 
	Max Z=40x1+40x2
Sujeito a:
10x1+10x2≤100
3x1+7x2≤42
x1≥0
x2≥0
	
	
	Max Z=60x1+40x2
Sujeito a:
10x1+10x2≤100
7x1+7x2≤42
x1≥0
x2≥0
	
	
	Max Z=60x1+40x2
Sujeito a:
10x1+x2≤100
3x1+7x2≤42
x1≥0
x2≥0
	
	 
	Max Z=60x1+40x2
Sujeito a:
10x1+10x2≤100
3x1+7x2≤42
x1≥0
x2≥0
 
	
	
	Max Z=40x1+60x2
Sujeito a:
10x1+10x2≤100
3x1+7x2≤42
x1≥0
x2≥0
 
	 Gabarito Comentado
	
	
		5.
		Um gerente de um SPA chamado Só é Magro Quem Quer contrata você para ajudá-lo com o problema da dieta para os hóspedes. (Observe que ele paga bem: 40% do que você precisa!) Mais especificamente, ele precisa de você para decidir como preparar o lanche das 17:00h. Existem dois alimentos que podem ser fornecidos: cheeseburguers e pizza. São unidades especiais de cheeseburguers e pizza, grandes, com muito molho e queijo, e custam, cada, R$10,00 e R$16,00, respectivamente. Entretanto, o lanche tem que suprir requisitos mínimos de carboidratos e lipídios: 40 u.n. e 50 u.n., respectivamente (u.n. significa unidade nutricional). Sabe-se, ainda, que cada cheeseburguers fornece 1 u.n. de carboidrato e 2 u.n. de lipídios, e cada pizza fornece 2 u.n. de carboidratos e 5 u.n. de lipídios. O gerente pede inicialmente que você construa o modelo.
	
	
	
	
	 
	Min Z=10x1+16x2
Sujeito a:
x1+2x2≥40
2x1+5x2≥50
x1≥0
x2≥0
	
	
	Min Z=10x1+16x2
Sujeito a:
x1+2x2≥40
2x1+x2≥50
x1≥0
x2≥0
	
	
	Min Z=16x1+10x2
Sujeito a:
x1+2x2≥40
2x1+x2≥50
x1≥0
x2≥0
	
	
	Min Z=10x1+16x2
Sujeito a:
x1+x2≥40
2x1+5x2≥50
x1≥0
x2≥0
	
	
	Min Z=16x1+10x2
Sujeito a:
x1+2x2≥40
2x1+5x2≥50
x1≥0
x2≥0
	 Gabarito Comentado
	
	
		6.
		Em que consiste um estudo de Pesquisa Operacional consiste?
	
	
	
	
	
	Um estudo que não leva em consideração a complexidade de um sistema onde seu comportamento é influenciado por um número grande de elementos definidos.
	
	
	Um estudo que não leva em consideração a complexidade de um sistema onde seu comportamento é influenciado por um número muito reduzido de elementos variáveis.
	
	
	Um estudo que leva em consideração a simplificação do sistema real em termos de um modelo que não leva em consideração a identificação dessas variáveis principais.
	
	
	O estudo de Pesquisa Operacional consiste, basicamente, em  um modelo de um sistema  abstrato como meio de definição do comportamento de uma situação hipotética.
	
