CALCULO II Roteiro_6

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Faculdade de Engenharia - Câmpus de Ilha Solteira
Departamento de Matemática
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
"Júlio de Mesquita Filho"
 
 
Cálculo Diferencial e Integral II: 2
º
 Semestre de 2013 - Mecânica 
Áreas e Integral Definida 
 
Objetivo: Relacionar área de uma região plana delimitada pelo gráfico de uma função com 
a integral definida e primitivas. 
 
1. Determinação da Área de Uma Figura Plana 
 
Problema 1: 
(1) Calcule a área de um retângulo de lados 2 cm e 3 cm. 
(2) Calcule a área do círculo de raio 2 cm. 
(3) Intuitivamente, como você interpreta os resultados obtidos? 
(4) Como se define e calcula a área de um polígono? 
(5) Como se define e calcula a área de uma região plana limitada por uma curva, como por 
exemplo, a área entre os gráficos de 
32 x g(x) e x f(x) 
? 
 
Observação: Se uma região R tem área, por exemplo A = 10 m
2
, uma vez fixada a unidade 
de área, o número absoluto que aparece na área será chamado de medida de área. Neste 
exemplo, a região R tem área de medida igual a 10. 
 
 A seguir, serão fixadas as unidades de comprimento e área. O objetivo principal será 
a determinação de medidas de áreas de figuras planas, limitada por uma curva. Por 
simplificação, inicialmente será considerada uma região tal que f(x)  0, x  [a, b]. 
 
Notação: A(R) indicará a medida da área da região R. 
 
 Considere a função 
2x f(x) 
 e a região R, delimitada pelo eixo ox, as retas x = 0, x 
= 3 e pelo gráfico de f(x) como mostrado a seguir. Nesse caso, f(x) será considerada no 
intervalo [0, 3]. 
 
 
Figura 1: A área de uma região plana 
R 
 
 
 
 
2 
Problema 2: Na figura 1, determine: 
(1) um retângulo R1 que tenha área de medida menor que A(R); 
(2) um retângulo 
'
1R
 que tenha área de medida maior que A(R); 
(3) O que você pode concluir sobre A(R) e as medidas das áreas dos retângulos R1 e '
1R
? 
 
Divida o intervalo [0, 3] em subintervalos de mesmo comprimento x = 1. Considere 
então, os intervalos I1 = [0, 1], I2 = [1, 2] e I3 = [2, 3]. 
 
Problema 3: 
(1) Determine retângulos 
321 R ,R ,R
 tais que a soma das medidas de suas áreas seja menor 
que A(R). 
(2) Determine retângulos 
321 R' ,R ,'R 
 tais que a soma das medidas de suas áreas seja maior 
que A(R). 
(3) O que você pode concluir sobre A(R) em relação as somas das medidas das áreas dos 
retângulos 
321 R ,R ,R
 e 
321 R' ,R ,'R 
? 
 
Divida, agora, o intervalo [0, 3] em n subintervalos de mesmo comprimento x. 
 
Problema 4: 
(1) Mostre que o comprimento desses subintervalos é 
n
3
x 
; 
(2) Mostre que a soma das medidas das áreas dos retângulos internos a R é Sn = 
2
2
n
1n3n2
2
9 
; 
(3) O que você pode concluir sobre A(R) em relação a Sn? 
(4) O que você pode concluir sobre A(R) em relação a Sn quando 0 x ? 
(5) Mostre que A(R) = 9. 
 
 Pode-se concluir, então, que: 
 
  x af lim )R(A
n
1i
i
n




, 
n
03
 x


 
sendo: 
        


n
1i
n21i x af af af x af  
 e 
 iaf
 
 
é o valor máximo ou mínimo de f(x) intervalo i. 
 
 No caso geral, dada uma função f(x) contínua e com 
  0 xf 
 para x no intervalo [a, 
b], então a medida da área da região delimitada pelo eixo 0x, pelas retas x = a, x = b e 
pelo gráfico de f(x) será obtida também desta forma. 
 
 
 
 
 
3 
Definição: Seja y = f(x) uma função contínua, não negativa em [a, b]. A área sob a curva 
y = f(x), de a até b, é definida por 
  x af lim )R(A
n
1i
i
0xáxm i

 



 sendo que para cada i = 1, 
..., n, ai é um ponto arbitrário do intervalo [xi-1, xi]. 
Observação: Prova-se que 
  x af lim )R(A
n
1i
i
0xáxm i

 



 = L > 0. 
 
2. A Integral Definida 
 Considere o intervalo [a, b], os pontos a = xo < x1 < x2 < ... < xn = b e os intervalos 
x1 = x1 – xo, x2 = x2 – x1, ..., xn = xn – xn-1, sendo que os intervalos xi podem assumir 
comprimentos distintos. 
 
