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Lista 3 Derivadas - Prof Dino

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FEG-UNESP - 2016 Lista 3 - Derivadas Prof. MSc. Dino Beghetto
Derivadas de func¸o˜es de uma
varia´vel real
Exerc´ıcio 1:
a) Qual o significado geome´trico da derivada de uma
func¸a˜o f(x) em relac¸a˜o a x em um ponto p?
b) Qual o quesito necessa´rio para que a derivada de
uma func¸a˜o f(x) em relac¸a˜o a x exista em um
ponto p?
c) Discuta a relac¸a˜o entre continuidade da func¸a˜o
f(x) no ponto p e existeˆncia da derivada de f(x)
em relac¸a˜o a x nesse ponto;
d) Mostre que:
lim
∆x→0
f(x+ ∆x)− f(x)
∆x
= lim
x→p
f(p)− f(x)
x− p ;
e) Em quais circunstaˆncias e´ poss´ıvel aplicar a regra
de L’Hospital?
f) Discuta a interpretac¸a˜o de
dy
dx
como um quociente
diferencial. E´ de suma importaˆncia que isso esteja
bem claro para voceˆ;
g) Seja f(x) uma func¸a˜o cont´ınua em um intervalo I.
O que se espera de f ′(x) quando f(x) for crescente,
quando for decrescente e quando possuir ponto
cr´ıtico? E o que se espera de f ′′(x) quando f(x)
possuir concavidade positiva, negativa, ter ponto
de mı´nimo ou ponto de ma´ximo?
Exerc´ıcio 2: Calcule as derivadas das seguintes
func¸o˜es:
a) f(x) =
453− x2
7 + x
;
b) f(x) =
9− x
23− x2 ;
c) f(x) =
x2 + x
x2 − 7x ;
d) f(x) =
x5 − 2957
x2 − 9x+ 6;
e) g(x) =
7x5 − 2x2 + 1
4x4 + 7x− 3 ;
f) g(x) =
8x4 − 7x2 + x
5x4 + 2x− 1 ;
g) f(x) =
−3x3 + 2x2 + 7
4x+ 1
;
h) f(x) =
x2 − 5x+ 3
x3 − x2 + 2x− 1 ;
i) h(x) =
sin3 (x)
x2
;
j) f(x) =
x sin (x)
|x| ;
k) h(x) =
sin (5x)
sin (2x)
;
l) f(x) = xx;
m) g(x) = sin (7x2) ln (3
√
x);
n) h(x) = tg (sin (7x));
o) f(x) = e(x
3) ln (3x2);
p) h(x) = ecos (ln (x));
q) f(x) = ln (x) logb (x)− ln (a) loga (x), a, b ∈ R;
r) f(x) = e3x
2
e9x
4
e7x
3
;
s) f(x) = ln (x3x)|x|;
t) f(x) = cos2 (7y
√
x) sin (8x2z), y, z ∈ R;
u) f(x) =
etg (3x) − esin (4x)
ex33
;
v) g(x) =
x7x
ex2
;
w) g(x) = tg (cos(sin (lnx)));
x) h(x) = ln
(
cos (αx)
ln (γx2)
)
, α, γ ∈ R;
y) h(x) = e
√
cos (x33);
z) g(x) =
cos (pix)
cos (3pix
2
3 )
.
Exerc´ıcio 3:
a) Demonstre que:
dex
dx
= ex;
b) Demonstre que:
d sen (x)
dx
= cos (x);
c) Demonstre que:
d cos (x)
dx
= sen (x);
d) Demonstre que:
d cossec (x)
dx
= − cossec (x) cotg (x);
FEG-UNESP - 2016 Lista 3 - Derivadas Prof. MSc. Dino Beghetto
e) Demonstre que:
d sec (x)
dx
= sec (x) tg (x);
f) Demonstre que:
d cotg (x)
dx
= − cossec2 (x);
g) Demonstre que:
d(f(x)g(x))
dx
= f ′(x)g(x) + g′(x)f(x);
h) Seja x uma func¸a˜o de uma varia´vel N , na qual
N = ln (a), em que a e´ uma func¸a˜o do tempo
t. A derivada da func¸a˜o x(N) em relac¸a˜o a N e´
x′ = −3x − 3xe−4N . Qual e´ a derivada de x(N)
em relac¸a˜o a a?;1
i) Sendo as func¸o˜es reais f e g definidas como
f(x) = φ(ecos x+xx), g(x) = ψ
(
cos(ex)− senx√
x+ 1
)
,
com φ, ψ ∈ R e S(x) = f(x)g(x), encontre dS(x)
dx
;
j) Demonstre que a func¸a˜o y = xe−x satisfaz a
equac¸a˜o xy′ = (1− x2)y;
k) Demonstre que a func¸a˜o y =
1
1 + x+ lnx
satisfaz
a equac¸a˜o xy′ = y(y lnx− 1);
l) Demonstre que a func¸a˜o y, dada pelas equac¸o˜es
parame´tricas
 x = 2t+ 3t2,y = t2 + 2t3,
Satisfaz a equac¸a˜o
y =
(
dy
dx
)2
+ 2
(
dy
dx
)3
;
m) Demonstrar que a func¸a˜o y =
1
2
x2ex satisfaz a
equac¸a˜o diferencial y′′ − 2y′ + y = ex;
n) Demonstrar que a func¸a˜o y = e−x cos (x) satisfaz
a equac¸a˜o diferencial y(6) + 4y = 0.
1Note que ha´ uma forma bem simples de se fazer, basta voceˆ
encontrar a relac¸a˜o entre dN e da.
Refereˆncias
Os exerc´ıcios foram criados por mim ou obtidos
dos livros:
1) B. Demidovich, G. Baranenkov - Problemas e
exerc´ıcios de ana´lise matema´tica;
2) T. Apostol - Ca´lculo com func¸o˜es de va´rias
varia´veis e a´lgebra linear;
3) N. Piskunov - Ca´lculo diferencial e integral I;
4) R. Courant - Ca´lculo diferencial e integral, vol. I;
5) J. Stewart - Ca´lculo, vol. I;
6) G. Thomas - Ca´lculo, vol. I;
7) E. Swokwoski - Ca´lculo, vol. I.
Respostas
As derivadas podem ser verificadas no Wolfram.
Dicas ba´sicas do Wolfram
Para escrever o limite de uma func¸a˜o f(x), com
x tendendo a a
lim
x→a f(x),
fac¸a:
limx− > a f(x).
Se x tende ao infinito, fac¸a x− > inf . Para
quantidades com expoentes, como xn, fac¸a
xˆn.
Para ra´ızes,
√
x+ 1 por exemplo, fac¸a sqrt(x+1). Voceˆ
tambe´m pode escrever escrever a raiz a partir do expo-
ente:
√
x+ 1→ (x+ 1)ˆ (1/2)→ sqrt(x+ 1)
A divisa˜o deve ser feita como:
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a+ b
c+ d
→ (a+ b)/(c+ d),
sempre use os parenteses para indicar corretamente a
divisa˜o.
A exponencial pode ser escrita de duas formas:
ex+1 → eˆ(x+ 1) ou exp(x+ 1)
Por exemplo, para escrever o limite
lim
x→∞
√
x2 + 1
ex + cos(pix)
Fazemos
limx− > inf (sqrt(xˆ2 + 1))/(eˆx+ cos(pi x)).

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