	 
	Um estudo de Pesquisa Operacional consiste, basicamente, em construir um modelo de um sistema real existente como meio de analisar e compreender o comportamento dessa situação, com o objetivo de levá-lo a apresentar o desempenho que se deseja.
Aula 2
O que a programação linear procura fazer?
A programação linear se propõe a maximizar ou minimizar uma função linear, dita função objetivo, respeitando um sistema de igualdades ou desigualdades, de funções lineares. Estas funçõeslineares são as restrições do modelo ou do problema.
De maneira geral, as restrições podem representar limitações de recursos disponíveis, como capital, mão de obra, recursos minerais, ou fatores de produção, ou mesmo condições, exigências ou necessidades que devem ser obedecidas no problema. No modelo, essas restrições determinam uma região, região esta que dizemos ser o CONJUNTO VIÁVEL para as soluções.
Que técnicas existem para encontrarmos uma solução ótima?
Dentre as várias técnicas existentes para a determinação da solução, podemos citar:
Programa linear
A programação linear é usada para analisar modelos onde as restrições e a função objetivo são lineares.
Programação Inteira
A programação inteira se aplica a modelos que possuem variáveis inteiras ou discretas.
Programação dinâmica
A programação dinâmica é utilizada em modelos onde o problema completo pode ser decomposto em subproblemas.
Programação Estocástica
A programação estocástica é aplicada a modelos onde os parâmetros são descritos por funções de probabilidade.
Programação não linear 
A programação não linear é utilizada em modelos contendo funções não lineares.
A formulação do modelo de programação linear
Para se resolver um problema de Programação Linear, devemos formulá-lo definindo a Função Objetivo e as restrições e, para isso, precisamos definir as variáveis de decisão envolvidas.
Definimos, a princípio, o objetivo do problema. Como exemplos de Função Objetivo, podemos ter os casos de maximizar lucros ou desempenhos, minimizar custos, perdas, ou tempo.  
Com relação às variáveis de decisão, de maneira geral, estas variáveis são não negativas, já que quase sempre são representativas de questões positivas. As variáveis de decisão e a Função Objetivo estão sujeitas a uma série de restrições, representadas por equações ou, na maioria das vezes, inequações.
Em um problema de Programação Linear, todas as funções envolvidas são lineares, em outras palavras, todas as relações entre as variáveis devem ser lineares, significando que as quantidades envolvidas são proporcionais de alguma forma.
A linearidade pode ser uma característica determinante no que se refere à simplificação da estrutura matemática envolvida, no entanto pode ser problemática para se representar fenômenos não lineares.
Considerando todas as decisões possíveis que satisfazem as restrições, as chamadas decisões viáveis, procuramos determinar aquela decisão que é a “melhor”, a solução ótima, àquela que proporciona maior contribuição total do lucro, menor custo, maior retorno: uma decisão ótima.
O Modelo de Problema de Programação Linear
Como sabemos então, o Problema de Programação Linear (PPL) é um problema de programação matemática em que a FunçãoObjetivo e as restrições são funções lineares.
O problema de programação linear (ppl) está na forma padrão quanto tivermos uma maximização e as restrições forem do tipo menor ou igual e as constantes b1, b2, bm e variáveis de decisão x1, x2,...xn assumirem valores não negativos.
Certa empresa fabrica dois produtos P1 e P2. O lucro unitário do produto P1 é de 1000 unidades monetárias e o lucro unitário de P2 é de 1800 unidades monetárias. A empresa precisa de 20 horas para fabricar uma unidade de P1 e de 30 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo anual de produção disponível para isso é de 1200 horas. A demanda esperada para cada produto é de 40 unidades anuais para P1 e 30 unidades anuais para P2. Qual é o plano de produção para que a empresa maximize seu lucro nesses itens? Construa o modelo de Programação Linear para esse caso.
Teoremas Importantes
A ideia do estudo de Programação Linear é encontrarmos a solução ótima dos problemas. Para isso, devemos atender aos teoremas cujos enunciados extraímos do livro Programação Linear como instrumento da pesquisa operacional, de Eduardo Jose Franco dos Passos.
Quando temos somente duas variáveis de decisão, podemos encontrar a solução ótima graficamente.
Vamos considerar a reta 2x1+x2=6 representada abaixo. Os pontos pertencentes a reta atendem à igualdade. Como determinar se os pontos (x1, x2) da região acima da reta são pontos de tal forma que 2x1+x2≤6 ou 2x1+x2≥6?
Uma sugestão é que você escolha um ponto, de preferência o (0,0) e substitua na equação 2x1+x2, verificando se este valor é maior ou menor que 6, no nosso caso.  Note que você precisa observar que a região que você encontrar (acima ou abaixo da reta) é aquela no qual o ponto (0,0) se localiza.
No nosso exemplo, o ponto (0,0) está abaixo da reta. Substituindo (0,0) em 2x1+x2, obtemos 0, que é menor que 6. Assim, a região abaixo da reta 2x1+x2=6 é a região 2x1+x2≤6, pois o ponto (0,0) precisa atender à inequação.
A região sinalizada em vermelho é a região 2x1+x2≤6.
Como resolver graficamente?
Primeiro, devemos estabelecer os eixos que irão representar as variáveis de decisão. Devemos construir um eixo com as dimensões x1 e x2.
Encontrar o conjunto de soluções viáveis: a região viável. Precisamos identificar os valores (x1, x2) que são permitidos pelas restrições. Depois de traçarmos as inequações (que representam as restrições do problema), um poliedro convexo é formado. Este poliedro contém todas as soluções do problema, uma vez que qualquer ponto dentro desta região ou na aresta do poliedro atende às restrições do problema. 
Escolher o ponto da região viável que maximiza o valor da Função Objetivo. Esta escolha pode ser feita dando valores a z, a Função Objetivo, e observar o quanto podemos “melhorar” o valor de z, sem sair da região viável, clique no PDF.
Podemos também utilizar o vetor gradiente, que é formado pelos coeficientes da Função Objetivo (c1, c2). Este vetor tem a origem na origem dos eixos e, traçando perpendiculares a este vetor, podemos procurar o ponto utilizando estas perpendiculares. Clique no PDF.
	xercício: CCE0512_EX_A2_201201578451 
	Matrícula: 201201578451
	Aluno(a): PAULA GOMES DA SILVA
	Data: 08/05/2016 19:52:14 (Finalizada)
	
