Introdução à lógica Prof Joseane

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Fundamentos da Matemática para Computação
TÓPICOS DAS AULAS 1 & 2
Introdução a lógica: Sentença / Proposição
Proposição:
é uma frase com sentido completo, em que se atribui um valor lógico.
(GERSTING)
• Sentença interrogativa
• Sentença imperativa
• Sentença exclamativa
• Sentenças declarativas
Sentença simples:
Ex: Paulo é estudante.
Ex: Todo homem é mortal.
Sentença composta:
Ex: José é médico e Carlos é engenheiro.
Ex: Se o carro é zero, então está em boa condição de uso.
Ex: Carla vai ao cinema ou Paulo vai ao circo.
Ex: Ou Luís é baiano, ou é paulista.
Ex: Comprarei uma mansão se e somente se eu ganhar na loteria.
Representação:
No geral letras minúsculas
Ex: José é médico e Carlos é engenheiro
p: José é médico q: Carlos é engenheiro
Introdução a lógica: Sentença / Proposição
Introdução a lógica: Operações lógicas
Operações lógicas:
• Conjunção (^)
• Disjunção (inclusiva) (v)
• Disjunção exclusiva (v)
• Condicional ()
• Bicondicional ()
Modificador lógico:
• Negação (~)
Introdução a lógica: Operações lógicas
Conjunção: “p ^ q" lê-se “p e q”
TABELA VERDADE
p q p^q
V V V
V F F
F V F
F F F
Introdução a lógica: Operações lógicas
Disjunção (inclusiva): “p v q" lê-se “p ou q”
TABELA VERDADE
P q pvq
V V V
V F V
F V V
F F F
Introdução a lógica: Operações lógicas
Disjunção exclusiva: “p v q" lê-se “ou p ou q“
“Te darei uma bola OU te darei uma bicicleta”
“OU te darei uma bola OU te darei uma bicicleta”
TABELA VERDADE
p q p v q
V V F
V F V
F V V
F F F
Introdução a lógica: Operações lógicas
Condicional (ou implicação):
Introdução a lógica: Operações lógicas
Bicondicional 
é verdadeira somente se ambas proposições forem verdadeiras ou ambas falsas.
“A <—> B” 
lê-se: “A se e somente se B”
A B A <–> B
V V V
V F F
F V F
F F V
Introdução a lógica Exercício
1) Verifique quais sentenças são proposições:
a) 
b)
c)
d)
e)
f)
2) Qual o valor-verdade das proposições?
a) 
b)
c)
d)
e)
f)
3) Sejam as proposições:
Tautologia
É quando uma fórmula proposicional é verdadeira para todas as valorações 
entre suas variáveis proposicionais.
Ex.:
Contradição
É a negação de uma tautologia.
Ex.:
Contingência
Quando não é tautologia nem contradição.
Ex.:
Introdução a lógica: PROPOSIÇÃO SIMPLES
p : Karla é médica. 
~p : Karla não é médica.
ou ~p : Não é verdade que Karla é médica.
ou ~p : É falso que Karla é médica.
Negação
"~p" lê-se "não p”
TABELA VERDADE
p ~p
V F
F V
q: Ana não é estudante. 
~q: Ana é estudante 
1)
2)
Exemplos:
1)
Ana trabalha ou Daniela estuda.
Não é verdade que Ana trabalha ou Daniela estuda.
Ana não trabalha e Daniela não estuda.
2)
João foi a festa e Marcos dormiu.
Não é verdade que João foi a festa e Marcos dormiu.
João não foi a festa ou Marcos não dormiu.
NEGAÇÃO: PROPOSIÇÃO COMPOSTA LEIS DE MORGAN
Numa proposição composta, a negação vai variar de acordo com operação lógica em que 
ela está estruturada.
Negar conjunção e disjunção
Negar a condicional
Exemplo:
 Se chover, então levarei o guarda-chuva.
 Chove e eu não levarei o guarda-chuva.
NEGAÇÃO Condicional
~(p↔q) = p v q 
NEGAÇÃO Bicondicional
Negar a bicondicional:
A negação de uma estrutura bicondicional é a disjunção exclusiva
Exemplo:
 Você será médico se e somente se tiver vocação.
 Ou você será médico ou você terá vocação.
Exemplo:
Ou João é advogado ou Pedro é juiz.
Negando-a temos:
João é advogado se e somente se Pedro é juiz.
NEGAÇÃO Disjunção Exclusiva
Negar a disjunção exclusiva: ~(pVq) = p ↔ p 
A: 3+5  11
B: x+5  11
Qual a validade de A e B?
B é uma sentença aberta ou função proposicional.
SENTENÇA ABERTA
x + 6 = 9
Não podemos classificar tal enunciado aberto como proposição 
verdadeiro ( V ) ou falso ( F )
“Para todo valor x, temos x+6 = 9''.
“Existe um valor x, tal que x+6 = 9”.
UNIVERSAL: 
 "para todo"
Ex: 
Todo inteiro é racional.
x, xZ x R
EXISTENCIAL:
 “existe / algum / para ao menos um”
Ex:
x, xN
Podemos ler:
Existe um x tal que x N
Algum número é natural
Existe pelo menos um número natural.
Quantificadores: UNIVERSAL E EXISTENCIAL
Escreva na forma simbólica as seguintes proposições:
a) Para todo x, se x é real, então x Q
b) Existe x tal que 
c) Para todo x, existe um y tal que x<y
d) Existe um x e existe um y tal que é irracional
Negação de proposição quantificada:
Negar o quantificador universal:
( x) (p(x))
( x)(~p(x)) 
Sentença:
Negação:
Sentença:
Negação:
Negação de proposição quantificada:
Negar o quantificador existencial:
( x) (~p(x))
( x)(p(x)) 
Sentença:
Negação:
Sentença:
Negação:
Sentença:
Negação:
Descreva uma propriedade para cada conjunto.
a) T={2,3,5,7,11,13,...}
b) V={1,2,3,6,9,18}
c) S={1, 4, 9, 16}
d) Z={maio, julho, março, janeiro, agosto, 
outubro, dezembro}
e) P={Amazonas, Amapá, Acre, Alagoas}
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ÁLGEBRA DOS CONJUNTOS
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1) UNIÃO (ou reunião) 
AUB={x/xA ou x B}
2) INTERSECÇÃO: 
AB={x/xA e x B}
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OPERAÇÕES
3) DIFERENÇA
A-B={x/xA e xB}
 N º de Elementos
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OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS
Dizemos: complementar de B em relação a A ou seja, A-B
determine o complementar de B.
DIAGRAMA DE VENN
Ajudam a reforçar a noção sobre conjuntos
Ex.:
Dez mil aparelhos de TV foram examinados depois de um ano de uso e 
constatou-se que 4.000 deles apresentavam problemas de imagem, 
2.800 tinham problemas de som e 3.500 não apresentavam nenhum dos 
tipos de problema citados. Qual o número de aparelhos que 
apresentavam somente problemas de imagem?
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Numa comunidade constituída de 1800 pessoas há três programas de
TV favoritos: Esporte (E), novela (N) e Humanismo (H). A tabela
abaixo indica quantas pessoas assistem a esses programas.
Através desses dados indique o número de pessoas da comunidade que 
não assistem a qualquer dos três programas.
DIAGRAMA DE VENN