CALCULO II Roteiro_9

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unesp
Faculdade de Engenharia - Câmpus de Ilha Solteira
Departamento de Matemática
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
"Júlio de Mesquita Filho"
 
 
Cálculo Diferencial e Integral II: 2
O 
Semestre de 2013 - Mecânica 
Roteiro 9: Fórmula de Taylor 
 
 Objetivo: Efetuar a aproximação de uma função usando a fórmula de Taylor. 
 
1. Aproximação local de uma função diferenciável por uma função afim. 
 
Seja f uma função derivável em xo e seja T dada por: 
 
)xx)(x(f)x(f)x(T ooo 
. 
O gráfico de T é a reta tangente ao gráfico de f em (xo, f(xo)). 
 
Figura 1: O gráfico da função T. 
 
Para cada x do domínio de f, seja E(x) o erro que se comete na aproximação de f(x) por 
T(x). Então, 
 
)xx)(x(f)x(f)x(f ooo 
 + E(x), x  domf. 
 
Para x  0, tem-se que: 
)x(f
xx
)x(f)x(f
xx
)x(E
o
o
o
o





 e 
 
0
xx
)x(E
lim
o
xx o


. 
 
Assim, quando x  xo, o erro E(x) tende a zero mais rapidamente que x - xo. 
xo x 
f(xo) 
T(x) 
f(x) 
E(x) 
T(x) 
 
 
 
 
2 
Pode-se provar que a função 
 
)xx)(x(f)x(f)x(T ooo 
 
 
é a única função afim que goza da propriedade de o erro E(x) tender a zero mais 
rapidamente que x - xo. Daí segue que, se f for derivável em xo, 
 
)xx)(x(f)x(f)x(T ooo 
 
 
é a melhor função afim que melhor aproxima localmente a f em volta de xo.Como T é 
uma função polinomial de grau no máximo 1, segue que T é o polinômio de grau no 
máximo 1 que melhor aproxima localmente a f em volta de xo. 
Note que: 
(1) f(xo) = T(xo); 
(2) 
)x(T)x(f oo 
. 
 
Definição: O polinômio 
)xx)(x(f)x(f)x(P ooo 
 é dito polinômio de Taylor de 
ordem 1 de f em volta de xo. 
 
Teorema: Seja f derivável até a 2
a
 ordem no intervalo I e sejam x, xo  I. Então, existe pelo 
menos um número c no intervalo (x, xo) tal que: 
f(x)= f(xo)+
)x(x
1!
)(x f
o
o 
 +
2
o )x(x
2!
(c) f

 . 
 
Note pelo teorema, que existe um número c no intervalo (x, xo) tal que: 
 
f(x)= P(x) + E(x). 
 
Exemplo: Seja f derivável até a 2
a
 ordem no intervalo I e seja xo  I. Suponha que existe 
M > 0 tal que 
M)x(f 
 para todo x I. Prove que para todo x em I, 
2
oxx
2
M
)x(P)x(f 
. 
 
Resolução: 
Pelo teorema, existe c no intervalo (x, xo) tal que: 
 
)x(P)x(f 
 = 
2
o )x(x
2!
(c) f

 = 
2
o )x(x(c) f
2
1

 ≤ 
2
oxx
2
M

. 
 
Observação: A aproximação feita anteriormente pode ser feita considerando-se a função f 
derivável até a ordem n no intervalo I. 
E(x) 
 
 
 
 
3 
Definição: Um polinômio de grau n é uma função da forma f(x) = an x
n
 + an-1 x
n-1
 + ......+ 
a1 x +a0, sendo ai é um número real, an  0, e os expoentes são inteiros não negativos. 
 
Os polinômios são as funções mais simples para o cálculo, no sentido que seus 
valores podem ser obtidos empregando-se apenas adições e multiplicações de números 
reais. Para o calculo de valores de funções logarítmicas, exponenciais, trigonométricas, e 
outras funções transcendentes, são necessárias operações mais complicadas. 
Às vezes, é possível a obtenção de aproximações dos valores por meio de 
polinômios. Por exemplo, como 
1
x
senx
lim
0x


, 
 
se x é pequeno, sen x  x, isto é, o valor da função seno e quase o mesmo que o valor do 
polinômio x. Diz-se que sen x pode ser aproximado pelo polinômio x (desde que x esteja 
próximo de 0). 
Existem vários métodos de aproximação de uma dada função por polinômios. Um 
dos métodos mais usado é aquele que envolve a fórmula de Taylor (devido ao Matemático 
Brook Taylor 1685-1731). 
 
