CÁLCULO II 99 questões

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CÁLCULO II AVALIANDO APRENDIZADO
	 1a Questão 
	
	
	O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de suas funções componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, indique a única resposta correta para o limite da função:
limt→0 r(t)=(sen2t) i + eln(2t)j + (cost)k
		
	 
	i - j + k
	 
	k
	
	j
	
	j - k
	
	j + k
	
	
	
	
	 2a Questão 
	
	
	O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por r(t) = t3 i + t2 j.
Determine a velocidade do objeto no instante t = 1.
		
	 
	3t2 i  + 2t j
	
	- 3t2 i + 2t j
	 
	0
	
	t2 i + 2 j
	
	  2t j
	
	
	
	
	 3a Questão 
	
	
	O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por r(t)  = t3 i  + t2 j.
 Determine a aceleração do objeto no instante t = 1.
		
	 
	6ti+j
	
	6ti -2j
	
	ti+2j
	 
	6ti+2j
	
	6i+2j
	
	
	
	
	 4a Questão 
	
	
	Se  r(t)= 2 cost i + sent j + 2t k,  então: ∫r(t)dt é:
		
	 
	2sent i - cost j + t2 k + C
	
	2senti + cost j - t2 k + C
	
	πsenti - cost j + t2 k + C
	
	sent i - t2 k + C
	 
	-cost j + t2 k + C
	
	
	
	
	 5a Questão 
	
	
	Calcule a acelaração da curva r(t) = (cost,sent,t2), em t=π2, indicando a única resposta correta.
		
	
	(0, 1,-2)
	
	(0,-1,-1)
	 
	(0,-1,2)
	
	(0,0,0)
	
	(0,0,2)
	
	
	
	
	 6a Questão 
	
	
	Descreva a curva definida pela função vetorial: r(t)  = 〈1+t,2+5t,-1+6t〉
		
	
	x= t ; y=2+5t, z=-1+6t
	
	x=1 -t ; y=2+5t, z=-1+6t
	 
	x=1+t ; y=2+5t, z=-1
	 
	x=1+t ; y=2+5t, z=-1+6t
	
	x=1+t ; y=2+5t
Romanos 3:23
 Porque todos pecaram e destituídos estão da glória de Deus;
	
	
	 7a Questão 
	
	
	Calcule o limite de:
lim (x,y)--->(1,2) (x²y³ - x³y² + 3x + 2y)
		
	
	12
	 
	11
	
	-12
	
	5
	 
	- 11
	
	
	
	 8a Questão 
	
	
	Encontrando Primitivas.
Seja  ∫((cost)i + 3t2)j dt,
qual a  resposta correta?
		
	
	(cost)i + 3tj
	 
	(cost)i - sentj + 3tk
	 
	(sent)i + t³j
	
	(cost)i - 3tj
	
	-(sent)i -3tj
	
	 9a Questão 
	
	
	Encontre o vetor velocidade para o movimento circular r(t) = (cos 2t)i + (sen 2t)j
		
	 
	v(t)=-2sen(2t)i+2cos(2t)j
	
	v(t)=-2sen(t)i+2cos(t)j
	
	v(t)=-2sen(2t)i-2cos(2t)j
	
	v(t)=2sen(2t)i+2cos(2t)j
	 
	v(t)=sen(2t)i+cos(2t)j
Romanos 5:12
 Portanto, como por um homem entrou o pecado no mundo, e pelo pecado a morte, assim também a morte passou a todos os homens por isso que todos pecaram.
	
	 10a Questão 
	
	
	Calcule a integral da função vetorial:
[∫01dt1-t2]i+[∫01dt1+t2]j+[∫01dt]k
 
		
	
	3π2 +1
	 
	3π4+1
	 
	π2+1
	
	π
	
	π4+1
	
	 11a Questão 
	
	
	Seja ∫((cost)i + (4t3)j) dt,
qual a resposta correta?
		
	 
	(cost)i-(sent)j+3tk
	
	-(sent)i-3tj
	 
	(sent)i + t4j
	
	(cost)i+3tj
	
	(cost)i-3tj
	
	 12a Questão 
	
	
	O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de suas funções componentes. Assim, de acordo com o teorema acima,  indique a única resposta correta para o limite da função:
limt→0 r(t)= ( 1 + t3)i + te-tj + (sentt)k 
 
		
	 
	i + k
	
	i  + j + k 
	
	i +  j
	
	i + j -  k
	 
	j + k 
	
	
	 13a Questão 
	
	
	Sendo f(x,y,z)=exyz  encontre a soma das derivadas  parciais da função em relação a cada variável no ponto P(1,0,1).
 
		
	
	0
	
	e
	
	3e
	 
	1
	 
	2e
	
	 14a Questão 
	
	
	Calcule a velocidade da curva r(t) = (cost, sent, t),  indicando a única resposta correta. 
		
