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aula zero de álgebra linear

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Matrizes e
Sistemas
Lineares
Aula Zero - A´lgebra Linear
Professor: Juliano de Bem Francisco
Departamento de Matema´tica
Universidade Federal de Santa Catarina
agosto de 2011
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Outline
Matrizes
Sistemas Lineares
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Cap´ıtulo 1
Matrizes
Cap´ıtulo 2
Sistemas
Lineares
Part I
Cap´ıtulo 1 - Matrizes
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Cap´ıtulo 1
Matrizes
Cap´ıtulo 2
Sistemas
Lineares
Definic¸a˜o:
Consideremos o conjunto de 5 alunos que fizeram 4 avaliac¸o˜es.
Para representar esses dados de maneira organizada, podemos
fazer uso de uma tabela:
Ana 4,5 6,2 7,0 5,5
Beatriz 7,2 6,8 8,0 10,0
Carlos 8,0 7,5 5,9 7,2
Daniela 9,2 8,5 7,0 8,0
Edson 6,8 7,2 6,8 7,5
O tratamento por linhas, por colunas, por elementos fazem
desses objetos matema´ticos instrumentos valiosos na
organizac¸a˜o e manipulac¸a˜o de dados.
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Cap´ıtulo 1
Matrizes
Cap´ıtulo 2
Sistemas
Lineares
Definic¸a˜o:
Uma matriz e´ um arranjo de nu´meros, s´ımbolos, letras, etc,
dispostos em linhas e colunas.
Se uma matriz possui m linhas e n colunas diremos que a
matriz tem ordem m × n.
Exemplos:
A =
 0 −2 1 43 −1 0 0
2 5 −1 2
 B = ( 2 −1√
3 5
)
A matriz A e´ de ordem 3× 4 e a matriz B e´ de ordem 2× 2.
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Cap´ıtulo 1
Matrizes
Cap´ıtulo 2
Sistemas
Lineares
Definic¸a˜o:
Uma matriz A de ordem m × n e´ representada por:
A =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 · · · amn

m×n
Abreviadamente podemos escrever, A = [aij ]m×n, com
1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n e i , j ∈ N.
Na matriz A do exemplo anterior tem-se que a14 = 4 e
a22 = −1.
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Cap´ıtulo 1
Matrizes
Cap´ıtulo 2
Sistemas
Lineares
Tipos de Matrizes
Matriz Nula e´ aquela em que todos os seus elementos sa˜o
nulos.
Exemplo:
O =
(
0 0 0
0 0 0
)
O =
(
0 0
0 0
)
Matriz Linha e´ aquela que possui uma u´nica linha (m = 1).
Exemplo:
A =
(
2−1 1 3
√
2
)
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Cap´ıtulo 1
Matrizes
Cap´ıtulo 2
Sistemas
Lineares
Tipos de Matrizes
Matriz Coluna e´ aquela que possui apenas uma coluna
(n = 1).
Exemplos:
A =
 10
−1
 B = ( 5−4
)
Um vetor no plano ou no espac¸o pode ser considerado como
uma matriz coluna. Usaremos essa forma ao representar a
soluc¸a˜o de um sistema de equac¸o˜es.
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Cap´ıtulo 1
Matrizes
Cap´ıtulo 2
Sistemas
Lineares
Tipos de Matrizes
Matriz Quadrada e´ aquela cujo nu´mero de linhas e´ igual ao
nu´mero de colunas (m = n).
Exemplo:
A =
 2 1 00 −1 −2
2 pi
√
3

Matriz Identidade e´ uma matriz quadrada cujos elementos
aij = 0 se i 6= j e aij = 1 se i = j .
Exemplo:
A =

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1

Matrizes e
Sistemas
Lineares
Cap´ıtulo 1
Matrizes
Cap´ıtulo 2
Sistemas
Lineares
Tipos de Matrizes
Matriz Triangular Superior e´ uma matriz quadrada de ordem
n cujos elementos aij sa˜o nulos quando i > j , isto e´:
A =

a11 a12 · · · a1n
0 a22 · · · a2n
...
...
. . .
...
0 0 · · · ann

Matriz Triangular Inferior e´ uma matriz quadrada de ordem
n cujos elementos aij sa˜o nulos quando i < j , isto e´:
A =

a11 0 · · · 0
a21 a22 · · · 0
...
...
. . .
...
an1 an2 · · · ann

Matrizes e
Sistemas
Lineares
Cap´ıtulo 1
Matrizes
Cap´ıtulo 2
Sistemas
Lineares
Tipos de Matrizes
Matriz Sime´trica e´ uma matriz quadrada de ordem n, em que
aij = aji , ∀ 1 ≤ i , j ≤ n.
Exemplo:
A =
 4 3 −13 2 0
−1 0 5

