Aplicação da Álgebra Linear na Engenharia Mecânica

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INSTITUTO FEDERAL CATARINENSE
A´lgebra em projetos de estruturas
meta´licas
Luzerna SC, Brasil
2015
INSTITUTO FEDERAL CATARINENSE
A´lgebra em projetos de estruturas
meta´licas
Jonas Ciello, Josue´ Rampon, Maicon Zago,
Michael Ferreira e Robson Zamboni
Semina´rio sobre utilizac¸o˜es da a´lgebra
dentro da engenharia mecaˆnica
Luzerna SC, Brasil
2015
Resumo
No nosso cotidiano, presenciamos diversas aplicac¸o˜es da a´lgebra que muitas
vezes passa por despercebido. Pore´m, uma aplicac¸a˜o que na˜o podemos fazer
vista grossa e muito menos deixar de lados os ca´lculos, e´ a aplicac¸a˜o em es-
truturas meta´licas. Hoje na engenharia mecaˆnica essa aplicac¸a˜o torna-se a
mais visada pelos formados, devido a alta demanda de execuc¸a˜o de servic¸o e
consequentemente a remunerac¸a˜o que se torna alta, devido a` complexidade
de certas estruturas e ma˜o de obra aplicada, incluindo trabalho manual unido
com um bom maquina´rio, para realizar uma obra com sucesso. Tendo em
vista a aplicac¸a˜o do nosso trabalho, vemos que nossa estrutura vai muito
ale´m apenas da a´lgebra. Na construc¸a˜o de estruturas meta´licas deve-se levar
muito em conta a aplicac¸a˜o da f´ısica, devido a forc¸as que ali sera˜o aplica-
das, forc¸as que devem estar em equil´ıbrio e a que quantidade de peso essa
estrutura podera´ suportar. Para os amantes da matema´tica, em espec´ıfico
da a´lgebra, a soluc¸a˜o pode estar aqui. Hoje, a construc¸a˜o de estruturas pode
ser totalmente resolvida e calculada apenas com a teoria da a´lgebra. Conse-
guindo o escalonamento de matrizes, sua invers´ıvel e aplicando multiplicac¸a˜o
entre elas pode-se deixar de lado a f´ısica pura, tendo sucesso com a realizac¸a˜o
de ca´lculos atrave´s de matrizes. Tendo como suas principais vantagens maior
a´rea u´til, compatibilidade com outros materiais, menor prazo de entrega da
obra, garantia de qualidade, reciclabilidade, preservac¸a˜o do meio ambiente,
1
precisa˜o construtiva entre outras. Quanto ao enfoque teo´rico sera˜o enfati-
zadas questo˜es em relac¸a˜o a aplicac¸a˜o da a´lgebra sobre as vantagens que as
estruturas podem trazer em construc¸o˜es meta´licas.
PALAVRAS CHAVES: Estruturas - Matrizes - Equil´ıbrio - F´ısica
Suma´rio
1 A´lgebra e Sistemas lineares 6
1.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Matriz Linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Matriz Coluna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Matriz Quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.6 Matriz nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.7 Matriz Identidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.8 Matriz Transposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.9 Matriz Sime´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.10 Matriz Invers´ıvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.11 Propriedades alge´bricas das matrizes . . . . . . . . . . . . . . 9
1.12 Multiplicac¸a˜o de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.13 Determinante de uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.14 Operac¸o˜es elementares sobre as matrizes . . . . . . . . . . . . 10
1.15 Escalonamento de uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 F´ısica envolvida nos ca´lculos 12
2.1 Equil´ıbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Equil´ıbrio esta´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3
2.3 Equil´ıbrio dinaˆmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 Torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.5 Forc¸a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.6 Forc¸a Gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.7 Forc¸a Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Desenvolvimento 16
4 Conclusa˜o 23
5 Refereˆncias bibliogra´ficas 25
4
Introduc¸a˜o
Demonstrar atrave´s de estudos detalhados sobre a´lgebra linear aplicac¸o˜es
dentro da a´rea de engenharia mecaˆnica. Onde iremos mostrar a utilizac¸a˜o
de matrizes para projetar uma estrutura que sera´ a base de um guindaste
utilizado para erguer uma carga. Atrave´s das matrizes iremos descobrir se a
estrutura suporta a carga a ser suspensa, sendo que o ca´lculo sera´ com base
na forc¸a exercida em cada no´ da estrutura meta´lica. Se ela na˜o suportar a
carga, deve-se fazer mudanc¸as nos aˆngulos para aumentar a resisteˆncia ao
torque exercido pela carga.
5
Cap´ıtulo 1
A´lgebra e Sistemas lineares
1.1 Definic¸a˜o
A a´lgebra linear e´ o ramo da matema´tica que estuda os espac¸os vetoriais,
ou espac¸os lineares, ale´m de func¸o˜es lineares que associam vetores entre dois
espac¸os vetoriais. Espac¸os vetoriais sa˜o uma generalizac¸a˜o do espac¸o <3 co-
tidiano e de senso comum onde vivemos, com dimenso˜es tais como largura,
altura e profundidade.
1.2 Matrizes
Uma matriz mxn e´ uma tabela na qual os elementos sa˜o dispostos em
linha (m) e colunas (n). Temos as matrizes quadradas e as retangulares.
Uma matriz e´ representada por:
6

