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Matrizes e Sistemas Lineares Aula Zero - A´lgebra Linear Professor: Juliano de Bem Francisco Departamento de Matema´tica Universidade Federal de Santa Catarina agosto de 2011 Matrizes e Sistemas Lineares Outline Matrizes Sistemas Lineares Matrizes e Sistemas Lineares Cap´ıtulo 1 Matrizes Cap´ıtulo 2 Sistemas Lineares Part I Cap´ıtulo 1 - Matrizes Matrizes e Sistemas Lineares Cap´ıtulo 1 Matrizes Cap´ıtulo 2 Sistemas Lineares Definic¸a˜o: Consideremos o conjunto de 5 alunos que fizeram 4 avaliac¸o˜es. Para representar esses dados de maneira organizada, podemos fazer uso de uma tabela: Ana 4,5 6,2 7,0 5,5 Beatriz 7,2 6,8 8,0 10,0 Carlos 8,0 7,5 5,9 7,2 Daniela 9,2 8,5 7,0 8,0 Edson 6,8 7,2 6,8 7,5 O tratamento por linhas, por colunas, por elementos fazem desses objetos matema´ticos instrumentos valiosos na organizac¸a˜o e manipulac¸a˜o de dados. Matrizes e Sistemas Lineares Cap´ıtulo 1 Matrizes Cap´ıtulo 2 Sistemas Lineares Definic¸a˜o: Uma matriz e´ um arranjo de nu´meros, s´ımbolos, letras, etc, dispostos em linhas e colunas. Se uma matriz possui m linhas e n colunas diremos que a matriz tem ordem m × n. Exemplos: A = 0 −2 1 43 −1 0 0 2 5 −1 2 B = ( 2 −1√ 3 5 ) A matriz A e´ de ordem 3× 4 e a matriz B e´ de ordem 2× 2. Matrizes e Sistemas Lineares Cap´ıtulo 1 Matrizes Cap´ıtulo 2 Sistemas Lineares Definic¸a˜o: Uma matriz A de ordem m × n e´ representada por: A = a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... . . . ... am1 am2 · · · amn m×n Abreviadamente podemos escrever, A = [aij ]m×n, com 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n e i , j ∈ N. Na matriz A do exemplo anterior tem-se que a14 = 4 e a22 = −1. Matrizes e Sistemas Lineares Cap´ıtulo 1 Matrizes Cap´ıtulo 2 Sistemas Lineares Tipos de Matrizes Matriz Nula e´ aquela em que todos os seus elementos sa˜o nulos. Exemplo: O = ( 0 0 0 0 0 0 ) O = ( 0 0 0 0 ) Matriz Linha e´ aquela que possui uma u´nica linha (m = 1). Exemplo: A = ( 2−1 1 3 √ 2 ) Matrizes e Sistemas Lineares Cap´ıtulo 1 Matrizes Cap´ıtulo 2 Sistemas Lineares Tipos de Matrizes Matriz Coluna e´ aquela que possui apenas uma coluna (n = 1). Exemplos: A = 10 −1 B = ( 5−4 ) Um vetor no plano ou no espac¸o pode ser considerado como uma matriz coluna. Usaremos essa forma ao representar a soluc¸a˜o de um sistema de equac¸o˜es. Matrizes e Sistemas Lineares Cap´ıtulo 1 Matrizes Cap´ıtulo 2 Sistemas Lineares Tipos de Matrizes Matriz Quadrada e´ aquela cujo nu´mero de linhas e´ igual ao nu´mero de colunas (m = n). Exemplo: A = 2 1 00 −1 −2 2 pi √ 3 Matriz Identidade e´ uma matriz quadrada cujos elementos aij = 0 se i 6= j e aij = 1 se i = j . Exemplo: A = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 Matrizes e Sistemas Lineares Cap´ıtulo 1 Matrizes Cap´ıtulo 2 Sistemas Lineares Tipos de Matrizes Matriz Triangular Superior e´ uma matriz quadrada de ordem n cujos elementos aij sa˜o nulos quando i > j , isto e´: A = a11 a12 · · · a1n 0 a22 · · · a2n ... ... . . . ... 