LISTA 1 - cálculo 1

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ATIVIDADES EM SALA DE AULA
Ca´lculo I -A-
Humberto Jose´ Bortolossi
http://www.professores.uff.br/hjbortol/
01
Domı´nio, Imagem e Gra´fico de Func¸o˜es Reais, Resolvendo Inequac¸o˜es,
Completamento de Quadrados
[01] (2006.2) Na figura abaixo e´ dado o gra´fico de uma func¸a˜o f : [−3,+4]→ R.
(a) Qual e´ a imagem de f?
(b) A func¸a˜o f e´ injetiva? Justifique a sua resposta!
[02] (2006.2) Determine o domı´nio natural (efetivo) da func¸a˜o f(x) =
1√
x2 − 4.
[03] (2009.1) Determine o domı´nio natural (efetivo) da func¸a˜o y = f(x) = ln
(
1
x
− 1
x2
)
.
[04] (2009.2) Determine o domı´nio natural da func¸a˜o y = f(x) =
ln(x)√
2− |x+ 1| .
[05] (2014.1) Considere a func¸a˜o y = g(x) =
√−x2 − 6 x− 8. Determine o domı´nio natural (efetivo)
de g e fac¸a um esboc¸o de seu gra´fico identificando o tipo da curva (se o gra´fico e´ uma reta, uma
para´bola, etc.). Dica para o gra´fico: use completamento de quadrados!
[06] (Hughes-Hallett, Gleason, Lock, Flath, et al., 2010, p. 5) Qual gra´fico na figura a seguir
melhor expressa cada uma das seguintes histo´rias. Escreva uma histo´ria para o gra´fico restante.
(a) Logo depois que eu deixei minha casa, percebi que tinha esquecido meus livros e, assim, tive
que voltar para busca´-los.
(b) Tudo estava bem ate´ o pneu furar.
(c) Eu comecei a dirigir calmamente, mas tive que aumentar a velocidade quando percebi que
eu ia chegar atrasado.
1
distânciade casa
tempo
(1) distânciade casa
tempo
(2 )
distânciade casa
tempo
(3 ) distânciade casa
tempo
(4 )
[07] (Hughes-Hallett, Gleason, Lock, Flath, et al., 2010, p. 6) A figura a seguir apresenta
o gra´fico da func¸a˜o N = f(t) que descreve a quantidade de nicotina (em mg) como uma func¸a˜o
do tempo t (em horas), a partir do momento que uma pessoa terminou de fumar um cigarro.
(a) Estime o valor de f(3) e interprete-o em termos de nicotina.
(b) Quantas horas sa˜o necessa´rias, aproximadamente, para que o n´ıvel de nicotina esteja abaixo
de 0.1 mg?
(c) O que representa a ordenada do ponto de intersec¸a˜o do gra´fico com o eixo vertical?
(d) Se o gra´fico desta func¸a˜o interceptasse o eixo horizontal, o que representaria a abscissa do
ponto de intersec¸a˜o?
1 2 3 4 5 6
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
t (horas)
N (mg)
2
Respostas dos Exerc´ıcios
[01] (a) A imagem de f e´ o intervalo fechado [−2,+2].
Erros frequentes:
• Na˜o incluir −2 e +2 na imagem, dando como resposta errada o intervalo aberto ]−2,+2[.
• Ao inve´s de dar a imagem, muitos alunos acabaram dando o domı´nio como resposta.
(b) A func¸a˜o na˜o e´ injetiva, pois x1 = −1 e x2 = +2 sa˜o dois pontos distintos no domı´nio de f
com mesma imagem f(x1) = f(−1) = 0 = f(+2) = f(x2).
Erros frequentes:
• Simplesmente dizer que f na˜o e´ injetiva, sem dar justificativa alguma.
• Dar uma descric¸a˜o muito verbal e/ou imprecisa e/ou confusa da definic¸a˜o de injetividade.
Um exemplo de resposta confusa: “Na˜o, porque todos os pontos do domı´nio ligam ao
contradomı´nio mais o ponto x = 3 liga com o mesmo do contradomı´nio.”.
• Dar a definic¸a˜o correta de injetiva, mas na˜o indicar explicitamente quais os pontos x1
e x2 no domı´nio da func¸a˜o que sa˜o distintos e possuem a mesma imagem.
[02] Queremos encontrar todos os valores de x que satisfazem a desigualdade x2−4 > 0, isto e´, x2 > 4.
Extraindo-se a raiz quadrada dos dois lados desta desigualdade, obtemos que
√
x2 >
√
4, isto e´,
|x| > 2. Agora, se |x| > 2, enta˜o x < −2 ou x > +2. Sendo assim, o domı´nio natural da func¸a˜o f
e´ o conjunto D = (−∞,−2) ∪ (+2,+∞).
Erro frequente: usar a seguinte implicac¸a˜o errada: x2 > 4⇒ x > 2. Lembre-se que √x2 = |x|.
[03] Se x pertence ao domı´nio natural de f , enta˜o 1/x − 1/x2 = (x − 1)/x2 > 0 e x 6= 0. Como
x2 ≥ 0, segue-se que x − 1 > 0, isto e´, x > 1. Desta maneira, o domı´nio natural da func¸a˜o f
e´ D =]1,+∞[.
[04] Se x pertence ao domı´nio natural de f , enta˜o x > 0 e 2− |x+ 1| > 0. Mas
x > 0 e 2− |x+ 1| > 0 ⇔ x > 0 e |x+ 1| < 2 ⇔ x > 0 e − 2 < x+ 1 < 2
⇔ x > 0 e − 3 < x < 1 ⇔ 0 < x < 1.
Desta maneira, o domı´nio natural da func¸a˜o f e´ D = (0, 1).
[05] Completando quadrados, temos que
y = g(x) =
√
−x2 − 6 x− 8 =
√
−(x2 + 2 (3) x)− 8
=
√
−(x2 + 2 (3) x+ 9) + 9− 8 =
√
−(x+ 3)2 + 1
=
√
1− (x+ 3)2.
Sabemos que o gra´fico da func¸a˜o y = f(x) =
√
1− x2 e´ o semic´ırculo superior de centro em (0, 0)
e raio 1 e que seu domı´nio natural e´ o intervalo [−1,+1]. Como g(x) = f(x + 3), segue-se que
o gra´fico de g e´ o semic´ırculo superior de centro em (0,−3) e raio 1 e que seu domı´nio natural e´
o intervalo [−4,−2].
3
−4 −3 −2 −1 1
−1
1
0 x
y
Texto composto em LATEX2e, HJB, 10/08/2014.
4