	
	(sent,-cost,2t)
	
	(sect,-cost,1)
	
	(sent,-cost,1)
	 
	(-sent, cost,1)
	
	(sent,-cost,0)
	
	 15a Questão 
	
	
	Dada a função f(x,y,z)=sen(y+2z)+ln(xyz) encontre
 (∂f∂x)+(∂f∂x)+(∂f∂z)
		
	
	(1x)+(1y)+(1z)  
	 
	 1x+1y+1z+2cos(y+2z)
  
	 
	  1x+1y+1z +3cos(y+2z)
  
	
	   1x+1y+1z +1cos(y+2z)
	
	 1x+1y+1z+2cos(y+2z)
  
	
	
	
	
	 16a Questão 
	
	
	Encontre o vetor aceleração da partícula de posição:
r(t)= (et)i+29(e2t)j-2(et)k no instante t=ln3.
		
	
	a(t)=3i +89j-6k
	 
	a(t)=e3i +2e3j-4e3k
	
	a(t)=(e3)i+29(e3)j-2(e3)k
	 
	a(t)=3i+8j-6k
	
	a(t)=e3i +29e3j-2e3k
	
	
	 17a Questão 
	
	
	Encontrando Derivadas.
Qual é a resposta correta para  a derivada de  r(t)=(tcost)i + (tsent)j + tk?
		
	
	(sent - tcost)i + (sentcost)j - k
	
	(tcost - sent)i + (sent - tcost)j + k
	
	t(cost - sent)i - t(sent  + cost)j + k
	 
	(cost - tsent)i + (sent + tcost)j + k
	 
	(cost - tsent)i + (sent + cost)j + 1
	
	 18a Questão 
	
	
	Calcule a velocidade da curva r(t) = ( t - sent, 1 - cost, 0). Indique a única resposta correta.
		
	
	(1 +cost,sent,0)
	 
	(1-cost,sent,0)
	
	(1-sent,sent,0)
	 
	(1-cost,0,0)
	
	(1-cost,sent,1)
	 19a Questão 
	
	
	Marque dentre as opções abaixo a que representa uma equação polar do círculo x2 + (y - 3)2 = 9
		
	 
	r = sen Θ
	
	r = 2 sen Θ
	 
	r = sen Θ + cos Θ
	
	r = 2 cos Θ
	
	 20a Questão 
	
	
	Seja r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)k o vetor posição de uma partícula que se move ao longo de uma curva lisa no plano.
Considere as afirmações. Assinale (V) para as verdadeiras e (F) para as falsas:
1) (   ) Quando uma partícula se move durante um intervalo de tempo I, as coordenadas da partícula são   x(t),y(t),z(t). Os pontosP(x(t),y(t),z(t)) formam uma curva que é a trajetória da partícula.
 2) (   )  A velocidade é a derivada da posição,isto é:
 v(t) =r'(t) = dr(t)dt
3) (   )  O módulo da velocidade ou a magnitude da velocidade é igual a
 |v(t)|= (dx(t)dt)2+(dy(t)dt)2+(dz(t)dt)2.
4) (   )  A aceleração é a derivada da velocidade, ou seja
a(t) = v'(t)= dv(t)dt
5) (   )  O vetor unitário ou versor v(t)|v(t)| é a direção do movimento no instante t.
6) (   )  r(t)é lisa se for contínua e nunca 0.
 
		
	
	1) (V)            2)(F)               3) (F)                4)(V)                  5) (F)                         6) (V)
	 
	1) (V)          2)(V)             3) (V)                    4)(V)                  5) (V)                  6) (F)
	
	1) (V)                       2)(V)                     3) (F)                   4)) (V)                     5)(V)         6) (F)
	
	1) (V)                  2)(F)                  3) (V)                        4) (V)                       5) (V)                6) (F)
	
	1) (V)                2)(F)               3) (V)                     4)(V)                 5) (V)                         6) (V) 
	
	
	
Como está escrito: Não há um justo, nem um sequer.
Não há ninguém que entenda; Não há ninguém que busque a Deus.
Romanos 3:10,11
	 21a Questão 
	
	
	Determine a equação do plano tangente à superfície 
 z=f(x,y)=3.x.y²-10x² no ponto P(1,2,2).
		
	
	z=-8x+12y-18     
	 
	z=8x - 10y -30
	
	 z=-8x+10y-10      
	 
	z=-8x+12y -14        
	
	z=8x-12y+18       
	 22a Questão 
	
	
	Determine a equação do plano tangente à  esfera x²+y²+z²=50   no ponto   P(3,4,5).
		
	
	3x-4y+5z=18    
	
	 6x+8y+10z=100
 
	 
	 3x+4y+5z=0      
	 
	 3x+4y -5z=0        
	
	6x+8y-5z=0     
	
	 23a Questão 
	
	
	Marque dentre as opções a que representa uma equação cartesiana para a equação polar r=42cosΘ-senΘ
		
	
	y = x - 4
	
	y = x + 1
	 
	y = 2x -4
	
	y = x
	 
	y = x + 6
	
	
	
	
	 24a Questão 
	
	
	Calcule a velocidade de uma  partícula com vetor de posição r(t) =  (t2, et, tet).  Indique a única resposta correta.
		