0 0 · · · ann Matriz Triangular Inferior e´ uma matriz quadrada de ordem n cujos elementos aij sa˜o nulos quando i < j , isto e´: A = a11 0 · · · 0 a21 a22 · · · 0 ... ... . . . ... an1 an2 · · · ann Matrizes e Sistemas Lineares Cap´ıtulo 1 Matrizes Cap´ıtulo 2 Sistemas Lineares Tipos de Matrizes Matriz Sime´trica e´ uma matriz quadrada de ordem n, em que aij = aji , ∀ 1 ≤ i , j ≤ n. Exemplo: A = 4 3 −13 2 0 −1 0 5 Matriz Anti-Sime´trica e´ uma matriz quadrada de ordem n, em que aij = −aji , ∀ 1 ≤ i , j ≤ n. Exemplo: A = 0 3 0 √ 2 −3 0 −1 1 0 1 0 −2 −√2 −1 2 0 Matrizes e Sistemas Lineares Cap´ıtulo 1 Matrizes Cap´ıtulo 2 Sistemas Lineares Tipos de Matrizes Matriz Elementar Uma matriz e´ denominada elementar se for obtida por meio de uma u´nica mudanc¸a na matriz identidade. Essa mudanc¸a pode ser de um dos seguintes tipos: 1) A troca de uma linha (ou coluna) por outra linha (ou coluna); 2) A multiplicac¸a˜o de uma linha (ou coluna) por um valor α ∈ R; 3) A soma de uma linha (ou coluna), multiplicada pelo valor α ∈ R, com outra linha (ou coluna). Matrizes e Sistemas Lineares Cap´ıtulo 1 Matrizes Cap´ıtulo 2 Sistemas Lineares Tipos de Matrizes Exemplos: a) A matriz elementar de ordem 2 obtida ao trocarmos a linha 1 pela linha 2 da matriz identidade de ordem 2 e´ dada por: E1 = ( 0 1 1 0 ) b) A matriz elementar de ordem 3 obtida ao multiplicar a linha 3 por -3 e somar com a linha 2 da matriz identidade (de ordem 3) e´ dada por: E2 = 1 0 00 1 0 0 1 −3 Matrizes e Sistemas Lineares Cap´ıtulo 1 Matrizes Cap´ıtulo 2 Sistemas Lineares Igualdade de Matrizes Definic¸a˜o Duas matrizes A = [aij ]m×n e B = [bij ]m×n sa˜o iguais quando aij = bij , ∀ i , j . Exemplo: A = ( 9 1 log 1 2 22 5 ) e B = ( 9 sen (pi/2) 0 2 4 5 ) sa˜o iguais. Matrizes e Sistemas Lineares Cap´ıtulo 1 Matrizes Cap´ıtulo 2 Sistemas Lineares Operac¸o˜es com Matrizes - Adic¸a˜o Definic¸a˜o Sejam A = [aij ]m×n e B = [bij ]m×n, a matriz A somada com a matriz B, resulta numa matriz C = [cij ]m×n, cujos elementos sa˜o: cij = aij + bij , ∀ i , j . Denotamos por: C = A + B = [aij + bij ]m×n. Exemplo: 1 −14 0 2 5 + 0 4−2 5 1 0 = 1 32 5 3 5 . Propriedades: (a) Comutatividade: A + B = B + A. (b) Associatividade: (A + B) + C = A + (B + C ). (c) Elemento Neutro da Adic¸a˜o: A + 0 = 0 + A = A, onde 0 denota a matriz nula. (d) Elemento Sime´trico: A + (−A) = 0. Matrizes e Sistemas Lineares Cap´ıtulo 1 Matrizes Cap´ıtulo 2 Sistemas Lineares Produto de uma matriz por um escalar Definic¸a˜o Seja k um nu´mero qualquer. Para multiplicar k por uma matriz A de ordem m × n, basta multiplicar cada entrada aij de A por k. Assim, a matriz resultante B sera´ tambe´m m × n e seus elementos sera˜o bij = k aij . Exemplo: −2 2 10 11 −3 0 0 −2 3 = −4 −20 −2−2 6 0 0 4 −6 . Matrizes e Sistemas Lineares Cap´ıtulo 1 Matrizes Cap´ıtulo 2 Sistemas Lineares Produto de uma matriz por um escalar Propriedades: (a) Associativa: k1(k2A) = (k1k2)A. (b) Distributiva a` direita em relac¸a˜o as matrizes: k(A + B) = kA + kB. (c) Distributiva a` esquerda em relac¸a˜o aos escalares: (k1 + k2)A = k1A + k2B. (d) Elemento Neutro: 1.A = A. (e) 0.A = 0. Matrizes e Sistemas Lineares Cap´ıtulo 1 Matrizes Cap´ıtulo 2 Sistemas Lineares Matriz transposta Definic¸a˜o Dada uma matriz