lista 2 - cálculo 1

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ATIVIDADES EM SALA DE AULA
Ca´lculo I -A-
Humberto Jose´ Bortolossi
http://www.professores.uff.br/hjbortol/
02
Notac¸a˜o Funcional, Func¸o˜es Elementares e Obtendo Gra´ficos de Gra´ficos
[01] (2006.2) Sejam f(x) =
1√
x
e p = 1. Mostre que
f(p+ h)− f(p)
h
=
−1√
1 + h (1 +
√
1 + h)
.
[02] (2013.2) Considere as func¸o˜es f(x) = x, g(x) = x2, p(x) = 1/x e q(x) =
√
x. Desenhe em um
mesmo sistema de eixos coordenados os gra´ficos f , g, p e q. Em seguida, em um outro mesmo
sistema de eixos coordenados, desenhe os gra´ficos das func¸o˜es y = 1+ f(x− 1), y = 1+ g(x− 1),
y = 1 + p(x− 1) e y = 1 + q(x− 1).
[03] (2006.2) Na figura abaixo e´ dado o gra´fico de uma func¸a˜o f : [−3,+4]→ R.
Desenhe os gra´ficos das func¸o˜es abaixo explicitando quais as transformac¸o˜es geome´tricas (trans-
lac¸o˜es horizontais ou verticais, contrac¸o˜es horizontais ou verticais, etc.) que permitem obteˆ-las
a partir do gra´fico de f .
g1(x) = f(x+ 2), g2(x) = f
(x
2
)
, g3(x) = 4− 2 f(x+ 2).
[04] (2007.2) Considere a func¸a˜o y = f(x) =
∣∣∣|x| − 1
∣∣∣+ 2.
(a) (1.5) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f a partir do gra´fico da func¸a˜o y = h(x) = x− 1, usando
alongamentos, compresso˜es, translac¸o˜es e reflexo˜es. Em cada etapa, especifique qual trans-
formac¸a˜o voceˆ empregou e fac¸a um esboc¸o do gra´fico da func¸a˜o intermedia´ria correspondente.
(b) (0.5) Determine o domı´nio e a imagem de f .
1
Respostas dos Exerc´ıcios
[01] Temos que
f(p+ h)− f(p)
h
=
f(1 + h)− f(1)
h
=
1√
1 + h
− 1√
1
h
=
1−√1 + h
h
√
1 + h
=
[
1−√1 + h
h
√
1 + h
· 1 +
√
1 + h
1 +
√
1 + h
]
=
(1)2 − (√1 + h)2
h
√
1 + h (1 +
√
1 + h)
=
−h
h
√
1 + h (1 +
√
1 + h)
=
−1√
1 + h (1 +
√
1 + h)
.
[02] Os gra´ficos das func¸o˜es f , g, p e q esta˜o desenhados na figura a seguir.
Os gra´ficos das func¸o˜es y = 1+ f(x−1), y = 1+ g(x−1), y = 1+ p(x−1) e y = 1+ q(x−1) sa˜o
obtidos, respectivamente, a partir dos gra´ficos das func¸o˜es f , g, p e q fazendo-se uma translac¸a˜o
vertical de 1 unidade para cima seguida de uma translac¸a˜o horizontal de 1 unidade para direita.
2
[03] O gra´fico de g1 e´ obtido a partir do gra´fico de f por uma translac¸a˜o horizontal de 2 unidades
para a esquerda.
{4
{3
{2
{1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
{6 {5 {4 {3 {2
{1
1 2 3 4 5 6 7 8 x
y
1g
Figura 1: Gra´fico de g1.
O gra´fico de g2 e´ obtido a partir do gra´fico de f por uma expansa˜o horizontal de fator 2.
O gra´fico de g3 e´ obtido a partir do gra´fico de f fazendo-se as seguintes operac¸o˜es geome´tricas:
3
(1) translac¸a˜o horizontal de 2 unidades para a esquerda, (2) reflexa˜o com relac¸a˜o ao eixo x,
(3) expansa˜o vertical de fator 2 e (4) translac¸a˜o vertical de 2 unidades para cima.
{4
{3
{2
{1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
{6 {5 {4 {3 {2
{1
1
2
3 4 5 6 7 8 x
y
2g
Figura 2: Gra´fico de g2.
{4
{3
{2
{1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
{6 {5 {4 {3 {2 {1 1 2 3 4 5 6 7 8 x
y
3g
Figura 3: Gra´fico de g3.
4
[04] (a) Seja y = h(x) = x− 1, cujo gra´fico e´ apresentado abaixo.
Etapa 1. y = g1(x) = |h(x)| = |x− 1|: o gra´fico de g1 e´ obtido fazendo-se uma reflexa˜o com
relac¸a˜o ao eixo x dos pontos do gra´fico de h que teˆm ordenada negativa.
Etapa 2. y = g2(x) = g1(|x|) = ||x| − 1|: o gra´fico de g2 coincide com o gra´fico de g1 para
valores de x no intervalo [0,+∞[. Para valores de x no intervalo ]−∞, 0[, o gra´fico
de g2 e´ obtido fazendo-se uma reflexa˜o com relac¸a˜o ao eixo y dos pontos do gra´fico
de g1 com abscissa no intervalo ]0,+∞[.
Figura 4: o gra´fico de y = g1(x) = |h(x)| = |x− 1|.
5
Figura 5: o gra´fico de y = g2(x) = g1(|x|) = ||x| − 1|.
Etapa 3. y = f(x) = g2(x) + 2: o gra´fico de f e´ obtido fazendo-se uma translac¸a˜o vertical
do gra´fico de g2 duas unidades para cima.
Figura 6: o gra´fico de y = f(x) = g2(x) + 2 = ||x| − 1|+ 2.
(b) Pela leitura do gra´fico de f , vemos que y = f(x) = ||x| − 1| + 2 tem domı´nio igual a R e
imagem igual a [2,+∞[.
Texto composto em LATEX2e, HJB, 13/08/2014.
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