a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
:
am1 am2 ... amn

1.3 Matriz Linha
E´ uma matriz que so´ possui uma linha, a matriz compreende a ordem
A1xn. Por exemplo:
[
a11 a12 ... a1n
]
1.4 Matriz Coluna
E´ uma matriz que so´ possui uma coluna, a matriz compreende a ordem
Bmx1. Por exemplo:
a11
a21
a31
:
am1

1.5 Matriz Quadrada
Chamamos matriz quadrada de ordem n uma matriz em que o nu´mero de
linhas e´ igual ao de colunas. Exemplo: a11 a12
a21 a22

7
1.6 Matriz nula
E´ uma matriz quadrada onde todos os seus elementos sa˜o iguais a zero.
Exemplo: 0 0
0 0

1.7 Matriz Identidade
E´ uma matriz diagonal onde os elementos da diagonal principal sa˜o iguais
a unidade, ou seja:
1 0 0
0 1 0
0 0 1

1.8 Matriz Transposta
A transposta da matriz A mxn e´ denotada por At, onde as linhas da matriz
A va˜o se transformar nas colunas da At.
1.9 Matriz Sime´trica
Dizemos que uma matriz e´ sime´trica quando:
aij = aj i para todo i, j
8
1.10 Matriz Invers´ıvel
Uma matriz e´ chamada de invers´ıvel ou na˜o singular se e somente se seu
determinante e´ diferente de zero, por isso uma matriz so´ pode ser invers´ıvel
se for uma matriz quadrada com determinante diferente de zero e e´ repre-
sentada pelo nu´mero -1 sobrescrito ao nome da matriz.
1.11 Propriedades alge´bricas das matrizes
• A+B = B+A
• A+(B+C)=(A+B)+C
• A+0 = 0
• A-A = 0
Multiplicac¸a˜o por escalar:
Se Am× ne´ uma matriz e k e´ um nu´mero (um escalar) enta˜o:
(k×A)ij = kAij.
1.12 Multiplicac¸a˜o de matrizes
Dadas as matrizes Am× n e´ Bn× p(notando portanto que B tem um
nu´mero de linhas igual ao nu´mero de colunas de A) definimos o produto de
A por B da seguinte forma:
9
Isto significa que o elemento da i-e´sima linha e j-e´sima coluna e´ obtido
pela soma dos produtos de elementos da i-e´sima linha de A com a j-e´sima
coluna de B. O produto e´ a matriz AB de dimenso˜es n× p. Alguns
exemplos servira˜o para esclarecer este procedimento. No entanto e´ u´til
compreender a operac¸a˜o indicada simbolicamente pelo somato´rio acima.
1.13 Determinante de uma matriz
E´ dado pelo valor nume´rico que resulta da subtrac¸a˜o entre a somato´ria do
produto dos elementos da diagonal principal e do somato´rio do produto da
diagonal secunda´ria. Para o ca´lculo de determinantes de matrizes
quadradas de ordem menor ou igual a 3 , temos algumas regras pra´ticas
para realizar estesca´lculos. Entretanto, a matriz precisa ser quadrada e de
ordem maior ou igual a treˆs.
1.14 Operac¸o˜es elementares sobre as
matrizes
• Troca de linhas dentro da mesma matriz;
• Multiplicac¸a˜o de uma linha por um nu´mero diferente de 0;
• Substituic¸a˜o de uma linha pela sua soma com outra linha da matriz;
• Substituic¸a˜o de uma linha pela sua soma com um mu´ltiplo doutra linha da
matriz;
1.15 Escalonamento de uma matriz
Uma matriz e´ escalonada (ou reduzida a` forma escada) se o primeiro
10
elemento de cada linha e´ 1. Cada coluna que possui um elemento guia de
alguma das linhas conte´m todos os demais elementos nulos. O guia de cada
linha ocorre em colunas progressivas, linhas nulas ocorrem abaixo de todas
as demais.
11
Cap´ıtulo 2
F´ısica envolvida nos ca´lculos
2.1 Equil´ıbrio
Um determinado corpo esta´ em equil´ıbrio quando sua somato´ria de todas
as forc¸as que atuam sobre ele for nula, ou seja, igual a zero. De acordo com a
Primeira Lei de Newton, quando a resultante das forc¸as que atuam sobre um