	
	(2t,et,(1 - t)et)
	
	(t,et,(1+t)et)
	
	(t,et,(2+t)et)
	 
	(2,et,(1+t)et)
	 
	(2t,et,(1+t)et)
	
	 25a Questão 
	
	
	Encontre a curvatura para a curva r(t) = ti + (ln cos t)j  para -π2<t<π2
		
	
	sen t
	 
	cos t
	 
	sen t + cos t
	
	tg t
	
	tg t - sen t
	
	 26a Questão 
	
	
	Encontre a curvatura para r(t)=(lnsect)i+tj para -π2<t<π2
		
	 
	cos t
	
	ln t
	 
	tg t
	
	sen t
	
	ln t + sen t
	
	 27a Questão 
	
	
	Encontre um vetor normal a curva r(t) = (cos t + t sen t)i +(sen t - t cos t)j + 3k
		
	 
	(-sen t - cos t)i + (cos t)j
	
	(-sen t)i + (cos t)j - k
	
	(-sen t)i - (cos t)j
	
	(-sen t)i + (cos t)j + k
	 
	(-sen t)i + (cos t)j
	
	
	
	
	 28a Questão 
	
	
	 Considere w=f(x,y,z) uma função de três variáveis que tem derivadas parciais contínuas ∂w∂x , ∂w∂y e ∂w∂z em algum intervalo e   x,ye z  são funções de outra variável t
Então dwdt=∂w∂x⋅dxdt+∂w∂y⋅dydt+∂w∂z⋅dzdt.
Diz - se que  dwdt é a derivada total de w  com relação a  t e representa a taxa de variação de w à medida que t varia.
Supondo w=x2 -3y2 +5z2 onde x=et,  y=e-t, z= e2t, calcule dwdt sendo t=0
		
	
	12
	
	8
	
	10
	 
	18
	
	20
	
	 29a Questão 
	
	
	Encontre a curvatura para a curva r(t) = (cos t + t sen t)i + (sen t - t cos t)j para t > 0
		
	
	1/t + sen t
	 
	1/t
	
	sen t
	
	cos t
	 
	1/t + sen t + cos t
	
	
	 30a Questão 
	
	
	Dada a função f(x,y,z)=sen(y+2z)+ln(xyz)+cos(x+2z) encontre 2∂f∂x+2∂f∂y-∂f∂z
		
	
	cos(y+2z)-sen(x+2z)
	
	cos(y+2z)+(1x)+(1y)+(1z)-sen(x+2z)
	 
	 (1x+1y+1z)
	 
	2(xz+yz-xy)xyz
	 31a Questão
	
	Se r(t)= 2 cost i + sent j + 2t k, então a integral definida: ∫0π2r(t)dt é:
		
	
	2i -  j + π24k
	 
	i - j - π24k
	 
	2i  +  j  +  π24k
	
	2i + j + (π2)k
	
	i+j-  π2 k
		
	
	 32a Questão
	
	Dada a curva plana r(t)=(lnt)i+tj+(et-1)k encontre a soma e o produto do vetor tangente unitário T pelo versor normal N, considerando t=1.
		
	
	s=((13)-(12))i+((13)+(12))j+((13)+(12))k e p=0.
	
	s=((13)-(12))i+(13)j+((13)+(12))k e   p=1.     
	
	s=1e p=0.     
	 
	s=((12)-(13))i+(13)j+((12)+(13))k e p=0.       
   
	 
	s=((13)-(12))i+(13)j+((13)+(12))k e p=0.     
		
	 33a Questão 
	
	O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de suas funções componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, indique a única resposta correta para o limite da função:
limt→0 r(t)= ( 1 + t3)i + e-tj + (cost)k
		
	 
	i + j + k
	 
	i + j - k
	
	j - k
	
	i - j - k
	
	- i + j - k
	Romanos 5:8
 Mas Deus prova o seu amor para conosco, em que Cristo morreu por nós, sendo nós ainda pecadores.
	 34a Questão 
	
	Descreva a curva definida pela função vetorial: r(t)  = 〈1+t,2+5t,-1+6t〉
		
	
	x=1+t ; y=2+5t, z=-1
	 
	x=1 -t ; y=2+5t, z=-1+6t
	
	x= t ; y=2+5t, z=-1+6t
	
	x=1+t ; y=2+5t
	 
	x=1+t ; y=2+5t, z=-1+6t
		
	
	
	 35a Questão 
	
	Os simétricos de P = (3,-7,-4) em relação aos planos yz e xz são, respectivamente:
		
	
	(3,-7,4) e (3,7,-4)
	 
	(3,-7,-4) e (3,-7,-4)
	
	(3,-7,4) e (3,-7,-4)
	
	(-3,-7,-4) e (3,-7,-4)
	 
	(-3,-7,-4) e (3,7,-4)
		
	
	 36a Questão 
	
		
	
	0
	 
	12
	 
	1
	
	3
	
	6
		
	
	 37a Questão 
	
	Encontrar (r,θ), supondo r < 0 e 0 <= θ < 2Pi para o ponto P, cujas coordenadas cartesianas são (sqrt3,-1). Dado: tg (pi/3) = Sqrt(3)
		
	
	θ = 7Pi/6
	
	θ = Pi/6
	 
	θ = 11Pi/6
	
	θ = 3Pi/2
	 
	θ = 5Pi/6
		
	
Disse-lhe Jesus: Eu sou o caminho, e a verdade e a vida; ninguém vem ao Pai, senão por mim.
João 14:6
	