A = [aij ]m× n, podemos obter uma outra matriz A′ = [bij ]n×m, cujas linhas sa˜o as colunas de A, isto e´, bij = aji . A ′ e´ denominada a transposta de A. Exemplo: Seja A = ( 3 −2 5 1 7 0 ) . A transposta de A e´ a matriz A′ = 3 1−2 7 5 0 . Propriedades: (a) (A′)′ = A. (b) (A + B)′ = A′ + B ′. (c) A e´ sime´trica se, e somente se, A = A′. (d) (kA)′ = kA′, k e´ um escalar qualquer. Matrizes e Sistemas Lineares Cap´ıtulo 1 Matrizes Cap´ıtulo 2 Sistemas Lineares Produto de Matrizes Definic¸a˜o Sejam, A = [aij ]m×n e B = [brs ]n×p, enta˜o, seu produto A.B e´ a matriz m × p dada por: C = [cuv ]m×p. Os elementos da matriz produto cuv sa˜o dados por: cuv= n∑ k=1 auk bkv . Propriedades: (a) AI = IA = A, onde I e´ a matriz identidade. (b) Associativa: (AB)C = A(BC ). (c) Distributiva: A(B + C ) = AB + AC . (d) (A + B)C = AC + BC . (e) k(AB) = (kA)B = A(kB). (f) (AB)′ = B ′ A′.Matrizes e Sistemas Lineares Cap´ıtulo 1 Matrizes Cap´ıtulo 2 Sistemas Lineares Trac¸o de uma Matriz Dada A = [aij ]n, o trac¸o de A, denotado por Tr (A), e´ o nu´mero dado pela soma dos elementos da diagonal principal. Isto e´: Tr (A) = n∑ i=1 aii . Propriedades: (a) Tr (A + B) = Tr (A) + Tr (B); (b) Tr (αA) = αTr (A); (c) Tr (A′) = Tr (A); (d) Tr (AB) = Tr (BA). Matrizes e Sistemas Lineares Cap´ıtulo 1 Matrizes Cap´ıtulo 2 Sistemas Lineares Determinantes Cofator de uma Matriz: O cofator Aij do elemento na posic¸a˜o (i , j) de uma matriz A e´ dado pelo valor do determinante Mij , vezes o valor (−1)i+j . Isto e´: Aij = (−1)i+j det(Mij) onde Mij e´ a matriz obtida eliminando a i-e´sima linha e a j-e´sima coluna da matriz A. Definic¸a˜o Seja A uma matriz de ordem n, o ca´lculo do determinante da matriz referido a linha k e´ dado por: |A| = ak1Ak1 + ak2Ak2 + ...+ aknAkn. Similarmente e´ poss´ıvel fazer o desenvolvimento por colunas. Matrizes e Sistemas Lineares Cap´ıtulo 1 Matrizes Cap´ıtulo 2 Sistemas Lineares Propriedades do Determinante Considere A e B matrizes quadradas. Enta˜o, valem as propriedades dos determinantes. Propriedades: (a) Se A possui uma linha (ou colunas) de zeros, enta˜o, det (A) = 0; (b) Se A possui duas linhas (ou colunas) iguais, enta˜o, det (A) = 0; (c) Se B e´ obtida de A multiplicando-se uma linha (ou coluna) por um escalar α, enta˜o, det (B) = α det (A); Matrizes e Sistemas Lineares Cap´ıtulo 1 Matrizes Cap´ıtulo 2 Sistemas Lineares Propriedades do Determinante Propriedades: (d) Se B e´ obtida por troca das posic¸o˜es relativas de duas linhas (ou colunas) da matriz A, enta˜o, det (B) = −det(A); (e) Se B e´ obtida de A, substituindo-se a linha i (ou coluna) por ela somada a um multiplo escalar de outra linha j (ou coluna) (j 6= i) enta˜o, det (B) = det (A); (f) det (A) = det (A′); (g) det (AB) = det (A) det(B). Matrizes e Sistemas Lineares Cap´ıtulo 1 Matrizes Cap´ıtulo 2 Sistemas Lineares Matriz Adjunta Dada A = [aij ]n, a matriz adjunta de A e´ dada por Adj (A) = (Cof (A))′, onde Cof (A) e´ a matriz cujos elementos sa˜o os cofatores Aij da matriz A, ou seja, e´ a matriz onde cada elemento aij e´ igual ao cofator Aij da matriz A. Teorema Se A e´ uma matriz de ordem n, Adj (A) · A = A · Adj (A) = det (A) · In. Matrizes e Sistemas Lineares Cap´ıtulo 1 Matrizes Cap´ıtulo 2 Sistemas Lineares Matriz inversa Definic¸a˜o Uma matriz e´ dita singular se o seu determinante e´ nulo. Caso contra´rio, dizemos que a matriz e´ na˜o singular. Definic¸a˜o Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir uma matriz A−1, de mesma ordem, tal que A.A−1 = A−1.A = In, enta˜o dizemos que A e´ invers´ıvel e que A−1 e´ matriz inversa de A. Propriedades: Se A e´ invers´ıvel, enta˜o, A e´ na˜o singular. Matrizes e Sistemas Lineares Cap´ıtulo 1 Matrizes Cap´ıtulo 2 Sistemas Lineares Matriz inversa Se det (A) 6= 0 enta˜o A−1 = adj (A) det (A) · Propriedades: Se A e B sa˜o invers´ıveis, enta˜o: (a) (AB)−1 = B−1A−1. (b) (A−1)−1 = A. (c) (A′)−1 = (A−1)′. (d) det (A−1) = 1 det (A) · Matrizes e Sistemas Lineares Cap´ıtulo 1 Matrizes Cap´ıtulo 2 Sistemas Lineares Operac¸o˜es Elementares Operac¸o˜es elementares sa˜o realizadas na matriz com o objetivo de inverteˆ-la, reduzi-la ou simplesmente coloca´-la num formato especificado previamente. Elas podem ser de treˆs tipos: 1) A troca de uma linha (ou coluna) por outra linha (ou coluna); 2) A multiplicacao de uma linha (ou coluna) por um valor α ∈ R, com α 6= 0; 3) A soma de uma linha (ou coluna) multiplicada pelo valor α ∈ R (α 6= 0) numa outra linha (ou coluna). Matrizes e Sistemas Lineares Cap´ıtulo 1 Matrizes Cap´ıtulo 2 Sistemas Lineares Forma Escada de uma Matriz Dizemos que uma matriz A = (aij)m×n esta´ na sua forma escada quando: a) se o primeiro elemento na˜o nulo da linha i ocorre na coluna ki , enta˜o aij = 0 para todo i > ki . Em outras palavras, os elementos da coluna ki que esta˜o abaixo do primeiro elemento na˜o nulo da linha i sa˜o todos iguais a` zero; b) Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas na˜o nulas; c) Se as linhas 1, ..., r sa˜o linhas na˜o nulas, e se o primeiro elemento na˜o nulo da linha i ocorre na coluna ki , enta˜o, k1 < k2 < ... < kr . Matrizes e Sistemas Lineares Cap´ıtulo 1 Matrizes Cap´ıtulo 2 Sistemas Lineares Forma Escada de uma Matriz Exemplos: A1 = ( 0 1 0 0 0 0 ) A2 = 0 1 5 0 30 0 0 1 2 0 0 0 0 0 A3 = 1 −1 00 1 0 0 0 1 Matrizes e Sistemas Lineares Cap´ıtulo 1 Matrizes Cap´ıtulo 2 Sistemas Lineares Part II Cap´ıtulo 2 - Sistemas Lineares Matrizes e Sistemas Lineares Cap´ıtulo 1 Matrizes Cap´ıtulo 2 Sistemas Lineares Sistemas de Equac¸o˜es Lineares Definic¸a˜o Um sistema da forma a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2 ... am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = bm (1) e´ chamado de sistema de equac¸o˜es lineares de ordem m × n. Matrizes e Sistemas Lineares Cap´ıtulo 1 Matrizes Cap´ıtulo 2 Sistemas Lineares Forma Matricial de um Sistema Linear O sistema de equac¸o˜es (1) pode ser escrito na forma matricial: a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... ... ... am1 am2 · · · amn x1 x2 ... xn = b1 b2 ... bm , ou ainda, AX = B, (2) com X = x1 x2 ... xn , A = a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... ... ... am1 am2 · · · amn e B = b1 b2 ... bm . Matrizes e Sistemas Lineares Cap´ıtulo 1 Matrizes Cap´ıtulo 2 