Definição: Um conjunto de todos esses subintervalos será denominado uma partição de 
[a, b] e o comprimento do maior desses subintervalos, será dito norma da partição. 
 
Notação: Se P é uma partição, então 
P
 indicará a norma de P. 
 
Considere novamente a partição a = xo < x1 < x2 < ... < xn = b e escolha em cada 
subintervalo xi = xi – xi-1 escolha um ponto ai. Faça a soma: 
 
sn = 
       


n
1i
ii nn2211 xaf xaf xaf xaf  . 
 
Definição: A soma sn é chamada uma soma de Riemann, sendo 
ia
 um ponto qualquer do 
subintervalo 
ix
. 
 
Problema 5: 
(a) Dado o intervalo [1, 3] e xo = 1, x1 = 1.2, x2 = 2, x3 = 2.4 e x4 = 3, determinar uma 
soma de Riemann para 
  2x. xf 
 
(b) Calcular 
P
, onde P é a partição do item (a). 
(c) Qual a interpretação geométrica da soma de Riemann quando f(x) assume valores 
negativos? 
 
Figura 2: Soma de Riemann de uma região plana com valores negativos. 
R 
R 
 
 
 
 
4 
Observação: Esta soma de Riemann pode ser variada de infinitas maneiras, escolhendo-se 
outros pontos em cada subintervalo. Além disso, existem infinitas partições de [1, 3], cada 
uma dessas partições tendo infinitas somas de Riemann. 
 
Definição: Seja f uma função definida em [a, b]. Então, f será integrável em [a, b] se 
existir um número L que satisfaça a condição: para todo 
0 
, existe um 
0 
 tal que 
 


n
1i
ii Lx af 
 
, para toda partição P de [a, b] com 
 P 
. 
 
Nessas condições, denota-se 
  L x af lim
n
1i
ii
0 P




. 
 
Observação: Intuitivamente, diz-se que f é integrável em [a, b] se existir e for único o 
limite 
  ii
n
1i
0 P
x af lim 


, para todas as partições de [a, b] com normas pequenas e todas as 
somas que são obtidas, variando-se os pontos ai nas partições. Note-se, então, que se varia 
a partição e as somas em cada partição. 
 
Notação: 
 
a 
b 
dxxf L
 =
 


n
1i
ii
0 P
x af lim 
 integral definida de f de a até b, sendo: 
 a = limite inferior; 
 b = limite superior da integral; 
 f(x) = integrando. 
 
Teorema: Se f for contínua em [a, b] então f é integrável em [a, b]. 
 
Teorema: Se f tiver um número finito de pontos de descontinuidade em [a, b] então f é 
integrável em [a, b]. 
 
 Se 
  0 xf 
 é contínua em [a, b] então f(x) será integrável e foi visto como calcular a 
área da região R delimitada pelo gráfico de f(x), o eixo 0x e as retas x = a e x = b. 
Particularmente, calcula-se o 
  x af lim
n
1i
i
0x





, sendo 
n
a b
 x xi

 
 para todo i e 
ia e 0, P 
 é o mínimo ou o máximo de f em cada intervalo i. Então este limite é um caso 
particular da integral e então deve coincidir com 
 
a 
b 
dx xf 
. 
 
Teorema: Se 
  0 xh 
 em [a, b] e h é integrável, então 
  0 dx xh 
b 
a 

. 
 
Problema 6: Quanto você acha que vale 
 
a 
a 
dx xf 
se f é uma função contínua e não 
negativa em [a, b]? Por que? 
 
 
 
 
5 
Teorema: Se a função f for integrável nos intervalos fechados [a, b] e [c, d], 
então
      
b 
c 
c 
a 
b 
a 
dx xf dx xf dx xf 
. 
 
Problema 7: Calcule 

3 
1 
2dxx
. 
 
 Seja f(x) contínua em [a, b] e considere m o mínimo de f(x) e M o máximo de f(x) 
em [a, b], isto é, 
    M xf e m xf 
, para todo x  [a, b].Problema 8: 
(a) Mostre que para qualquer partição P de [a, b] tem-se que 
  


n
1i
ii x)a(f abm 
 e 
  


n
1i
ii x)a(f abM 
; 
(b) Conclua, então, que 
    abM x)f(a abm
n
1i
ii  

. 
3. Os Teoremas do Valor Médio e Fundamental do Cálculo 
 
Teorema do Valor médio Para Integrais: Se a função f for contínua em [a, b], existe um 
número C  [a, b], tal que 
   
b 
a 
abCf dx f(x) 
. 
 
Problema 9: Encontre o valor de x tal que 
 
3 
1 
dx xf
 = f(x) (3 – 1) se f(x) = x2. 
 
Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo: Seja f uma função contínua no intervalo 
fechado [a, b] e seja x  [a, b]. Se F é a função definida por 
  
x 
a 
dt)t(f xF
 então 
   xf xF 
. 
 