Definição: Seja f derivável até a ordem n no intervalo I e seja xo  I. O polinômio 
P(x) = f(xo) + 
)x(x
1!
)(x f
o
o 
 + 
2
o
o )x(x
2!
)(x f

 + ...+ 
n
o
o
(n)
)x-x(
n!
)(xf 
é o polinômio de Taylor, de ordem n, de f em volta de xo. Se xo = 0, o polinômio de 
Taylor é dito polinômio de Mac-Laurin, de orden n, de f. 
 
 Prova-se que o polinômio de Taylor, de ordem n, de f em volta de xo, é o único 
polinômio de grau no máximo n que aproxima localmente f em volta de xo, de modo que o 
erro E(x) tenda a zero mais rapidamente que (x - xo)
n
, quando x  xo. 
 
Teorema: Seja f uma função tal que f e suas n primeiras derivadas sejam contínuas no 
intervalo fechado [a, b]. Além disso, f
(n+1)
(x) exista para todo x no intervalo aberto (a, b). 
Então, existe um número c no intervalo (a, b) tal que: 
 
f(x)= f(xo) + 
)x(x
1!
)(x f
o
o 
 + 
2
o
o )x(x
2!
)(x f

 + ...+ 
n
o
o
(n)
)x-x(
n!
)(xf + 
 
1n
o
1)(n
)x-x(
!1n
(c)f 


 
Observações: 
(a) A função f(x) = f(xo) + 
)x(x
1!
)(x f
o
o 
 + 
2
o
o )x(x
2!
)(x f

 + ...+ n
o
o
(n)
)x-x(
n!
)(xf 
+ 
 
1n
o
1)(n
)x-x(
!1n
(c)f 


, dada pelo teorema anterior é dita fórmula de Taylor de f(x) 
em torno do ponto xo; 
 
 
 
 
4 
(b) Quando n = 0 na fórmula de Taylor, tem-se que: 
 
f(x)= f(xo) + 
)x(x
1!
(c) f
o
 , ou seja, 
o
o
xx
)f(xf(x)
(c)f



. Este é o Teorema do Valor 
Médio. 
(c) Podemos escrever a Fórmula de Taylor como f(x) = Pn(x) + E(x) sendo: 
 
P(x) = f(xo) + 
)x(x
1!
)(x f
o
o 
 + 
2
o
o )x(x
2!
)(x f

 + ...+ 
n
o
o
(n)
)x-x(
n!
)(xf , 
E(x) = 
 
1n
o
1)(n
)x-x(
!1n
(c)f 


. 
E(x) é dito o Resto e também Forma de Lagrange do Resto. 
 
 
Exemplo: Determine o polinômio de Taylor de ordem 4, de f(x) = e
x
 em volta de x = 0. 
 
Problema 1: 
(a) Determine o polinômio de Taylor, de ordem 1, de f(x) = lnx em volta de xo = 1; 
(b) Avalie ln1,003. 
 
Problema 2: Determine os polinômios de Taylor de ordem 1 e 2, de f(x) = e
x
 em volta de x 
= 0. Esboce os gráficos de f e dos polinômios. 
 
Problema 3: Encontre o polinômio de Taylor de grau n de f(x) = e
x
 em torno de xo = 0. 
 
Problema 4: 
(a) Encontre o polinômio de Taylor de terceiro grau da função cos-seno em 
4
 e a forma 
de Lagrange para o resto; 
(b) Calcular um Valor aproximado de cos47 e determine a precisão do resultado; 
(c) Use um polinômio de Taylor para encontrar um valor de 
e
 com uma precisão de 
quatro decimais . 
 
Problema 5: Seja 
x1
1
)x(f


. Mostre que P(x) = 1 + x + x
2
 é o polinômio de Taylor, de 
ordem 2, de f em torno de xo = 0. Esboce o gráfico de f e dos polinômios.