Sistemas Lineares Exemplo Exemplos: x1 + 2x2 = 1 2x1 + x2 = 0 x1 − x2 = −1 Forma matricial: X = [ x1 x2 ] , A = 1 22 1 1 −1 e B = 10 −1 . Matrizes e Sistemas Lineares Cap´ıtulo 1 Matrizes Cap´ıtulo 2 Sistemas Lineares Interpretac¸a˜o Geome´trica Considere o seguinte sistema:{ a11x + a12y = b1 a21x + a22y = b2 Geometricamente temos as seguintes possibilidades: Matrizes e Sistemas Lineares Cap´ıtulo 1 Matrizes Cap´ıtulo 2 Sistemas Lineares Combinac¸a˜o Linear de Vetores O sistema: { x + 2y = 5 3x + y = 5 pode ser escrito da forma x ( 1 3 ) + y ( 2 1 ) = ( 5 5 ) Matrizes e Sistemas Lineares Cap´ıtulo 1 Matrizes Cap´ıtulo 2 Sistemas Lineares Posto e Nulidade de uma Matriz Definic¸a˜o Dada uma matriz A de ordem m × n, o posto da matriz, p(A), e´ dado pela ordem da maior submatriz na˜o singular da matriz dada. Exemplo: A = 1 22 4 1 2 3×2 , temos que p(A) = 1 Definic¸a˜o Dada uma matriz A de ordem m × n, a nulidade da matriz, nul(A), e´ dada pela diferenc¸a entre o nu´mero de colunas e o seu posto (nul(A) = n − p(A)). Matrizes e Sistemas Lineares Cap´ıtulo 1 Matrizes Cap´ıtulo 2 Sistemas Lineares Posto e Nulidade de uma Matriz Definic¸a˜o As linhas linearmente independentes (L.I.) de uma matriz A sa˜o as linhas na˜o nulas de sua forma escada. Exemplo: Seja A tal que sua forma escada e´ A˜ = 1 ∗ ∗ ∗ ∗ 0 0 2 ∗ ∗ 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 4×5 nu´meros de linhas L.I. de A?? Matrizes e Sistemas Lineares Cap´ıtulo 1 Matrizes Cap´ıtulo 2 Sistemas Lineares Propriedades: (a) Se A e´ m × n, enta˜o p(A) = (nu´m. de linhas L.I.) (b) p(A) ≤ min{m, n} Conclusa˜o: Achar p(A) basta achar o posto de sua forma escada! Assim, se A e´ tal que sua forma escada e´ A˜ = 1 ∗ ∗ ∗ ∗ 0 0 −3 ∗ ∗ 0 0 0 0 20 0 0 0 0 Enta˜o, posto de A e´ 3 e sua nulidade e´ 2. Matrizes e Sistemas Lineares Cap´ıtulo 1 Matrizes Cap´ıtulo 2 Sistemas Lineares Mais exemplos: A˜ = 2 ∗ ∗ ∗ ∗ 0 0 0 3 ∗ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4×5 p(A) =?? nul(A) = ?? A˜ = 2 ∗ ∗ ∗ ∗ 0 0 3 ∗ ∗ 0 0 0 1 1 0 0 0 0 −2 4×5 p(A) =?? nul(A) = ?? Exerc´ıcio Encontre o posto e nulidade de A = 1 2 −1 0 2 −1 1 1 1 −3 2 1 0 −5 3 1 Matrizes e Sistemas Lineares Cap´ıtulo 1 Matrizes Cap´ıtulo 2 Sistemas Lineares Matrizes Equivalentes e Sistemas Equivalentes Definic¸a˜o Duas matrizes A e A˜ sa˜o ditas matrizes equivalentes se uma delas e obtida ao fazermos operac¸o˜es elementares na outra. Exemplo: A = 1 2 1 40 0 2 1 −1 −2 −1 −4 e´ equivalente a A˜ = 1 2 1 40 0 1 1/2 0 0 0 0 Matrizes e Sistemas Lineares Cap´ıtulo 1 Matrizes Cap´ıtulo 2 Sistemas Lineares Propriedade. Matrizes equivalentes possuem o mesmo posto. Definic¸a˜o Dado um sistema AX = B, com A m × n, definimos a matriz aumentada/ampliada do sistema por Au = [A : B] (de ordem m × (n + 1)) Matrizes e Sistemas Lineares Cap´ıtulo 1 Matrizes Cap´ıtulo 2 Sistemas Lineares Definic¸a˜o Dois sistemas, AX = B e A˜X = B˜, sa˜o ditos equivalentes se as matrizes aumentadas dos mesmos, Au = [A : B] e A˜u = [A˜ : B˜], sa˜o matrizes equivalentes. Exemplo: Os sistemas x + 2y + z − t = 1 2z − 2t = 2 −x − 2y − z + 2t = −1 e x + 2y + z − t = 1 z − t = 1 t = 0 sa˜o