Sistema de Numeração Prof Cleide

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Introdução a Computação
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Parte I
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Na pré história, será que o homem já contava?
Introdução sobre a origem dos números
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Os historiadores são auxiliados por diversas descobertas:
 o estudo das ruínas de antigas civilizações
 estudos de fósseis, 
 o estudo da linguagem escrita 
 e a avaliação do comportamento de diversos grupos étnicos desde o princípio dos tempos. 
Para descobrir sobre a origem dos números, precisamos estudar um pouco da história humana. 
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Os homens primitivos não tinham necessidade de contar, pois o que necessitavam para a sua sobrevivência era retirado da própria natureza. 
O Início do processo de contagem
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A necessidade de contar começou com o desenvolvimento das atividades humanas, quando o homem foi deixando de ser pescador e coletor de alimentos para fixar-se no solo
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O homem começou a produzir alimentos, construir casas e domesticar animais, aproveitando-se dos mesmos através do uso da lã e do leite, tornando-se criador e desenvolvendo o pastoreio, o que trouxe profundas modificações na vida humana. 
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Olhando ao redor, podemos observar como é grande a presença dos números. 
As primeiras formas de agricultura de que se tem notícia, desenvolveram-se há cerca de dez mil anos na região hoje denominada Oriente Médio. 
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A agricultura passou a exigir o conhecimento do tempo, das estações do ano e das fases da Lua e assim começaram a surgir as primeiras formas de calendário.
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No pastoreio, o pastor usava várias formas para controlar o seu rebanho. Pela manhã, ele soltava os seus carneiros e analisava ao final da tarde, se algum tinha sido roubado, fugido, se perdido do rebanho ou se havia sido acrescentado um novo carneiro ao rebanho. 
Assim eles tinham a correspondência um a um, onde cada carneiro correspondia a uma pedrinha que era armazenada em um saco.
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No caso das pedrinhas, cada animal que saía para o pasto de manhã correspondia a uma pedra que era guardada em um saco de couro.
No final do dia, quando os animais voltavam do pasto, era feita a correspondência inversa, onde, para cada animal que retornava, era retirada uma pedra do saco.
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Se no final do dia sobrasse alguma pedra, é porque faltava algum dos animais e se algum fosse acrescentado ao rebanho, era só acrescentar mais uma pedra. 
A palavra que usamos hoje, cálculo, é derivada da palavra latina calculus, que significa pedrinha.
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A correspondência unidade a unidade não era feita somente com pedras, mas eram usados também nós em cordas, marcas nas paredes, talhes em ossos, desenhos nas cavernas e outros tipos de marcação. 
Os talhes nas barras de madeira, que eram usados para marcar quantidades, continuaram a ser usados até o século XVIII na Inglaterra. A palavra talhe significa corte.
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Com o passar do tempo, as quantidades foram representadas por expressões, gestos, palavras e símbolos, sendo que cada povo tinha a sua maneira de representação. 
Representação numérica
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A faculdade humana natural de reconhecimento imediato de quantidades se resume a, no máximo, quatro elementos. 
O senso numérico não pode ser confundido com contagem, que é um atributo exclusivamente humano que necessita de um processo mental. 
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Os egípcios usavam um sistema de agrupamento simples, com base 10. 
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Numeração Egípcia
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Numeração Maia
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Este senso numérico que é a faculdade que permite reconhecer que alguma coisa mudou em uma pequena coleção quando, sem seu conhecimento direto, um objeto foi tirado ou adicionado, à coleção. 
O senso numérico não pode ser confundido com contagem, que é um atributo exclusivamente humano que necessita de um processo mental.
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O sistema de numeração com o qual estamos mais familiarizados é o decimal, cujo alfabeto (coleção de símbolos) é formado por 10 dígitos acima mostrados.
 Um Computador Decimal: se trabalhasse com o sistema decimal um computador precisaria codificar 10 níveis de referência para caracterizar os 10 dígitos do sistema utilizado. Esses níveis de referência poderiam ser valores de tensão (0V, 1V, 2V, etc.) que precisariam ser definidos e interpretados de maneira clara e precisa pela máquina. 
 Desvantagem: quanto maior o número de interpretações maior a probabilidade de erro. Para decidir que está lendo o número 5 a máquina precisaria ter certeza de que o que leu não é: 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9.
Sistemas de Numeração
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Conseqüência: O sistema de numeração mais seguro deveria ser aquele com o menor número de símbolos (dígitos).
Conclusão: o melhor sistema de numeração para uma máquina seria o binário com apenas dois dígitos, o zero (0) e o um (1).
 
 
 
Obs.: Não há sistema de numeração com alfabeto de um único dígito. Todo sistema de numeração precisa dos conceitos de presença (1) e ausência (0).
Sistemas de Numeração
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Sistemas de Numeração
Um possível problema no uso de máquinas binárias: o número binário precisa de mais dígitos para ser escrito do que o decimal. 
 
