arqnav_cap2

Prévia do material em texto

2				ESTABILIDADE INICIAL				
	Tendo sido definidas as condições de estabilidade de um corpo flutuante e mostrado como surge um conjugado de endireitamento em uma embarcação inclinada, segue-se a determinação do valor desse conjugado para pequenos ângulos de banda.
2.1 Estabilidade Inicial
	No estudo de estabilidade inicial o interesse recai na determinação do valor de GM inicial ou do braço de endireitamento GZ para um pequeno ângulo de banda. O valor de algum desses parâmetros permite julgar a adequação de uma embarcação do ponto de vista de estabilidade inicial.
	A condição de equilíbrio depende da posição do CG e da movimentação do centro de carena B. Com isso em mente se estará, a seguir, deduzindo expressões que determinam a posição de B como uma função do ângulo de inclinação.
	Esse desenvolvimento será efetuado de duas maneiras diferentes, o que, acredita-se, garante uma perfeita compreensão da questão.
	Em primeiro lugar considere a seção transversal de um navio ilustrada na figura abaixo.
	Figura 2.1 - Localização do metacentro transversal 
	Quando um corpo flutuante, que estava em equilíbrio, é inclinado de um pequeno ângulo SYMBOL 100 \f "Symbol"��SYMBOL 113 \f "Symbol" a nova linha d'água intercepta a linha d'água original no plano de centro da embarcação se os seus costados são verticais. Essa é a única maneira de tornar os volumes das cunhas emersa e imersa iguais e manter o deslocamento submerso constante.
	Se, no entanto, os costados não são verticais essa aproximação só é válida se a inclinação SYMBOL 100 \f "Symbol"��SYMBOL 113 \f "Symbol" for suficientemente pequena.
	Se V for o volume de cada uma das cunhas e SYMBOL 209 \f "Symbol" o volume total do deslocamento, g1 e g2 os centros de volume das cunhas, o centro de carena da embarcação se moverá:
a)numa direção paralela à linha que liga g1 e g2;
b)de uma distância BB1 igual a V.g1g2/SYMBOL 209 \f "Symbol".
	Conforme a inclinação SYMBOL 100 \f "Symbol"��SYMBOL 113 \f "Symbol" se aproxima de zero a linha g1g2, e portanto BB1, se aproxima da horizontal original. Assim qualquer variação dos costados torna-se desprezível, e portanto:
	Se y é a meia boca da linha d'água em qualquer ponto ao longo do comprimento do navio, designado por L, então, já que a área da seção transversal das cunhas é de 
 e os seus centróides estão afastados de uma distância 
, ter-se-á:
�
ou
�						(2.1)
	Note-se que o lado direito desta expressão está associado ao momento de inércia da área do plano de flutuação.
	De maneira a se ter isso muito bem claro, faça-se essa demonstração.
	Considerando a figura a seguir, onde foi representa uma determinada curva da qual se quer determinar o momento de inércia transversal em relação ao eixo x.
�
Figura 2.2 - Curva a ser integrada 
	O momento de inércia transversal em relação ao eixo x é definido como a somatória dos elementos de área dxdy multiplicados pela distância ao quadrado até o referido eixo. Portanto,
�				(2.2a)
como 
�					(2.2b)
A (2.1) pode ser escrita como:
				(2.3)
	