corpo e´ nula, o corpo permanece em seu estado de repouso ou em movimento
retil´ıneo uniforme. Portanto, um objeto em equil´ıbrio pode estar em repouso
ou em movimento retil´ıneo uniforme. O equil´ıbrio pode ser classificado como:
• Equil´ıbrio esta´tico: Quando o objeto esta´ em repouso;
• Equil´ıbrio dinaˆmico: Quando o corpo esta´ em movimento retil´ıneo
uniforme.
2.2 Equil´ıbrio esta´tico
Sa˜o forc¸as que atuam sobre um determinado corpo que esta´ em repouso
de modo que a resultante dessas forc¸as tenha mo´dulo igual a zero. Ou seja,
12
qualquer corpo estara´ parado em relac¸a˜o a um ponto referencial se, somente
se, as resultantes das forc¸as aplicadas sobre ele forem nulas.
2.3 Equil´ıbrio dinaˆmico
Estado em que um determinado corpo que se encontra em movimento
retil´ıneo e uniforme. Com esta´ situac¸a˜o a resultante de todas as forc¸as que
atuam sobre este corpo sera´ igual a zero.
2.4 Torque
E´ uma grandeza f´ısica que inclui um mo´dulo, uma direc¸a˜o e o sentido da
forc¸a aplicada e tambe´m a distaˆncia do ponto de aplicac¸a˜o ate´ o eixo. Essa
grandeza que governa o movimento de rotac¸a˜o de um corpo extenso do mesmo
modo que a forc¸a e´ a grandeza que governa o movimento de translac¸a˜o ou
seja torque nada mais e´ que uma ac¸a˜o de girar ou torcer um corpo em torno
de um eixo de rotac¸a˜o.
2.5 Forc¸a
Chama-se forc¸a um agente capaz de modificar o estado de repouso ou de
movimento de um determinado corpo. Um exemplo de forc¸a que podemos dar
e´ nosso cotidiano, parando para perceber que forc¸a esta´ presente em va´rias
ac¸o˜es do nosso dia a dia, erguendo uma caixa, empurrando uma cadeira, ou
ate´ mesmo tirando um caderno da mochila. A forc¸a e´ uma grandeza vetorial
e possu´ı va´rias caracter´ısticas, como:
• Mo´dulo que e´ a intensidade da forc¸a aplicada;
13
• Direc¸a˜o que e´ reta ao longo da qual ela atua;
• Sentido e´ dizer para que lado da reta vista o esforc¸o foi feito: esquerda,
direita, norte, sul, leste, oeste.
Dentro da forc¸a existe a parte que estuda o movimento dos corpos e seus
motivos, no qual chamamos de dinaˆmica, em relac¸a˜o as forc¸as que atuam
sobre um corpo em repouso, chamamos de esta´tica. A Esta´tica e´ uma parte
da F´ısica que estudam sistemas sob a atuac¸a˜o das forc¸as que se equilibram,
vemos que a partir da segunda Lei de Newton, tal sistema possui acelerac¸a˜o
nula. E em relac¸a˜o a primeira Lei de Newton, todas as partes desses sistemas
esta˜o em equil´ıbrio.
2.6 Forc¸a Gravitacional
Com uma tentativa de entender o movimento planeta´rio, Isaac Newton se
baseou no modelo helioceˆntrico de Nicolau Cope´rnico. Observando o mo-
vimento dos planetas Newton apresentou um motivo, no qual o movimento
dos planetas era baseado em uma atrac¸a˜o ente os corpos. Ele afirmava que
o sol atraia os planetas, a terra atraia a lua e a terra atraia todos os corpos
em volta dela. Apo´s analisar estes sentidos numa tentativa de resumir estes
conceitos Newton os chamou de Forc¸a Gravitacional.
2.7 Forc¸a Normal
Definimos Forc¸a Normal sendo a forc¸a que se aplica ao corpo em uma
determinada superf´ıcie com a qual ele esta´ mantido em contato. Lembrando
tambe´m que forc¸a normal na˜o surge apenas do contato com superf´ıcies planas
14
e horizontais, em qualquer situac¸a˜o em que um determinado corpo tocar e
se juntar a um outro surgira´ uma reac¸a˜o de forc¸a normal. Em f´ısica para