	 1a Questão (Ref.: 201201808934)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Resolvendo graficamente o Problema de Programação Linear (PPL) abaixo, obtemos como solução ótima:
 
minimizar        -4x1 + x2
sujeito a:         -x1 + 2x2  6                          
                        x1 + x2  8
                        x1, x2  0
		
	 
	x1=0, x2=8 e Z*=32
	
	x1=8, x2=0 e Z*=32
	 
	x1=8, x2=0 e Z*=-32
	
	x1=6, x2=0 e Z*=32
	
	x1=8, x2=8 e Z*=-32
	
	
	
	
	 2a Questão (Ref.: 201202253326)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Analise as alternativas abaixo:
I- A região viável de um PPL é um conjunto convexo.
II- A variável controlada ou de decisão é a quantidade a ser produzida num período , o que compete ao administrador controlar,enquanto as variáveis não controladas são aquelas cujos valores são arbitrados por sistemas fora do controle do administrador.
III- As variáveis definidas com valores diferentes de zero na resolução de uma PPL chamam-se variáveis não básicas.
A partir daí, assinale a opção correta:
		
	
	I , II e III são verdadeiras
	 
	I e III são verdadeiras
	 
	I e II são verdadeiras
	
	Somente a III é verdadeira.
	
	Somente a I é verdadeira.
	
	 Gabarito Comentado
	 Gabarito Comentado
	
	
	 3a Questão (Ref.: 201201808940)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Duas fábricas produzem 3 diferentes tipos de papel. A companhia que controla as fábricas tem um contrato para produzir 16 toneladas de papel fino, 6 toneladas de papel médio e 28 toneladas de papel grosso. Existe uma demanda para cada tipo de espessura. O custo de produção na primeira fábrica é de 1000 u.m. e o da segunda fábrica é de 2000 u.m., por dia. A primeira fábrica produz 8 toneladas de papel fino, 1 tonelada de papel médio e 2 toneladas de papel grosso por dia, enquanto a segunda fábrica produz 2 toneladas de papel fino, 1 tonelada de papel médio e 7 toneladasde papel grosso. Faça o modelo do problema e determine quantos dias cada fábrica deverá operar para suprir os pedidos mais economicamente.
		
	
	Min Z=2000x1+1000x2
Sujeito a:
8x1+2x2≥16
x1+x2≥6
2x1+7x2≥28
x1≥0
x2≥0
	
	Min Z=1000x1+2000x2
Sujeito a:
8x1+2x2≥16
x1+x2≥6
7x1+2x2≥28
x1≥0
x2≥0
	 
	Min Z=1000x1+2000x2
Sujeito a:
8x1+2x2≥16
x1+x2≥6
2x1+7x2≥28
x1≥0
x2≥0
	
	Min Z=1000x1+2000x2
Sujeito a:
8x1+2x2≥16
2x1+x2≥6
2x1+7x2≥28
x1≥0
x2≥0
	
	Min Z=1000x1+2000x2
Sujeito a:
2x1+8x2≥16
x1+x2≥6
2x1+7x2≥28
x1≥0
x2≥0
	
	
	