	De posse de BM pode-se calcular GM, que é o parâmetro de interesse, pela simples relação:
					(2.4)
onde o valor de KG foi determinado pela experiência de inclinação, ou pela ponderação de todas as massas e suas alturas em relação a um plano de referência.
	A determinação do metacentro longitudinal segue o mesmo procedimento, quando então aparecerá na expressão de BMl o momento de inércia longitudinal da área de flutuação, em relação a um eixo transversal que passa pelo centro da área de flutuação.
	Naturalmente, de maneira a manter o deslocamento constante o sistema tomará inclinações em relação ao eixo que passa pelo centro de área (LCF= Posição Longitudinal do centro de Flutuação). O eixo que passa pelo centro de área é aquele que possui menor momento de inércia naquela direção. 
	Tendo-se calculado o momento de inércia em relação a um eixo paralelo pode-se calculá-lo em relação ao eixo que passa pelo LCF pelo Teorema de Steiner:
A= Área de flutuação.
LCF= Posição Longitudinal do Centro de Flutuação.
	Um dos exercícios resolvidos mostra a determinação do centro de área de flutuação e como se deve proceder para determinar o mínimo momento de inércia de uma figura, com a utilização do Círculo de Mohr.
2.2 Tragetória do Centro de Carena e do Metacentro
	De maneira a garantir a compreensão da origem física do metacentro, será feito a seguir um desenvolvimento para obtenção da tragetória do centro de carena e do braço de endireitamento, sob um enfoque analítico.
	Considere a seção de navio abaixo indicada, que tem costados verticais no calado em questão. 
�
Figura 2.3 - Sistema de coordenadas
	Agora, tomando momentos estáticos pode-se escrever as coordenadas XB e YB do centro de carena em função do ângulo de banda (, no sistema de coordenadas XY fixo ao navio no centro de carena B (não inclinado):
�
	Em se tratatando de um corpo tri-dimensional, os momentos tomados são de volumes, o que faz aparece nas expressões momentos de inércia da área do plano de flutuação (valores entre parêntesis). 
	Isolando-se o parâmetro tg( da primeira expressão e substituindo na segunda:
��� EMBED Equation.2 � 
conclui-se que se os costados são verticais a trajetória do centro de carena é uma parábola.
�
Figura 2.4 - Trajetória do centro de carena
	Nota-se agora que o metacentro, da maneira como definido, é o ponto de aplicação do raio vetor da curva definida pela trajetória do centro de carena B. Como a trajetória de B não é um círculo, o metacentro se move em função do ângulo (.
	O raio vetor fornecerá o valor de BM.
�
�
Figura 2.5 - Declividade da trajetória de B.
�
como:
�
então é possível calcular:
�
lembrando que a função f(x) é a coordenada YB em função de XB, tem-se:
�
e pode-se, finalmente, calcular o raio de curvatura:
�
	
	Para XB=0 obtem-se o valor de BM inicial:
�
	Com a expressão obtida pode-se achar não só o raio de curvatura da trajetória do centro de carena, como também a trajetória do metacentro, bastando para isso somar-se vetorialmente o ponto B com o raio de curvatura naquele ponto.
	O braço de endireitamento pode ser obtido com um pouco de álgebra linear. Considere-se a figura a seguir:
�
Figura 2.6 - Braço de endireitamento
	Para se determinar o braço GZ deve-se, em primeiro lugar, determinar a equação da reta que passa pelo metacentro instantâneo e pelo ponto B1. A distância dessa reta ao centro de gravidade é o braço de endireitamento.
	A reta em questão deve passar pelo ponto B1: 
�
e deve ser ortogonal à trajetória do centro de carena, esboçada como a parábola na figura, e que é determinada pela função:
�
Portanto, a reta tangente tem inclinação 
� e, conseqüentemente, a reta que passa por B tem inclinação
�.
Substituindo:
�
	A distância da reta ax+by+c=0 ao ponto (x0,y0) é dada por:
�
o que conduz finalmente a:
	A expressão obtida para GZ é exata desde que os costados sejam verticais e não haja imersão do convés nem afloramento do bojo. A tabela a seguir compara os valores obtidos pela formulação acima e pela formulação simplificada, (GZ=GM.sen(), considerando-se BM0=10m e BG=5m:
(
GZ
GMsen(
1
0.087
0.087
2
0.175
0.174
3
0.263
0.262
4
0.352
0.349
5
0.442
0.436
6
0.534
0.523
7
0.628
0.609
8
0.723
0.696
9
0.821
0.782
10
0.922
0.868
15
1.480
1.294
20
2.20
1.710
25
3.032
2.113
30
4.20
2.50
35
5.680
2.868
Tabela 2.1 - Valores do braço de restauração
	Da mesma maneira que a curva do braço de restauração real é mais inclinada positivamente para ângulos médios( 10<<50) ela tomará grandes inclinações negativas e abruptamentea partir de seu valor máximo, que em geral acontece para ângulos em torno de 50o a 60o .
	A trajetória do metacentro não recebeu maior atenção porque o que realmente interessa é o braço de restauração.
	