situac¸o˜es que formam 90◦ entre duas direc¸o˜es, utilizamos o termo normal,
da´ı que surge o fato desta reac¸a˜o ser perpendicular a` superf´ıcie de apoio. No
corpo, a forc¸a normal tera´ algumas caracter´ısticas, como:
• Mo´dulo: sera´ igual ao da compressa˜o que a superf´ıcie recebe;
• Direc¸a˜o: sera´ perpendicular a` superf´ıcie de apoio;
• Sentido: do apoio para o corpo.
15
Cap´ıtulo 3
Desenvolvimento
Na engenharia e´ normal serem elaborados projetos de estruturas meta´licas
onde ha´ diversos tipos e aplicac¸o˜es, como exemplo uma torre de energia
ele´trica, guindastes, caixas d’agua, estruturas de galpo˜es e telhados. Estas
estruturas sa˜o compostas por vigas meta´licas que necessitam resolver um
sistema de equac¸o˜es lineares, quanto mais aˆngulos e forc¸as agem sobre a
estrutura mais complexo sera´ o ca´lculo.
Utilizando as matrizes podemos descobrir se o sistema vai permanecer em
equil´ıbrio onde a matriz dos coeficientes deve ser invers´ıvel, isto e´, o deter-
minante diferente de zero para que a estrutura na˜o seja danificada. Como
exemplo vamos utilizar uma estrutura onde tera´ que ic¸ar uma determinada
carga possuindo uma viga horizontal:
16
Quando obtemos o valor de massa da carga e o comprimento do brac¸o do
guindaste podemos calcular as forc¸as que agem promovendo torque. Para
que o sistema se mantenha em equil´ıbrio deve satisfazer duas condic¸o˜es, a
somato´ria de forc¸as no eixo X, Y e do torque tambe´m deve ser nula. Devemos
enta˜o calcular a forc¸a em cada no´. O primeiro se liga com os no´s 2,3 e 4, o
terceiro com os no´s 1,2,5 e 6 assim por diante.
A somato´ria das forc¸as deve ser obtida retirando a componente X e Y de
cada no´ sendo a forc¸a em X resultante do produto da massa pela gravidade
e o cosseno do aˆngulo, e a forc¸a em Y o produto da gravidade, massa e do
seno do aˆngulo.
fx= m g cosθ
fy= m g senθ
fx componente x da forc¸a
fy componente y da forc¸a
m massa
g gravidade
Como e´ poss´ıvel observar alguns componentes sera˜o simplificados como o
seno de zero e o cosseno de zero. Montamos enta˜o o conjunto das equac¸o˜es
17
que agem sobre todos os no´s. Por exemplo o no´ 1 e´ afetado pelo 2,3 e 4
enta˜o a somato´ria das forc¸as nesse ponto sa˜o:
f12cosθ12 + f13cosθ13 + f14cosθ14 = F1
f12sinθ12 + f13sinθ13 + f14sinθ14 = 0
E´ importante saber que a matriz deve constituir somente os dados
referente dos pontos 1 ate´ o 4, pois os pontos 5 e 6 esta˜o fixos no cha˜o.
Seguindo a mesma lo´gica obtivemos os seguintes conjuntos de equac¸o˜es
para todos os pontos:
f12cosθ12 + f13cosθ13 + f14cosθ14 = F1
f12sinθ12 + f13sinθ13 + f14sinθ14 = 0
f21cosθ21 + f23cosθ23 + f24cosθ24 = F2
f21sinθ21 + f23sinθ23 + f24sinθ24 = 0
f31cosθ31 + f35cosθ35 + f32cosθ32 + f36cosθ36 = 0
f31sinθ31 + f35sinθ35 + f3 − 2sinθ32 + f36sinθ36 = 0
f41cosθ41 + f45cosθ45 + f42cosθ42 + f46cosθ46 = 0
f 41sinθ41 + f45sinθ45 + f42sinθ42 + f46sinθ46 = 0
A equac¸a˜o a seguir se refere a base da estrutura, ponto fundamental para
o sistema:
f35sinθ35 + f46sinθ46 + f54sinθ54 + f63sinθ63 = 0
Como na˜o temos as forc¸as obtidas em cada ponto constru´ımos a matriz
somente com os coeficientes seno e cosseno, levando em considerac¸a˜o esta
propriedade fij = −fji, algumas forc¸as ficam dessaforma F12 = −F21
assim por diante. A matriz coluna de inco´gnitas das forc¸as em cada no´ fica
assim:
18
f=

