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Aula Sequências Parte 1,2,3

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Prof. Eduardo Fernandes 
Sequências ou Sucessões 
Numéricas 
Parte 1 
 
Sequências ou Sucessões Numéricas 
Uma sequência infinita (ou simplesmente) 
uma sequência é uma sucessão interminável 
de números, chamados termos. 
 ,,,,,, 4321 naaaaa
Em que n é o índice da sequência e é o 
n-ésimo termo da sequência ou seu termo geral. 


,
4
1
,
3
1
,
2
1
,1,8,6,4,2
,1,1,1,1,4,3,2,1:. Ex
na
 Cada uma destas sequências tem um 
padrão definido, o que torna fácil gerar 
termos adicionais se admitirmos que estes 
termos seguem o mesmo padrão que os termos 
dispostos. 
 No entanto, tais padrões podem ser 
ilusórios, assim sendo é melhor ter uma 
regra ou uma fórmula para gerar os termos. 
 Uma forma de fazer isso é procurar 
por uma função que relacione cada termo da 
sequência ao número de sua posição. 
.2 fórmula pela dado é sequência desta
 termoésimo-n o é; isto posição; sua de número
do dobro o é termocada ,8,6,4,2:.
n
Ex 
Exemplo 1: Em cada parte, determine o 
termo geral da sequência: 


,
8
1
,
4
1
,
2
1
,1)(
5
4
,
4
3
,
3
2
,
2
1
)(
,
16
1
,
8
1
,
4
1
,
2
1
)(
5
4
,
4
3
,
3
2
,
2
1
)(
dc
ba

 ,
16
1
,
8
1
,
4
1
,
2
1
)(
5
4
,
4
3
,
3
2
,
2
1
)( ba
 
1
3
2
1
1
1
:
5
4
:º3
3
2
:º2
2
1
:º1














n
n
n
n
n
a
n
n
atermoésimon
atermo
atermo
atermo
 
1
3
2
1
2
1
2
1
:
8
1
:º3
4
1
:º2
2
1
:º1












n
nn
nn
a
atermoésimon
atermo
atermo
atermo
 ,
8
1
,
4
1
,
2
1
,1)(
5
4
,
4
3
,
3
2
,
2
1
)( dc 
 
   
1
1
1
4
3
2
1
1
1
1
1:
5
4
:º4
4
3
:º3
3
2
:º2
2
1
:º1

















n
n
n
n
n
n
n
a
n
n
atermoésimon
atermo
atermo
atermo
atermo
 
 
0
1
1
1
3
2
1
2
1
2
1
2
1
:
4
1
:º3
2
1
:º2
1:º1






















n
nn
n
nn
nn
a
oua
atermoésimon
atermo
atermo
atermo
Definição: 
uma sequência numérica infinita 
 
 
é uma função, cujo domínio é o conjunto 
dos números naturais, que associa: 
 ,,,,,, 321 naaaa
nan
a
a
a





3
2
1
3
2
1
nanfnf )(:  Notações: 
   
   


11 nnnn
nnnn
aa
aaa
  ,,,,, 321 naaaa na
Questionamento: 
 
Uma vez que sequências podem ser definidas 
como funções, como definimos o limite de 
uma sequência? Quando ele existe? 
 
 
Vamos ver o que acontece quando associamos 
uma sequência a uma função e desta forma 
vamos analisar o gráfico desta função. 
Por exemplo, o gráfico da sequência 
 
 
é o gráfico da equação 
,3,2,1,
1
 n
n
y
 
1
1








n
n
n
a
O gráfico da sequência 
 
 
é o gráfico da equação 
  ,3,2,1,
1
1
1


n
n
y
n
   
1
1 1
1









n
n
n
n
a
O gráfico da sequência 
 
 
é o gráfico da equação 
,3,2,1,  nny
   
1 nn na
Convergência e Divergência 
Exemplo 2: Mostre que 
 
(a) converge para 0. 
 
1
1








n
n
n
a
 LaNn n0 n 
11
0
1
0  n
nn
a n
Solução: 
Dado , queremos provar que existe um N 
natural tal que 
Mas, 
Isso quer dizer que, dado qualquer 
 
existe tal que 
 
como queríamos. 
0 
1
N .0
1   naNn
0
1
lim 
 nn
Exemplo 2: Mostre que 
 
(b) converge para K. 
    1 nn ka  LaNn n
Solução: 
Dado , queremos provar que existe um N 
natural tal que 
0
n  0kkka n
Mas, 
Assim, N é qualquer valor natural. Logo, dado 
 
existe tal que 
 
como queríamos. 
0 N
. kaNn nkk
n


lim

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