	 38a Questão 
	
	Encontre o vetor aceleração da partícula de posição:
r(t)= (et)i+29(e2t)j-2(et)k no instante t=ln3.
		
	 
	a(t)=e3i +2e3j-4e3k
	
	a(t)=3i +89j-6k
	
	a(t)=(e3)i+29(e3)j-2(e3)k
	
	a(t)=e3i +29e3j-2e3k
	 
	a(t)=3i+8j-6k
		
	 39a Questão 
	
	Encontre ∂f∂x e ∂f∂y para a função f(x,y)=x+yxy-1
		
	
	∂f∂x=-y2+1(xy-1) e ∂f∂y=-x2-1(xy+1)
	 
	∂f∂x=-y2-1(xy-1)2 e ∂f∂y=-x2-1(xy-1)2
	
	∂f∂x=-y2-1(xy-1) e ∂f∂y=-x2-1(xy-1)
	 
	∂f∂x=-y-1(xy-1)2 e ∂f∂y=-x-1(xy-1)2
	
	∂f∂x=-y3(xy-1)2 e ∂f∂y=-x3(xy-1)2
	
	 40a Questão 
	
	Sabendo-se que o comprimento de uma curva lisa  r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k,  a≤t≤b é dada pela fórmula
 L = ∫ab((dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2)dt = ∫ab|v(t)|dt ,
encontre o comprimento da curva r(t)=(3t3)i -(2t3)j -(6t3)k , 1≤t≤2.
		
	
	7u.c.
	 
	14u.c.
	
	 49u.c.
	 
	 21u.c.
	
	 28u.c.
		
	
	
	 41a Questão 
	
	A equação de Laplace tridimensional é :
                   ∂²f∂x²+∂²f∂y²+∂²f∂z²=0   
 As funções que satisfazem à equação de Laplace são ditas funções harmônicas.
 Considere as funções:
 1) f(x,y,z)=x²+y²-2z²
2)f(x,y,z) = sen2x+cos2 -2z²
3) f(x,y,z)=2sen²xy+2cos²xy-2z²
4) f(x,y,z)=xy+xz+yz
5) f(x,y,z)=ln(xy)-x/y+xy-xyz²
                    Identifique as funções harmônicas:
		
	
	1,2,5
	
	1,2,4
	 
	1,3,4
	
	1,3,5
	
	1,2,3
		
	
	 42a Questão 
	
	Calcule ∫03∫02(4-y2)dydx
		
	
	10
	
	20
	
	16
	
	1
	
	2
		
	
	
	 43a Questão 
	
	Calcule ∫π2π∫0π(senx+cosy)dxdy
		
	
	π
	 
	π2
	
	1
	 
	2π
	
	2
		
	
	
	 44a Questão 
	
	Calcule ∫14∫0x32eyxdydx
		
	
	e-1
	
	7
	
	e7
	 
	7e
	 
	 7e-7
		
	
	
	 45a Questão 
	
	Integre f(x, y, z) = x - 3. y2 + z sobre C1 ⋃ C2, sendo que o caminho C1 vai de (0,0,0) até (1,1,0) e o caminho C2 vai de (1,1,0) até (1,1,1).
Dados: C1: r(t) = ti + tj, 0 ≤ t ≤ 1 e C2: r(t) = i + j + tk, 0 ≤ t ≤ 1. 
		
	
	- 4,207
	 
	- 3,207
	 
	- 2,207
	
	- 1,207
	
	- 5,207
		
	
	
	 46a Questão 
	
	Calcule a integral dupla a seguir: ∫12 ∫y3y  (x + y)dxdy
		
	
	13
	
	15
	 
	14
	
	16
	 
	12
		
	
Eu sou a porta; se alguém entrar por mim, salvar-se-á, e entrará, e sairá, e achará pastagens.
O ladrão não vem senão a roubar, a matar, e a destruir; eu vim para que tenham vida, e a tenham com abundância.
Eu sou o bom Pastor; o bom Pastor dá a sua vida pelas ovelhas.
João 10:9-11
	
	 47a Questão 
	
	Usando o Teorema de Green calcular ∮C(y2+y)dx+(x2+2x)dysendo C o triângulo limitado por x=0; y=0 e  y=1-x.
 
	
	
	13
	
	0
	
	14
	 
	12
	
	15
		
	48a Questão 
	
	Marque dentre as opções a que representa uma equação cartesiana para a equação polar r2 = 4r cosΘ
		
	
	(x - 4)2 + y2 = 2
	 
	(x - 2)2 + y2 = 4
	
	(x - 2)2 + y2 = 10
	
	(x + 2)2 + y2 = 4
	
	(x - 2)2 + (y + 4)2 = 4
	
	49a Questão 
	
	Dada a função f(x,y,z)=sen(y+2z)+ln(xyz) encontre  (∂f∂x)+(∂f∂x)+(∂f∂z)
	
	1x+1y+1z +1cos(y+2z)
	 
	(1x)+(1y)+(1z)
	
	1x+1y+1z+2cos(y+2z)
	
	1x+1y+1z+2cos(y+2z)
	 
	1x+1y+1z +3cos(y+2z)
	
	50a Questão 
	
	Calcule a integral dupla  da função f(x,y) = ∫ ∫ (xy + x2)dxdy, onde R = [0.1] x [0,1].
	