f12
f13
f14
f23
f24
f35
f36
f45
f46

A matriz coluna das forc¸as resultantes:
F=

F1
0
F2
0
0
0
0
0
0

A matriz dos coeficientes seno e cosseno sa˜o organizados na forma de
colunas onde os valores de seno e cosseno sa˜o dispostos embaixo da forc¸a
correspondente:
19
[
f12 f13 f14 f23 f24 f35 f36 f45 f46
]
A matriz dos coeficientes completa fica assim:
ω

cosθ12 cos13 cosθ14 0 0 0 0 0 0
senθ12 sen13 senθ14 0 0 0 0 0 0
−cosθ12 0 0 cosθ23 cosθ24 0 0 0 0
−senθ12 0 0 senθ23 senθ24 0 0 0 0
0 −cos13 0 −cosθ23 0 cosθ35 cosθ36 0 0
0 −senθ13 0 −senθ23 0 senθ35 senθ36 0 0
0 0 −cosθ14 0 −cosθ24 0 0 0 cosθ46
0 0 −senθ14 0 −senθ24 0 0 senθ45 senθ46
0 0 0 0 0 senθ35 −senθ36 −senθ45 senθ46

Substitu´ımos os valores referentes aos aˆngulos formados com a vertical, ja´
que o alguns aˆngulos va˜o ser 0, 1 ou −1, facilitou a troca de valores.
Devido o seno e cosseno de 45 ◦ ser
√
2
2
basta substituir estando atento os
sinais negativos. Obtemos a seguinte matriz:
20
ω =

0 −1
√
2
2
0 0 0 0 0 0
1 0
√
2
2
0 0 0 0 0 0
0 0 0
√
2
2
−1 0 0 0 0
−1 0 0
√
2
2
0 0 0 0 0
0 1 0 −
√
2
2
0 −1
√
2
2
0 0
0 0 0 −
√
2
2
0 0
√
2
2
0 0
0 0 −
√
2
2
0 1 0 0
√
2
2
−1
0 0 −
√
2
2
0 0 0 0
√
2
2
0
0 0 0 0 0 0 −
√
2
2
−√2
2
0

Para que a estrutura tenha soluc¸a˜o, o determinante dessa matriz ω deve ser
diferente de zero sendo poss´ıvel calcular a sua inversa, onde ao multiplica-la
pela matriz F seja obtido a forc¸a exercida em cada no´ na matriz f. A matriz
escalonada ficou:
f= ω−1F
ω =