equivalentes. Matrizes e Sistemas Lineares Cap´ıtulo 1 Matrizes Cap´ıtulo 2 Sistemas Lineares Propriedades: Sistemas equivalentes possuem o mesmo conjunto soluc¸a˜o. Ideia para resolver sistemas lineares: Aplicar operac¸o˜es elementares em [A : B] e obter [A˜ : B˜] na forma escada, e enta˜o resolver A˜X = B˜ (mais simples) Matrizes e Sistemas Lineares Cap´ıtulo 1 Matrizes Cap´ıtulo 2 Sistemas Lineares Caracterizac¸a˜o dos Sistemas Lineares Seja o sistema linear de m equac¸o˜es com n inco´gnitas da forma: AX = B. O sistema linear pode ser: a) Poss´ıvel, se possui soluc¸a˜o. Neste caso, p(Au) = p(A). Determinado: quando a soluc¸a˜o e´ u´nica. Neste caso, p(A) = n; Indeterminado: quando ha´ infinitas soluc¸o˜es. Neste caso, p(A) < n. b) Imposs´ıvel, se na˜o possui soluc¸a˜o (p(Au) > p(A)). Matrizes e Sistemas Lineares Cap´ıtulo 1 Matrizes Cap´ıtulo 2 Sistemas Lineares Exemplo: Considere o sistema AX = B onde A = 1 ∗ ∗ ∗ ∗ 0 0 1 ∗ ∗ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 4×5 , B = ∗ ∗ ∗ z 4×1 Qual valor de z para que o sistema seja poss´ıvel? e imposs´ıvel? Pode ser determinado? Matrizes e Sistemas Lineares Cap´ıtulo 1 Matrizes Cap´ıtulo 2 Sistemas Lineares Graus de Liberdade Definic¸a˜o Considere um sistema indeterminado AX = B, com A m × n. O nu´mero de graus de liberdade do sistema e´ g = n − p(A) > 0 (que e´ o nu´mero de varia´veis livres). Exemplo: A = 1 2 −1 3 0 0 0 1 2 −1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ,B = −1 0 1 0 e X = x1 x2 x3 x4 x5 enta˜o, g =?? e as varia´veis livres sa˜o ?? Matrizes e Sistemas Lineares Cap´ıtulo 1 Matrizes Cap´ıtulo 2 Sistemas Lineares Me´todo de Gauss O Me´todo de Gauss para sistemas lineares: escolher varia´veis livres e, a partir delas, encontramos as outras varia´veis usando o sistema equivalente na forma escada. Matrizes e Sistemas Lineares Cap´ıtulo 1 Matrizes Cap´ıtulo 2 Sistemas Lineares Exemplo Encontre o grau de liberdade, as varia´veis livres e o conjunto de soluc¸o˜es para o sistema, indicando o posto e a nulidade da matriz do sistema : x + 2y − 3z − 2s + 4t = 1 2x + 5y − 8z − s + 6t = 4 x + 4y − 7z + 5s + 2t = 8 Escreva as soluc¸o˜es como combinac¸a˜o linear de vetores. Matrizes e Sistemas Lineares Cap´ıtulo 1 Matrizes Cap´ıtulo 2 Sistemas Lineares Sistemas Homogeˆneos Definic¸a˜o Quando B = 0 dizemos que o sistema e´ homogeˆneo. Neste caso, AX = 0. Notac¸a˜o: SLh. Observac¸a˜o Ao aplicar operac¸o˜es elementares no sistema aumentado [A : 0] a u´ltima coluna vai ser sempre 0, ou seja, teremos [A˜ : 0]. Propriedades: Em um sistema AX = B, a soluca˜o geral e´ X = Xp + Xh, onde Xp e´ uma soluc¸a˜o particular do sistema e Xh e´ a soluc¸a˜o geral do sistema homogeˆneo Ax = 0. Matrizes e Sistemas Lineares Cap´ıtulo 1 Matrizes Cap´ıtulo 2 Sistemas Lineares Exemplo Encontre o conjunto de soluc¸o˜es para o sistema homogeˆneo: x + 2y − 3z − 2s + 4t = 0 2x + 5y − 8z − s + 6t = 0 x + 4y − 7z + 5s + 2t = 0 Capítulo 1 - Matrizes Capítulo 1 Matrizes Capítulo 2 Sistemas Lineares Capítulo 2 - Sistemas Lineares Capítulo 1 Matrizes Capítulo 2 Sistemas Lineares
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