Matriz Anti-Sime´trica e´ uma matriz quadrada de ordem n,
em que aij = −aji , ∀ 1 ≤ i , j ≤ n.
Exemplo:
A =

0 3 0
√
2
−3 0 −1 1
0 1 0 −2
−√2 −1 2 0

Matrizes e
Sistemas
Lineares
Cap´ıtulo 1
Matrizes
Cap´ıtulo 2
Sistemas
Lineares
Tipos de Matrizes
Matriz Elementar Uma matriz e´ denominada elementar se for
obtida por meio de uma u´nica mudanc¸a na matriz identidade.
Essa mudanc¸a pode ser de um dos seguintes tipos:
1) A troca de uma linha (ou coluna) por outra linha (ou
coluna);
2) A multiplicac¸a˜o de uma linha (ou coluna) por um valor
α ∈ R;
3) A soma de uma linha (ou coluna), multiplicada pelo valor
α ∈ R, com outra linha (ou coluna).
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Cap´ıtulo 1
Matrizes
Cap´ıtulo 2
Sistemas
Lineares
Tipos de Matrizes
Exemplos:
a) A matriz elementar de ordem 2 obtida ao trocarmos a linha
1 pela linha 2 da matriz identidade de ordem 2 e´ dada por:
E1 =
(
0 1
1 0
)
b) A matriz elementar de ordem 3 obtida ao multiplicar a linha
3 por -3 e somar com a linha 2 da matriz identidade (de ordem
3) e´ dada por:
E2 =
 1 0 00 1 0
0 1 −3

