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Prof. Eduardo Fernandes Sequências ou Sucessões Numéricas Parte 1 Sequências ou Sucessões Numéricas Uma sequência infinita (ou simplesmente) uma sequência é uma sucessão interminável de números, chamados termos. ,,,,,, 4321 naaaaa Em que n é o índice da sequência e é o n-ésimo termo da sequência ou seu termo geral. , 4 1 , 3 1 , 2 1 ,1,8,6,4,2 ,1,1,1,1,4,3,2,1:. Ex na Cada uma destas sequências tem um padrão definido, o que torna fácil gerar termos adicionais se admitirmos que estes termos seguem o mesmo padrão que os termos dispostos. No entanto, tais padrões podem ser ilusórios, assim sendo é melhor ter uma regra ou uma fórmula para gerar os termos. Uma forma de fazer isso é procurar por uma função que relacione cada termo da sequência ao número de sua posição. .2 fórmula pela dado é sequência desta termoésimo-n o é; isto posição; sua de número do dobro o é termocada ,8,6,4,2:. n Ex Exemplo 1: Em cada parte, determine o termo geral da sequência: , 8 1 , 4 1 , 2 1 ,1)( 5 4 , 4 3 , 3 2 , 2 1 )( , 16 1 , 8 1 , 4 1 , 2 1 )( 5 4 , 4 3 , 3 2 , 2 1 )( dc ba , 16 1 , 8 1 , 4 1 , 2 1 )( 5 4 , 4 3 , 3 2 , 2 1 )( ba 1 3 2 1 1 1 : 5 4 :º3 3 2 :º2 2 1 :º1 n n n n n a n n atermoésimon atermo atermo atermo 1 3 2 1 2 1 2 1 : 8 1 :º3 4 1 :º2 2 1 :º1 n nn nn a atermoésimon atermo atermo atermo , 8 1 , 4 1 , 2 1 ,1)( 5 4 , 4 3 , 3 2 , 2 1 )( dc 1 1 1 4 3 2 1 1 1 1 1: 5 4 :º4 4 3 :º3 3 2 :º2 2 1 :º1 n n n n n n n a n n atermoésimon atermo atermo atermo atermo 0 1 1 1 3 2 1 2 1 2 1 2 1 : 4 1 :º3 2 1 :º2 1:º1 n nn n nn nn a oua atermoésimon atermo atermo atermo Definição: uma sequência numérica infinita é uma função, cujo domínio é o conjunto dos números naturais, que associa: ,,,,,, 321 naaaa nan a a a 3 2 1 3 2 1 nanfnf )(: Notações: 11 nnnn nnnn aa aaa ,,,,, 321 naaaa na Questionamento: Uma vez que sequências podem ser definidas como funções, como definimos o limite de uma sequência? Quando ele existe? Vamos ver o que acontece quando associamos uma sequência a uma função e desta forma vamos analisar o gráfico desta função. Por exemplo, o gráfico da sequência é o gráfico da equação ,3,2,1, 1 n n y 1 1 n n n a O gráfico da sequência é o gráfico da equação ,3,2,1, 1 1 1 n n y n 1 1 1 1 n n n n a O gráfico da sequência é o gráfico da equação ,3,2,1, nny 1 nn na Convergência e Divergência Exemplo 2: Mostre que (a) converge para 0. 1 1 n n n a LaNn n0 n 11 0 1 0 n nn a n Solução: Dado , queremos provar que existe um N natural tal que Mas, Isso quer dizer que, dado qualquer existe tal que como queríamos. 0 1 N .0 1 naNn 0 1 lim nn Exemplo 2: Mostre que (b) converge para K. 1 nn ka LaNn n Solução: Dado , queremos provar que existe um N natural tal que 0 n 0kkka n Mas, Assim, N é qualquer valor natural. Logo, dado existe tal que como queríamos. 0 N . kaNn nkk n lim
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