	14(u.v.)
	 
	7/12 (u.v.)
	
	36(u.v.)
	
	23(u.v.)
	 
	5(u.v.)51a Questão 
	
	1) Verdadeiro ou falso?
	
	A = (-2,3,5) e B = (2,3,5) são simétricos em relação ao plano xy.
	
	A = (-1,-2,-3) e B = (-1,3,3) são simétricos em relação ao plano xy
	 
	A = (-1,3,5) e B = (-1,3,-5) são simétricos em relação ao plano xy.
	
	A = (-1,-2,-3) e B = (-1,2,-3) são simétricos em relação ao plano xy
	 
	A = (-1,-5,5) e B = (-1,5,5) são simétricos em relação ao plano xy.
	 52a Questão 
	
	Usando à técnica de integração dupla, calcular o volume do sólido gerado pela equação  f(x,y) =  e(x+2y) dxdy, para os intervalos
R= [0,1]x[0,3].
		
	
	1/2(e-1)
	
	1/2(e6-1)
	
	-1/2(e-1)(e6-1)
	
	(e-1)(e6-1)
	 
	1/2(e-1)(e6-1)
		
	
	 53a Questão 
	
	Os simétricos de P = (3,-7,-4) em relação aos planos yz e xz são, respectivamente:
		
	
	(-3,-7,-4) e (3,-7,-4)
	 
	(3,-7,-4) e (3,-7,-4)
	 
	(-3,-7,-4) e (3,7,-4)
	
	(3,-7,4) e (3,7,-4)
	
	(3,-7,4) e (3,-7,-4)
		
	 54a Questão 
	
	Considere as seguintes afirmações:
1)O cálculo de uma integral tripla em coordenadas cartesianas pode ser efetuado de seis maneiras diferentes.
2)O cálculo de uma integral dupla em coordenadas cartesianas pode ser efetuado de quatro maneiras diferentes.
 3)O cálculo de integrais duplas ( ou triplas) se reduz ao cálculo sucessivo se duas ( ou três ) integrais simples, de diferentes maneiras, segundo o sistema de coordenadas considerado.
 4)A ordem de integração de integrais duplas ou triplas é arbitrário.
 5)O cálculo de integrais duplas ( ou triplas) se reduz ao cálculo sucessivo de duas ( ou três ) integrais simples, sempre da mesma forma.
 As seguintes afirmações são verdadeiras:
 
		
	 
	1,3,4
	
	2,3,4
	
	2,4,5
	 
	1,2,3
	 55a Questão 
	
	Um objeto de massa m que se move em uma trajetória circular com velocidade angular constante w tem vetor posição dado por r(t) = acoswt i + asenwt j. Indique a única resposta correta que determina a acelaração em um tempo t qualquer. Observação: a > 0.
		
	
	aw2coswt i + aw2senwtj
	
	aw2coswt i - aw2senwtj
	 
	-aw2coswt i - awsenwtj
	
	-w2coswt i - w2senwtj
	 
	-aw2coswt i - aw2senwt j
		
	
	 56a Questão 
	
	Encontre o divergente de F(x, y) = (x2 - y)i + (x.y - y2)j.
		
	
	3x + 2y
	 
	3x - 2y
	 
	2x - 3y
	
	- 3x + 2y
	
	- 3x - 2y
		
	
	 57a Questão 
	
	Resolva a integral ∫01∫y1x2exydxdy invertando a ordem de integração
		
	
	2e+24
	 
	e-22
	
	2e-22
	
	e-24
	 
	2e+22
	58a Questão 
	
	Marque dentre as opções a que representa uma equação cartesiana para a equação polar r2 = 4r cosΘ
		
	
	(x - 4)2 + y2 = 2
	 
	(x - 2)2 + y2 = 4
	
	(x - 2)2 + y2 = 10
	
	(x + 2)2 + y2 = 4
	
	(x - 2)2 + (y + 4)2 = 4
	
	59a Questão 
	
	Dada a função f(x,y,z)=sen(y+2z)+ln(xyz) encontre  (∂f∂x)+(∂f∂x)+(∂f∂z)
	
	1x+1y+1z +1cos(y+2z)
	 
	(1x)+(1y)+(1z)
	
	1x+1y+1z+2cos(y+2z)
	 
	1x+1y+1z +3cos(y+2z)
60a Questão 
A derivada direcional permite calcular a taxa de variação de uma
função fem um ponto P na direção de um versor u; é igual ao produto
escalar do vetor gradiente de f (∇f) e o versor u.
Encontre a derivada direcional da
função f(x,y,z)=cos(xy)+eyz+lnxzem P(1,0,12) na direção do
vetor v=i+2j+2k.
	 
	2
61a Questão 
Encontre a derivada direcional de f(x,y) = x.e^y + cos(xy) no ponto (2,0) na direção de v = 3i 4j usando o gradiente.
	 