Segundo Teorema Fundamental do Cálculo: Seja f contínua em [a, b] e seja uma função 
tal que 
   ,xf xg 
 para todo x  [a, b]. Então 
     ag bg dttf
b 
a 

. 
 
Problema 10: O que se conclui do teorema anterior? 
 
Problema 11: Calcular as integrais dadas: 
(a) 

2 
0 
2 dx x 
 
(b) 
  
3 
1 
2 dx 3xx
 
(c) 
 

2 
1 
1x dx xe
2
 
(d) 

2 
1 
dx 
x
1
 
 
 
 
 
 
6 
(e) 
 2
 
0 
dx x sen
 
(f) 
dx 
x1
1
 
1 
0 2 
 
(g) 
  
4 
3 
dx 2x 
. 
 
Propriedades: 
(1) 
 
a 
b 
b 
a 
dx f(x) dx f(x) 
; 
(2) 
 
b 
a 
b 
a 
dx f(x) k dx f(x) k 
; 
(3) 
   
b 
a 
b 
a 
b 
a 
dx g(x) dx f(x) dx g(x)f(x) 
; 
(4) 
 
b 
a 
b 
a 
dx f(x) dx f(x) 
. 
 
Teorema: Considere f e g funções integráveis no intervalo [a, b]. 
(a) Se f(x)  0  x  [a, b] então A = 

b 
a 
dx f(x) 
; 
(b) Se 
   xg xf 
,  [a, b] então 
 
b 
a 
b 
a 
dx g(x) dx f(x)
. Além disso, A = 

b 
a 
dx f(x)
 - 

b 
a 
dx g(x)
 = 
 
b 
a 
dx g(x) - f(x)
 
 
Problema 12: Encontre a área da região no primeiro quadrante limitada pela curva 
5xxy 2 
, o eixo ox e a reta x = 2. Faça um esboço do gráfico de f(x). 
4. Aplicações da Integral Definida: O Cálculo de Áreas de Regiões no Plano. 
 
Caso I: Área da Região delimitada pelo gráfico de f(x) e pelas retas x = a e x = b e o eixo 
ox, sendo f contínua e f(x) ≥ 0 para todo x em [a, b]. 
 
Figura 3: A área de uma região plana. 
 
R 
y =f(x) 
 
 
 
 
7 
Nesse caso, 
A =    x 0af lim
n
1i
i
0x






 = 
  x af lim
n
1i
i
0x





= 

b 
a 
dx f(x)
. 
 
Exemplo: Determinar a área da região delimitada pelo gráfico de y = senx e o eixo ox de 0 
até . 
 
 
 
Problema 13: Encontre as áreas das regiões indicadas: 
(a) 
5xxy 2 
, o eixo ox e a reta x = 2. Faça um esboço do gráfico; 
(b) y = 4 - x2 e o eixo ox. Faça um esboço do gráfico. 
 
Observação: Se f(x) ≤ 0, então: 
 
A =    x af-0 lim
n
1i
i
0x





 = 
  x af- lim
n
1i
i
0x





= 

b 
a 
dx f(x)
. 
 
Problema 14: Encontre as áreas das regiões indicadas: 
(a) y = -4 + x2 e o eixo ox. Faça um esboço do gráfico; 
(b) y = senx e o eixo ox de 0 até 2. Faça um esboço do gráfico. O que se pode concluir 
nesse caso? 
 
Caso II: Área da Região delimitada pelos gráficos de f(x), g(x) e pelas retas x = a e x = b, 
sendo f, g contínuas e f(x) ≥ g(x) para todo x em [a, b]. 
 
 
Figura 4: A área de uma região plana delimitada por duas curvas. 
 
R 
y =f(x) f(x) 
y =g(x) 
f(x) 
R 
y =senx 
f(x) A =   0 dx senx
 = -cos + cos0 =2 u.a. 
 
 
 
 
8 
Nesse caso, 
A =    x )x(gaf lim
n
1i
i
0x

 



 = = 
 
b 
a 
dx g(x)-f(x)
. 
Observação: Note que mesmo que g(x) seja negativa, o resultado da área é análogo. De 
fato, basta observar a figura abaixo. 
 
Figura 5: A área de uma região plana delimitada por duas curvas. 
 
Problema 15: Encontre as áreas das regiões indicadas: 
(a) y = x2 e y = x + 2; 
(b) y = x2 – 1 e y = x + 1; 
(c) y – x = 6, y – x3 = 0 e 2y + x = 0; 
(d) 
    2x xg e x xf 
; 
(e) 
    4x x xg e x xf 22 
; 
(f) 
    3x x xg e 2x xf 22 
; 
(g) 
    .
2
 x 0 x, sen xg e x cos xf


 
 
R 
y =f(x) f(x) 
y =g(x) 
f(x)