 
 
 Quatro em decimal é representado como 4. Sua representação em binário é 100. 
Conseqüência: o computador binário seria mais preciso porém muito lento porque a leitura da informação iria requerer mais tempo.
(2)10 número de animais representado em decimal
(10)2 número de animais representado em binário
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 Sistemas de Numeração Posicionais
 Sistemas de Numeração Não Posicionais
Sistemas de Numeração
Classificação
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Nos sistemas de numeração posicional, o valor do dígito em um número depende da posição que ele ocupa neste mesmo número. 
 1989 = 1000+900+80+9
 1989 = 1x103 + 9x102 + 8x101 + 9x100
Há um peso para cada posição ocupada pelo dígito. Os pesos crescem para esquerda na parte inteira e decrescem para a direita na parte fracionária 
 1989,4= 1x103 + 9x102 + 8x101 + 9x100+4x10-1
Sistemas Posicionais
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A representação posicional fornece uma forma simplificada para a escrita de números e permite a representação de qualquer número com um alfabeto (uma coleção de símbolos) restrito de dígitos. 
O sistema decimal tem:
 Base =10
 Um alfabeto ordenado e 10 dígitos, {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, e qualquer número pode ser representado com o uso deles. 
Sistemas Posicionais
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Outros Exemplos de Sistemas Posicionais
Sistema posicional binário
	base = 2
	alfabeto {0, 1}
Sistema posicional octal
	base = 8
	alfabeto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Sistema posicional hexadecimal
	base R = 16
	alfabeto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}
Sistemas Posicionais
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Sistemas Não Posicionais
Sistema de Numeração Romano
 No número XX, vinte em decimal, o valor do dígito X à esquerda é o mesmo daquele à direita. Neste caso a representação é aditiva, com X representando a quantidade decimal 10, e com a combinação XX associada a 10+10=20. Por outro lado em IX (nove em decimal) a representação é subtrativa. 
M = 1000
Como antes de M não tinha nenhuma letra, buscavam a segunda letra de maior valor. 
D = 500 
Depois tiravam de D o valor da letra que vem antes. 
D – C = 500 – 100 = 400 
Somavam 400 ao valor de M, porque CD está depois de M. 
M + CD = 1000 + 400 = 1400 
Sobrava apenas o V. Então: 
MCDV = 1400 + 5= 1405
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Representação da Informação
Base de um Sistema de Numeração Sistemas de Numeração Posicionais Base de um Sistema de Numeração Representação Binária Representação decimal, Octal e em Hexadecimal
Conversões entre Bases Conversões entre as bases 2, 8 e 16 Conversão de Números em uma base b qualquer para a base 10 Conversão de Números da Base 10 para uma Base b qualquer Conversão de Números entre duas Bases quaisquer
Aritmética em Binário  Soma Subtração Multiplicação
Divisão
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Sistemas de Numeração
Sistemas de Numeração Posicionais
Desde quando se começou a registrar informações sobre quantidades, foram criados diversos métodos de representar
as quantidades. 
O método ao qual estamos acostumados usa um sistema de numeração posicional. Isso significa que a posição ocupada por cada algarismo em um número altera seu valor de uma potência de 10 (na base 10) para cada casa à esquerda. 
Por exemplo, no sistema decimal (base 10), no número 125 o algarismo 1 representa 100 (uma centena ou 102) , o 2 representa 20 (duas dezenas ou 1x101) e o 5 representa 5 mesmo (5 unidades ou 5x100). Assim, em nossa notação, 125 = 1x102  + 2x101 + 5x100 
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Base de um Sistema de Numeração A base de um sistema é a quantidade de algarismos disponível na representação. A base 10 é hoje a mais usualmente empregada, embora não seja a única utilizada. 
Os computadores utilizam a base 2 (sistema binário) e os programadores, por facilidade, usam em geral uma base que seja uma potência de 2, tal como 24 (base 16 ou sistema hexadecimal) ou eventualmente ainda 23 (base 8 ou sistema octal).
Na base 10, dispomos de 10 algarismos para a representação do número: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. 
Na base 2, seriam apenas 2 algarismos: 0 e 1. 
Na base 16, seriam 16: os 10 algarismos aos quais estamos acostumados, mais os símbolos A, B, C, D, E e F, representando respectivamente 10, 11, 12, 13, 14 e 15 unidades. 
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A representação 125,3810 (base 10) significa:
 1x102  + 2x101 + 5x100 + 3x10-1 + 8x10-2 
Generalizando, representamos uma quantidade N qualquer, numa dada base b, com um número tal como segue:
Nb = an.bn + .... + a2.b2 + a1.b1 + a0.b0 + a-1.b-1 + a-2.b-2 + .... + a-n.b-n 
sendo que :
an.bn + .... + a2.b2 + a1.b1 + a0.b0 é a parte inteira e 
a-1.b-1 + a-2.b-2 + .... + a-n.b-n é a parte fracionária.
O maior número inteiro N que pode ser representado, em uma dada base b, com n algarismos (n "casas"), será N = bn- 1. Assim, o maior número de 2 algarismos na base 16 será FF que, na base 10, equivale a 255 = 162 - 1 (256-1).