Matrizes e
Sistemas
Lineares
Cap´ıtulo 1
Matrizes
Cap´ıtulo 2
Sistemas
Lineares
Igualdade de Matrizes
Definic¸a˜o
Duas matrizes A = [aij ]m×n e B = [bij ]m×n sa˜o iguais quando
aij = bij , ∀ i , j .
Exemplo:
A =
(
9 1 log 1
2 22 5
)
e B =
(
9 sen (pi/2) 0
2 4 5
)
sa˜o iguais.
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Cap´ıtulo 1
Matrizes
Cap´ıtulo 2
Sistemas
Lineares
Operac¸o˜es com Matrizes - Adic¸a˜o
Definic¸a˜o
Sejam A = [aij ]m×n e B = [bij ]m×n, a matriz A somada com a matriz
B, resulta numa matriz C = [cij ]m×n, cujos elementos sa˜o:
cij = aij + bij , ∀ i , j . Denotamos por: C = A + B = [aij + bij ]m×n.
Exemplo:
 1 −14 0
2 5
+
 0 4−2 5
1 0
 =
 1 32 5
3 5
 .
Propriedades:
(a) Comutatividade: A + B = B + A.
(b) Associatividade: (A + B) + C = A + (B + C ).
(c) Elemento Neutro da Adic¸a˜o: A + 0 = 0 + A = A, onde
0 denota a matriz nula.
(d) Elemento Sime´trico: A + (−A) = 0.
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Cap´ıtulo 1
Matrizes
Cap´ıtulo 2
Sistemas
Lineares
Produto de uma matriz por um escalar
Definic¸a˜o
Seja k um nu´mero qualquer. Para multiplicar k por uma matriz
A de ordem m × n, basta multiplicar cada entrada aij de A por
k. Assim, a matriz resultante B sera´ tambe´m m × n e seus
elementos sera˜o bij = k aij .
Exemplo: −2
 2 10 11 −3 0
0 −2 3
 =
 −4 −20 −2−2 6 0
0 4 −6
 .
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Cap´ıtulo 1
Matrizes
Cap´ıtulo 2
Sistemas
Lineares
Produto de uma matriz por um escalar
Propriedades:
(a) Associativa: k1(k2A) = (k1k2)A.
(b) Distributiva a` direita em relac¸a˜o as matrizes:
k(A + B) = kA + kB.
(c) Distributiva a` esquerda em relac¸a˜o aos escalares:
(k1 + k2)A = k1A + k2B.
(d) Elemento Neutro: 1.A = A.
(e) 0.A = 0.
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Cap´ıtulo 1
Matrizes
Cap´ıtulo 2
Sistemas
Lineares
Matriz transposta
Definic¸a˜o
Dada uma matriz A = [aij ]m× n, podemos obter uma outra
matriz A′ = [bij ]n×m, cujas linhas sa˜o as colunas de A, isto e´,
bij = aji . A
′ e´ denominada a transposta de A.
Exemplo: Seja A =
(
3 −2 5
1 7 0
)
.
A transposta de A e´ a matriz A′ =
 3 1−2 7
5 0
 .
Propriedades:
(a) (A′)′ = A.
(b) (A + B)′ = A′ + B ′.
(c) A e´ sime´trica se, e somente se, A = A′.
(d) (kA)′ = kA′, k e´ um escalar qualquer.
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Cap´ıtulo 1
Matrizes
Cap´ıtulo 2
Sistemas
Lineares
Produto de Matrizes
Definic¸a˜o
Sejam, A = [aij ]m×n e B = [brs ]n×p, enta˜o, seu produto A.B e´
a matriz m × p dada por: C = [cuv ]m×p. Os elementos da
matriz produto cuv sa˜o dados por: cuv=
n∑
k=1
auk bkv .
Propriedades:
(a) AI = IA = A, onde I e´ a matriz identidade.
(b) Associativa: (AB)C = A(BC ).
(c) Distributiva: A(B + C ) = AB + AC .
(d) (A + B)C = AC + BC .
(e) k(AB) = (kA)B = A(kB).
(f) (AB)′ = B ′ A′.Matrizes e
Sistemas
Lineares
Cap´ıtulo 1
Matrizes
Cap´ıtulo 2
Sistemas
Lineares
Trac¸o de uma Matriz
Dada A = [aij ]n, o trac¸o de A, denotado por Tr (A), e´ o nu´mero
dado pela soma dos elementos da diagonal principal. Isto e´:
Tr (A) =
n∑
i=1
aii .
Propriedades:
(a) Tr (A + B) = Tr (A) + Tr (B);
(b) Tr (αA) = αTr (A);
(c) Tr (A′) = Tr (A);
(d) Tr (AB) = Tr (BA).
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Cap´ıtulo 1
Matrizes
Cap´ıtulo 2
Sistemas
Lineares
Determinantes
Cofator de uma Matriz: O cofator Aij do elemento na
posic¸a˜o (i , j) de uma matriz A e´ dado pelo valor do
determinante Mij , vezes o valor (−1)i+j . Isto e´:
Aij = (−1)i+j det(Mij)
onde Mij e´ a matriz obtida eliminando a i-e´sima linha e a
j-e´sima coluna da matriz A.
Definic¸a˜o
Seja A uma matriz de ordem n, o ca´lculo do determinante da
matriz referido a linha k e´ dado por:
|A| = ak1Ak1 + ak2Ak2 + ...+ aknAkn.