1 0
√
2
2
0 0 0 0 0 0
0 −1
√
2
2
0 0 0 0 0 0
0 0
√
2
2
√
2
2
0 0 0 0 0
0 0 0
√
2
2
−1 0 0 0 0
0 0 0 0 −2 −1
√
2
2
0 0
0 0 0 0 0 1/2
√
2
4
0 0
0 0 0 0 0 0
√
2
√
2
2
−1
0 0 0 0 0 0 0
√
2
4
1/2
0 0 0 0 0 0 0 0 0

21
Resultou o determinante igual a zero, sendo assim a estrutura na˜o ira´
suportar e as forc¸as em cada no´ na˜o podera˜o ser calculadas. Para que as
condic¸o˜es sejam satisfeitas precisamos alterar os aˆngulos de algumas vigas,
como os pontos treˆs a` cinco e da viga quatro a` seis, um pequeno aˆngulo
tambe´m da viga referente aos pontos um ate´ treˆs e da dois ate´ o quatro. A
figura a seguir mostra uma estrutura em que satisfaz as condic¸o˜es, usando
os mesmos padro˜es de ca´lculos.
Cap´ıtulo 4
Conclusa˜o
O que mais nos chamou atenc¸a˜o em pesquisar sobre estruturas meta´licas
aplicadas na a´lgebra foram suas grandes vantagens em relac¸a˜o ao processo
de construc¸a˜o comparados a outros tipos de materiais usados em construc¸o˜es.
As estruturas tem uma excelente durabilidade, flexibilidade, este´tica agrada´vel
e pode ser aplicada em qualquer construc¸a˜o tomando a forma que preferir.
Outro ponto positivo e´ a reduc¸a˜o do tempo de construc¸a˜o da estrutura em
menos dias, e tambe´m diminui o desperd´ıcio de material utilizado na cons-
truc¸a˜o ale´m de reduzir bastante os impactos ambientais, pois e´ 100% reci-
clado e pode ser aproveitado inu´meras vezes, oferece ainda melhores condic¸o˜es
de seguranc¸a ao trabalhador contribuindo para a reduc¸a˜o dos acidentes em
obras. Pore´m, pede-se o cuidado em ter uma equipe te´cnica qualificada para
a execuc¸a˜o de projetos, pois caso haja erros, pec¸as podem se perder ocasio-
nando um custo consideravelmente maior.
Assim, vimos que uma estrutura que contenha muitos aˆngulos e forc¸as
agindo sobre ela, torna-se o ca´lculo mais complexo. Com ajuda de matri-
zes, conseguimos descobrir se o sistema permanecera´ em equil´ıbrio ou na˜o,
23
sendo que para termos sucesso a nossa matriz deve ser invers´ıvel, tendo seu
determinante diferente de 0 (zero).
Uma estrutura que provem toda ela praticamente de aˆngulos de 45o, cer-
tamente na˜o sera´ sustenta´vel, pois ela consiste de inclinac¸o˜es sempre iguais
que, ao aplicar forc¸as, todos seus resultados sera˜o 0, construindo assim, uma
matriz com va´rios valores nulos, aonde seu determinante provavelmente sera´
0. E como vimos, uma matriz que na˜o e´ invers´ıvel, ou seja, seu determinante
e´ diferente de 0, a mesma na˜o se encontra em equil´ıbrio esta´tico, aonde na˜o
suportara´ forc¸as, ou ate´ mesmo, causar acidentes vindo a baixo na hora da
execuc¸a˜o da obra.
Portanto, ao ter em mente uma construc¸a˜o de estrutura meta´lica, procure
um engenheiro qualificado para a realizac¸a˜o de ca´lculos e execuc¸a˜o da obra,
sabendo que sua estrutura devera´ conter uma matriz, que seja invers´ıvel
para estar em equil´ıbrio, e consequentemente suportar forc¸as aplicadas a ela
e atender a demanda solicitada.
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Cap´ıtulo 5
Refereˆncias bibliogra´ficas
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