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FEG-UNESP - 2016 Lista 3 - Derivadas Prof. MSc. Dino Beghetto Derivadas de func¸o˜es de uma varia´vel real Exerc´ıcio 1: a) Qual o significado geome´trico da derivada de uma func¸a˜o f(x) em relac¸a˜o a x em um ponto p? b) Qual o quesito necessa´rio para que a derivada de uma func¸a˜o f(x) em relac¸a˜o a x exista em um ponto p? c) Discuta a relac¸a˜o entre continuidade da func¸a˜o f(x) no ponto p e existeˆncia da derivada de f(x) em relac¸a˜o a x nesse ponto; d) Mostre que: lim ∆x→0 f(x+ ∆x)− f(x) ∆x = lim x→p f(p)− f(x) x− p ; e) Em quais circunstaˆncias e´ poss´ıvel aplicar a regra de L’Hospital? f) Discuta a interpretac¸a˜o de dy dx como um quociente diferencial. E´ de suma importaˆncia que isso esteja bem claro para voceˆ; g) Seja f(x) uma func¸a˜o cont´ınua em um intervalo I. O que se espera de f ′(x) quando f(x) for crescente, quando for decrescente e quando possuir ponto cr´ıtico? E o que se espera de f ′′(x) quando f(x) possuir concavidade positiva, negativa, ter ponto de mı´nimo ou ponto de ma´ximo? Exerc´ıcio 2: Calcule as derivadas das seguintes func¸o˜es: a) f(x) = 453− x2 7 + x ; b) f(x) = 9− x 23− x2 ; c) f(x) = x2 + x x2 − 7x ; d) f(x) = x5 − 2957 x2 − 9x+ 6; e) g(x) = 7x5 − 2x2 + 1 4x4 + 7x− 3 ; f) g(x) = 8x4 − 7x2 + x 5x4 + 2x− 1 ; g) f(x) = −3x3 + 2x2 + 7 4x+ 1 ; h) f(x) = x2 − 5x+ 3 x3 − x2 + 2x− 1 ; i) h(x) = sin3 (x) x2 ; j) f(x) = x sin (x) |x| ; k) h(x) = sin (5x) sin (2x) ; l) f(x) = xx; m) g(x) = sin (7x2) ln (3 √ x); n) h(x) = tg (sin (7x)); o) f(x) = e(x 3) ln (3x2); p) h(x) = ecos (ln (x)); q) f(x) = ln (x) logb (x)− ln (a) loga (x), a, b ∈ R; r) f(x) = e3x 2 e9x 4 e7x 3 ; s) f(x) = ln (x3x)|x|; t) f(x) = cos2 (7y √ x) sin (8x2z), y, z ∈ R; u) f(x) = etg (3x) − esin (4x) ex33 ; v) g(x) = x7x ex2 ; w) g(x) = tg (cos(sin (lnx))); x) h(x) = ln ( cos (αx) ln (γx2) ) , α, γ ∈ R; y) h(x) = e √ cos (x33); z) g(x) = cos (pix) cos (3pix 2 3 ) . Exerc´ıcio 3: a) Demonstre que: dex dx = ex; b) Demonstre que: d sen (x) dx = cos (x); c) Demonstre que: d cos (x) dx = sen (x); d) Demonstre que: d cossec (x) dx = − cossec (x) cotg (x); FEG-UNESP - 2016 Lista 3 - Derivadas Prof. MSc. Dino Beghetto e) Demonstre que: d sec (x) dx = sec (x) tg (x); f) Demonstre que: d cotg (x) dx = − cossec2 (x); g) Demonstre que: d(f(x)g(x)) dx = f ′(x)g(x) + g′(x)f(x); h) Seja x uma func¸a˜o de uma varia´vel N , na qual N = ln (a), em que a e´ uma func¸a˜o do tempo t. A derivada da func¸a˜o x(N) em relac¸a˜o a N e´ x′ = −3x − 3xe−4N . Qual e´ a derivada de x(N) em relac¸a˜o a a?;1 i) Sendo as func¸o˜es reais f e g definidas como f(x) = φ(ecos x+xx), g(x) = ψ ( cos(ex)− senx√ x+ 1 ) , com φ, ψ ∈ R e S(x) = f(x)g(x), encontre dS(x) dx ; j) Demonstre que a func¸a˜o y = xe−x satisfaz a equac¸a˜o xy′ = (1− x2)y; k) Demonstre que a func¸a˜o y = 1 1 + x+ lnx satisfaz a equac¸a˜o xy′ = y(y lnx− 1); l) Demonstre que a func¸a˜o y, dada pelas equac¸o˜es parame´tricas x = 2t+ 3t2,y = t2 + 2t3, Satisfaz a equac¸a˜o y = ( dy dx )2 + 2 ( dy dx )3 ; m) Demonstrar que a func¸a˜o y = 1 2 x2ex satisfaz a equac¸a˜o diferencial y′′ − 2y′ + y = ex; n) Demonstrar que a func¸a˜o y = e−x cos (x) satisfaz a equac¸a˜o diferencial y(6) + 4y = 0. 1Note que ha´ uma forma bem simples de se fazer, basta voceˆ encontrar a relac¸a˜o entre dN e da. Refereˆncias Os exerc´ıcios foram criados por mim ou obtidos dos livros: 1) B. Demidovich, G. Baranenkov - Problemas e exerc´ıcios de ana´lise matema´tica; 2) T. Apostol - Ca´lculo com func¸o˜es de va´rias varia´veis e a´lgebra linear; 3) N. Piskunov - Ca´lculo diferencial e integral I; 4) R. Courant - Ca´lculo diferencial e integral, vol. I; 5) J. Stewart - Ca´lculo, vol. I; 6) G. Thomas - Ca´lculo, vol. I; 7) E. Swokwoski - Ca´lculo, vol. I. Respostas As derivadas podem ser verificadas no Wolfram. Dicas ba´sicas do Wolfram Para escrever o limite de uma func¸a˜o f(x), com x tendendo a a lim x→a f(x), fac¸a: limx− > a f(x). Se x tende ao infinito, fac¸a x− > inf . Para quantidades com expoentes, como xn, fac¸a xˆn. Para ra´ızes, √ x+ 1 por exemplo, fac¸a sqrt(x+1). Voceˆ tambe´m pode escrever escrever a raiz a partir do expo- ente: √ x+ 1→ (x+ 1)ˆ (1/2)→ sqrt(x+ 1) A divisa˜o deve ser feita como: FEG-UNESP - 2016 Lista 3 - Derivadas Prof. MSc. Dino Beghetto a+ b c+ d → (a+ b)/(c+ d), sempre use os parenteses para indicar corretamente a divisa˜o. A exponencial pode ser escrita de duas formas: ex+1 → eˆ(x+ 1) ou exp(x+ 1) Por exemplo, para escrever o limite lim x→∞ √ x2 + 1 ex + cos(pix) Fazemos limx− > inf (sqrt(xˆ2 + 1))/(eˆx+ cos(pi x)).
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