	
	 4a Questão (Ref.: 201202312831)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	(Adaptado: WEBER, P. 600) Um fabricante produz bicicletas e motonetas, devendo cada uma delas ser processada em duas oficinas. A oficina 1 tem um máximo de 120 horas de trabalho disponível e a oficina 2 um máximo de 180 h. A fabricação de uma bicicleta requer 6 horas de trabalho na oficina 1 e 3 horas na oficina 2. A fabricação de uma motoneta requer 4 horas na oficina 1 e 10 hora na oficina 2. Se o  lucro é de $ 45,00 por bicicleta e de $ 55,00  por motoneta.  Determine o Lucro Máximo, de acordo com as informações abaixo:
Max L = 45x1 + 55x2  
Sujeito a:
6x1  +  4x2   ≤ 120
3x1 + 10x2   ≤ 180
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
 
 
Após a análise gráfica podemos afirmar que o vértice que aponta o Lucro Máximo. Este Lucro máximo é:
		
	 
	Max L: 1125
	
	Max L: 990
	
	Max L: 900
	 
	Max L: 1275
	
	Max L: 810
	
	 Gabarito Comentado
	 Gabarito Comentado
	
	
	 5a Questão (Ref.: 201202241889)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Uma pessoa precisa de 10, 12 e 12 unidades dos produto s químico s A, B e C , respectivamente , para o seu jardim. Um produto líquido contém : 5, 2 e 1 unidades d e A, B e C , respectivamente , por vidro . Um produto em pó contém : 1, 2 e 4 unidades d e A, B e C , respectivamente , p o r caixa . Se o produto líquido custa R $ 3,00 p o r vidro e o produto e m p ó custa R $ 2,00 por caixa , quantos vidros e quanta s caixas ele deve comprar para minimizar o custo e satisfazer as necessidades ? Para poder responder a esta pergunta , utilizando-s e o método gráfico , em qual ponto solução s e obterá o custo mínimo ?
		
	
	(12; 0)
	 
	(1; 5)
	 
	(0; 10)
	
	(12; 10)
	
	(4; 2)
	
	 Gabarito Comentado
	 Gabarito Comentado
	
	
	 6a Questão (Ref.: 201202241026)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Certa empresa escolheu três produtos P1, P2 e P3 para investir no próximo ano, cujas demandas previstas são: P1 - 500 unidades, P2 - 300 unidades e P3 - 450 unidades Para fabricar uma unidade de P1, P2 e P3 são necessárias, respectivamente, 4, 6 e 2 Horas/Homem. Os 3 produtos passam por uma máquina de pintura cujo processo tem a duração de 8 horas para P1, 6 horas para P2 e 4 horas para P3. A empresa só pode contar com 3.800 Horas/Homem e 5.200 Horas/Máquina para esta família de produtos. Sabendo que o lucro unitário de P1 é R$ 800,00, de P2 R$ 600,00 e de P3 R$ 300,00, estabeleça um programa ótimo de produção para o período. Faça a modelagem desse problema.
		
	
	Max Z = 800x1 + 600x2 + 300x3; Sujeito a: 2x1 + 6x2 + 4x3 ≤ 3.800; 4x1 + 6x2 + 8x3 ≤ 5.200; x1 ≤ 500; x2 ≤ 300; x3 ≤ 450; x1 ≥ 0; x2 ≥ 0; x3 ≥ 0
	 
	Max Z = 800x1 + 600x2 + 300x3; Sujeito a: 4x1 + 6x2 + 2x3 ≤ 3.800; 8x1 + 6x2 + 4x3 ≤ 5.200; x1 ≤ 500; x2 ≤ 300; x3 ≤ 450; x1 ≥ 0; x2 ≥ 0; x3 ≥ 0
	
	Max Z = 500x1 + 300x2 + 450x3; Sujeito a: 4x1 + 6x2 + 2x3 ≤ 3.800; 8x1 + 6x2 + 4x3 ≤ 5.200; x1 ≤ 800; x2 ≤ 600; x3 ≤ 300; x1 ≥ 0; x2 ≥ 0; x3 ≥ 0
	