Similarmente e´ poss´ıvel fazer o desenvolvimento por colunas.
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Cap´ıtulo 1
Matrizes
Cap´ıtulo 2
Sistemas
Lineares
Propriedades do Determinante
Considere A e B matrizes quadradas. Enta˜o, valem as
propriedades dos determinantes.
Propriedades:
(a) Se A possui uma linha (ou colunas) de zeros,
enta˜o, det (A) = 0;
(b) Se A possui duas linhas (ou colunas) iguais,
enta˜o, det (A) = 0;
(c) Se B e´ obtida de A multiplicando-se uma linha
(ou coluna) por um escalar α, enta˜o,
det (B) = α det (A);
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Cap´ıtulo 1
Matrizes
Cap´ıtulo 2
Sistemas
Lineares
Propriedades do Determinante
Propriedades:
(d) Se B e´ obtida por troca das posic¸o˜es relativas de
duas linhas (ou colunas) da matriz A, enta˜o,
det (B) = −det(A);
(e) Se B e´ obtida de A, substituindo-se a linha i (ou
coluna) por ela somada a um multiplo escalar de
outra linha j (ou coluna) (j 6= i) enta˜o,
det (B) = det (A);
(f) det (A) = det (A′);
(g) det (AB) = det (A) det(B).
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Cap´ıtulo 1
Matrizes
Cap´ıtulo 2
Sistemas
Lineares
Matriz Adjunta
Dada A = [aij ]n, a matriz adjunta de A e´ dada por
Adj (A) = (Cof (A))′,
onde Cof (A) e´ a matriz cujos elementos sa˜o os cofatores Aij
da matriz A, ou seja, e´ a matriz onde cada elemento aij e´ igual
ao cofator Aij da matriz A.
Teorema
Se A e´ uma matriz de ordem n,
Adj (A) · A = A · Adj (A) = det (A) · In.
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Cap´ıtulo 1
Matrizes
Cap´ıtulo 2
Sistemas
Lineares
Matriz inversa
Definic¸a˜o
Uma matriz e´ dita singular se o seu determinante e´ nulo. Caso
contra´rio, dizemos que a matriz e´ na˜o singular.
Definic¸a˜o
Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir uma
matriz A−1, de mesma ordem, tal que A.A−1 = A−1.A = In,
enta˜o dizemos que A e´ invers´ıvel e que A−1 e´ matriz inversa
de A.
Propriedades:
Se A e´ invers´ıvel, enta˜o, A e´ na˜o singular.
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Cap´ıtulo 1
Matrizes
Cap´ıtulo 2
Sistemas
Lineares
Matriz inversa
Se det (A) 6= 0 enta˜o
A−1 =
adj (A)
det (A)
·
Propriedades:
Se A e B sa˜o invers´ıveis, enta˜o:
(a) (AB)−1 = B−1A−1.
(b) (A−1)−1 = A.
(c) (A′)−1 = (A−1)′.
(d) det (A−1) =
1
det (A)
·
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Cap´ıtulo 1
Matrizes
Cap´ıtulo 2
Sistemas
Lineares
Operac¸o˜es Elementares
Operac¸o˜es elementares sa˜o realizadas na matriz com o objetivo
de inverteˆ-la, reduzi-la ou simplesmente coloca´-la num formato
especificado previamente. Elas podem ser de treˆs tipos:
1) A troca de uma linha (ou coluna) por outra linha (ou
coluna);
2) A multiplicacao de uma linha (ou coluna) por um valor
α ∈ R, com α 6= 0;
3) A soma de uma linha (ou coluna) multiplicada pelo valor
α ∈ R (α 6= 0) numa outra linha (ou coluna).
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Cap´ıtulo 1
Matrizes
Cap´ıtulo 2
Sistemas
Lineares
Forma Escada de uma Matriz
Dizemos que uma matriz A = (aij)m×n esta´ na sua forma
escada quando:
a) se o primeiro elemento na˜o nulo da linha i ocorre na coluna
ki , enta˜o aij = 0 para todo i > ki . Em outras palavras, os
elementos da coluna ki que esta˜o abaixo do primeiro elemento
na˜o nulo da linha i sa˜o todos iguais a` zero;
b) Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas na˜o nulas;
c) Se as linhas 1, ..., r sa˜o linhas na˜o nulas, e se o primeiro
elemento na˜o nulo da linha i ocorre na coluna ki , enta˜o,
k1 < k2 < ... < kr .
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Cap´ıtulo 1
Matrizes
Cap´ıtulo 2
Sistemas
Lineares
Forma Escada de uma Matriz
Exemplos:
A1 =
(
0 1 0
0 0 0
)
A2 =
 0 1 5 0 30 0 0 1 2
0 0 0 0 0