	1
62a Questão 
Calcule a integral definida: ∫01 [t3i + 7j + (t + 1)k]dt.
 0,25i+7j-1,5k
63a Questão 
Encontre a derivada de f(x,y,z) = x3 x.
y2 z em Po = (1,1,0) na direção de v = 2i 3j + 6 k.
4/7
64a Questão 
Considere as afirmações. Assinale (V) ou (F), conforme sejam
verdadeiras ou falsas:
a) ( ) Se u é uma função vetorial derivável de t e f é uma função
escalar derivável de t, então d(f.u)dt=u.dfdt+f.dudt
b) ( ) Se r(t) é o vetor posição de uma partícula que se move a longo
de uma curva então,em qualquer instante t , v(t)=drdt é o vetor
velocidade da partícula.
c) ( ) Aceleração é a derivada segunda da velocidade em relação ao
tempo.
d) ( ) O versor do movimento é um vetor unitário.
e) ( ) O vetor r(t)=(cos2t)i+(sen2t)j dá a posição de uma partícula no
instante t que se move no sentido antihorário
sobre o círculo de raio
= a 2 ,centrado na origem.
f) ( ) A norma de um vetor v= xi + yj + zk no espaço é dada por
(x² + y² + z² ) .
g) ( ) A derivada do produto escalar de funções vetoriais é zero.
h) ( ) As regras para derivação de funções vetoriais não têm a mesma
forma que as regras para a derivação de funções escalares.
i) ( ) O gráfico da trajetória da partícula onde o vetor posição é dado
por r(t)=costi+sentj é um círculo de raio igual a 1.
j) ( ) O produto escalar de dois vetores ortogonais é igual a
1.
 a) (V) b) (V) c) (F) d) (V) e) (F) f) (F) g) (V) h) (F) i) (V) j) (F)
	 65a Questão (Ref.: 201308234620)
	
	Calcule  o limite da seguinte função vetorial:
 
limt→∞[(1+3t)t  i+(lntt) j+(5t3+t2t3-1) k]      
		
	 
	e3 i + 5k  
	
	3i+j+5k
	
	3i+5k
	
	e3 i+j
	
	e3i+j+5k
		
	
	 66a Questão (Ref.: 201308234584)
	
	Sendo f(x,y,z)=exyz  encontre a soma das derivadas  parciais da função em relação a cada variável no pontoP(1,0,1).
 
		
	
	2e
	
	e
	 
	1
	
	0
	
	3e
		
	 67a Questão (Ref.: 201308238342)
	Pontos: 0,1  / 0,1
	Um competidor em sua asa-delta realiza uma espiral no ar cujo vetor posição r(t) = (3cos t) i + (3sen t)j + t2k. Esta trajetória faz lembrar a de uma hélice. Para o intervalo de tempo [0, 4Pi], encontre o módulo da velocidade da asa-delta no instante t = 0.
		
	
	1
	
	9
	
	14
	
	2
	 
	3
		
	 68a Questão (Ref.: 201308233608)
	
	Calcule a integral:
A=12∫0πr²dr e indique a única resposta correta.
		
	
	0
	
	π²3
	 
	π³6
	
	-π
	
	2π
	 69a Questão (Ref.: 201308771989)
	
	Calcule a derivada parcial de segunda ordem da função: f(x,y) = 2.x2 + y2.
		
	
	fxx= 0, fxy = 0, fyx = 4, fyy = 2
	
	fxx = 0, fxy = 0, fyx = 2, fyy = 4
	
	fxx = 2, fxy = 0, fyx = 0, fyy = 4
	 
	fxx = 4, fxy = 0, fyx = 0, fyy = 2
	
	fxx = 2, fxy = 4, fyx = 0, fyy = 0
		
	 70a Questão (Ref.: 201308238859)
	
	Seja a função w = ln (2x + 3y), encontre ∂2w∂y∂x
		
	
	-6x-y(2x+3y)2
	
	-62x+3y
	
	(2x+3y)2
	
	-6(2x+3y)3
	 
	-6(2x+3y)2
		
	 71a Questão (Ref.: 201308238908)
	
	Encontre a área dda região R limitada pela parábola y = x2 e pela reta y = x + 2
		
	
	1/2
	
	3
	
	1
	 
	9/2
	
	5/6
		
	
	 72a Questão (Ref.: 201308235099)
	
	 Encontre o comprimento da curva dada pela função vetorial r(t)=6t3i-2t3j-3t3k,  considerando  1≤t≤2.
		
	 
	49
	
	14
	
	7
	 
	21
	
	28
	73a Questão (Ref.: 201308771949)
	
	Encontre dwdt se: w = x.y + z,
x = cost t, y = sent, z = t. Qual é o valor da derivada em t = 0?
		
	
	-1
	
	0
	 
	2
	
	-2
	
	1
		
74a Questão
Usando a técnica da integral dupla, encontre o volume do sólido gerado pela expressão ∫ ∫(x2 + y2) dxdy para os intervalos R=[­1,1] x[­2,1].
	
	15(u.v.)
	
	21(u.v.)
	 
	8(u.v.)
	
	17(u.v.)
	
