lista 4 - cálculo 1

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ATIVIDADES EM SALA DE AULA
Ca´lculo I -A-
Humberto Jose´ Bortolossi
http://www.professores.uff.br/hjbortol/
04
Operac¸o˜es com Func¸o˜es, Func¸a˜o Par e Func¸a˜o I´mpar
[01] (2014.1, Professora Helo´ısa) Seja f(x) = sen(ln(
√
e2x+1)). Escreva f como composic¸a˜o das
func¸o˜es g1(x) = e
x, g2(x) = sen(x), g3(x) = 2 x+ 1, g4(x) = ln(x) e g5(x) =
√
x.
[02] (2014.1, Professora Helo´ısa) Seja f(x) = e(x
3+1) definida em x ∈ R. Decida quais das
func¸o˜es a seguir e´ inversa da func¸a˜o f : (a) r(x) = (ln(x) − 1)1/3 definida em x ∈]0,+∞[, (b)
s(x) = ln((x − 1)1/3) definida em x ∈]1,+∞[, (c) t(x) = ln(x1/3) − 1 definida em x ∈]0,+∞[.
Justifique sua resposta.
[03] (2014.1, Professor Ma´rio) Determine o domı´nio natural (efetivo) da func¸a˜o
f(x) =
√
1− |x− 1|.
Verifique que a func¸a˜o g(x) = f(x+ 1) e´ uma func¸a˜o par.
[04] (2014.1, Professor Ralph) Considere a func¸a˜o y = f(x) =
4− 2 x2
x2 + 2 x
e a func¸a˜o y = g(x) cujo
gra´fico e´ o gra´fico de f deslocado duas unidades para cima e uma unidade para a direita.
(a) Determine o domı´nio natural (efetivo) da func¸a˜o f e os pontos onde o gra´fico de f intercepta
os eixos coordenados.
(b) Determine uma fo´rmula para g(x). A func¸a˜o g e´ par? E´ ı´mpar?
1
Respostas dos Exerc´ıcios
[01] f = g2 ◦ g4 ◦ g5 ◦ g1 ◦ g3.
[02] Temos que f−1 = r, pois (f ◦r)(x) = f(r(x)) = f((ln(x)−1)1/3) = e(((ln(x)−1)1/3)3+1) = eln(x)−1+1 =
eln(x) = x para todo x ∈]0,+∞[ e (r ◦ f)(x) = r(f(x)) = r(e(x3+1)) = (ln(e(x3+1)) − 1)1/3 =
(x3 + 1− 1)1/3 = (x3)1/3 = x para todo x ∈]0,+∞[.
[03] Note que x pertence ao domı´nio natural (efetivo) da func¸a˜o f se, e somente se, 1 − |x − 1| ≥ 0,
isto e´, se, e somente se |x − 1| ≤ 1. Portanto, pelas propriedades de mo´dulo, segue-se que
−1 ≤ x−1 ≤ +1, ou seja, 0 ≤ x ≤ 2. Portanto, o domı´nio natural (efetivo) de f e´ o intervalo [0, 2].
O domı´nio natural da func¸a˜o g, por sua vez, e´ o intervalo [−1,+1], pois o gra´fico de g e´ obtido
por meio de uma translac¸a˜o horizontal de 2 unidades para a esquerda. Observe que, para todo
x ∈ [−1, 1], g(−x) = f(−x + 1) = √1− | − x+ 1− 1| = √1− | − x| = √1− |x|. Observe
tambe´m que para todo x ∈ [−1,+1], g(x) = f(x+1) = √1− |x+ 1− 1| = √1− |x|. Conclu´ımos
assim que g(−x) = g(x) para todo x ∈ [−1,+1]. Sendo assim, g e´ uma func¸a˜o par.
[04] (a) Se x pertence ao domı´nio natural da func¸a˜o f , enta˜o x2 + 2 x = x (x+ 2) 6= 0, isto e´, x 6= 0 e
x 6= −2. Assim, o domı´nio natural (efetivo) da func¸a˜o f e´ o conjunto Df = R−{−2, 0}. Como
0 na˜o pertence ao domı´nio natural (efetivo) de f , segue-se que o gra´fico de f na˜o intercepta
o eixo x. Agora, f(x) = 0 ⇔ x ∈ Df e 4 − 2 x2 = 0 ⇔ x ∈ D{f} e (x = −
√
2 ou x = +
√
2).
Assim, o gra´fico de f intercepta o eixo x nos pontos (−√2, 0) e (+√2, 0).
(b) Como o gra´fico de g e´o gra´fico de f deslocado duas unidades para cima e uma unidade para
a direita, segue-se que
g(x) = f(x− 1) + 2 = 4− 2 (x− 1)
2
(x− 1)2 + 2 (x− 1) + 2 =
4 x
x2 − 1 .
Note que o domı´nio da func¸a˜o g e´ o conjunto Dg = R − {−1,+1}. A func¸a˜o g na˜o e´
par, pois g(−2) = −8/3 6= +8/3 = g(+2). A func¸a˜o g e´ ı´mpar pois, para todo x ∈ Dg,
g(−x) = 4 (−x)/((−x)2 − 1) = −4 x/(x2 − 1) = −f(x).
Texto composto em LATEX2e, HJB, 24/08/2014.
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