	Max Z = 500x1 + 300x2 + 450x3; Sujeito a: x1 + x2 + x3 ≤ 3.800; x1 + x2 + x3 ≤ 5.200; x1 ≤ 800; x2 ≤ 600; x3 ≤ 300; x1 ≥ 0; x2 ≥ 0; x3 ≥ 0
	
	Max Z = 300x1 + 600x2 + 800x3; Sujeito a: 4x1 + 6x2 + 2x3 ≤ 3.800; 8x1 + 6x2 + 4x3 ≤ 5.200; x1 ≤ 500; x2 ≤ 300; x3 ≤ 450; x1 ≥ 0; x2 ≥ 0; x3 ≥ 0
AULA 3 MÉTODO SIMPLEX
O Método Simplex foi desenvolvido em 1947 por George B. Dantzig.
Teorema 1
Se o problema de programação linear tem solução ótima, então esta solução está em, pelo menos, um ponto extremo do poliedro de soluções viáveis.
Teorema 2
Se a região de soluções viáveis de um problema de programação linear é não vazia, então existe uma solução ótima.
Teorema 3 
O conjunto de soluções viáveis de um problema de programação linear é um conjunto convexo.
Teorema 4
O conjunto de soluções viáveis de um problema de programação linear tem um número finito de pontos extremos (vértices).
Sabemos então que o conjunto de todas as soluções do problema de programação linear é um conjunto convexo cujos vértices, ou seja, cujos pontos extremos correspondem a soluções ditas básicas viáveis.
Sabemos ainda que, se a função objetivo possui um máximo finito, então, pelo menos uma solução ótima é um ponto extremo do conjunto convexo.
Uma pequena metalúrgica deseja maximizar sua receita com a venda de dois tipos de finas fitas de aço que se diferenciam em qualidade no acabamento de corte. As fitas são produzidas a partir do corte de bobinas de grande largura. Existem duas máquinas em operação. Uma das máquinas é mais antiga e permite o corte diário de 4.000 m de fita. A outra, mais nova, corta até 6.000 m. A venda das chapas no mercado varia de acordo com a qualidade de cada uma. Fitas produzidas na máquina antiga permitem um lucro de 3 u.m por mil metros de produção. Fitas cortadas na máquina mais moderna produzem um lucro de 5 u.m por mil metros de produção.
Cada mil metros de fita cortada na máquina antiga consome 3 homens x hora de mão de obra. Na máquina moderna são gastos apenas 2 homens x hora. Diariamente, são disponíveis 18 homens x hora para a operação de ambas as máquinas. Determine a produção que otimiza o lucro da metalúrgica.
O quadro Q.1 não é ótimo, pois temos na linha da função objetivo – linha 1 - dois valores negativos: -3 e -5.  O quadro é ótimo quando todos os valores,
nessa linha, são positivos.
Variável que entra na coluna da base: X2 (procure o menor valor numérico)
Variável que sai da coluna da base: X4 (menor valor encontrado na divisão)
Avance a tela e monte o próximo quadro realizando a troca do anterior.
Q.2
Q.2
Localize no quadro anterior – na linha da variável que foi selecionada para sair da coluna da base (linha 3)  – o elemento pivô.
O elemento pivô está localizado na coluna da variável selecionada para entrar na coluna da base. 
O pivô deverá ser 1 para facilitar os cálculos.
Quando ele é 1 basta transferir a linha da variável selecionada para sair da coluna da base toda para o próximo quadro na mesma posição.
O pivô localizado no Q.1  é 1, logo a linha 3 foi toda transferida para o Q.2. A linha 3 é a linha do pivô.
Agora devemos zerar a coluna do pivô, isto é, zerar os quadrados acima e abaixo do pivô.
Q2
Q2
Tinha mais coisa da aula para copiar, mas to sem saco
	Exercício: CCE0512_EX_A3_201201578451 
	Matrícula: 201201578451
	Aluno(a): PAULA GOMES DA SILVA
	Data: 08/05/2016 22:05:03 (Finalizada)
	
	 1a Questão (Ref.: 201201757347)
	 Fórum de Dúvidas (1 de 1)       Saiba  (0)
	
	Seja a última tabela do método simplex para cálculo da solução de um problema de PL:
     z     x1    x2         xF1              xF2            xF3         b
	1
	0
	0
	1,23
	0,09
	0
	14,09
	0
	0
	1
	0,27
	-0,09
	0
	0,91
	0
	1
	0
	-0,05
	0,18
	0
	3,18
	0
	0
	0
	0,32
	-0,27
	1
	27,73
 Qual o valor da variável x2?
		