	2(u.v.)
Eu sou o bom Pastor, e conheço as minhas ovelhas, e das minhas sou conhecido.
Assim como o Pai me conhece a mim, também eu conheço o Pai, e dou a minha vida pelas ovelhas. João 10:14,15
75a Questão
	Calcule a velocidade da curva r(t) = (cost, sent, t2), indicando a única resposta correta. Considere a resposta em t=π4(-22,- 22,-π4)
	
	(22,22,π4)
	
	(22,22,π2)
	
	(-2,2,π4)
	 
	(-22,22,π2)
	 76a Questão (Ref.: 201308267548)
	Pontos: 0,1  / 0,1
	Descreva a curva definida pela função vetorial: r(t)  = 〈1+t,2+5t,-1+6t〉
		
	
	x=1+t ; y=2+5t, z=-1
	 
	x=1+t ; y=2+5t, z=-1+6t
	
	x= t ; y=2+5t, z=-1+6t
	
	x=1+t ; y=2+5t
	
	x=1 -t ; y=2+5t, z=-1+6t
	 77a Questão (Ref.: 201308336385)
	Pontos: 0,0  / 0,1
	Considere w=f(x,y,z) uma função de três variáveis que tem derivadas parciais contínuas ∂w∂x , ∂w∂y e ∂w∂z em algum intervalo  e  x,  y  e z  são funções de outra variável t.
Então dwdt=∂w∂x⋅dxdt+∂w∂y⋅dydt+∂w∂z⋅dzdt.
Diz-se que  dwdt é a derivada total de w com relação a t  e representa a taxa de variação de w à medida que  t varia.
Supondo w=x2+y2+z2 onde  x=etsent,  y=etcost, z= 2e2t, calculedwdt para  t=0, encontre dwdt.
		
	
	dwdt=16
	
	dwdt=20
	 
	dwdt=18
	 
	dwdt=0
	
	dwdt=12
 78a Questão 
	Encontre o vetor aceleração de uma partícula para o instante t = 1, onde sua posiçào é dada pelo vetor r(t) = (t +1)i + (t2 - 1)j + 2tk
		
	
	i/2 + j/2
	
	2i + 2j
	
	2i
	
	2i + j
	 
	2j
		
	
	
	 79a Questão (Ref.: 201308323783)
	
	
	
	
	Duas aeronaves viajam pelo espaço com trajetórias diferentes dadas pela funções vetoriais:
r1(t)=10i+t²j+(8t -15)k
r2(t)=(7t - t²)i+(6t - 5)j+t²k
Podemos concluir que
a) as aeronaves não colidem.
 b) as aeronaves colidem no instante t=2
c) as aeronaves colidem no instante t=5
d) as aeronaves colidem no instante t=3
e) as trajetórias não se interceptam
		
	
	(e)
	
	(a)
	
	(b)
	
	(d)
	 
	(c)
		
	
	 80a Questão (Ref.: 201308345549)
	
	Seja a função f(x,y,z)=x-y2+z2 . Encontre ∂f∂x , ∂f∂y e ∂f∂z 
		
	
	∂f∂x=x , ∂f∂y=yy2+z2 e ∂f∂z=zy2+z2
	 
	∂f∂x=1 , ∂f∂y=-yy2+z2 e ∂f∂z=-zy2+z2
	
	∂f∂x=x2 , ∂f∂y=yy2+z2 e ∂f∂z=zy2+z2
	
	∂f∂x=xy , ∂f∂y=-yy2+z2 e ∂f∂z=-zy2+z2
	
	∂f∂x=y2+z , ∂f∂y=-yy2+z2 e ∂f∂z=-zy2+z2
		
	
		 81a Questão (Ref.: 201308267966)
	
	
	Calcule a aceleração de uma partícula com vetor de posição r(t) = (t2,et,tet). Indique a única resposta correta.
		
	 
	(2,et,(2+t)et)
	
	(1,et,(2+t)et)
	
	(5,et,(8+t)et)
	
	(2,et, tet)
	
	(2,0,(2+t)et)
	
	
	 82a Questão (Ref.: 201308156244)
	
	
	Seja a função f(x, y) = sen2(x - 3y). Encontre ∂f∂y
		
	 
	-6sen(x - 3y)cos(x - 3y)
	
	-6sen(x + 3y)cos(x + 3y)
	 
	sen(x - 3y)cos(x - 3y)
	
	sen(x - 3y)cos(x - 3y)
	
	-6sen(x - 3y)
	
	 83a Questão (Ref.: 201308156243)
	
	
	Seja a função f(x, y) = sen2(x - 3y). Encontre ∂f∂x
		
	
	2sen(x - 3y)
	 
	2sen(x - 3y)cos(x - 3y)
	
	2sen(x + 3y)cos(x + 3y)
	
	sen(x - 3y)cos(x - 3y)
	
	2cos(x - 3y)
	
	
	
	84a Questão 
	
	
	
	
	Sendo x=cos(wt), qual é o resultado da soma: d2xdt2+w2x? 
		
	
	w2
	
	cos2(wt)
	
	-wsen(wt)
	 
	0
	
	w2sen(wt)cos(wt)
		
85a Questão 
		Encontre a derivada direcional da função   f(x,y,z)=lnxyz    em   P(1,2,2) na direção do vetor v=i+j -k.
 