A3 =
 1 −1 00 1 0
0 0 1

Matrizes e
Sistemas
Lineares
Cap´ıtulo 1
Matrizes
Cap´ıtulo 2
Sistemas
Lineares
Part II
Cap´ıtulo 2 - Sistemas Lineares
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Cap´ıtulo 1
Matrizes
Cap´ıtulo 2
Sistemas
Lineares
Sistemas de Equac¸o˜es Lineares
Definic¸a˜o
Um sistema da forma
a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2
...
am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = bm
(1)
e´ chamado de sistema de equac¸o˜es lineares de ordem m × n.
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Cap´ıtulo 1
Matrizes
Cap´ıtulo 2
Sistemas
Lineares
Forma Matricial de um Sistema Linear
O sistema de equac¸o˜es (1) pode ser escrito na forma matricial:
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
...
...
am1 am2 · · · amn


x1
x2
...
xn
 =

b1
b2
...
bm
 ,
ou ainda,
AX = B, (2)
com
X =

x1
x2
...
xn
 , A =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
...
...
am1 am2 · · · amn
 e B =

b1
b2
...
bm
 .
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Cap´ıtulo 1
Matrizes
Cap´ıtulo 2
Sistemas
Lineares
Exemplo
Exemplos:

x1 + 2x2 = 1
2x1 + x2 = 0
x1 − x2 = −1
Forma matricial:
X =
[
x1
x2
]
, A =
 1 22 1
1 −1
 e B =
 10
−1
 .
Matrizes e
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Lineares
Cap´ıtulo 1
Matrizes
Cap´ıtulo 2
Sistemas
Lineares
Interpretac¸a˜o Geome´trica
Considere o seguinte sistema:{
a11x + a12y = b1
a21x + a22y = b2
Geometricamente temos as seguintes possibilidades:
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Cap´ıtulo 1
Matrizes
Cap´ıtulo 2
Sistemas
Lineares
Combinac¸a˜o Linear de Vetores
O sistema: {
x + 2y = 5
3x + y = 5
pode ser escrito da forma
x
(
1
3
)
+ y
(
2
1
)
=
(
5
5
)
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Cap´ıtulo 1
Matrizes
Cap´ıtulo 2
Sistemas
Lineares
Posto e Nulidade de uma Matriz
Definic¸a˜o
Dada uma matriz A de ordem m × n, o posto da matriz, p(A),
e´ dado pela ordem da maior submatriz na˜o singular da matriz
dada.
Exemplo:
A =
 1 22 4
1 2

3×2
, temos que p(A) = 1
Definic¸a˜o
Dada uma matriz A de ordem m × n, a nulidade da matriz,
nul(A), e´ dada pela diferenc¸a entre o nu´mero de colunas e o
seu posto (nul(A) = n − p(A)).
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Cap´ıtulo 1
Matrizes
Cap´ıtulo 2
Sistemas
Lineares
Posto e Nulidade de uma Matriz
Definic¸a˜o
As linhas linearmente independentes (L.I.) de uma matriz A
sa˜o as linhas na˜o nulas de sua forma escada.
Exemplo: Seja A tal que sua forma escada e´
A˜ =

1 ∗ ∗ ∗ ∗
0 0 2 ∗ ∗
0 0 0 0 −1
0 0 0 0 0

4×5
nu´meros de linhas L.I. de A??
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Cap´ıtulo 1
Matrizes
Cap´ıtulo 2
Sistemas
Lineares
Propriedades:
(a) Se A e´ m × n, enta˜o p(A) = (nu´m. de linhas L.I.)
(b) p(A) ≤ min{m, n}
Conclusa˜o: Achar p(A) basta achar o posto de sua forma
escada!
Assim, se A e´ tal que sua forma escada e´
A˜ =

1 ∗ ∗ ∗ ∗
0 0 −3 ∗ ∗
0 0 0 0 20 0 0 0 0

Enta˜o, posto de A e´ 3 e sua nulidade e´ 2.
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Cap´ıtulo 1
Matrizes
Cap´ıtulo 2
Sistemas
Lineares
Mais exemplos:
A˜ =

2 ∗ ∗ ∗ ∗
0 0 0 3 ∗
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0

4×5
p(A) =?? nul(A) = ??
A˜ =

2 ∗ ∗ ∗ ∗
0 0 3 ∗ ∗
0 0 0 1 1
0 0 0 0 −2

4×5
p(A) =?? nul(A) = ??
Exerc´ıcio
Encontre o posto e nulidade de A =

1 2 −1 0
2 −1 1 1
1 −3 2 1
0 −5 3 1

Matrizes e
Sistemas
Lineares
Cap´ıtulo 1
Matrizes
Cap´ıtulo 2
Sistemas
Lineares
Matrizes Equivalentes e Sistemas Equivalentes
Definic¸a˜o
Duas matrizes A e A˜ sa˜o ditas matrizes equivalentes se uma
delas e obtida ao fazermos operac¸o˜es elementares na outra.
Exemplo:
A =
 1 2 1 40 0 2 1
−1 −2 −1 −4
 e´ equivalente a
A˜ =
 1 2 1 40 0 1 1/2
0 0 0 0

Matrizes e
Sistemas
Lineares
Cap´ıtulo 1
Matrizes
Cap´ıtulo 2
Sistemas
Lineares
Propriedade. Matrizes equivalentes possuem o mesmo posto.
Definic¸a˜o
Dado um sistema AX = B, com A m × n, definimos a matriz
aumentada/ampliada do sistema por Au = [A : B] (de ordem
m × (n + 1))
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Cap´ıtulo 1
Matrizes
Cap´ıtulo 2
Sistemas
Lineares
Definic¸a˜o
Dois sistemas, AX = B e A˜X = B˜, sa˜o ditos equivalentes se as
matrizes aumentadas dos mesmos, Au = [A : B] e
A˜u = [A˜ : B˜], sa˜o matrizes equivalentes.
Exemplo: Os sistemas
x + 2y + z − t = 1
2z − 2t = 2
−x − 2y − z + 2t = −1
e