	
	0
	
	27,73
	 
	0,91
	 
	3,18
	
	1
	
	
	
	
	 2a Questão (Ref.: 201201758703)
	 Fórum de Dúvidas (1 de 1)       Saiba  (0)
	
	Uma empresa fabrica dois modelos de cintos de couro. O modelo M1, de melhor qualidade, requer o dobro do tempo de fabricação em relação ao modelo M2. Se todos os cintos fossem do modelo M2, a empresa poderiaproduzir 1000 unidades por dia. A disponibilidade de couro permite fabricar 800 cintos de ambos os modelos por dia. Os cintos empregam fivelas diferentes, tipos A e B, cuja disponibilidade diária é de 400 para M1 (tipo A) e 700 para M2 (tipo B). Os lucros unitários são de R$ 4,00 para M1 e R$ 3,00 para M2.
 
A quantidade que sobra de fivelas tipo B é:
		
	 
	100
	
	250
	
	200
	
	180
	
	150
	
	 Gabarito Comentado
	
	
	 3a Questão (Ref.: 201201756847)
	 Fórum de Dúvidas (1 de 1)       Saiba  (0)
	
	No método Simplex, a linha da variável de saída é chamada de linha
		
	
	diagonal
	
	viável
	
	básica
	 
	pivô
	
	principal
	
	
	
	
	 4a Questão (Ref.: 201201756984)
	 Fórum de Dúvidas (1 de 1)       Saiba  (0)
	
	Seja a primeira tabela do método simplex para cálculo da solução de um problema de PL:
       z            x1          x2         xF1         xF2        xF3         b
	1
	-3
	-5
	0
	0
	0
	0
	0
	2
	4
	1
	0
	0
	10
	0
	6
	1
	0
	1
	0
	20
	0
	1
	-1
	0
	0
	1
	30
 Qual é a variável que entra na base?
		
	
	xF2
	 
	x2
	
	xF3
	
	xF1
	 
	x1
	
	 Gabarito Comentado
	 Gabarito Comentado
	
	
	 5a Questão (Ref.: 201201757412)
	 Fórum de Dúvidas (1 de 1)       Saiba  (0)
	
	Seja a seguinte sentença:
 
"A última tabela obtida pelo método Simplex para a resolução de um problema de PL apresenta a solução ótima PORQUE a linha objetiva da tabela tem elementos negativos nas colunas rotuladas com variáveis."
 
A partir das asserções acima, assinale a opção correta: 
		
	
	Tanto a primeira como a segunda asserção são falsas.
	 
	A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é uma proposição falsa.
	
	As duas asserções são verdadeiras, e a segunda é uma justificativa correta da primeira.
	
	As duas asserções são verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa correta daprimeira.
	
	A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é uma proposição verdadeira.
	
	 Gabarito Comentado
	 Gabarito Comentado
	
	
	 6a Questão (Ref.: 201201754900)
	 Fórum de Dúvidas (1 de 1)       Saiba  (0)
	
	   Sejam as seguintes sentenças:
 
I - Em um problema padrão de PL, toda desigualdade relativa a uma restrição do problema deve ser do tipo ≤   
II - A região viável de um problema de PL é um conjunto convexo.  
III - Na resolução de um problema de PL, as variáveis definidas como zero são chamadas de variáveis não básicas.  
IV - Um problema de PL não pode ter uma única solução.   
 
Assinale a alternativa errada:
		
	 
	 IV é verdadeira
	
	 I e III são falsas
	
	 I ou II é verdadeira
	
	 III é verdadeira
	
	III ou IV é falsa
	CCE0512_EX_A4_201201578451
	   » de 37 min.
		
	 
	Lupa
	 
	Aluno: PAULA GOMES DA SILVA
	Matrícula: 201201578451
	Disciplina: CCE0512 - PESQ. OPERACIONAL. 
	Período Acad.: 2016.1 (G) / EX
	
Prezado (a) Aluno(a),
Você fará agora seu EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O mesmo será composto de questões de múltipla escolha (3).
Após a finalização do exercício, você terá acesso ao gabarito. Aproveite para se familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS.
	