		
	
	32        
	
	3
	 
	 33 
	 
	23        
	
	22      
	
	
	86a Questão 
	
			Supondo que r(t)é o vetor posição de uma partícula que se move a longo de uma curva então,em qualquer instante t , pode-se afirmar:
 I) O vetor velocidade da partícula, tangente à curva, é dado por:v(t)=dr(t)dt
 II) A aceleração é a derivada segunda da velocidade em relação ao tempo.
 III) O versor v(t)|v(t)|dá a direção do movimento no instante t.
IV) A velocidade de uma partícula pode ser expressa como o produto do módulo de sua velocidade pela sua direção.
Estão corretas apenas as afirmações:
		
	
	I,II e III  
	
	II,III e IV    
	 
	I,III e IV      
	 
	I,II e IV    
	
	I,II,III e IV
	
	
	
	
	87a Questão 
	
	Determine o versor tangente à curva de função vetorial r(t)=(2sent)i+(2cost)j+(tgt)k no ponto t=π4.
	
	(105)i -(105)j+(255)k
	
	(25)i+(25)j+(255)k   
	 
	(12)i -(12)j+(22)k
	 
	 (2)i -(2)j+(2))k
	
	(22)i -(22)j+(22)k
	
	88a Questão 
	
		Encontre a curvatura para a curva r(t) = ti + (ln cos t)j  para -π2<t<π2
		
	
	sen t + cos t
	
	sen t
	
	cos t
	
	tg t - sen t
	
	tg t
89a Questão 
	
		Substitua a equação cartesiana x216+y225=1 por uma equação polar equivalente.
		
	
	9((rcos(θ))2+16r2=0 
	
	9((rcos(θ))2+r2=400 
	
	9((rcos(θ))2+16r2=400 
	
	9((rcos(θ))2 -16r2=400 
	
	16((rcos(θ))2+9r2=400
	
	
90a Questão 
	Calcule a integral definida: ∫01 [t3i + 7j + (t + 1)k]dt. 
		
	
	0,25i - 7j + 1,5k
	
	0,25i + 7j - 1,5k
	
	0,25i + 7j + 1,5k
	
	-0,25i - 7j - 1,5k
	
	-0,25i + 7j + 1,5k
91a Questão 
	Encontrar o volume do tetraedro: ∫01 ∫x1 ∫0y-xF(x, y, z)dzdydx. 
Considerar F(x, y, z) = 1. 
		
	
	1/2
	
	2/3
	
	5/6
	
	7/6
	
	1/6
92a Questão 
	Calcular o volume do sólido:∫01 ∫01-z ∫02 dxdydz. 
		
	
	2.5
	
	3
	
	1
	
	1.5
	
	2
93a Questão 
	Use o Teorema de Green para determinar a integral de linha do campo F (x, y) =(x^3 + xy^2)i + (yx^2 + y^3 + 3x)j na fronteira da região limitada em x[0,3] e y[0,2PI].
		
	
	2PI
	
	4PI
	
	18PI
	
	10PI
	
	32PI
		
94a Questão 
	Integre f(x, y, z) = x - 3. y2 + z sobre C1 ⋃ C2, sendo que o caminho C1 vai de (0,0,0) até (1,1,0) e o caminho C2 vai de (1,1,0) até (1,1,1). 
Dados: C1: r(t) = ti + tj, 0 ≤ t ≤ 1 e C2: r(t) = i + j + tk, 0 ≤ t ≤ 1.  
		
	
	- 1,207
	
	- 2,207
	
	- 3,207
95a Questão 
	Considere  r(t)=(etsen2t)i+(etcos2t)j+(2et)k o vetor posição de uma partícula que se move ao longo de uma curva num instante t.
 Encontre o cosseno do ângulo entre os vetores aceleração e velocidade quando t=0. 
		
	
	2987  
	
	15329                   
	
	1/15
	
	 929 
	
	 -1329
96a Questão 
	O volume da região no primeiro octante limitada pelos planos coordenados, pelo plano x+y=4 e pelo cilindro y2+4z2=16 (ver figura) é:
		
	
	14.4 u.v
	
	10.4 u.v                
	
	16.4 u.v
	
	 8.4 u.v
	
	 12.4 u.v
	
	97a Questão 
Encontre a derivada direcional da função f(x,y,z)=cos(xy)+eyz+lnxz em P(1,0,12) na direção do vetor v=i+2j+2k.
	
	
	1
	
	3
	
	2
98a Questão 
99a Questão 
Dize-lhes: Vivo eu, diz o Senhor DEUS, que não tenho prazer na morte do ímpio, mas em que o ímpio se converta do seu caminho, e viva. Convertei-vos, convertei-vos dos vossos maus caminhos; pois, por que razão morrereis, ó casa de Israel?
Tu, pois, filho do homem, dize aos filhos do teu povo: A justiça do justo não o livrará no dia da sua transgressão; e, quanto à impiedade do ímpio, não cairá por ela, no dia em que se converter da sua impiedade; nem o justo poderá viver pela sua justiça no dia em que pecar.
Ezequiel 33:11-12