x + 2y + z − t = 1
z − t = 1
t = 0
sa˜o equivalentes.
Matrizes e
Sistemas
Lineares
Cap´ıtulo 1
Matrizes
Cap´ıtulo 2
Sistemas
Lineares
Propriedades:
Sistemas equivalentes possuem o mesmo conjunto soluc¸a˜o.
Ideia para resolver sistemas lineares: Aplicar operac¸o˜es
elementares em [A : B] e obter [A˜ : B˜] na forma escada, e
enta˜o resolver A˜X = B˜ (mais simples)
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Sistemas
Lineares
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Matrizes
Cap´ıtulo 2
Sistemas
Lineares
Caracterizac¸a˜o dos Sistemas Lineares
Seja o sistema linear de m equac¸o˜es com n inco´gnitas
da forma: AX = B. O sistema linear pode ser:
a) Poss´ıvel, se possui soluc¸a˜o. Neste caso, p(Au) = p(A).
Determinado: quando a soluc¸a˜o e´ u´nica. Neste caso,
p(A) = n;
Indeterminado: quando ha´ infinitas soluc¸o˜es. Neste caso,
p(A) < n.
b) Imposs´ıvel, se na˜o possui soluc¸a˜o (p(Au) > p(A)).
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Lineares
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Matrizes
Cap´ıtulo 2
Sistemas
Lineares
Exemplo:
Considere o sistema AX = B onde
A =

1 ∗ ∗ ∗ ∗
0 0 1 ∗ ∗
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0

4×5
, B =

∗
∗
∗
z

4×1
Qual valor de z para que o sistema seja poss´ıvel? e
imposs´ıvel? Pode ser determinado?
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Lineares
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Matrizes
Cap´ıtulo 2
Sistemas
Lineares
Graus de Liberdade
Definic¸a˜o
Considere um sistema indeterminado AX = B, com A m × n.
O nu´mero de graus de liberdade do sistema e´
g = n − p(A) > 0 (que e´ o nu´mero de varia´veis livres).
Exemplo:
A =

1 2 −1 3 0
0 0 1 2 −1
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0
 ,B =

−1
0
1
0
 e X =

x1
x2
x3
x4
x5

enta˜o, g =?? e as varia´veis livres sa˜o ??
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Lineares
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Matrizes
Cap´ıtulo 2
Sistemas
Lineares
Me´todo de Gauss
O Me´todo de Gauss para sistemas lineares: escolher
varia´veis livres e, a partir delas, encontramos as outras varia´veis
usando o sistema equivalente na forma escada.
Matrizes e
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Lineares
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Matrizes
Cap´ıtulo 2
Sistemas
Lineares
Exemplo
Encontre o grau de liberdade, as varia´veis livres e o
conjunto de soluc¸o˜es para o sistema, indicando o posto e a
nulidade da matriz do sistema :
x + 2y − 3z − 2s + 4t = 1
2x + 5y − 8z − s + 6t = 4
x + 4y − 7z + 5s + 2t = 8
Escreva as soluc¸o˜es como combinac¸a˜o linear de vetores.
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Matrizes
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Sistemas
Lineares
Sistemas Homogeˆneos
Definic¸a˜o
Quando B = 0 dizemos que o sistema e´ homogeˆneo. Neste
caso, AX = 0.
Notac¸a˜o: SLh.
Observac¸a˜o
Ao aplicar operac¸o˜es elementares no sistema aumentado [A : 0]
a u´ltima coluna vai ser sempre 0, ou seja, teremos [A˜ : 0].
Propriedades:
Em um sistema AX = B, a soluca˜o geral e´ X = Xp + Xh, onde
Xp e´ uma soluc¸a˜o particular do sistema e Xh e´ a soluc¸a˜o geral
do sistema homogeˆneo Ax = 0.
Matrizes e
Sistemas
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Matrizes
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Sistemas
Lineares
Exemplo
Encontre o conjunto de soluc¸o˜es para o sistema homogeˆneo:
x + 2y − 3z − 2s + 4t = 0
2x + 5y − 8z − s + 6t = 0
x + 4y − 7z + 5s + 2t = 0
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	Capítulo 1 Matrizes
	Capítulo 2 Sistemas Lineares
	Capítulo 2 - Sistemas Lineares
	Capítulo 1 Matrizes
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