	
		1.
		Uma empresa fabrica dois modelos de cintos de couro. O modelo M1, de melhor qualidade, requer o dobro do tempo de fabricação em relação ao modelo M2. Se todos os cintos fossem do modelo M2, a empresa poderia produzir 1000 unidades por dia. A disponibilidade de couro permite fabricar 800 cintos de ambos os modelos por dia. Os cintos empregam fivelas diferentes, tipos A e B, cuja disponibilidade diária é de 400 para M1 (tipo A) e 700 para M2 (tipo B). Os lucros unitários são de R$ 4,00 para M1 e R$ 3,00 para M2.
 
A quantidade que sobra de fivelas tipo A é:
	
	
	
	
	
	250
	
	
	180
	
	 
	200
	
	 
	150
	
	
	100
	 Gabarito Comentado
	
	
		2.
		Considere o relatório de respostas do SOLVER para um problema de Programação Linear abaixo. Com relação a este relatório é SOMENTE correto afirmar que
(I) A solução ótima para a função objetivo é 2,8.
(II) O SOLVER utilizou o método do Gradiente Reduzido.
(III) O problema consiste em 3 variáveis de decisão e cinco restrições não negativas.
 
	
	
	
	
	 
	(II) e (III)
	
	
	(I) e (II)
	
	
	(II)
	
	
	(I)
	
	
	(I), (II) e (III)
	 Gabarito Comentado
	
	
		3.
		 Considere o relatório de respostas do SOLVER para um problema de Programação Linear, e a partir daí, é correto afirmar que: 
 
 
	
	
	
	
	 
	A solução ótima para função objetivo equivale a 14.
	
	 
	O problema consiste em duas variáveis de decisão e duas restrições não negativas.
	
	
	O SOLVER utilizou o método do Gradiente Reduzido.
	
	
	O valor ótimo das variáveis de decisão são 32 e 8.
	
	
	A solução ótima para função objetivo equivale a 8.
	 Gabarito Comentado
	
	
		4.
		Analise o relatório de respostas do SOLVER para um problema de Programação Linear e a partir daí, marque a opção correta:
	
	
	
	
	 
	A solução ótima para função objetivo equivale a 11000.
	
	
	O SOLVER utilizou o método do Gradiente Reduzido.
	
	
	O problema consiste em duas variáveis de decisão e quatro restrições não negativas.
	
	
	A solução ótima para função objetivo equivale a 100.
	
	
	O valor ótimo das variáveis de decisão são 11000,200 e 100.
	 Gabarito Comentado
	 Gabarito Comentado
	
	
		5.
		Analise as alternativas abaixo sobre o Solver do Excel:
I- O Solver faz parte de um pacote de programas conhecido como ferramentas de testes e hipóteses.
II- Com o Solver é possível encontrar um valor ideal ( máximo ou mínimo) para uma fórmula em uma célula  chamada célula de objetivo.
III- O Solver trabalha com um grupo de células, chamadas variáveis de decisão que participam do cálculo das fórmulas nas células de objetivo e de restrição.
IV- O Solver não ajusta os valores nas células variáveis de decisão para satisfazer os limites sobre células de restrição e assim produzir o resultado desejado para célula objetivo.
A partir daí, é correto afirmar que:
	
	
	
	
	 
	Somente as alternativas I , II e III são verdadeiras.
	
	
	Somente as alternativas I , II e IV são verdadeiras.
	
	
	Somente as alternativas II e IV são verdadeiras.
	
	
	Somente as alternativas II, III e IV são verdadeiras.
	
	
	Somente as alternativas I e IV são verdadeiras.
	 Gabarito Comentado
	 Gabarito Comentado
	
	
		6.
		Considere o relatório de respostas do SOLVER para um problema de Programação Linear abaixo. Com relação a este relatório é SOMENTE correto afirmar que
(I) O SOLVER utilizou o método do Gradiente Reduzido.
(II) A solução ótima para a função objetivo é 8.
(III) O problema possui 2 variáveis de decisão e duas restrições não negativas.
 
 
	
	
	
	
	
	(II) e (III)
	
	 
	(I), (II) e (III)
	
	
	(II)
	
	
	(I) e (III)
	
	 
	(III)