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Representação Binária
Os computadores modernos utilizam apenas o sistema binário, isto é, todas as informações armazenadas ou processadas no computador usam apenas DUAS grandezas, representadas pelos algarismos 0 e 1. Havendo apenas dois algarismos, portanto dígitos binários, o elemento mínimo de informação nos computadores foi apelidado de bit (uma contração do inglês binary digit).
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Representação da Informação
Nos computadores, a informação é representada por sinais eléctricos
Tensão alta –HIGH
Tensão baixa –LOW
A estes níveis correspondem 2 valores lógicos
1 (Verdadeiro), habitualmente associado a HIGH
0 (Falso), habitualmente associado a LOW
Cada dígito binário (0 ou 1) designa-se por bit
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Sistemas de Numeração
Binário (base 2)
2 dígitos – 0 e 1
10110.01 = 1×24 + 0×23 + 1×22 + 1×21 + 0×20 + 0×2-1 + 1×2-2 	 = (22.25)10
Decimal (base 10)
10 dígitos – 0 a 9 
562.3 = 5×102 + 6×101 + 2×100 + 3×10-1 
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Sistemas de Numeração
Conversão base 10  base 2 Divide-se sucessivamente por 2 e anota-se o resto 
	Ex: (41)10
	(41)10 = (101001)2
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Bit menos significativo 
Bit mais significativo 
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Sistemas de Numeração
Hexadecimal (base 16) e Octal (base 8)
Octal – 8 dígitos – 0 a 7
Hexadecimal – 16 dígitos 0 a 9; A a F
Exemplos: 
(25)8 = 2×81 + 5×80 = (21)10
(B3)16 = 11×161 + 3×160 = (179)10
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Sistemas de Numeração
Tabela de conversão de bases
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Sistemas de Numeração
Conversão base 2  base 8
Grupos de 3 bits
	(101001)2 = (51)8
Conversão base 2  base 16
Grupos de 4 bits
	(101001)2 = (29)16
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Exercício
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 Exercícios, converter para a base 10:
 11002
 01112
 ABCD16
A8B216
Respostas ao exercício anterior:
 11002 = 12 10
 01112 = 7 10
 ABCD16 = 43981 10
A8B216 = 43186 10
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Exercício
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Converta os seguintes números octais para binário:
477 b) 1523 c) 4764	d) 6740 e) 10021
2) Converta os seguintes números binários em octais:
1011 b) 10011100 c) 110101110 d) 1000000001
e) 110110000101
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Exercício - Respostas
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Converta os seguintes números octais para binário:
477: 100111111		 b) 1523 :1101010011
c) 4764: 100111110100	d) 6740: 110111100000
e) 10021: 1000000010001
2) a) 1011:13		b) 10011100:234
c) 110101110:656		d) 1000000001:1001
e) 110110000101:6605
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Exercício
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1) Converta os seguintes números Hexadecimais em decimais:
a) 479		b) 4AB	 c) BDE		
2) Converta os seguintes números decimais para Hexadecimal:
a) 486 	b) 4096	 c) 2000	
3) Converta os seguintes números 1D216 e 8CF16 para sistema octal:
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Exercício
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1) Converta os seguintes números Hexadecimais em decimais:
a) 479: 1145 b) 4AB:1195 c) BDE:3038	
2) Converta os seguintes números decimais para Hexadecimal:
a) 486 : 1E6 	b) 4096:1000 	 c) 2000: 7D0
3) Converta os seguintes números 1D216 e 8CF16 para sistema octal:
R: 1D2 : 722 	8CF: 4317
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Conversao de Números Fracionários
Binário Fracionário em Decimais
101,101 = 
1*22+0*21+1*20+1*2-1 +0*2-2 +1*2-3
1*4 +0+2 +1*1 +1*1/2+0*1/4 +1*1/8
5,625
Decimal Fracionário em Binário
8,375= 1000,011
8 = 1000
0,375 =011 
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0,375*2=0,750
0,750*2=1,500
0,500*2=1,000
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Aritmética em Binário 
 A taboada da soma aritmética em binário é muito simples. São poucas regras: 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 0 (e "vai 1" para o dígito de ordem superior) 1 + 1 + 1 = 1 (e "vai 1" para o dígito de ordem superior)
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Operações Aritméticas
Adição
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Vamos ver agora a tabuada da subtração:
 0 - 0 = 0 0 - 1 = 1 ("vem um do próximo") 1 - 0 = 1 1 - 1 = 0 
Subtração
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Vamos ver agora a tabuada da multiplicação:
 0 x 0 = 0 0 x 1 = 0 1 x 0 = 0 1 x 1 = 1
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Operações Aritméticas
Divisão
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Pode ser necessário acrescentar zeros à esquerda (e/ou à direita no caso de números fraccionários) para converter números binários para octal ou hexadecimal.
Exemplo: números fraccionários 32 bits – tem-se 8 bits para o expoente (1 de sinal + 7) e 24 bits para a mantissa (1 de sinal + 23). A virgula é fixada entre o primeiro e segundo bit de maior peso da mantissa.
As mesmas regras servem para outras bases como a base 8 e base 16