lista 3 - cálculo 1

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ATIVIDADES EM SALA DE AULA
Ca´lculo I -A-
Humberto Jose´ Bortolossi
http://www.professores.uff.br/hjbortol/
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Operac¸o˜es com Func¸o˜es
[01] (2013.1) Mostre que 2
1
x = e
ln(2)
x para todo x ∈ R − {0}. Indique em cada passo de sua prova
qual propriedade voceˆ esta´ usando!
[02] (2010.2) Considere a func¸a˜o f : [−3, 3]→ [−2, 2] cujo gra´fico e´ apresentado na figura abaixo.
.
A func¸a˜o f e´ invers´ıvel? Em caso afirmativo, desenhe o gra´fico de f−1, determine o domı´nio e
a imagem de f−1 e calcule f−1(2), f−1(0) e (f−1 ◦ f)(√2).
[03] (2010.1) Seja h(x) = 1/(x4 + 1)3. Escreva h(x) = (f ◦ g)(x), com f e g func¸o˜es diferentes da
func¸a˜o identidade.
[04] (2010.1) Seja g : R→ R uma func¸a˜o invers´ıvel tal que g(1) = 2, g(2) = 3 e g(3) = 4. Determine
(g ◦ g)(1), g−1(3) e (g ◦ g−1)(7).
1
Respostas dos Exerc´ıcios
[01] Observe que, para todo x 6= 0,
21/x = eln(2
1/x) = e
1
x
ln(2) = e
ln(2)
x ,
onde, na primeira igualdade, usamos que f(x) = ln(x) e g(x) = ex sa˜o func¸o˜es inversas uma da
outra.
[02] A func¸a˜o f e´ invers´ıvel pois ela e´ bijetiva. O domı´nio de f−1 e´ igual a imagem de f : [−2, 2].
A imagem de f−1 e´ igual ao domı´nio de f : [−3, 3]. Pela leitura do gra´fico, temos que f−1(2) = −3
e f−1(0) = 0. Sabemos que (f−1◦f)(x) = x para todo x ∈ [−2, 2]. Em particular, (f−1◦f)(√2) =√
2. O gra´fico de f−1 esta´ desenhado em vermelho na figura a seguir.
.
[03] f(x) = 1/x3 e g(x) = x4 + 1.
[04] Temos que (g ◦ g)(1) = g(g(1)) = g(2) = 3. Como g(2) = 3, segue-se que g−1(3) = 2. Sabemos
que (g ◦ g−1)(x) = x para todo x ∈ R. Em particular, (g ◦ g−1)(7) = 7.
Texto composto em LATEX2e, HJB, 13/08/2014.
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