2.3 Exercícios
A) Exercícios resolvidos:
	1) Considere-se uma semi-submersível de deslocamento 22.912 ton. É composta de dois pontões de seção circular de comprimento 80m e de diâmetro 12m. Seis colunas sustentam o deck, com o arranjo mostrado na figura a seguir.
�
Figura 2.3 - Esquema do plano de flutuação
	O diâmetro da seção das colunas é 9m, com seus centros separados transversalmente por uma distância de 70m, e longitudinalmente de 32m. A tabela abaixo mostra, resumidamente, a posição vertical dos principais componentes da plataforma, que servirão para determinação da altura do centro de gravidade.
ELEMENTO
POSIÇÃO VERTICAL(M)
PESO (TONf)
*Estrutura dos pontões
6
5000
Estrutura das colunas
18
4000
Deck
30
3000
Equipamentos de produção
35
4000
Hotelaria
37
3000
Lastro
3
3000
Água doce
3
912
	Determine o valor de GM longitudinal e transversal.
SOLUÇÃO
	Inicialmente determina-se a posição vertical do centro de gravidade. Isto pode ser feito através de uma ponderação das massas pela distância a um ponto de referência, aqui tomado como sendo o plano base. Assim
�m
	Em seguida determina-se a posição vertical do centro de carena, através de uma ponderação dos volumes submersos. Antes disso é preciso calcular o calado da estrutura.
e portanto o KB pode ser calculado como
	Resta agora a determinação de BM longitudinal e transversal. Segue inicialmente a determinação do BM transversal.
�
	O primeiro termo da parte superior significa os momentos de inércia próprios das áreas de flutuação de cada coluna e o segundo termo representa o momento de inércia de transporte.
	Portanto:
GMt=KB+BMt-KG=7,89+21,00-19,85 = 9,04m
	O BM longitudinal considera o momento de inércia longitudinal da área do plano de flutuação. Assim:
�
e portanto:
GMl=KB+BMl-KG=7,89+11,74-19,85= -0.22m
	2) Conforme se percebeu no exercício anterior uma semi-submersível possui dois valores principais de GM, assim como um navio. Se sua área de linha d'água não for simétrica esses valores podem ser diferentes.
	Naturalmente, qualquer sistema flutuante possui alturas metacêntricas em relação a qualquer direção de inclinação. Pode-se demonstrar, no entanto, que os valores máximo e mínimo de momento de inércia do plano de flutuação são referentes a eixos principais de inércia. Portanto, como KB e KG são fixos, os eixos principais apresentam máximo e mínimo valor de GM.
	A preocupação do projetista recai sempre no valor mínimo de altura metacêntrica e, portanto, refere-se a uma inclinação com eixo coincidindo com o eixo principal, que apresenta menor momento de inércia.
	Quando a área de linha d'água apresenta planos de simetria demonstra-se facilmente que os eixos principais são os eixos de simetria. Isso estava tacitamente implicito no problema anterior e não foi preciso determinar os eixos principais. No problema a seguir, como a área do plano de linha d'água não apresenta simetrias, é necessário, antes de mais nada, determinar os eixos principais.
	Considere-se, então, a mesma semi-submersível do exercício anterior. Devido a uma razão qualquer uma das colunas perdeu área de flutuação. Deseja-se calcular os novos valores de GM, máximo e mínimo, nessa situação. Para simplificação da solução admita-se que essa perda de área não altere o seu calado nem sua posição angular.
Resolução.
	Em primeiro lugar deve-se determinar a nova posição do centro de área de flutuação. Isso, mais uma vez, é feito ponderando-se as áreas dos elementos que compõem a seção pela distância até um eixo de referência. Sejam os eixos de referência ortogonais passando pelo centro geométrico da área de linha d'água intacta, orientados longitudinal e transversalmente. As novas coordenadas do centro de área serão dadas por:
�
Figura 2.4 - Coordenadas do novo centro de área e eixos principais de inércia.
	O processo para cálculo dos eixos principais de inércia e dos novos momentos de inércia pode ser efetuado, com relativa facilidade, através do procedimento que se utiliza do círculo de Mohr. Primeiramente, é necessária a determinação dos momentos de inércia em relação a dois eixos quaisquer que passem pelo centro de área. Sejam x'y' os novos eixos, como mostrado na figura 2.4. Então:
�
�
	Agora, de acordo com o procedimento de Mohr, os pontos de coordenadas (Ix,Ixy),(Iy,-Ixy) são pontos diametralmente opostos de uma circunferência, cujos pontos de intersecção com o eixo x determinam o máximo e mínimo momentos de inércia da seção considerada.
�
Figura 2.5 - Círculo de Mohr
	O centro da circunferência e os pontos de intersecção com o eixo x podem ser calculados simplesmente utilizando-se propriedades geométricas e trigonométricas.
Centro= 
=(278.165,0)
Raio=
�106.327m4
Máximo I=
+
�384.492m4
Mínimo I=
-
�171.838m4
	Pode ser demonstrado também que os eixos principais de inércia são obtidos girando-se os eixos x' e y' de um ângulo SYMBOL 113 \f "Symbol"/2, onde SYMBOL 113 \f "Symbol" é indicado na figura acima, no mesmo sentido seguido no círculo de Mohr.
	Uma vez calculado os eixos e os momentos principais de inércia, a determinação dos valores máximo e mínimo de GM segue o procedimento ilustrado no exercício 1
	3) Considere agora uma semi-submersível de quatro colunas iguais e de diâmetro 12m. Os centros das colunas são dispostos nos vértices de um quadrado de aresta 80m. Pede-se calcular os momentos de inércia em relação a um sistema ortogonal de eixos obtidos pela rotação de 35SYMBOL 176 \f "Symbol" de um sistema fixo no centro de área de linha d'água e paralelo aos eixos de simetria.
	4)Considere uma semi-submersível composta por 2 pontões de seção retangular de 12m x 8m e comprimento de 90m, e 4 colunas cilindricas de diâmetro 10m, dispostas nos vértices de um quadrado de aresta 70m. Assumindo KG=20m determine o calado para o qual o GM é máximo. O calado mínimo deve ser considerado como aquele que imerge completamente os pontões.
Resolução:
	Seja a variável x aquela ilustrada abaixo:
�
	Deve-se escrever a expressão de GM em função da variável x, que está associada ao calado. Derivando essa expressão determina-se o ponto de máximo.
	Como a solução fornece um valor negativo, o GM máximo será dado para o calado mínimo, ou seja , o calado é de 8m.
�
B) Exercícios não resolvidos:
Considere uma navio de (= 320t, que flutua em água doce e tem a seguinte tabela de cotas de área de linha d’água:
Baliza
meia boca
0
0
½
1,2
1
2
2
3
3
3.5
4
3.8
5
3.8
6
3.3
7
2.9
8
2.4
9
2.0
9 1/2
1.5
10
0
Seu comprimento total é de 50 metros, KB=2m e KG=3m. Determine os valores de GM longitudinal e transversal.
Considerando a seção de um navio em forma de caixa, mostre que o raio metacêntrico é dado por 
�. Defina então o metacentro.
Por que não é usual utilizarmos o círculo de Mohr para cálculo dos eixos principais de inércia de um navio que flutua com parte da área de linha d’água avariada, da mesma maneira com que fazemos com plataformas semi-submersíveis?
Qual o procedimento para determinação das alturas metacênctricas de uma semi-sub. que perde parte da área de flutuação?
�PAGE �
�PAGE �21�
_880455917.unknown
_985166164.unknown
_985498007.xls
Gráfico2
		0.087		0.087
		0.175		0.174
		0.263		0.262
		0.352		0.349
		0.442		0.436
		0.534		0.523
		0.628		0.609
		0.723		0.696
		0.821		0.782
		0.922		0.868
		1.48		1.294
		2.2		1.71
		3.032		2.113
		4.2		2.5
		5.68		2.868
GZ
GMsen
Ângulo de Inclinação (o)GZ (m)
Comparação de GZ real e GM senq
Plan1
				GZ		GMsen
		1		0.087		0.087
		2		0.175		0.174
		3		0.263		0.262
		4		0.352		0.349
		5		0.442		0.436
		6		0.534		0.523
		7		0.628		0.609
		8		0.723		0.696
		9		0.821		0.782
		10		0.922		0.868
		15		1.48		1.294
		21.2		2.2		1.71
		25		3.032		2.113
		30		4.2		2.5
		35		5.68		2.868
Plan1
		
GZ
GMsen
Ângulo de Inclinação (o)
GZ (m)
Comparação de GZ real e GM senq
Plan2
		
Plan3
		
_985166318.unknown
_880456180.unknown
_895021157.doc
�����������������
q
Ix,Iy
Ixy
Imínimo
Imáximo
(Iy,-Ixy)
(Ix,Ixy)
_880456301.unknown
_887422231.unknown
_880455948.unknown
_858609612/K&P��
_858609594/sio (TM) Drawing
_857831354/��
_857828023/��
_857830540.vsd
_857829313/sio (TM) Drawing
_857829316/sio (TM) Drawing
_857829310/sio (TM) Drawing
_854716060/��
_854715662.unknown
_854715014.vsd